第二章第1节 合情推理与演绎推理
二 、 演绎推理
课前预习学案
预习目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
二，预习内容：
1， 对于任意正整数n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？
2， 讨论：以上推理属于什么推理，结论一定正确吗？
3，思考：有什么推理形式能使结论一定正确呢？
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一，学习目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
二、学习过程：
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：____________________________________________.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
例1：证明函数 在 上是增函数.
例2：在锐角三角形ABC中， ，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
当堂检测：
讨论：因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则结论是什么？
讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？
课堂小结
课后练习与提高
1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.
2.“因为对数函数 是增函数（大前提），而 是对数函数（小前提），所以 是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
A.大前提错导致结论错； B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错； D.大前提和小前提都错导致结论错.
3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B =180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.
4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为 与 互为相反数且________________________,所以 =8.
（2）因为_____________________________________，又因为 是无限不循环小数，所以 是无理数.
学校： 一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人： 贾志安
演绎推理
一、教材分析
推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与演绎推理，由于解答高考题的过程就是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中，考察推理的基本思想和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。
二、教学目标
（1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式
（2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系
（3）情感态度价值观：了解演绎推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系
教学难点：演绎推理的应用
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？
3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为____________.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？
③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部分有什么特点？
小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：____________________________________________.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.
例1：证明函数 在 上是增函数.
例2：在锐角三角形ABC中， ，D，E是垂足. 求证：AB的中点M到D，E的距离相等.
当堂检测：
讨论：因为指数函数 是增函数， 是指数函数，则结论是什么？
讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？
比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？
课堂小结
课后练习与提高
1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.
2.“因为对数函数 是增函数（大前提），而 是对数函数（小前提），所以 是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
A.大前提错导致结论错； B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错； D.大前提和小前提都错导致结论错.
3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B =180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.
4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为 与 互为相反数且________________________,所以 =8.
（2）因为_____________________________________，又因为 是无限不循环小数，所以 是无理数.
七、板书设计
八、教学反思
§2.1 合情推理与演绎推理（三）
【学情分析】：
合情推理（归纳推理和类比推理）的可靠性有待检验，在这种情形下，提出演绎推理就显得水到渠成了．通过演绎推理的学习，让学生对推理有了全新的认识，培养其言之有理、论证有据的习惯，加深对数学思维方法的认识．
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解演绎推理的含义、基本方法；正确地运用演绎推理、进行简单的推理．
（2）过程与方法：
体会运用“三段论”证明问题的方法、规范格式．
（3）情感态度与价值观：
培养学生言之有理、论证有据的习惯；加深对数学思维方法的认识；提高学生的数学思维能力．
【教学重点】：
正确地运用演绎推理进行简单的推理．
【教学难点】：
正确运用“三段论”证明问题．
【教学过程设计】：
教学环节
教 学 活 动
设计意图
一、复习：
合情推理
归纳推理：从特殊到一般
类比推理：从特殊到特殊
从具体问题出发――观察、分析比较、联想――归纳．类比――提出猜想．
复习旧知识
二、
问题情境
观察与思考：（学生活动）
1．所有的金属都能导电，
铜是金属，
所以，铜能够导电．
2．一切奇数都不能被2整除，
（2100+1）是奇数，
所以，（2100+1）不能被2整除．
3．三角函数都是周期函数，
tan是三角函数，
所以，tan是周期函数．
提出问题：像这样的推理是合情推理吗？如果不是，它与合情推理有何不同（从推理形式上分析）？
创设问题情景，引入新知
三、
学生活动
1．所有的金属都能导电 ←————大前提
铜是金属， ←-----小前提
所以，铜能够导电 ←――结论
2．一切奇数都不能被2整除 ←————大前提
（2100+1）是奇数，←――小前提
所以，（2100+1）不能被2整除。 ←―――结论
3．三角函数都是周期函数， ←——大前提
tan是三角函数， ←――小前提
所以，tan是周期函数。←――结论
学生探索，
发现问题，
总结特征
四、
建构数学——概念形成
演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理（或逻辑推理）．
构建新知，
概念形成
注：
1．演绎推理是由一般到特殊的推理．（与合情推理的区别）
2．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
3．用集合的观点来理解“三段论”推理：
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P．
巩固新知，
加强认识
五、
数学运用
例1、把P78中的问题（2）、（5）恢复成完全三段论的形式．
解：（2）因为太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，（大前提）
而冥王星是太阳系的大行星， （小前提）
因此冥王星以椭圆形轨道绕太阳运行． （结论）
（5）∵两直线平行，同旁内角互补， （大前提）
而∠A 、∠B是两条直线的同旁内角， （小前提）
∴∠A+∠B＝180°． （结论）
例2、如图；在锐角三角形ABC中，AD⊥BC， BE⊥AC， D，E是垂足，求证：AB的中点M到D、E的距离相等．
解：（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，——大前提
在△ABC中，AD⊥BC，即∠ADB=90°，————小前提
所以△ABD是直角三角形————结论．
（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，————大前提
而DM是直角三角形ABD斜边AB上的中线，——小前提
所以DM=AB．————结论
同理EM=AB．
所以DM=EM.
