第二章第1节 合情推理与演绎推理
一、 合情推理
课前预习学案
预习目标：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。
二，预习内容：
从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理. 归纳推理的思维过程大致是
试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论
已知数列的每一项均为正数，=1，
（n=1，2，……），试归纳数列的一个通项公式。
根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他
方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为
观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论
类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
二、学习过程：
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？
例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？
小结归纳推理的特点：
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。
小结类比推理的特点：
当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______
2、在等差数列中， 也成等差数列，在等比数列中，=____________________ 也成等比数列
课后练习与提高
右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
下列推理正确的是
(A) 把 与 类比，则有： ．
(B) 把 与 类比，则有：．
(C) 把 与 类比，则有：．
(D) 把 与 类比，则有：．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是
(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4
4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2），，，，（ ）．
5、从中，得出的一般性结论
是 ．
2.1合情推理
一、教材分析
数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第三小节的内容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的正确性有待证明。通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识，提高学生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
理解合情推理的原理和实质，并能初步运用。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热情。
三、教学重点难点
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
四、教学方法
探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3个交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？
例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？
小结归纳推理的特点：
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。
练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。
小结类比推理的特点：
当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______
2、在等差数列中， 也成等差数列，在等比数列中，=____________________ 也成等比数列
课后练习与提高
右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
下列推理正确的是
(A) 把 与 类比，则有： ．
(B) 把 与 类比，则有：．
(C) 把 与 类比，则有：．
(D) 把 与 类比，则有：．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2005次互换座位后，小兔的座位对应的是
(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4
4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2），，，，（ ）．
5、从中，得出的一般性结论
是 ．
七、板书设计
八、教学反思
§2.1.1 合情推理与演绎推理（一）
【内容分析】：
归纳是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解归纳推理的含义
（2）能利用归纳方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对归纳这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识归纳推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践归纳推理的探索过程
（2）归纳推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题情景
学生阅读
1、哥德巴赫猜想：
观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.
2、费马猜想：
法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，推翻费马猜想.
3、四色猜想：
1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
引入课题
通过阅读教材感受归纳推理的魅力
从哥德巴赫猜想引出归纳推理概念
二、概念教学
① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.
② 归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？
(ii)由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？
(iii)观察等式：
，能得出怎样的结论？
③ 讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？
(ii)归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）
(iii)归纳推理的结果是否正确？（不一定）
三、例题讲解
例1：已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.
（分析思路：试值n=1，2，3，4 → 猜想 →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）
思考：证得某命题在n＝n时成立；又假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立. 由这两步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系）
板书分析过程，提问a2,a3,a4等几项的计算结果
设问：能直接解出an吗？
四、课堂训练
1、已知 ，推测的表达式.
2、三角形的内角和是1800 ,凸四边形的内角和是3600,凸五边形的内角和是5400 , …… 由这些结论猜想凸n边形的内角和公式。
解析：凸n边形的内角和公式是(n-2)×1800.
3、由归纳猜想出一个一般结论。
解析：猜想：(a,b,m均为正实数）。
根据学生基础情况，决定是当堂引导学生证明结论或者是
课外完成。
五、小结
1．归纳推理的几个特点
1）归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.
2）归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.
3）归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上.
注：归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上.提出带有规律性的结论
2．归纳推理的一般步骤：
1)对已有的资料进行观察、分析、归纳、整理；
2)猜想
3)检验
1）规律性
2）探索性
3）观察、试验的不确定性
指出对归纳推理的结果进行检验是必要的
归纳推理
【练习与测试】：
（基础题）
1）数列…中的等于（ ）
A． B． C． D．
2）从中得出的一般性结论是_____________。
3)定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是（ ）.
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.
4)有10个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．
5)在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝， 第二件首饰是由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图1所示的正六边形， 第三件首饰如图2， 第四件首饰如图3， 第五件首饰如图4， 以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六变形，依此推断第6件首饰上应有_______________颗珠宝，第件首饰所用珠宝总数为_________________颗.
