2019秋数学人教A版必修2（课件33张 训练）：2.3.2 平面与平面垂直的判定（2份）

A级　基础巩固
一、选择题
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角(　　)
A．相等　　　　　　 B．互补
C．不确定 D．相等或互补
答案：C
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
解析：因为m∥n，n⊥β，所以m⊥β.
又m?α，所以α⊥β.
答案：C
3．给出下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个半平面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是(　　)
A．①③ B．③
C．②③ D．①
解析：①由二面角的定义知①错误；②所作的射线不一定垂直于二面角的棱；③由等角定理，角的两边分别平行且方向相同，可知角是相等的，故二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置无关．
答案：B
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成几何体ABCD，则在几何体ABCD中，下列结论正确的是(　　)
A．平面ABD⊥平面ABC
B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC
D．平面ADC⊥平面ABC
解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD，
又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD，
从而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC.
又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC.
答案：D
5．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角BADC的大小为(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：由已知得BD＝2CD，
翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，
而AD⊥BD，CD⊥AD，
故∠BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60°.
答案：C
二、填空题
6.如图所示，检查工作的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________．
解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA?α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.
答案：面面垂直的判定定理
7．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．
解析：m⊥n，将m和n平移到一起，则确定一平面，
因为n⊥β，m⊥α，
所以该平面与平面α和平面β的交线也互相垂直，
从而平面α和平面β的二面角的平面角为90°，
所以α⊥β.
故答案为①③④?②.
答案：①③④?②
8．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，二面角BPAC的大小等于________．
解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC.
所以∠BAC是二面角BPAC的平面角．
又∠BAC＝90°，
所以二面角BPAC的大小等于90°.
答案：90°
三、解答题
9.如图所示，在四棱锥PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.求证：
(1)DC⊥平面PAC；
(2)平面PAB⊥平面PAC.
证明：(1)因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.
又因为DC⊥AC，PC∩AC＝C，
所以DC⊥平面PAC.
(2)因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.
又AC∩PC＝C，
所以AB⊥平面PAC.
又因为AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAC.
10.如图所示，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)证明：SO⊥平面ABC；
(2)求二面角ASCB的余弦值．
(1)证明：如图所示，由题设知AB＝AC＝SB＝SC＝SA.
连接OA，△ABC为等腰直角三角形，
所以OA＝OB＝OC＝SA，
且AO⊥BC.
又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，
且SO＝SA.
从而OA2＋SO2＝SA2，
所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO.
又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC.
(2)解：取SC的中点M，连接AM，OM.
由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC.
所以∠OMA为二面角ASCB的平面角．
由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O，
得AO⊥平面SBC.
所以AO⊥OM.
又AM＝SA，AO＝SA，
故sin∠AMO＝＝＝.
所以二面角ASCB的余弦值为.
B级　能力提升
1.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(　　)
A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B．它们两两垂直
C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
解析：因为PA⊥平面ABCD，BC，AD?平面ABCD，
所以PA⊥BC，PA⊥AD.
又因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB.
因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，
得AD⊥平面PAB.
因为AD?平面PAD，所以平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．
答案：A
2．若P是△ABC所在平面外一点，△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，PA＝，则二面角PBCA的大小为________．
解析：如图，由于△PBC和△ABC都是边长为2的等边三角形，故取BC的中点O，连接PO，AO，所以PO⊥BC，AO⊥BC.由二面角的平面角的定义知，∠POA为二面角PBCA的平面角．分别在Rt△POB和Rt△AOB中求得PO＝AO＝.在△PAO中，PO2＋OA2＝6＝PA2，所以∠POA＝90°，即二面角PBCA的大小为90°.
答案：90°
3．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AC，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.
(1)求证：BC⊥平面PAC.
(2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．
(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，
所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC.
又因为AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
(2)解：存在．理由如下：
因为DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，
所以DE⊥平面PAC.
又因为AE?平面PAC，PE?平面PAC，
所以DE⊥AE，DE⊥PE.
所以∠AEP为二面角ADEP的平面角．
因为PA⊥底面ABC，所以PA⊥AC，所以∠PAC＝90°.
所以在棱PC上存在一点E，且E为PC的中点，
使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角ADEP为直二面角．
课件33张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系