A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
解析：两平行平面α，β被第三个平面γ所截，则交线a，b平行．
答案：A
2．若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．有且只有一条与a平行的直线
解析：因为α∥β，B∈β，a?α，所以B?a，
所以点B与直线a确定一个平面γ，
因为γ与β有一个公共点B，
所以γ与β有且仅有一条经过点B的直线b，
因为α∥β，所以a∥b.
答案：D
3．五棱柱的底面为α和β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，且AD∥BC，则AB与CD的位置关系为( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．无法判断
解析：因为AD∥BC，所以ABCD共面，由面面平行的性质定理知AB∥CD.
答案：A
4．P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝( )
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
解析：根据题意画出图形，如图所示，
易知平面ABC∥平面A′B′C′，
所以AC∥A′C′，BC∥B′C′，AB∥A′B′.
所以△A′B′C′∽△ABC.
又因为PA′∶AA′＝2∶3，
所以＝＝.
所以＝.
答案：B
5.如图，不在同一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，每个平面内以交点为顶点的两个三角形是( )
A．△ABC与△A′B′C′相似，但不全等
B．△ABC≌△A′B′C′
C．S△ABC＝S△A′B′C′，但两三角形不全等
D．以上结论均不正确
解析：由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′，
则四边形ACC′A′为平行四边形，
所以AC＝A′C′.
同理BC＝B′C′，AB＝A′B′，
所以△ABC≌△A′B′C′.
答案：B
二、填空题
6．如图所示，在三棱柱ABC A′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a与直线A′B′的位置关系为________．
解析：在三棱柱ABC A′B′C′中，A′B′∥AB，
AB?平面ABC，A′B′?平面ABC，
所以A′B′∥平面ABC.
又A′B′?平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，
所以A′B′∥a.
答案：平行
7．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
解析：因为平面ABFE∥平面CDHG，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面CDHG＝HG，
所以EF∥HG.
同理EH∥FG，
所以四边形EFGH的形状是平行四边形．
答案：平行四边形
8．如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为________．
解析：由题意知，因平面α∥平面BC1E，
所以A1FBE，所以Rt△A1AF≌Rt△BB1E，
所以B1E＝FA＝1.
答案：1
三、解答题
9．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.
求证：EC∥A1D.
证明：因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，BE?平面AA1D，
所以BE∥平面AA1D.
因为BC∥AD，AD?平面AA1D，BC?平面AA1D，
所以BC∥平面AA1D.
因为BE∩BC＝B，BE?平面BCE，BC?平面BCE，
所以平面BCE∥平面AA1D.
又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D.
所以EC∥A1D.
10.如图所示，已知A，B，C，D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G.求证：四边形EFHG是平行四边形．
证明：因为AB∥α，
平面ABC∩α＝EG，
所以EG∥AB.同理FH∥AB.
所以EG∥FH，
又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，
所以GH∥CD.同理EF∥CD.
所以GH∥EF.
所以四边形EFHG是平行四边形．
B级 能力提升
1．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为( )
A. B.
C. D.
解析：取AA1的中点N，连接MN，NB，MC1，BC1，
由题意可得截面为梯形，
且MN＝BC1＝，
MC1＝BN＝，
所以梯形的高为，
所以梯形的面积为(＋2)×＝.
答案：B
2．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则MN＝________AC.
解析：因为平面MNE∥平面ACB1，
平面ABCD∩平面MNE＝MN，
平面ABCD∩平面ACB1＝AC，
所以MN∥AC.
同理可证EM∥AB1，EN∥B1C.
因为E是B1B的中点，
所以M，N分别是AB，BC的中点，
所以MN＝AC.
答案：
3.在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线．已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC.
证明：如图，设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为点G是EC的中点，所以GI∥EF.
又EF∥OB，所以GI∥OB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.
课件26张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系