6)已知（n=1.2. …）试归纳这个数列的通项公式
答案：
1）B 推出
2） 注意左边共有项
3）B
4）（n-2）3600
5） 91,1+5+9+…4n+1=2n2+3n+1
6） a1=1,a2= a3=… an=
（中等题）
1）观察下列的图形中小正方形的个数，则第n个图中有 个小正方形.
2）-1 ．3 ．-7 ．15 ．( ) ，63 ， ， ， 括号中的数字应为（ ）
A.33 B.-31 C.-27 D.-57
3)设平面内有n条直线（n ≥ 3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用表示 n条直线交点的个数，则 f（4 ）=( )
A.3 B.4 C.5 D.6
4)顺次计算数列:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,的前4项,由此猜测的结果.
答案：
1）1+2+3+4+…+(n+1)=
2）B 正负相间，3＝1+2，7＝3+22，15＝7+23，15+24＝31，31+25＝63
3）C
4）依次为，1，22，32，42，所以an=n2
（难题）
1)．迄今为止，人类已借助“网格计算”技术找到了630万位的最大质数。小王发现由8个质数组成的数列41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数。小王欣喜万分，但小王按得出的通项公式，再往后写几个数发现它们不是质数。他写出不是质数的一个数是（ ）.
A．1643 B．1679 C．1681 D．1697
2) 考察下列一组不等式：
.
将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .
答案：
1）C 41，43，47，53，61，71，83，97的一个通项公式为an=n2+n+41,a40=1681,而1681＝4141不是质数
2）an+bn>an-mbm+ambn-m n,m, n>m
课件48张PPT。第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 猜座位 从前有个财主，想教儿子识字，请来一位教书先生.先生把着学生的笔杆儿，写一横，告诉是个“一”字；写两横，告诉是个“二”字；写三横，告诉是个“三”字.学到这里，儿子就告诉父亲说：
“我已经学会了写字，不
用先生再教了.”于是，
财主就把教书先生给辞退了. 一天，财主要邀请一位姓万的朋友，叫儿子写张请帖.财主的儿子怎么写的?1.结合数学实例，了解归纳推理的含义，掌握归纳推理、类比推理的方法技巧.(重点)
2.能利用归纳方法进行简单的推理，掌握归纳法的步骤，体会归纳推理、类比推理在数学发现中的作用．(难点)探究点1 归纳推理1742年哥德巴赫(Goldbach ,1690～1764, 是德国一位中学教师,也是一位著名的数学家, 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士)观察到:猜想:任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和. 任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和.哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想的过程：具体的材料观察分析猜想出一般性的结论【3】成语“一叶知秋”【2】统计初步中的用样本估计总体 通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验, 进而对整体作出推断. 意思是从一片树叶的凋落,知道秋天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体形势的变化,由部分推知全体. 由某类事物的 具有某些特征,推出
该类事物的 都具有这些特征的推理,或者由
概括出 的推理,称为归纳推理（简
称归纳）.归纳推理特点：部分→ 整体，个别→ 一般.部分对象全部对象个别事实一般结论铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想:所有金属都导电.又如 猜想: 数列2,5,11,20,x,47…中的x等于( )
A.28 B.32 C.33 D.27B【即时训练】 分析：数列的通项公式表示的是数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系.为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项.解:当n=1时，a1=1;当n=2时，当n=3时，当n=4时， 观察可得，数列的前4项都等于相应序号的倒数.
