A级 基础巩固
一、选择题
1．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则( )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析：选项A，只有当m∥β或m?β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l?β，所以n⊥l；选项D，只有当m∥β或m?β时，m⊥n.
答案：C
2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
解析：对于A，若m⊥n，n∥α，则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故A错误；对于B，若m∥β，β⊥α则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故B错误；对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，又n⊥α，则m⊥α，故C正确；对于D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m?α或m∥α或m⊥α或m与α斜交，故D错误．
答案：C
3.(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM、EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM、EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM、EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM、EN是异面直线
答案：B
4.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于点F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是( )
A．平行
B．EF?平面A1B1C1D1
C．相交但不垂直
D．相交且垂直
解析：由于正方体中平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1，所以根据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D1相交且垂直．
答案：D
5．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，AB＝BC，则下列结论中正确的是( )
A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1C
C．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C
解析：连接BD(图略)．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC，所以AC⊥BD.又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，所以AC⊥平面BDD1，因为BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.
答案：C
二、填空题
6．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________．
解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，
则cos α＝＝＝，cos β＝＝，所以cos α∶cos β＝∶2.
答案：∶2
7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个说法：
①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；
②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确的个数为________．
解析：①若a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b?α，可得出b∥α，①正确；②若a∥α，a⊥β，由线面平行的性质定理可以得出在α内存在一条线c⊥β，故可得出α⊥β，②正确；③由a⊥β，α⊥β，可得出a∥α或a?α，③正确；④由a⊥b，a⊥α，可得出b∥α或b?α，又b⊥β，可得出α⊥β，④正确．
答案：4
8．已知直二面角α l β，点A∈α，AC⊥l，点C为垂足，B∈β，BD⊥l，点D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析：
如图，连接BC.因为二面角α l β为直二面角，AC?α，且AC⊥l，α∩β＝l，
所以AC⊥β.
又BC?β，所以AC⊥BC，
所以BC2＝AB2－AC2＝3.
又BD⊥CD，所以CD＝＝.
答案：
三、解答题
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，
因为PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD.
又因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
而AE?平面PAC，所以CD⊥AE.
(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.
因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.
由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，
所以AE⊥平面PCD.
而PD?平面PCD，所以AE⊥PD.
因为PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，所以PA⊥AB.
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，而PD?平面PAD，所以AB⊥PD.
又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.
10.(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，
得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.
又AB?平面PAB，
所以平面PAB⊥平面PAD.
(2)解：如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，可得PE⊥平面ABCD.
设AB＝x，
则由已知可得AD＝x，PE＝x.
故四棱锥P ABCD的体积VP ABCD＝AB·AD·PE＝x3.
由题设得x3＝，故x＝2.
从而结合已知可得PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2，PB＝PC＝2.
可得四棱锥P ABCD的侧面积为PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋BC2sin 60°＝6＋2.
B级 能力提升
1.如图所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.
给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.
其中成立的有( )
A．①与② B．①与③
C．②与③ D．③与④
解析：由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A.
答案：B
2．在三棱锥P ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．
解析：如图，连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.
答案：2
3.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角正切值．
(1)证明：因为平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
所以BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，所以BC⊥AM.
因为四边形ACDE是正方形，所以AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，所以AM⊥平面EBC.
(2)解：取AB的中点F，连接CF，EF.
因为EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，
平面ACDE∩平面ABC＝AC，
所以EA⊥平面ABC，
所以EA⊥CF.
又AC＝BC，
所以CF⊥AB.
因为EA∩AB＝A，
所以CF⊥平面AEB，
所以∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，
tan ∠CEF＝＝.
课件32张PPT。第二章 点、直线、平面之间的位置关系