注：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的.
思考：分析下面的推理：
因为指数函数是增函数，————大前提
而是指数函数，————小前提
所以是增函数. ————结论
（1）上面的推理形式正确吗？（2）推理的结论正确吗？
提示：推理形式正确，但大前提是错误的（因为指数函数（0＜a＜1＝是减函数＝，所以所得的结论是错误的.
例3、证明函数在上是增函数.
板演：证明方法（定义法、导数法） → 指出：大前题、小前题、结论.
1．运用新知；
2．板书解题详细步骤，规范学生的解题格式．
通过错例分析，加深理解
六、
小结与反思
1．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
（1）大前提——已知的一般原理；
（2）小前提——所研究的特殊情况；
（3）结论——据一般原理，对特殊情况做出的判断．
三段论的基本格式为：
大前提：M是P
小前提：S是M
结 论：S是P
2．合情推理与演绎推理的区别和联系：
（1）推理形式不同（归纳是由特殊到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理）；
（2）合情推理为演绎推理提供方向和思路；演绎推理验证合情推理的正确性．
对比分析，
提高认识
【练习与测试】：
1．下面的推理过程中，划线部分是（ ）．
因为指数函数是减函数，而是指数函数，所以是减函数.
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
2．小偷对警察作如下解释：是我的录象机，我就能打开它．看，我把它打开了，所以它是我的录象机．请问这一推理错在哪里？（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．以上都不是
3．因为相似三角形面积相等，而△ABC与△A1B1C1面积相等，所以△ABC与△A1B1C1相似.上述推理显然不对，这是因为（ ）．
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．推理形式错误
4．请判断下面的证明，发生错误的是（ ）．
∵一个平面内的一条直线和另一个平面内的两条直线平行，则着两个平面平行，
又∵直线平面，直线平面，直线平面，且∥，
∴∥.
A．大前提错误 B．小前提错误 C．结论错误 D．以上都错误
5．函数为奇函数，，则（ ）．
A．0 B．1 C． D．5
6．下面给出一段证明：
∵直线平面，
又∵∥，
∴∥.
这段证明的大前提是 ．
7．如图，下面给出一段“三段论”式的证明，写出这段证明的大前提和结论．
∵ ．（大前提）
又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA∩AB=A． （小前提）
∴ ．（结论）
8．用“三段论”证明：通项公式为的数列是等差数列.
9．用“三段论”证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，则AB=DC．
10．将课本第89页例6的证明改成用“三段论”书写．
11．证明函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．设a＞0,b＞0,a+b=1,求证：．
参考答案
1～5：BADAC
6．两个平行平面中一个平面的任意一条直线平行于另一个平面
7．如果一条直线和某一平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线就和该平面垂直； BC⊥平面PAB
8．证：如果数列满足：（常数），那么数列是等差数列 （大前提）
∵数列中有（常数）， （小前提）
∴通项公式为的数列是等差数列． （结论）
9．证：过点D作DE∥AB，交BC于点E．
∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （大前提）
又∵四边形ABED中DE∥AB，AD∥BE， （小前提）
∴四边形ABED是平行四边形． （结论）
∵平行四边形的对边相等． （大前提）
又∵四边形ABED是平行四边形， （小前提）
∴AB＝DE． （结论）
∵两直线平行，同位角相等． （大前提）
又∵AB∥DE， （小前提）
∴∠DEC＝∠B． （结论）
∵两个角若分别和第三个角相等，那么这两个角相等． （大前提）
又∵∠B＝∠C，∠DEC＝∠B （小前提）
∴∠DEC＝∠C． （结论）
∵三角形中等角对等边． （大前提）
又∵△DEC中有∠DEC＝∠C， （小前提）
∴DE＝DC． （结论）
∵两条线段若分别和第三条相等，那么这两线段相等． （大前提）
又∵AB＝DE，DE＝DC （小前提）
∴AB=DC． （结论）
10．证：函数若满足：在给定区间内任取自变量的两个值x1、x2，若x1＜x2，则有
＜，则在该给定区间内是增函数． （大前提）
任取x1、x2∈（－∞，1］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x2－x1）（x1+x2－2）
又∵x1＜x2≤1，∴x2－x1＞0，x1+x2＜2，即x1+x2－2＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＜0，即f(x1) ＜f(x2) ． （小前提）
∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数． （结论）
11．证：任取x1、x2∈［1，+∞］，且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝（－x12+2x1）－（－x22+2x2）＝（x1－x2）（2－（x1+x2））
又∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1+x2＞2，即2－（x1+x2）＜0，
∴f(x1)－f(x2)＝（x1－x2）（2－（x1+x2））＞0，即f(x1)＞f(x2) ．
∴函数f(x)=－x2+2x在［1，+∞］上是减函数．
12．证：∵a+b=1，且a＞0,b＞0,
§2.1 合情推理与演绎逻辑（二）
【内容分析】：
类比是重要的推理方法，在掌握一定的数学基础知识（如数列、立体几何、空间向量等等）后，对数学问题的探究方法加以总结，上升为思想方法。
【教学目标】：
1、知识与技能：
（1）结合数学实例，了解类比推理的含义
（2）能利用类比方法进行简单的推理，
2、过程与方法：
通过课例，加深对类比这种思想方法的认识。
3、情感态度与价值观：
体验并认识类比推理在数学发现中的作用。
【教学重点】：
（1）体会并实践类比推理的探索过程
（2）类比推理的局限
【教学难点】：
引导和训练学生从已知的线索中归纳出正确的结论
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题情景
学生阅读
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯
2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征;
1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星;
2)有大气层,在一年中也有季节变更;
3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存,等等. 科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4．利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.