由此猜想，这个数列的通项公式为如图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A.白色 B.黑色
C.白色可能性大 D.黑色可能性大A【变式练习】 春秋时代的鲁班在林中砍柴时被齿形草叶割破了手,他由此受到启发,从而发明了锯.探究点2 类比推理 类似于鲁班发明锯子，还有一些发明或发现也是这样得到的.鱼类潜水艇蜻蜓直升机 仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的.可能有生命存在有生命存在温度适合生物的生存一年中有四季的变更有大气层行星、围绕太阳运行、绕轴自转火星地球火星上是否有生命？火星与地球类比的思维过程：火星地球存在类
似特征类比推理的过程（步骤）观察、比较联想、类推猜想新结论 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.类比推理(1)类比推理是由特殊到特殊的推理. (2)运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象,我们可以从不同的角度出发确定类比对象,基本原则是要根据当前问题的需要,选择适当的类比对象.(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推断正在研究中的事物的属性,它以已有知识为基础,类比出新的结论.(2)是从一事物的特殊属性推断另一种事物的特殊属性.(3)类比的结果具有猜测性.类比推理的特点下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的
是( )
A.三角形 B.梯形
C.平行四边形 D.矩形【即时训练】C例2 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.分析：实数的加法和乘法都是由两个数参与的运算，都满足一定的运算律，都存在逆运算，而且“0”和“1”分别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此，我们可以从上述4个方面来类比这两种运算.解：（1）两个实数经过加法运算或乘法运算后，所得的结果仍然是一个实数.(2)从运算律的角度考虑，加法和乘法都满足交换律和结合律，即(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，这就使得方程都有唯一解(4)在加法中，任意实数与0相加都不改变大小；乘法中的1与加法中的0类似，即任意实数与1的积都等于原来的数.即【解答】三角形你认为平面几何中的哪一类图形可以作为四面体的类比对象？【变式训练】例3：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．分析：考虑到直角三角形的两条边互相垂直，我们可以选取有3个面两两垂直的四面体，作为直角三角形的类比对象.解：如上图，在Rt△ABC中，∠C=90°.设a,b,c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得类比勾股定理的结构，我们猜想成立.【总结提升】提出猜想观察、分析、比较、联想归纳、类比从具体问题出发通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.(2017·菏泽高二检测)有两种花色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第6个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是( )
A.26 B.31 C.32 D.36【变式练习】B例4 如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片；
2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?分析：我们从移动1,2,3,4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次.
当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动顺序是： （1）把第1个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；
（3）把第1个金属片从2号针移到3号针；
用符号表示为：（12）（13）（23）
共移动了3次.
当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，归结为n=2的情形，移动顺序是：
（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针； （2）把第3个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面两个金属片从2号针移到3号针；
其中（1）和（3）都需要借助中间针.用符号表示为：
（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13）
共移动了7次.
当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动顺序是：
（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针； （2）把第4个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针；
用符号表示为：
（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）；（13）；（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.
共移动了15次.
至此，我们得到依次移动1,2,3,4个金属片所需次数构成的数列.1,3,7,15.
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律： 由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动an次，则数列{an}的通项公式为：思考：把n个金属片从1号针移到3号针, 怎样移动才能达到最少的移动次数呢? 通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：（1）把上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；
（2）把第n个金属片从1号针移到3号针；
（3）把上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第n个金属片的任务.
而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片……如此继续.直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式从这个递推公式出发，可以证明（1）式是正确的. 一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.费马猜想：
同样地，类比推理所得的结论也不一定可靠，你能举一个例子吗？半个世纪之后，欧拉发现：不是质数，从而推翻了费马的猜想(2018·临沂高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图所
示：按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的
根数为( )
A.6n-2 B.8n-2
C.6n+2 D.8n+2【变式练习】C【解题关键】先计算各个图形中的火柴棒,然后从中探寻规律,并进行归纳.1.下列说法中,正确的是( )
A.合情推理就是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理过程
D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程D2.根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( )
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1 111
1 234×9+5=11 111
12 345×9+6=111 111
…
A.1 111 110 B.1 111 111
C.1 111 112 D.1 111 113B3.观察下列等式：13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根据上述规律,第五个等式为 .
【解析】由前3个式子可看出,等式的左边为自然数的立方和,而右边正好等于各个自然数和的平方,即13+23+33+…+n3
=(1+2+…+n)2.故第五个等式为13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2.即13+23+33+43+53+63=212.
答案：13+23+33+43+53+63=2124.正方形的面积为边长的平方,则在空间中,与之类比的结论是 .
【解析】由平面中面积为边长的平方,则在空间中可类比得到正方体的体积为棱长的立方.
