2. 2.2反证法
课前预习学案
一、预习目标：
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些典型问题.
二、预习内容：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．
问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
推进新课
??在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、学习过程：
例1、已知直线和平面，如果，且，求证。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；
证明：因为,
所以经过直线a , b 确定一个平面。
因为，而，
所以 与是两个不同的平面．
因为，且，
所以.
下面用反证法证明直线a与平面没有公共点．假设直线a 与平面有公共点，则，即点是直线 a 与b的公共点，这与矛盾．所以 .
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.
例2、求证：不是有理数
例3、设二次函数， 求证：中至少有一个不小于.
解析：直接证明中至少有一个不小于.比较困难，我们应采用反证法
证明：假设都小于，则
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ( a)b, (1 ( b)c, (1 ( c)a,不可能同时大于
反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
当堂检测：
1. 证明不可能成等差数列．
2．设，求证
证明：假设，则有，从而
因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立。
课后练习与提高
一、选择题
1．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理根，那么中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设都是偶数
Ｂ．假设都不是偶数
Ｃ．假设至多有一个是偶数
Ｄ．假设至多有两个是偶数
2．（1）已知，求证，用反证法证明时，可假设，（2）已知，，求证方程的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根的绝对值大于或等于1，即假设，以下结论正确的是（ ）
Ａ．与的假设都错误
Ｂ．与的假设都正确
Ｃ．的假设正确；的假设错误
Ｄ．的假设错误；的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．
5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．
三、解答题
6．已知实数满足，，求证中至少有一个是负数．
课件31张PPT。2.2.2 反证法 路
边
苦
李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？ 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李. 王戎是怎么知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾.所以假设不成立,李为苦李.1.反证法的定义.
2.反证法的一般步骤. （重点）
3.运用反证法的注意事项. （难点）探究点1 反证法的定义引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°.已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角.
求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°.证明：则有∠ A <60°，∠B < 60°， ∠C <60°所以 ∠A+∠B+∠C<180°所以假设不成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确. 这种证明方法就是——反证法 把这种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明.注：反证法是最常见的间接证法. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾.因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法 否定结论——推出矛盾——肯定结论
即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；反证法的证明过程存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立. 归谬矛盾：
（1）与已知条件矛盾.
（2）与假设矛盾或自相矛盾.
（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾.反证法的思维方法：正难则反.应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些
作为条件使用( )
①结论相反判断，即假设 ②原命题的结论
③公理、定理、定义等 ④原命题的条件
A．①④ B．①②③
C．①③④ D．②③C【即时训练】你能说出下列结论的反面吗?a⊥b
2.d是正数
3.a≥0
4.a∥ba不垂直于bd不是正数,即d≤0 a＜0a不平行b万事开头难，让我们走好第一步！探究点2 反证法的应用常用的互为否定的表述方式：至多有两个至少有两个至少有三个——
最多有一个—— 准确地作出反设(即否定结论)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x, 成立不等于某个用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”
时，应假设________________________________.三角形中有两个或三个角是直角【即时训练】例1 已知直线a，b和平面 ,如果 ,
且 ,求证: .如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一定是锐角.【变式练习】证明：假设结论不成立,则∠B是直角或钝角.当∠B是直角时，则∠B+∠C= 180°，
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；当∠B是钝角时，则∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三个内角和等于180°矛盾；综上所述,假设不成立.所以∠B一定是锐角.分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们
采用反证法.
