沪科版数学九年级上册同步课时训练
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
第1课时 30°，45°，60°角的三角函数值
自主预习 基础达标
要点 30°，45°，60°角的三角函数值
sin30°＝ ，cos30°＝ ，tan30°＝ ；
sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝ ；
sin60°＝ ，cos60°＝ ，tan60°＝ .
课后集训 巩固提升
1. sin60°的值等于( )
A. B. C. D.
2. 计算sin245°＋cos30°·tan60°，其结果是( )
A. 2 B. 1 C. D.
3. 式子2cos30°－tan45°－的值是( )
A. 2－2 B. 0 C. 2 D. 2
4. 已知α为锐角，且sin(α－10°)＝，则α等于( )
A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°
5. 如果△ABC中，sinA＝cosB＝，则下列最确切的结论是( )
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是锐角三角形
6. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝30°，则cosA＋sinB等于( )
A. B. 1 C. D.
7. 在△ABC中，∠B＝45°，cosA＝，则∠C的度数是 .
8. α为锐角，当无意义时，sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为 .
9. 在△ABC中，若sin＝，则cosA＝ .
10. ∠B为锐角，且2cosB－1＝0，则∠B＝ ；若∠A是锐角，sinA＝，则∠A＝ .
11. 计算：
(1)tan30°－cos60°×tan45°＋sin30°； (2)；
(3)4sin260°＋tan45°－8cos230°； (4)(－)－2＋2cos60°－(－1)2020－|－4|.
12. 若tanA的值是方程x2－(1＋)x＋＝0的一个根，求锐角A的度数.
13. 如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝4，∠A＝60°，求BC的长.
14. 在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，试确定△ABC的形状.
15. 如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，求AB.
16. 在等腰△ABC中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，求△ABC的面积.
17. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB，CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离(结果保留根号).
参考答案
自主预习 基础达标
要点 1
课后集训 巩固提升
1. C 2. A 3. B 4. C 5. C 6. C
7. 75°
8.
9.
10. 60° 30°
11. 解：(1)原式＝－×1＋＝.
(2)原式＝＝×2＝.
(3)原式＝4×()2＋1－8×()2＝－2.
(4)原式＝4＋1－1－4＋＝.
12. 解：x2－(1＋)x＋＝0，(x－)(x－1)＝0，x1＝，x2＝1.当tanA＝时，∠A＝60°；当tanA＝1时，∠A＝45°.
13. 解：过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，∵cosA＝，sinA＝，∴AD＝AC·cosA＝2×cos60°＝1，CD＝AC·sinA＝2×sin60°＝. 在Rt△BDC中，BD＝AB－AD＝4－1＝3，∴BC＝＝＝＝2.
14. 解：∵|tanB－|≥0，(2sinA－)2≥0，且|tanB－|＋(2sinA－)2＝0，∴|tanB－|＝0，(2sinA－)2＝0，∴tanB＝，sinA＝，又∵∠A，∠B均为锐角，∴∠B＝60°，∠A＝60°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，即△ABC为等边三角形.
15. 解：延长DC，AB交于E点，∵∠A＝60°，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠E＝30°.∵BC＝2，∴在Rt△BCE中，BE＝＝2.CE＝2BC＝4.∵CD＝3，∴在Rt△ADE中，sin60°＝＝＝.解得AB＝.
16. 解：如图，由题意，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝，sin∠DBC＝，∴∠DBC＝60°，∴∠ACB＝30°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∴∠DAB＝60°.在Rt△ABD中，sin∠DAB＝，即＝，∴AB＝2，∴AC＝2，∴S△ABC＝AC·BD＝×2×＝.
17. 解：过B点作BE⊥l1，交l1于点E，交CD于点F，交l2于点G.在Rt△ABE中，BE＝AB·sin30°＝20×＝10(km).在Rt△BCF中，BF＝BC÷cos30°＝10÷＝(km)，CF＝BF·sin30°＝×＝(km).DF＝CD－CF＝(30－)km.在Rt△DFG中，FG＝DF·sin30°＝(30－)×＝15－(km)，∴EG＝BE＋BF＋FG＝25＋5(km).答：两高速公路间的距离为(25＋5)km.