答案：正方体的体积为棱长的立方观察、分析概括、推广、类比提出猜想 没有礁石，就没有美丽的浪花；没有挫折，就没有壮丽的人生.课件44张PPT。第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理 【自主预习】
1.归纳推理和类比推理部分对象全部对象个别事实归纳某些类似特征某些已知特征这些特征类比部分整体个别一般特殊特殊2.合情推理观察分析联想归纳类比猜想猜想【即时小测】
1.观察下列各式:72=49,73=343,74=2401,…,则72017的末尾两位数字为 ( )
A.01 B.43 C.07 D.49【解析】选C.因为71=7,72=49,73=343,74=2401,75=
16807,76=117649,…,可见这些数的末尾两位数字是周期性出现,且周期T=4.
又2017=4×504+1,
所以72017的末尾两位数字与71的末尾两位数字相同,是07.2.数列2,5,11,20,x,47,…中的x的值为 ( )
A.28 B.32 C.33 D.27
【解析】选B.由已知得5-2=3,11-5=6=2×3,20-11=9=
3×3,x-20=4×3,所以x=32.3.下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较为合适 ( )
A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形
【解析】选C.平行四边形,对边平行且相等,平行六面体,对面平行且全等.【知识探究】
探究点1 归纳推理
1.归纳推理是从特殊到一般的推理吗?
提示:是从特殊到一般的推理.
2.归纳推理所得的结论一定正确吗?
提示:归纳推理所得结论不一定正确,需验证或证明.【归纳总结】
归纳推理的四个特点
(1)前提:几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围.(2)结论:具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.
(3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别性的、特殊性的事实作为前提,然后才能进行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行.(4)作用:具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.探究点2 类比推理
1.类比推理是从特殊到一般的推理吗?
提示:不是,类比推理是从特殊到特殊的推理.2.类比推理得出的结论正确吗?
提示:类比推理得出的结论不一定正确.
3.什么样的两类对象才可以类比?
提示:两类对象必须具有可比性,即必须具有类似特征.【归纳总结】
类比推理的三个特点
(1)类比推理结论的猜测性.类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠.(2)类比在数学发现中具有重要作用.例如,通过空间与平面、向量与数、无限与有限、不等与相等的类比,发现可以研究的问题及其研究方法.(3)类比推理的关键点.由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征,所以进行类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特征.
易错警示:归纳推理是对同类对象,而类比推理是针对两类对象之间的推理.类型一 归纳推理
【典例】1.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式是________.2.(2016·聊城高二检测)由下列各式:
13=12
13+23=32
13+23+33=62
13+23+33+43=102
请你归纳出一般结论.【解题探究】1.典例1求解的关键是什么?
提示:观察表中数据分析出顶点数、面数,棱数的关系是解题的关键.2.典例2中各等式的结构特征是什么?
提示:等式左边是几个连续自然数的立方和,右边是这几个连续自然数和的平方.
【解析】1.因为5+6-9=2,6+6-10=2,6+8-12=2,所以V+F-E=2.
答案:V+F-E=22.观察已知各式的构成规律可以发现,各等式左边是几个连续自然数的立方和,右边是这几个连续自然数和的平方.
即一般结论为13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2.【方法技巧】
1.由已知数式进行归纳推理的步骤
(1)分析所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律或结构形式的特征.
(2)提炼出等式(或不等式)的综合特点.
(3)运用归纳推理得出一般结论.2.归纳推理在图形中的应用策略【拓展延伸】归纳推理的基本逻辑形式
S1具有(或不具有)P,
S2具有(或不具有)P,
……
Sn具有(或不具有)P(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象),由此猜想:A类事物具有(或不具有)P.【变式训练】(2016·菏泽高二检测)有两种花色的正六边形地面砖,按如图的规律拼成若干个图案,则第六个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是 ( )
A.26 B.31 C.32 D.36【解题指南】数出前三个图案中有菱形花纹的正六边形个数,注意分析规律,由此规律作出推断.
【解析】选B.有菱形花纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形花纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形花纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.类型二 类比推理
【典例】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示三条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.
类比平面内直角三角形的勾股定理,
试给出空间中四面体性质的猜想.【解题探究】典例中直角三角形满足两边垂直,在空间中的四面体应满足什么特征?