假设 不是无理数，那么它就是有理数.我们
知道，任一有理数都可以写成形如 （m,n互质，
m∈Z,n∈N*)的形式.下面我们看看能否由此推出矛
盾.反证法的一般步骤先假设命题的结论不成立从假设出发，经过推理得出矛盾否定假设肯定原命题分清条件和结论【总结提升】宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题.（2）某些定理的逆命题.（3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题.（4）关于“唯一性”结论的命题.（8）涉及各种“无限”结论的命题等.（7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段.（6）一些不等量命题的证明.（5）解决整除性问题.证: 假设 M< , 则 |f(1)|=|1+a+b|< , |f(0)|=|b|< ,∴|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|< +2? + =2, 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|<2. ① 又∵|1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥|(1+a+b)-2b+(1-a+b)|=2, 即 |1+a+b|+|-2b|+|1-a+b|≥2,与①式矛盾. ∴假设不成立. ∴ M≥ . |f(-1)|=|1-a+b|< .对于函数 f(x)=x2+ax+b(a, b?R), 当 x?[-1, 1] 时, |f(x)|
的最大值为 M, 求证: M≥ . 【变式练习】1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是( )
A.a
C.a=b D.a≥bB2.实数a,b,c不全为0等价于( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0D3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大
于60°”时,反设正确的是( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°B4．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )
A．一个是正数，一个是负数
B．两个都是正数
C．至少有一个正数
D．两个都是负数C5.用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾,故假设错误;
②所以一个三角形不能有两个直角;
③假设△ABC中有两个直角,不妨设∠A=90°,∠B=90°.
上述步骤的正确顺序为________(填序号).③①②6.已知p3+q3=2,求证p+q≤2.
【证明】假设p+q>2,那么p>2-q,
所以p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3,
将p3+q3=2代入消去p,得6q2-12q+6<0,
即6(q-1)2<0.这与6(q-1)2≥0矛盾,
故假设错误.所以p+q≤2.反证法的一般步骤:假设命题不成立引出矛盾假设不成立求证的命题正确假设归谬结论从假设出发得出结论与假设、已知、定义、定理、公理或者事实矛盾等 沟潭之水，凝滞沉闷，飞瀑之流，奋迅高亢——同是为水，性却异，前者满足安逸，后者进取不已.课件65张PPT。2.2.2
反 证 法 【自主预习】
反证法的定义及证题关键不成立假设错误原命题成立已知条件假设定义定理公理事实【即时小测】
1.命题“△ABC中,若∠A>∠B,则a>b”的结论的否定应该是 ( )
A.ab”的对立面为“a≤b”.2.实数a,b,c不全为0等价于 ( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0【解析】选D.“不全为0”的对立面为“全为0”,故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”.3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,反设正确的是 ( )
A.假设三内角都不大于60°
B.假设三内角都大于60°
C.假设三内角至多有一个大于60°
D.假设三内角至多有两个大于60°【解析】选B.“三个内角至少有一个不大于60°”的含义是有一个,两个或三个内角不大于60°,所以否定是“都大于60°”.4.应用反证法推出矛盾的过程中,要把下列哪些作为条件使用________(填序号).
①结论的否定即反设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论.【解析】根据反证法的定义知①②③均可作为条件使用.
答案:①②③5.设a,b,c,d∈R,且ad-bc=1.
求证:a2+b2+d2+c2+ab+cd≠1.【证明】假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1,
则a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0,
即(a+b)2+(c+d)2+(a-d)2+(b+c)2=0,
所以a+b=0且c+d=0且a-d=0且b+c=0,
所以a=b=c=d=0与ad-bc=1矛盾.
所以假设不成立,原结论成立.【知识探究】
探究点 反证法
1.反证法的“反设”是否命题吗?
提示:不是,反证法的“反设”是对命题结论的否定.2.反证法证题的核心是什么?
提示:核心是推出矛盾.【归纳总结】
1.对反证法的三点说明
(1)反证法不是直接去证明结论,而是先否定结论,在否定结论的基础上,运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性.(2)反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否定是指“逻辑推理的结果否定了假设”.反证法属“间接解题方法”,书写格式易错之处是“假设”易错写成“设”.(3)并非所有问题都可采用反证法证明,只有当问题从正面求解不好处理时或较繁琐时,才考虑反证法.2.反证法证题的本质、常用的反证方法
(1)本质:用反证法证题的实质就是否定结论导出矛盾,从而证明原结论正确.否定结论时,对结论的反面要一一否定,不能遗漏.