引入课题
通过阅读教材体会类比推理的思维过程
二、概念教学
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比练习：
(i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？
(ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？
由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材73探究 填表）
小结：平面→空间，圆→球，线→面.
讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维.
类比推理――联想――普遍联系
三、例题讲解
例2：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）
类比角度
实数的加法
实数的乘法
运算结果
若则
若则
运算律
逆运算
加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解
乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解
单位元
例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
思维：直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；
→3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和
3个“直角面”和1个“斜面”. → 拓展：三角形到四面体的类比.
例4、（可作为研究性学习材料）
分析探索过程
四、课堂训练
例:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例。
解析：类比猜想 1)圆心 2）半径
推广的命题为：
设圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2① 与 (x-c)2+(y-d)2=r2②（a≠c或b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。
五、小结
类比推理的几个特点
1）类比是从已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.
2）类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.
3）类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发现的功能.
练习P93 1，2.3，4.5 ; P94 1
1）联想
2）探索性
3）不确定性
指出类比推理的结果不一定可靠
【练习与测试】：
（基础题）
1）已知扇形的弧长为l,半径为r，类比三角形的面积公式S＝，可知扇形的面积公式为_________
2)类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．①；B．①②； C．①②③； D．③
3)由“ 正三角形的两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是
4）定义运算ab= 则对xR，函数f(x)=1x的解析式为__________。
5）三角形的面积公式为S＝（a,h分别表示三角形的边和该边上的高），类比四面体的体积V＝
6）在三角形ABC中，于D，则有，类比此性质，给出空间四面体的一个猜想，并判断该猜想是否正确。
答案：
1）s=
2）C
3）正棱锥的侧棱长相等
4）f(x)=1x＝
5） 四面体的体积V＝（S,h分别表示四面体的底面积和该面上的高）
6）在棱锥S－ABC中，，则
（中等题）
1）a,b为实数，则由或，类比向量运算中可以得出什么结论？
2）若三角形的内切圆半径为r三边的长分别为a,b,c,则三角形的面积根据类比思想，若四面体的内切球半径为r，四个面的面积分别为，则此四面体的体积V＝_________
3) 在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径_______．
4)六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 如图1在平行四边形ABCD中，有AC2+BD2=2(AB2+AD2)，那么在图2所示的平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，有AC12+BD12+CA12+DB12=（ ）.
A．2（AB2+AD2+AA12） B．3（AB2+AD2+AA12）
C．4（AB2+AD2+AA12） D．4（AB2+AD2）
答案：
1） 或
2）V＝
3）
4）C
（难题）
1）若数列是等差数列，对于，则数列也是等差数列。类比上述性质，若数列是各项都为正数的等比数列，对于，则= 时，数列也是等比数列。
2）如图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为，则若把它推广到长方体ABCD—A1B1C1D1中，试写出相应命题形式：