提示:考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以选取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比对象.【解析】如题图,在Rt△ABC中,∠C=90°.设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.类似地,如图所示,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的
面积,相应于直角三角形的两条直角边a,b和1条斜边c,
图中的四面体有3个“直角面”S1,S2,S3和1个“斜
面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜想【延伸探究】1.把题设条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”
换成“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质
的猜想.
【解析】如图,在Rt△ABC中,cos2A+cos2B=
.于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,三棱锥P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′, PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.2.如图,作CD⊥AB于D,则有 .类比该性质,
试给出空间中四面体性质的猜想,并证明.【解析】类比猜想:
在四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,
则
如图,连接BE交CD于F,连接AF,因为AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A,
所以AB⊥平面ACD,而AF?平面ACD,所以AB⊥AF,
在Rt△AEF中,AE⊥BF,
所以
易知在Rt△ACD中,AF⊥CD,所以
所以【方法技巧】类比推理的一般步骤【补偿训练】(2016·安庆高二检测)如图所示,在
△ABC中,射影定理可表示为a=b·cosC+c·cosB.其中a,b,c分别为角A,B,C的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.【解析】如图,在四面体P-ABC中,S1,S2,S3,S分别表示
△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积;α,β,γ分别表示
平面PAB、平面PBC,平面PCA与底面ABC所成的二面角.
我们猜想射影定理类比到空间得
S=S1cosα+S2cosβ+S3cosγ.自我纠错 类比推理
【典例】若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列
(n∈N*)也是等差数列.
类比上述性质,相应地:
若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且cn>0,则数列
dn=_________(n∈N*)也是等比数列.【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是忽视了对等差数列中“除法运
算的类比.正确解答过程如下:
【解析】由等差、等比数列之间的运算的相似特征知
,容易得出dn=
也是等比数列.
答案:课时提升作业 三
合情推理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{an}的一个通项公式为an= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想an=.
2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )
A.空间中平行于同一直线的两条直线平行
B.空间中平行于同一平面的两条直线平行
C.空间中平行于同一直线的两个平面平行
D.空间中平行于同一平面的两个平面平行
【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.
3.(2018·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是 ( )
A.白色 B.黑色
C.白色的可能较大 D.黑色的可能性较大
【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.
4.(2018·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是 ( )
A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”
C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类比出“(a+b)n=an+bn”
【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.
5.(2018·天津高二检测)在等差数列{an}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{bn}中,若b9=1,则成立的等式是 ( )
A.b1b2…bn=b1b2…b17-n (n<17,n∈N*)
B.b1b2…bn=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)
C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)
D.b1+b2+…+bn=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)
【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①
b7b8b9b10b11=1……②
由①得 b1b2……b7=b1b2……b10,
由②得 b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·陕西高考)观察下列等式:
1-=
1-+-=+
1-+-+-=++
…
据此规律,第n个等式可为________.
【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.
所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.
答案:1-+-+…+-=++…+
7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为
_________________.
【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.
【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为.
答案:1+++…+<
8.(2018·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用
S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积VA -BCD=________.
【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积
S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得
VA-BCD=R
答案:R
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.
这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.
【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:
弦?截面圆,
直径?大圆,
周长?表面积,
圆面积?球体积,等.
于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆是等圆;
与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于经过切点的半径;
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于经过切点的半径;
经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
圆的周长c=πd(d为圆的直径)
球的表面积S=πd2(d为球的直径)
圆的面积S=πr2(r为圆的半径)
球的体积V=πr3(r为球的半径)
10.(2018·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.
【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),
因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.
同理,y2=x2-b2.
则kPM·kPN=·==·=(定值).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:
①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;
②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;
③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;
④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.
其中,正确结论的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.
2.(2018·烟台高二检测)将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则在表中的数字2018出现在 ( )
A.第44行第81列 B.第45行第81列
C.第44行第80列 D.第45行第80列
【解析】选D.第n行有2n-1个数,
前n行共有n2个数.
因为442=1936,452=2025,
而1936<2018<2025,
故2018在第45行.
又2025-2018=9,且第45行共有89个数字,
所以2018在89-9=80列.故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.
【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.
答案:f(2n)≥
4.(2018·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).