(2)常用的反证方法:否定一个反面的反证法称为归谬法,否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法.易错警示:用反证法证题时,“否定结论”在推理论证中作为已知使用,导出矛盾是指在假设的前提下,逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾.类型一 用反证法证明否(肯)定性命题
【典例】1.(2016·武汉高二检测)用反证法证明命题“如果a>b,那么a3>b3”时,假设的内容是 ( )
A.a3=b3 B.a3C.a3≤b3 D.a3+C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故假设错误;②所以一个三角形不能有两个直角;③假设△ABC中有两个直角,不妨设A=B=90°.
上述步骤的正确顺序为________.【解题探究】1.典例1中结论“a3>b3”的反面是什么?
提示:a3≤b3.2.典例2中,①②③在反证法中各是什么?
提示:①是推出矛盾;②作出结论;③是反设.【解析】1.选C.假设的内容应为结论“a3>b3”的否定“a3≤b3”,故选C.
2.根据反证法证题的三步骤:否定结论、导出矛盾、得出结论.
知正确的顺序应为③①②.
答案:③①②【方法技巧】
1.用反证法证明否定性命题的适用类型
结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题,此类问题的正面比较模糊,而反面比较具体,适合使用反证法.2.用反证法证明数学命题的步骤特别提醒:(1)用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的思路步骤,其次注意反证法是在条件较少,直接证明不易入手时常用的方法.
(2)结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”“没有”等词语的否定性命题,结论的反面比较具体,适于应用反证法.
(3)注意否定结论时,要准确无误.【变式训练】(2016·沈阳高二检测)已知三个正数
a,b,c成等比数列但不成等差数列.求证: 不成
等差数列.【证明】假设 成等差数列,则
即a+c+2 =4b,
又a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b=
所以a+c+2 =4 ,即( )2=0,所以a=c,
从而a=b=c,这与已知a,b,c不成等差数列矛盾.
所以假设不正确.故 不成等差数列.类型二 反证法证明“至多”“至少”问题
【典例】(2016·威海高二检测)已知a,b,c∈(0,1),求
证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .【解题探究】典例中“不能都大于”的含义是什么?
提示:“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.【证明】假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于 .
因为a,b,c∈(0,1),
所以1-a>0,1-b>0,1-c>0.
所以
同理 三式相加得
即 ,矛盾.
所以(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 .【延伸探究】
1.已知实数a,b,c∈[0,1],则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的
最大值为 ( )
A. B.1 C. D.2【解析】选B.用构造函数法,选取a为变量,
令f(a)=a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)是关于a的一次函数,
令a=1,得f(1)=1-b+b-bc=1-bc≤1;
令a=0得f(0)=b-bc+c=b+c-bc-1+1
=-(1-b)(1-c)+1≤1,由于一次函数最大值在端点0或1处取得,而f(0),f(1)均小于等于1,所以在[0,1]上,f(a)≤1,即a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)≤1.
则a(1-b)+b(1-c)+c(1-a)的最大值为1.取得最大值的条件是a,b,c中一个为0,一个为1,另一个可以取[0,1]内的任意一个数.2.已知a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.【证明】假设(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a都大于1.
因为a,b,c∈(0,2),
所以2-a>0,2-b>0,2-c>0.
所以
同理 三式相加得
即3>3,矛盾.