__________________________________________________________________ .
答案：
1）=
2）长方体ABCD—A1B1C1D1中，BD与同一顶点三个侧面所成角分别为，则
课件16张PPT。2.1.2 演绎推理由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程叫演绎推理。演绎推理特征：当前题为真时，结论必然为真；1.演绎推理的定义：其推理形式是：从一般到特殊的 推理2. “三段论”推理，
⑴其一般模式：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——据一般原理，对特殊情况做 出的判断．（3）三段论推理的依据，用集合的观点来理解：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P。练习1. 分析下列推理是否正确，说明为什么？(1)自然数是整数，3是自然数，3是整数.大前提错误推理形式错误小前提错误因为二次函数的图象是一条抛物线,例1完成下面的推理过程
“二次函数y=x2 + x + 1的图象是 .”函数y = x2 + x + 1是二次函数,所以函数y = x2 + x + 1的图象是一条抛物线.大前提小前提结 论解：一条抛物线PS试将其恢复成完整的三段论．M例2 利用三段论证明：函数 f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.所以函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.证明：若满足对于任意x ∈D, 有 f/ / (x) > 0成立,则函数f(x) 是区间D上的增函数.大前提小前提结论 f /(x)=-2x+2= -2(x-1)
因为 x<1
所以 x-1<0
所以 f / (x)>0说明： 在用三段论推理证明时，大前提的实质是使推理得以进行下去的依据。大前提往往省略.证明：因为 a>1
所以loga(a+1)>logaa=1 ①
又因为a+1>2
所以 log(a+1)a
由两式可知
loga(a+1)>log(a+1)a例3.求证：当a>1时，有loga(a+1)>log(a+1)a 在这个证明过程中，关键的步骤是：①loga(a+1)>1
②log(a+1)a<1.这个推理规则是：“如果 aRb， bRc 则aRc”，其中“R”表示具有传递性的关系。这种推理规则叫做传递性关系推理3.传递性关系推理 证明：当x<0时，f(x)的各项都为正数，因此，当x<0时，f(x)为正数；当0≤x≤1时，
f(x)=x6+x2(1－x)+(1－x)>0；当x>1时，f(x)=x3(x2－1)+x(x－1)+1>0，综上所述，函数f(x)的值恒为正数。例4．证明函数f(x)=x6－x3+x2－x+1的值恒为正数。 在这个证明中，对x的所有可能的取值都给出了f(x)为正数的证明，所以断定f(x)恒为正数。 又如对所有的n (3≤n≤10)边形，证明n边形的内角和为(n－2)π，就是完全归纳证明。 这种把所有情况都考虑在内的演绎推理规则叫做完全归纳推理。4.完全归纳推理合情推理与演绎推理的区别合情推理归纳推理类比推理由部分到整体,特殊到一般的推理由特殊到特殊的推理结论不一定正确，有待进一
步证明演绎推理由一般到特殊的
推理在前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确 合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的完全归纳推理 完全归纳推理是这样一种归纳推理：
根据对某类事物的全部个别对象的考察，已知它们都具有某种性质，由此得出结论说：该类事物都具有某种性质。练习2.
1.下列推理的两个步骤分别遵循哪种推理规则？
因为AB∥CD
所以∠1＝∠2
又因为∠2＝∠3
所以∠1＝∠3DBCA3212.已知函数
证明：函数f(x)>0恒成立五、回顾小结： 演绎推理概念;1.2.合情推理与演绎推理的区别与联系.演绎推理常用的推理——三段论.3.演绎推理错误的主要原因是：
①大前提不成立；
②小前提不符合大前提的条件；
③推理形式错误课件56张PPT。2.1.2
演绎推理 【自主预习】
1.演绎推理
(1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_________下
的结论,这种推理称为演绎推理.
(2)特点:演绎推理是由_____到_____的推理.特殊情况一般特殊2.三段论已知的一般原理所研究的特殊情况特殊情况【即时小测】
1.下列说法正确的个数是 ( )
①演绎推理是由一般到特殊的推理
②演绎推理得到的结论一定是正确的
③演绎推理的一般模式是“三段论”形式④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.由演绎推理的概念可知说法①③④正确,②不正确.2.下列几种推理过程是演绎推理的是________.
①两条平行直线与第三条直线相交,内错角相等,如果∠A和∠B是两条平行直线的内错角,则∠A=∠B;②金导电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电;③由圆的性质推测球的性质;④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇.【解析】①是演绎推理;②是归纳推理;③④是类比推理.
答案:①【知识探究】
探究点 演绎推理
1.“三段论”与“演绎推理”有何关系?
提示:“三段论”是演绎推理的一般模式.2.演绎推理所得的结论一定正确吗?
提示:不一定.演绎推理中只要前提和推理形式正确,其结论才正确.【归纳总结】
1.演绎推理的三个特点
(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.
(3)演绎推理是由一般到特殊的推理.2.对“三段论”的三点说明
(1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命题——结论.(2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子集,那么S中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有性质P,则S中的元素也不具有性质P.