所以=(c,b),=(-a,b),
因为⊥,所以·=b2-ac=0,
即c2-a2-ac=0,
两边同除a2得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去)
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(xn-1,0)的连线与直线y=x交于点Pn(xn,yn).
(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想Pn的坐标.
【解析】(1)由方程组得P1.
过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.
(2)由(1)可猜想Pn.
6.(2018·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.
这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.
++=++==1.
请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.
【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.
【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H点,
则+++=1.
证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则
===.
同理有:=;
=;
=,
所以+++
==1.
课时提升作业 三
合情推理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·潍坊高二检测)已知a1=1,a2=,a3=,a4=,则数列{an}的一个通项公式为an= ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.a1=1=,a2==,a3==,a4==,故猜想an=.
2.平面内平行于同一直线的两条直线平行,由此类比到空间中可以得到( )
A.空间中平行于同一直线的两条直线平行
B.空间中平行于同一平面的两条直线平行
C.空间中平行于同一直线的两个平面平行
D.空间中平行于同一平面的两个平面平行
【解析】选D.利用类比推理,平面中的直线和空间中的平面类比.
3.(2018·石家庄高二检测)如图所示的是一串黑白相间排列的珠子,若按这种规律排下去,那么第36颗珠子的颜色是 ( )
A.白色 B.黑色
C.白色的可能较大 D.黑色的可能性较大
【解析】选A.由题图可知,这串珠子的排列规律是:每5个一组(前3个是白色珠子,后2个是黑色珠子)周期性排列,而36=5×7+1,即第36颗珠子正好是第8组中的第一颗珠子,其颜色为白色.
4.(2018·郑州高二检测)下面使用类比推理,得出的结论正确的是 ( )
A.若“a·3=b·3,则a=b”类比推出“若a·0=b·0,则a=b”
B.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a·b)c=ac·bc”
C.“若(a+b)c=ac+bc”类比出“=+(c≠0)”
D.“(ab)n=anbn”类比出“(a+b)n=an+bn”
【解析】选C.A中,3与0两个数的性质不同,故类比中把3换成0,其结论不成立;B中,乘法满足对加法的分配律,但乘法不满足对乘法的分配律;C是正确的;D中,令n=2显然不成立.
5.(2018·天津高二检测)在等差数列{an}中,a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立,类比上述性质,相应地在等比数列{bn}中,若b9=1,则成立的等式是 ( )
A.b1b2…bn=b1b2…b17-n (n<17,n∈N*)
B.b1b2…bn=b1b2…b18-n(n<18,n∈N*)
C.b1+b2+…+bn=b1+b2+…+b17-n(n<17,n∈N*)
D.b1+b2+…+bn=b1+b2-1+…+b18-n(n<18,n∈N*)
【解析】选A.由b9=1得b8b9b10=1……①
b7b8b9b10b11=1……②
由①得 b1b2……b7=b1b2……b10,
由②得 b1b2…b6=b1b2…b11,因此选A.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·陕西高考)观察下列等式:
1-=
1-+-=+
1-+-+-=++
…
据此规律,第n个等式可为________.
【解析】由已知可得:第n个等式左边含有2n项,其中奇数项为,偶数项为-.其等式右边为后n项的绝对值之和.
所以第n个等式为:1-+-+…+-=++…+.
答案:1-+-+…+-=++…+
7.观察式子:1+<;1++<,1+++<,…则可归纳出第n-1个式子为
_________________.
【解题指南】分析左边式子结构及项数,与右端分子分母之间的关系.
【解析】观察已知三个式子可得第n-1个式子左边有n项,为1+++…+.右边为.
答案:1+++…+<
8.(2018·淄博高二检测)已知△ABC的边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,用
S△ABC表示△ABC的面积,则S△ABC=r(a+b+c).类比这一结论有:若三棱锥A-BCD的内切球半径为R,则三棱锥的体积VA -BCD=________.
【解析】内切圆半径r内切球半径R,三角的周长a+b+c三棱锥的全面积
S△ABC+S△ACD+S△ABD+S△BCD,三角形面积公式中系数三棱锥体积公式中系数,故类比得
VA-BCD=R
答案:R
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.
这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.