所以(2-a)b,(2-b)c,(2-c)a不能都大于1.【方法技巧】证明时常见的“结论词”与“反设词”【补偿训练】用反证法证明:关于x的方程x2+4ax-
4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,当a≤- 或
a≥-1时,至少有一个方程有实数根.【证明】假设三个方程都没有实数根,则由判别式都小于零得解得- 与a≤- 或a≥-1矛盾,故原命题成立.【延伸探究】若关于x的方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a
+12=0,x2+3x-a+ =0中至少有一个方程有实数根,则a
的取值范围是________.【解析】因为三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,
x2+3x-a+ =0中至少有一个方程有实数根,
所以假设这三个方程都没有实数根,则三个方程的判别
式都是负数,所以 所以 所以三个方程x2-4x+2a-3=0,x2-6x+3a+12=0,x2+3x-a
+ =0中至少有一个方程有实数根,则实数a的取值范
围是a≤ 或a≥4.
答案:a≤ 或a≥4类型三 用反证法证明存在性、唯一性问题
【典例】1.在用反证法证明“两条相交直线有且只有一个交点”时的反设应分为________和________.
2.证明方程2x=3有且只有一个根.【解题探究】1.典例1中两直线的交点个数有几种情形?
提示:0、1、无数个.2.典例2中“有且只有”的含义是什么?
提示:“有”表示存在,“只有”表示唯一.【解析】1.两条直线的交点个数包括:没有交点,有且只有一个交点和不只有一个交点.故“有且只有一个交点”的反设应为无交点和不只有一个交点.
答案:无交点 不只有一个交点2.因为2x=3,所以x=log23,这说明方程有一个根.
下面用反证法证明方程2x=3的根是唯一的.
假设方程2x=3有两个根为b1,b2(b1≠b2).
则 =3, =3,两式相除得 =1.
如果b1-b2>0,则 >1,这与 =1相矛盾;
如果b1-b2<0,则 <1,这与 =1相矛盾;如果b1-b2=0,则b1=b2,这与b1≠b2相矛盾.
如果方程2x=3的根多于两个,同样可以推出矛盾.
故2x=3有且只有一个根.【方法技巧】证明“唯一性”问题的方法
“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时,采用直接证明往往会相当困难,因此一般情况下都采用间接证明,即用反证法(假设“有另外一个”,推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”,推出它就是“已知那一个”)证明,而用反证法有时比用同一法更方便.提醒:证明“有且只有”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性.【变式训练】若函数f(x)在区间[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,f(x)在[a,b]上单调递增,求证:f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.
【解题指南】先用零点存在性定理证明存在性,再用反证法证明唯一性.【证明】由于f(x)在[a,b]上的图象连续,且f(a)<0,f(b)>0,即f(a)·f(b)<0,
所以f(x)在(a,b)内至少存在一个零点,设零点为m,则f(m)=0.
假设f(x)在(a,b)内还存在另一个零点n,
即f(n)=0,则n≠m.若n>m,则f(n)>f(m),即0>0,矛盾;
若n因此假设不正确,即f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.【补偿训练】用反证法证明:过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行.【证明】由两条直线平行的定义和几何图形可知,过点A至少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行,即b∩b′=A,b′∥a.因为b∥a,由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′=A矛盾,所以假设错误,原命题成立.自我纠错 用反证法证明问题
【典例】已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0.用反证法证明:关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是对反证法的理解不正确.实际上反证法证明问题的步骤为假设结论不成立,经过推理得出矛盾,否定假设,肯定结论.本解法没有用到假设的结论,不是反证法.正确的解答过程如下:【解析】假设方程x2-2x+5-p2=0有实根.
则该方程的判别式Δ=4-4(5-p2)=4(p2-4)≥0,
解得p≤-2或p≥2,
若p≤-2,则p+2≤0,2p+1<0,
(p+2)(2p+1)≥0,与(p+2)(2p+1)<0矛盾.
若p≥2,则p+2>0,2p+1>0,(p+2)(2p+1)>0,与(p+2)(2p+1)<0矛盾.
所以假设不成立.
故关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实根.课时提升作业 七
反 证 法
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列关于反证法的说法正确的有 ( )
①反证法的应用需要逆向思维;②反证法是一种间接证法,否定结论时,一定要全面否定;③反证法推出的矛盾不能与已知矛盾;④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种情况时,论证一种即可.