(3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否,取决于两个前提是否正确,推理形式是否正确.特别提醒:演绎推理与合情推理的本质区别:合情推理是由特殊到一般(特殊)的推理.由合情推理得到的结论具有不可靠性,而由演绎推理得到的结论是可靠的.类型一 用三段论表示演绎推理
【典例】1.(2016·淄博高二检测)“因为四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是 ( )
A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形
2.三段论:①平面内没有任何公共点的直线为平行线;②直线a?α,b?α且a与b没有公共点;③a∥b中的小前提是:________(填序号).3.将下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切偶数都能被2整除,100是偶数,所以100能被2
整除.
(2)函数y=2x+1是定义域上的单调函数.
(3) 是有理数.【解题探究】1.典例1中的小前提和结论隐含了什么信息?
提示:四边形ABCD、矩形、对角线相等.
2.典例2中,大前提、小前提、结论分别是什么?
提示:①是大前提;②是小前提;③是结论.3.典例3把演绎推理写成三段论的关键是什么?
提示:分清大前提、小前提和结论.【解析】1.选B.由大前提、小前提、结论三者的关系知,大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”.
2.根据演绎推理及三段论知,①是大前提;②是小前提;③是结论.
答案:②3.(1)一切偶数都能被2整除, ……………大前提
100是偶数…………………………………小前提
100能被2整除………………………………结论
(2)一次函数y=kx+b(k≠0)是定义域上的单调函数
…………………………………………………大前提函数y=2x+1是一次函数…………………小前提
函数y=2x+1是定义域上的单调函数………结论
(3)所有循环小数都是有理数……………大前提
0. 是循环小数……………………………小前提
0. 是有理数………………………………结论.【方法技巧】将演绎推理写成三段论的方法
(1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提.
(2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚至也可将大前提与小前提都省略.
(3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.【拓展延伸】合情推理与演绎推理的区别与联系【变式训练】(2016·焦作高二检测)《论语》云:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所以名不正,则民无所措手足.”上述理由用的是( )
A.合情推理 B.归纳推理
C.类比推理 D.演绎推理【解析】选D.由演绎推理的定义知,该推理为演绎推理.类型二 用三段论证明几何问题
【典例】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.【解题探究】本例证明“ED=AF”依据的前提是什么?
提示:四边形AFDE为平行四边形.
【解析】因为同位角相等,两直线平行, ……大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,…………小前提
所以FD∥AE.……………………………………结论
因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,…大前提DE∥BA,且FD∥AE,…………………小前提
所以四边形AFDE为平行四边形.………结论
因为平行四边形的对边相等,…………大前提
ED和AF为平行四边形AFDE的对边,……小前提
所以ED=AF.………………………………结论【延伸探究】1.若增加条件“∠C=∠A”,证明:∠BFD=∠BDF.
【证明】因为同位角相等,两直线平行,…大前提
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,……小前提
所以FD∥AE.………………………………结论因为两直线平行,同位角相等,……大前提
FD∥AE,且∠BDF与∠C是同位角,…小前提
所以∠BDF=∠C.………………………结论
又因为∠C=∠A,∠BFD=∠A…………小前提
所以∠BFD=∠BDF……………………结论2.将典例中“∠BFD=∠A”改为“∠BFD=∠DEC”,如何证明结论.
【证明】因为DE∥BA.所以∠DEC=∠A,
又因为∠BFD=∠DEC,所以∠BFD=∠A.
所以DF∥AC.又因为DE∥BA,
所以四边形AEDF为平行边行形.
所以ED=AF.【方法技巧】
1.用“三段论”证明命题的格式
×××××× (大前提)
×××××× (小前提)
×××××× (结论)2.用“三段论”证明命题的步骤
(1)理清证明命题的一般思路.
(2)找出每一个结论得出的原因.
(3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.【补偿训练】已知平面α∥平面β,直l⊥α,l∩α=A,
求证:l⊥β.
【证明】在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A与直线b的平面,设γ∩α=a.如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的
交线平行, 大前提
α∥β,且α∩γ=a,β∩γ=b, 小前提
所以a∥b. 结论
如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线和这个平
面内的任意一条直线都垂直, 大前提
l⊥α,a?α, 小前提所以l ⊥a. 结论
如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与另一条垂直, 大前提
a∥b,且l ⊥a, 小前提
所以l ⊥b. 结论如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那
平面垂直, 大前提
因为l⊥b,且直线b是平面β内的任意一条直线, 小前提
所以l⊥β. 结论类型三 用三段论证明代数问题
【典例】1.(2016·菏泽高二检测)已知 ,函数
f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大小关系
是________.
2.设函数f(x)= ,其中a为实数,若f(x)的定义
域为R,求实数a的取值范围.【解题探究】1.典例1中条件“ ”的作用是什么?
提示:“ ”的作用是指明函数的单调性.
2.典例2中“f(x)的定义域为R”说明什么?
