A级 基础巩固
一、选择题
1．已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；
③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α；
④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．
答案：C
2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是( )
A．60° B．45°
C．30° D．120°
解析：∠ABO是斜线AB与平面α所成的角，
在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos ∠ABO＝，
即∠ABO＝60°.
答案：A
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C
B．平面A1DB1
C．平面A1B1C1D1
D．平面A1DB
解析：因为AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，且A1D∩A1B1＝A1，
所以AD1⊥平面A1DB1.
答案：B
4.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
A．平行
B．垂直相交
C．垂直但不相交
D．相交但不垂直
解析：因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．
答案：C
5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
所以直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.
答案：D
二、填空题
6．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则直线l和三角形的第三边AB的位置关系是________．
解析：因为l⊥AC，l⊥BC，且AC∩BC＝C，
所以l⊥平面ABC.
又AB?平面ABC，故l⊥AB.
答案：垂直
7．已知正三棱锥S ABC的所有棱长都相等，则SA与平面ABC所成角的余弦值为________．
解析：因为S ABC为正三棱锥，所以设点S在底面ABC上的射影为△ABC的中心O，连接SO，AO，如图所示，则∠SAO为SA与底面ABC所成的角，设三棱锥的棱长为a，在Rt△SOA中，
AO＝·asin 60°＝a，SA＝a，
所以cos∠SAO＝＝.
答案：
8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________．
解析：因为EA⊥α，CD?α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.
同样，因为EB⊥β，CD?β，则有EB⊥CD.
又EA∩EB＝E，
所以CD⊥平面AEB.
又因为AB?平面AEB，所以CD⊥AB.
答案：垂直
三、解答题
9．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面PAC.
证明：连接AB1，CB1，D1B1，OP，
PB1，BD，设AB＝1.
所以AB1＝CB1＝D1B1＝.
因为O为正方形ABCD的中心，
所以AO＝CO，所以B1O⊥AC.
因为OB＝OB2＋BB＝，
PB＝PD＋B1D＝，
OP2＝PD2＋DO2＝，
所以OB＋OP2＝PB，所以B1O⊥PO.
又因为PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.
10．如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
证明：因为AD⊥平面ABE，AD∥BC，
所以BC⊥平面ABE.
又AE?平面ABE，所以AE⊥BC.
因为BF⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以AE⊥BF.
又因为BF?平面BCE，BC?平面BCE，BF∩BC＝B，
所以AE⊥平面BCE.
又BE?平面BCE，所以AE⊥BE.
B级 能力提升
1．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．至多一个
C．有一个或无数个 D．不存在
解析：若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．
答案：B
2．在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中点，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．
解析：如图所示，取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥平面BB1C1C.
所以AE⊥DE，
因此AD与平面BB1C1C所成角即为∠ADE，设AB＝a，则AE＝a，DE＝，
有tan∠ADE＝，所以∠ADE＝60°.
答案：60°
3．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1.
(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.
(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值．
(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，
所以AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.
又因为A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，
所以A1C1⊥平面AA1B1B.
又因为AB1?平面AA1B1B，所以A1C1⊥AB1.
又因为BA1∩A1C1＝A1，所以AB1⊥平面A1BC1.
(2)解：连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，
因为AA1⊥平面A1B1C1，
所以∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．
在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边的中点，
所以A1D＝×B1C1＝.
在Rt△A1DA中，AD＝＝.
所以sin ∠A1DA＝＝，
即AD与平面A1B1C1所成角的正弦值为.
课件32张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系