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
【解析】选A.容易判断①②正确;反证法推出的矛盾可以与已知条件矛盾,故③错误;当结论的反面出现多种情况时,应对各种情况全部进行论证,故④错误.
2.(2018·山东高考)用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 ( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根,它的反面为0个根.
【解析】选A.“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的含义是方程有根,故反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”
3.(2018·淄博高二检测)已知a>b>0,用反证法证明≥(n∈N*)时.假设的内容是 ( )
A.=成立 B.≤成立
C.<成立 D.<且=成立
【解析】选C.因a>b>0时,,恒有意义,且≥的反面是<.故选C.
4.(2018·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选C.若甲获奖,则甲、乙、丙、丁的话都错误;同理可推知乙、丙、丁获奖情况,最后获奖者应是丙.
5.(2018·济南高二检测)设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 ( )
A.0 B. C. D.1
【解析】选B.三个数a,b,c的和为1,其平均数为,故三个数中至少有一个大于或等于.假设a,b,c都小于,则a+b+c<1,与已知矛盾.故a,b,c中至少有一个数不小于.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·大连高二检测)在△ABC中,若AB=AC,P为△ABC内一点.∠APB>∠APC.求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时,应分:假设________和________两类.
【解析】反证法中对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的反面是∠BAP=∠CAP和∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
7.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________.
【解析】方程解的情况有:①无解;②唯一解;③两个或两个以上的解.
答案:无解或至少两解
8.完成反证法证题的全过程.
题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则________均为奇数.
因奇数个奇数之和为奇数,故有
奇数=__________________?
=__________________?
=0.
但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.
【解析】由假设p为奇数可知a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0为奇数,这与0为偶数矛盾.
答案:a1-1,a2-2,…,a7-7
(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·深圳高二检测)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.
求证:f(x)=0无整数根.
【证明】假设f(x)=0有整数根n,
则an2+bn+c=0,
由f(0)为奇数,即c为奇数,
f(1)为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,
又an2+bn=-c为奇数,
所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,
所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,
所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.
所以f(x)=0无整数根.
【拓展延伸】适用反证法证明的题型
适用反证法证明的题型有:
(1)一些基本命题、基本定理.
(2)易导出与已知矛盾的命题.
(3)“否定性”命题.
(4)“唯一性”命题.
(5)“必然性”命题.
(6)“至多”“至少”类命题.
(7)涉及“无限”结论的命题等.
10.(2018·威海高二检测)已知f(x)=ax+(a>1).
证明:方程f(x)=0没有负数根.
【证明】假设x0是方程f(x)=0的负数根.
则x0<0且x0≠-1,且=-,
因为a>1,所以0<<1,即0<-<1,
解得所以假设不成立,故方程f(x)=0无负数根.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·天津高二检测)用反证法证明命题“已知x1>0,x2≠1,且xn+1=,证明对任意正整数n,都有xn>xn+1”,其假设应为 ( )
A.对任意正整数n,有xn≤xn+1
B.存在正整数n,使xn>xn+1
C.存在正整数n,使xn≤xn+1
D.存在正整数n,使xn≥xn-1且xn≥xn+1
【解析】选C.“任意正整数n”的否定是“存在正整数n”,“xn>xn+1”的否定是“xn≤xn+1”.
2.有以下结论:
①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是 ( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确;②的假设错误
D.①的假设错误;②的假设正确
【解析】选D.用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”,故①假设错误.②假设正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·福州高二检测)用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q.则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”时,假设内容是____________.
【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.
答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
4.(2018·郑州高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.
【解析】若a=,b=,则a+b=1,但a<1,b<1,故①不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故②不能推出.
若a=-2,b=1,则a2+b2>2,故④不能推出.
对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·海淀高二检测)若a,b,c∈R,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.
【证明】假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0.