提示:“f(x)的定义域为R”说明“x2+ax+a≠0恒成立”.【解析】1.当0 ∈(0,1), 小前提
所以函数f(x)= 为减函数 结论
故由f(m)>f(n),得m答案:m 大前提
因为f(x)的定义域为R, 小前提
所以x2+ax+a≠0恒成立. 结论
所以Δ=a2-4a<0.
所以0调减区间.
【解析】因为f′(x)=
因为由f′(x)=0,得x=0或x=2-a.
因为00.
所以在(-∞,0)上,f′(x)>0,在(0,2-a)上,f′(x)<0,在(2-a,+∞)上,f′(x)>0,
所以f(x)的单调减区间为(0,2-a).
当a=2时,f′(x)≥0恒成立;
当2所以在(-∞,2-a)上,f′(x)>0,在(2-a,0)上,f′(x)<0,在(0,+∞)上,f′(x)>0,
所以f(x)的单调减区间为(2-a,0).
综上,当0当2(1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等.
(2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.(3)三角函数问题:利用三角函数公式进行三角恒等变换,证明三角恒等式.
(4)数列问题:数列的通项公式,前n项和公式的应用,证明等差数列和等比数列.
(5)不等式类问题:如不等式恒成立问题,线性规划以及基本不等式的应用问题.【变式训练】设a>0,f(x)= 是R上的偶函数.
(1)求a的值.
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.【解析】(1)因为f(x)是R上的偶函数,
所以对一切x∈R,都有f(x)=f(-x),
即
整理得 对一切x∈R恒成立.
因ex- 不恒为0,故 -a=0,所以a=±1.
又a>0,所以a=1.(2)任取x1,x2∈(0,+∞)且x1因为x1>0,x2>0且x10,x1+x2>0,
所以 >1,1- <0,所以f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)【典例】求证:四边形的内角和等于 360°.
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因是推理过程错误,犯了借换论题的错误.实际上题设中的四边形,不一定是矩形,它指的是任意四边形.
正确的解答过程如下:【解析】如图所示,在四边形ABCD中,连接AC,
在△ACD中,∠3+∠4+∠D=180°, ①
在△ABC中,∠1+∠2+∠B=180°, ②
①+②,得(∠1+∠3)+(∠2+∠4)+∠B+∠D=360°,
即∠DAB+∠DCB+∠B+∠D=360°.
所以四边形的内角和等于360°.课时提升作业 四
演绎推理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )
A.① B.②
C.①② D.③
【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.
2.(2018·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于 ( )
A.演绎推理 B.类比推理
C.合情推理 D.归纳推理
【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.
3.(2018·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理 ( )
A.小前提错误 B.结论错误
C.正确 D.大前提错误
【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.
4.(2018·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数
( )
A. B.
C. D.(2π,3π)
【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π5.(2018·三明高二检测)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为,则实数a的取值范围为________.
【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为.
②a≠0时,需有即解得0综合上述,a的取值范围为.
答案:
7.有一段演绎推理:
大前提:整数是自然数;
小前提:-3是整数;
结论:-3是自然数.
这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).
【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.
答案:大前提
8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.
【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.
即a-=0,得a=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,(22018+1)是奇数,所以(22018+1)不能被2整除.
(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;
(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.
【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提
22018+1是奇数,…………………………………………………………………小前提
22018+1不能被2整除.…………………………………………………………结论
(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提
y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提
y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论
(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5,
且32+42=52, …………………………………………………………………小前提
△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论
10.(2018·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,
那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提
Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提
所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
……………………………………………………………………………………结论
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b?平面α,直线a?平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.
2.(2018·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是 ( )
A.直角梯形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.
由(-)·=0即·=0
可知BD⊥AC.
故四边形ABCD是菱形.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则
f+f+…+f+f=________.
【解析】因为f(x)===2+.
f(1-x)=2+=2-,
所以f(x)+f(1-x)=4,
所以f+f=4,…,
f+f=4,
所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.
答案:4028
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)
【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.
所以AB∥CD且AB=CD.
又点E,F分别是AB,CD的中点.
所以CF∥AE且CF=AE.
所以四边形AECF为平行四边形.
所以AF∥CE,
又AF?平面PEC,CE?平面PEC.
所以AF∥平面PEC.
答案:平行
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.
因为AC=BC=,AB=2,
所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC
且平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC.
所以DE⊥CE,
由已知得DE=AB=,CE=1.
所以在Rt△CDE中,CD==2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明如下:
当D在平面ABC内时
因为BC=AC,AD=BD,
所以C,D都在AB的垂直平分线上.
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时,
由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,
又DE∩CE=E,
所以AB⊥平面CDE,
又CD?平面CDE.
