沪科版数学九年级上册同步课时训练
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
第2课时 互余两角三角函数的关系
自主预习 基础达标
要点 互余两角三角函数的关系
根据锐角三角函数的概念我们可以得到互余两角的正弦、余弦之间的关系：任意锐角的正(余)弦值，等于它的余角的 .可以表示为：
sinA＝cos(90°－A)，即一个锐角的正弦值等于它的余角的 ；
cosA＝sin(90°－A)，即一个锐角的余弦值等于它的余角的 ；
tanA＝，即一个锐角的正切值等于它的余角的正切值的 .
课后集训 巩固提升
1. 如果cosα＝，∠α＋∠β＝90°，那么cosβ的值为( )
A. B. C. D.
2. 已知α，β都是锐角，如果sinα＝cosβ，那么α和β之间满足的关系是( )
A. α＝β B. α＋β＝90°
C. α－β＝90° D. β－α＝90°
3. 在△ABC中，若sinA＝且∠B＝90°－∠A，则sinB的值为( )
A. B. C. D. 1
4. 若tanx·tan10°＝tan45°，则锐角x的度数是( )
A. 45° B. 10° C. 80° D. 35°
5. 在△ABC中，∠C＝90°，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A. 0＜n＜ B. 0＜n＜ C. 0＜n＜ D. 0＜n＜
6. 如果α是锐角，cosα＝，则sin(90°－α)＝ .
7. 已知∠A是锐角，且sinA＝cosA，则∠A＝ .
8. 在Rt△ABC中，已知sinA＝，那么cos(90°－A)＝ .
9. 若∠A是锐角，cosA＝0.618，那么sin(90°－A)的值为 .
10. 已知tanA＝，且∠B＝90°－∠A，则tanB＝ .
11. 若sin20°＝cos(α＋25°)，则tanα＝ .
12. 已知α＋β＝180°，cos＝，则sin＝ .
13. 计算：sin46°·cos44°＋cos46°·sin44°.
14. 已知α，β为锐角，且sin(90°－α)＝，sinβ＝，求的值.
15. 在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠B的三角函数值.
16. 在△ABC中，∠A为锐角，已知cos(90°－A)＝，tan(90°－B)＝，请判断△ABC的形状.
17. 设∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，试探索sin与cos之间的关系.
18. 已知a，b，c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，若关于x的方程(b＋c)x2－2ax＋c－b＝0有两个相等的实数根，且sinB·cosA－cosB·sinA＝0，试判断△ABC的形状.
19. 在△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＋sinB＝，求sinA－sinB的值.
20. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α).
(1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 余(正)弦值 余弦值 正弦值 倒数
课后集训 巩固提升
1. C 2. B 3. C 4. C 5. A
6.
7. 45°
8.
9. 0.618
10.
11. 1
12.
13. 解：原式＝sin46°·cos(90°－46°)＋cos46°·sin(90°－46°)＝sin46°·sin46°＋cos46°·cos46°＝sin246°＋cos246°＝1.
14. 解：∵sin(90°－α)＝，∴cosα＝.∵sinβ＝，∴cos(90°－β)＝.∴＝＝.
15. 解：∵∠C＝90°，sinA＝，∴设BC＝3k，AB＝5k，则AC＝＝4k，∴sinB＝，cosB＝，tanB＝.
16. 解：∵cos(90°－A)＝，∴sinA＝，∴∠A＝60°，∵tan(90°－B)＝，∴90°－B＝60°，∠B＝30°，∴∠C＝180°－(30°＋60°)＝90°，∴△ABC是直角三角形.
17. 解：∵∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，∴∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴＋＝90°，即＝90°－.∴sin＝sin(90°－)＝cos.
18. 解：∵关于x的方程(b＋c)x2－2ax＋c－b＝0有两个相等的实数根，∴4a2－4(b＋c)(c－b)＝0，即a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，代入sinBcosA－cosBsinA＝0，得·－·＝0，即b2＝a2，∴a＝b.∴△ABC是等腰直角三角形.
19. 解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A，∠B是锐角，∠B＝90°－∠A，sinB＝sin(90°－∠A)＝cosA.∵sinA＋sinB＝，∴sinA＋cosA＝，∴sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝.∵sin2A＋cos2A＝1，∴2sinAcosA＝，∵(sinA－sinB)2＝sin2A＋cos2A－2sinA·cosA＝1－＝，∴sinA－sinB＝或－.
20. 解：(1)sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝，cos120°＝－cos(180°－120°)＝－cos60°＝－，sin150°＝sin(180°－150°)＝sin30°＝.
(2)由三角形的三个内角的比为1∶1∶4可知这三个内角的度数分别为30°，30°，120°.由题意可知sinA＋cosB＝，sinA·cosB＝－.①当∠A＝30°，∠B＝120°时，sinA＝，cosB＝－，∴＝－，∴m＝0；②当∠A＝30°，∠B＝30°时，sinA＝，cosB＝，此时sinA·cosB≠－，舍去；③当∠A＝120°，∠B＝30°时，sinA＝，cosB＝，此时sinA＝cosB，不合题意，舍去.综合可知，m的值为0，∠A为30°，∠B为120°.