而a+b+c=++
=x2+y2+z2-2x-2y-2z+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,
这与a+b+c≤0矛盾.
所以a,b,c中至少有一个大于0.
6.(2018·南昌高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项的和Sn.
(2)设bn=.求证:数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则
S3=3a1+3d=9+3,又a1=1+,解得d=2,
所以an=2n+-1,Sn=n(n+).
(2)由(1)得bn==n+,
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列.
则=bp·br,即(q+)2=(p+)·(r+),
即(q2-pr)+(2q-p-r)=0,
所以
即=pr,得(p-r)2=0,
得p=r,与p,q,r互不相等矛盾.
所以数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列.
课时提升作业 七
反 证 法
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列关于反证法的说法正确的有 ( )
①反证法的应用需要逆向思维;②反证法是一种间接证法,否定结论时,一定要全面否定;③反证法推出的矛盾不能与已知矛盾;④使用反证法必须先否定结论,当结论的反面出现多种情况时,论证一种即可.
A.①② B.①③
C.②③ D.③④
【解析】选A.容易判断①②正确;反证法推出的矛盾可以与已知条件矛盾,故③错误;当结论的反面出现多种情况时,应对各种情况全部进行论证,故④错误.
2.(2018·山东高考)用反证法证明命题:“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是 ( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
【解题指南】本题考查了反证法,从问题的反面出发进行假设.一元二次方程根的个数为0,1,2.因此至少有一个实根包含1根或两根,它的反面为0个根.
【解析】选A.“已知a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”的含义是方程有根,故反面是“方程x2+ax+b=0没有实根.”
3.(2018·淄博高二检测)已知a>b>0,用反证法证明≥(n∈N*)时.假设的内容是 ( )
A.=成立 B.≤成立
C.<成立 D.<且=成立
【解析】选C.因a>b>0时,,恒有意义,且≥的反面是<.故选C.
4.(2018·青岛高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手,甲说:“是乙或丙获奖”;乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是乙获奖”,四位歌手的话只有两位是对的,则获奖的歌手是 ( )
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【解析】选C.若甲获奖,则甲、乙、丙、丁的话都错误;同理可推知乙、丙、丁获奖情况,最后获奖者应是丙.
5.(2018·济南高二检测)设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于 ( )
A.0 B. C. D.1
【解析】选B.三个数a,b,c的和为1,其平均数为,故三个数中至少有一个大于或等于.假设a,b,c都小于,则a+b+c<1,与已知矛盾.故a,b,c中至少有一个数不小于.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.(2018·大连高二检测)在△ABC中,若AB=AC,P为△ABC内一点.∠APB>∠APC.求证:∠BAP<∠CAP.用反证法证明时,应分:假设________和________两类.
【解析】反证法中对结论的否定是全面否定,∠BAP<∠CAP的反面是∠BAP=∠CAP和∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
7.命题“关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是________.
【解析】方程解的情况有:①无解;②唯一解;③两个或两个以上的解.
答案:无解或至少两解
8.完成反证法证题的全过程.
题目:设a1,a2,…,a7是由数字1,2,…,7任意排成的一个数列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.
证明:假设p为奇数,则________均为奇数.
因奇数个奇数之和为奇数,故有
奇数=__________________?
=__________________?
=0.
但奇数≠偶数,这一矛盾说明p为偶数.
【解析】由假设p为奇数可知a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数,故(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)=(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)=0为奇数,这与0为偶数矛盾.
答案:a1-1, a2-2,…,a7-7
(a1-1)+(a2-2)+…+(a7-7)
(a1+a2+…+a7)-(1+2+…+7)
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·深圳高二检测)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数.
求证:f(x)=0无整数根.
【证明】假设f(x)=0有整数根n,
则an2+bn+c=0,
由f(0)为奇数,即c为奇数,
f(1)为奇数,即a+b+c为奇数,所以a+b为偶数,
又an2+bn=-c为奇数,
所以n与an+b均为奇数,又a+b为偶数,
所以an-a为奇数,即(n-1)a为奇数,
所以n-1为奇数,这与n为奇数矛盾.