所以AB⊥CD.
综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.
6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(1)求证:|c|≤1.
(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.
【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.
【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,
所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.
(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,
所以g(-1)≤g(x)≤g(1).
又g(1)=a+b=f (1)-c,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,
所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,
又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,
所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,
所以-2≤g(x)≤2.
当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,
g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.
综上所述,-2≤g(x)≤2.
课时提升作业 四
演绎推理
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·滨州高二检测)“三段论”①只有船准时起航,才能准时到达目的港,②这艘船是准时到达目的港的,③这艘船是准时起航的,其中的大前提是( )
A.① B.②
C.①② D.③
【解析】选A.由演绎推理可知,①是大前提.
2.(2018·福州高二检测)“所有金属都能导电,铁是金属,所有铁能导电”这种推理方法属于 ( )
A.演绎推理 B.类比推理
C.合情推理 D.归纳推理
【解析】选A.由题意知,这种推理包含有大前提、小前提、结论,是演绎推理.
3.(2018·聊城高二检测)“所有9的倍数都是3的倍数,某奇数是9的倍数,故该奇数是3的倍数.”上述推理 ( )
A.小前提错误 B.结论错误
C.正确 D.大前提错误
【解析】选C.因为9是3的倍数,所以某奇数是9的倍数,它一定是3的倍数.
4.(2018·大同高二检测)函数y=xcosx-sinx在下列哪个区间内是增函数
( )
A. B.
C. D.(2π,3π)
【解析】选B.y′=cosx+x(-sinx)-cosx=-xsinx>0,由选项知x>0,所以sinx<0,故π5.(2018·三明高二检测)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)= ( )
A.f(x) B.-f(x)
C.g(x) D.-g(x)
【解析】选D.由给出的例子可以归纳推理得出:若函数f(x)是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),即函数f(x)是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有g(-x)=-g(x).
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·大连高二检测)若不等式ax2+2ax+2<0的解集为,则实数a的取值范围为________.
【解析】①a=0时,不等式变为2<0,显然此不等式解集为.
②a≠0时,需有即解得0综合上述,a的取值范围为.
答案:
7.有一段演绎推理:
大前提:整数是自然数;
小前提:-3是整数;
结论:-3是自然数.
这个推理显然错误,则错误的原因是________错误.(从“大前提”“小前提”“结论”中择一填写).
【解析】自然数是非负整数,因此整数不一定是自然数,即大前提是错误的.
答案:大前提
8.已知f(x)=a-为奇函数,则a=________.
【解析】因f(x)是奇函数,且在x=0处有定义,即f(0)=0.
即a-=0,得a=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)一切奇数都不能被2整除,(22018+1)是奇数,所以(22018+1)不能被2整除.
(2)三角函数都是周期函数,y=tanα是三角函数,因此y=tanα是周期函数;
(3)因为△ABC三边的长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形.
【解析】(1)一切奇数都不能被2整除,……………………………………大前提
22018+1是奇数,…………………………………………………………………小前提
22018+1不能被2整除.…………………………………………………………结论
(2)三角函数都是周期函数,…………………………………………………大前提
y=tanα是三角函数.…………………………………………………………小前提
y=tanα是周期函数.…………………………………………………………结论
(3)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,…大前提
△ABC三边的长依次为3,4,5,
且32+42=52, …………………………………………………………………小前提
△ABC是直角三角形. ………………………………………………………结论
10.(2018·南京高二检测)设m为实数,利用三段论证明方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
【证明】因为如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac>0,
那么方程有两个相异实根. …………………………………………………大前提
Δ=(-2m)2-4(m-1)=4m2-4m+4=(2m-1)2+3>0, ………………………………小前提
所以方程x2-2mx+m-1=0有两个相异实根.
……………………………………………………………………………………结论
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·鞍山高二检测)有一段演绎推理是这样的:“若一直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线b?平面α,直线a?平面α,直线b∥平面α,则直线b∥直线a”的结论显然是错误的,这是因为 ( )
A.大前提错误 B.小前提错误
C.推理形式错误 D.非以上错误
【解析】选A.因“直线与平面平行”,不能推出“直线平行于平面内的所有直线”,即大前提是错误的.
2.(2018·海港高二检测)若平面四边形ABCD满足+=0,(-)·=0,则四边形ABCD一定是 ( )
A.直角梯形 B.矩形
C.正方形 D.菱形
【解析】选D.由+=0可得AB∥CD且AB=CD.
由(-)·=0即·=0
可知BD⊥AC.
故四边形ABCD是菱形.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·重庆高二检测)已知函数f(x)=,则
f+f+…+f+f=________.