【解析】圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:
弦?截面圆,
直径?大圆,
周长?表面积,
圆面积?球体积,等.
于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:
圆的性质
球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦
球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等;
与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长
与球心距离相等的两截面圆是等圆;
与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于经过切点的半径;
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
球的切面垂直于经过切点的半径;
经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
圆的周长c=πd(d为圆的直径)
球的表面积S=πd2(d为球的直径)
圆的面积S=πr2(r为圆的半径)
球的体积V=πr3(r为球的半径)
10.(2018·烟台高二检测)已知椭圆具有如下性质:若M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,点P是椭圆上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似的性质,并加以证明.
【解析】类似的性质为:若M,N是双曲线-=1上关于原点对称的两点,点P是双曲线上任意一点,若直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPM,kPN,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
证明如下:设M(m,n),P(x,y),则N(-m,-n),
因为点M(m,n)在双曲线上,所以n2=m2-b2.
同理,y2=x2-b2.
则kPM·kPN=·==·=(定值).
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知“平面内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条”,类比这一结论可得出以下结论:
①空间内,过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条;
②空间内,过一点与已知平面垂直的直线有且仅有一条;
③空间内,过一条直线与已知直线垂直的平面有且仅有一个;
④空间内,过一条直线与已知平面垂直的平面有且仅有一个.
其中,正确结论的个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【解析】选B.本题是由平面点与线的位置关系类比到空间点线面的位置关系.可借助长方体这一模型排除①③④,仅有②正确.
2.(2018·烟台高二检测)将正整数排成下表:
1
2 3 4
5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
…
则在表中的数字2018出现在 ( )
A.第44行第81列 B.第45行第81列
C.第44行第80列 D.第45行第80列
【解析】选D.第n行有2n-1个数,
前n行共有n2个数.
因为442=1936,452=2025,
而1936<2018<2025,
故2018在第45行.
又2025-2018=9,且第45行共有89个数字,
所以2018在89-9=80列.故选D.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·石家庄高二检测)设n是正整数:f(n)=1++++…+,计算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是__________.
【解析】由已知前四个式子可得第n个式子左边应为f(2n),右边应为,即一般结论为f(2n)≥.
答案:f(2n)≥
4.(2018·青岛高二检测)如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,A为右顶点,B为上顶点,当⊥时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________.
【解析】设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).则左焦点F(-c,0),B(0,b),A(a,0).
所以=(c,b),=(-a,b),
因为⊥,所以·=b2-ac=0,
即c2-a2-ac=0,
两边同除a2得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去)
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·广州高二检测)已知a,b为正整数,设两直线l1:y=b-x与l2:y=x的交点P1(x1,y1),对于n≥2的自然数,两点(0,b),(xn-1,0)的连线与直线y=x交于点Pn(xn,yn).
(1)求P1,P2的坐标.(2)猜想Pn的坐标.
【解析】(1)由方程组得P1.
过(0,b),两点的直线方程为+=1与y=x联立解得P2.
(2)由(1)可猜想Pn.
6.(2018·海淀高二检测)如图,已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对边分别于A′,B′,C′,则++=1.
这是平面几何中的一道题,其证明常采用“面积法”.
++=++==1.
请运用类比思想,对于空间中的四面体V-BCD,存在什么类似的结论?并用“体积法”证明.
【解题指南】考虑到用“面积法”证明结论时把O点与三角形的三个顶点连接,把三角形分成三个三角形,利用面积来证明相应的结论.在证明四面体中类似结论时,可考虑利用体积来证明相应的结论.
【解析】在四面体V-BCD中,任取一点O,连接VO,DO,BO,CO并延长分别交四个面于E,F,G,H点,
则+++=1.
证明:在四面体O-BCD与V-BCD中,设底面BCD上的高分别为h1,h,则
===.
同理有:=;
=;
=,
所以+++
==1.