【解析】因为f(x)===2+.
f(1-x)=2+=2-,
所以f(x) +f(1-x)=4,
所以f+f=4,…,
f+f=4,
所以f+f+…+f+f=4×1007=4028.
答案:4028
4.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E,F分别为AB,CD的中点,则AF与平面PEC的位置关系是________.(填“相交”或“平行”)
【解析】因为四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形.
所以AB∥CD且AB=CD.
又点E,F分别是AB,CD的中点.
所以CF∥AE且CF=AE.
所以四边形AECF为平行四边形.
所以AF∥CE,
又AF?平面PEC,CE?平面PEC.
所以AF∥平面PEC.
答案:平行
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·临沂高二检测)如图A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=.等边三角形ADB以AB为轴旋转.
(1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD.
(2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论.
【解析】(1)取AB的中点E,连接CE,DE.
因为AC=BC=,AB=2,
所以△ABC为等腰直角三角形,所以CE⊥AB.
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
又平面ADB⊥平面ABC
且平面ADB∩平面ABC=AB,
所以DE⊥平面ABC.
所以DE⊥CE,
由已知得DE=AB=,CE=1.
所以在Rt△CDE中,CD==2.
(2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.
证明如下:
当D在平面ABC内时
因为BC=AC,AD=BD,
所以C,D都在AB的垂直平分线上.
所以AB⊥CD.
当D不在平面ABC内时,
由(1)知AB⊥DE,AB⊥CE,
又DE∩CE=E,
所以AB⊥平面CDE,
又CD?平面CDE.
所以AB⊥CD.
综合上述,当△ADB转动时,总有AB⊥CD.
6.已知a,b,c是实数,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b.当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(1)求证:|c|≤1.
(2)当-1≤x≤1时,求证:-2≤g(x)≤2.
【解题指南】(1)利用f(0)=c结合-1≤x≤1时|f(x)|≤1来证明.(2)先分a>0和a<0两种情况取g(1),g(-1)结合单调性证明再讨论a=0的情况.
【证明】(1)因为x=0满足-1≤x≤1的条件,
所以|f(0)|≤1.而f(0)=c,所以|c|≤1.
(2)当a>0时,g(x)在上是增函数,
所以g(-1)≤g(x)≤g(1).
又g(1)=a+b=f(1)-c,
g(-1)=-a+b=-f(-1)+c,
所以-f(-1)+c≤g(x)≤f(1)-c,
又-1≤f(-1)≤1,-1≤f(1)≤1,-1≤c≤1,
所以-f(-1)+c≥-2,f(1)-c≤2,
所以-2≤g(x)≤2.
当a<0时,可用类似的方法,证得-2≤g(x)≤2.
当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c,
g(x)=f(1)-c,所以-2≤g(x)≤2.
综上所述,-2≤g(x)≤2.
2.1.2 演绎推理
一、基础过关
1．下列表述正确的是 ( )
①归纳推理是由部分到整体的推理；
②归纳推理是由一般到一般的推理；
③演绎推理是由一般到特殊的推理；
④类比推理是由特殊到一般的推理；
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．①②③ B．②③④
C．②④⑤ D．①③⑤
2．下列说法不正确的是 ( )
A．在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，结论必定正确
B．赋值法是演绎推理
C．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断
D．归纳推理的结论都不可靠
3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理 ( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
5．给出演绎推理的“三段论”：
直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提)
已知直线b∥平面α，直线a?平面α；(小前提)
则直线b∥直线a.(结论)
那么这个推理是 ( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
6．下列几种推理过程是演绎推理的是 ( )
A．5和2可以比较大小
B．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质
C．由1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10，…，归纳出1＋2＋3＋…＋n＝
D．预测股票走势图
二、能力提升
7．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)．
8．在求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是当有意义时，a≥0；小前提是有意义；结论是__________________．
9．由“(a2＋a＋1)x>3，得x>”的推理过程中，其大前提是______________．
10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：
其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)．
11．用演绎推理证明函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
12．设a>0，f(x)＝＋是R上的偶函数，求a的值．
三、探究与拓展
13．S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
答案
1．D 2．D 3．C 4．B
5．A 6.A
7．③
8．y＝的定义域是[4，＋∞)
9．a>0，b>c?ab>ac
10．②③
11．证明 大前提：若函数y＝f(x)对于定义域内的任意一个x值满足f(x＋T)＝f(x)(T为非零常数)，则它为周期函数，T为它的一个周期．
小前提：f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|sin x|＝f(x)．
结论：函数f(x)＝|sin x|是周期函数．
12．解 ∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴(a－)(ex－)＝0对于一切x∈R恒成立，
由此得a－＝0，即a2＝1.
又a>0，∴a＝1.
13．证明 如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，
∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥BC.
又∵SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB?平面SAB.
∴AB⊥BC.