第二章 推理与证明
§2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理(一)
一、基础过关
1．数列5,9,17,33，x，…中的x等于 ( )
A．47 B．65
C．63 D．128
2．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33为 ( )
A．3 B．－3
C．6 D．－6
3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于 ( )
1×9＋2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1 111
1 234×9＋5＝11 111
12 345×9＋6＝111 111
A．1 111 110 B．1 111 111
C．1 111 112 D．1 111 113
4．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．
试求第n个正方形数是 ( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
5．f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，推测当n≥2时，有________．
二、能力提升
6．设x∈R，且x≠0，若x＋x－1＝3，猜想x2n＋x－2n(n∈R*)的个位数字是________．
7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．
8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．
9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n层．第n层的小正方体的个数记为Sn.解答下列问题．
(1)按照要求填表：
n
1
2
3
4
…
Sn
1
3
6
…
(2)S10＝________.(3)Sn＝________.
10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：
将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：
(1)b2 012是数列{an}中的第______项；
(2)b2k－1＝________.(用k表示)
11．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且Sn－1＋＋2＝0(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分．
(1)3条直线最多将平面分成多少部分？
(2)设n条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n＋1)与f(n)的关系；
(3)求出f(n)．
三、探究与拓展
13．在一容器内装有浓度r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液a升，搅匀后再倒出溶液a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn，计算b1、b2、b3，并归纳出计算公式．
答案
1．B 2．A 3．B 4．C
5．f(2n)>
6．7
7．①
8．an＝3n－1(n∈N*)
9．(1)10 (2)55 (3)
10．(1)5 030 (2)
11．解 当n＝1时，S1＝a1＝1；
当n＝2时，＝－2－S1＝－3，
∴S2＝－；
当n＝3时，＝－2－S2＝－，
∴S3＝－；
当n＝4时，＝－2－S3＝－，
∴S4＝－.
猜想：Sn＝－(n∈N*)．
12．解 (1)3条直线最多将平面分成7个部分．
(2)f(n＋1)＝f(n)＋n＋1.
(3)f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋2＝.
13．解 b1＝＝(r＋p)；
b2＝＝[()2r＋p＋p]；
b3＝＝[()3r＋p＋p＋p]；
归纳得bn＝[()nr＋p＋p＋…＋p]．
2.1.1 合情推理(二)
一、基础过关
1．下列推理正确的是 ( )
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin (x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把a(b＋c)与a·(b＋c)类比，则有a·(b＋c)＝a·b＋a·c
2．下面几种推理是合情推理的是 ( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；
③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.
A．①② B．①③
C．①②④ D．②④
3．在等差数列{an}中，若an<0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，则下列有关b4，b5，b7，b8的不等关系正确的是 ( )
A．b4＋b8>b5＋b7
B．b5＋b7>b4＋b8
C．b4＋b7>b5＋b8
D．b4＋b5>b7＋b8
4．已知扇形的弧长为l，半径为的r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇＝________.
5．类比平面直角坐标系中△ABC的重心G(，)的坐标公式(其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3))，猜想以A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)、C(x3，y3，z3)、D(x4，y4，z3)为顶点的四面体A—BCD的重心G(，，)的公式为________．
6．公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，Sn是{an}的前n项和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项积，则有_____________________________________．
二、能力提升
7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．
①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交；
②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直；
③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行；
④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．
8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)
①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1与抛物线交于P、Q两点，l2与抛物线交于M、N两点，l1的斜率为k，某同学已正确求得弦PQ的中点坐标为(＋p，)，请你写出弦MN的中点坐标：________.
10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．
11．如图(1)，在平面内有面积关系＝·，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．
12. 如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
三、探究与拓展
13．已知在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，有＝＋成立．那么在四面体A－BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．
答案
1．D 2．C
3．A 4.lr
5.
6.，，也成等比数列，且公比为q100
7．②
8．①②③
9．(pk2＋p，－pk)
10.
11．解 类比＝·，
有＝··
证明：如图(2)：设C′，C到平面PAB的距离分别为h′，h.
则＝，
故＝
＝
＝.
12．解 如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为：S＝S1·cos α＋S2·cos β＋S3·cos γ.
13．解 类比AB⊥AC，AD⊥BC，可以猜想四面体A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，AE⊥平面BCD.则＝＋＋.猜想正确．
如图所示，连接BE，并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴＝＋.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴＝＋.
∴＝＋＋，
故猜想正确．