所以f(x)=0无整数根.
【拓展延伸】适用反证法证明的题型
适用反证法证明的题型有:
(1)一些基本命题、基本定理.
(2)易导出与已知矛盾的命题.
(3)“否定性”命题.
(4)“唯一性”命题.
(5)“必然性”命题.
(6)“至多”“至少”类命题.
(7)涉及“无限”结论的命题等.
10.(2018·威海高二检测)已知f(x)=ax+(a>1).
证明:方程f(x)=0没有负数根.
【证明】假设x0是方程f(x)=0的负数根.
则x0<0且x0≠-1,且=-,
因为a>1,所以0<<1,即0<-<1,
解得所以假设不成立,故方程f(x)=0无负数根.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·天津高二检测)用反证法证明命题“已知x1>0,x2≠1,且xn+1=,证明对任意正整数n,都有xn>xn+1”,其假设应为 ( )
A.对任意正整数n,有xn≤xn+1
B.存在正整数n,使xn>xn+1
C.存在正整数n,使xn≤xn+1
D.存在正整数n,使xn≥xn-1且xn≥xn+1
【解析】选C.“任意正整数n”的否定是“存在正整数n”,“xn>xn+1”的否定是“xn≤xn+1”.
2.有以下结论:
①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2;
②已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1,即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是 ( )
A.①与②的假设都错误
B.①与②的假设都正确
C.①的假设正确;②的假设错误
D.①的假设错误;②的假设正确
【解析】选D.用反证法证明问题时,其假设是原命题的否定,故①的假设应为“p+q>2”;②的假设为“两根的绝对值不都小于1”,故①假设错误.②假设正确.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·福州高二检测)用反证法证明“若函数f(x)=x2+px+q.则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”时,假设内容是____________.
【解析】“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于”.
答案:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于
4.(2018·郑州高二检测)设a,b是两个实数,给出下列条件:①a+b=1;②a+b=2;③a+b>2;④a2+b2>2.
其中能推出“a,b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).
【解题指南】可采用特殊值法或反证法逐一验证.
【解析】若a=,b=,则a+b=1,但a<1,b<1,故①不能推出.若a=b=1,则a+b=2,故②不能推出.
若a=-2,b=1,则a2+b2>2,故④不能推出.
对于③,即a+b>2,则a,b中至少有一个大于1.
反证法:假设a≤1且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.
答案:③
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·海淀高二检测)若a,b,c∈R,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+,求证:a,b,c中至少有一个大于0.
【证明】假设a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,
则a+b+c≤0.
而a+b+c=++
=x2+y2+z2-2x-2y-2z+π
=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0,
这与a+b+c≤0矛盾.
所以a,b,c中至少有一个大于0.
6.(2018·南昌高二检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=1+,S3=9+3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项的和Sn.
(2)设bn=.求证:数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,则
S3=3a1+3d=9+3,又a1=1+,解得d=2,
所以an=2n+-1,Sn=n(n+).
(2)由(1)得bn==n+,
假设数列{bn}中存在三项bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列.
则=bp·br,即(q+)2=(p+)·(r+),
即(q2-pr)+(2q-p-r)=0,
所以
即=pr,得(p-r)2=0,
得p=r,与p,q,r互不相等矛盾.
所以数列{bn}中任意不同三项都不可能成等比数列.
2.2.2 反证法
一、基础过关
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是 ( )
①与已知条件矛盾 ②与假设矛盾 ③与定义、公理、定理矛盾 ④与事实矛盾
A．①② B．①③
C．①③④ D．①②③④
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为 ( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
3．有下列叙述：
①“a>b”的反面是“a②“x＝y”的反面是“x>y或x③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；
④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．
其中正确的叙述有 ( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 ( )
A．a，b都能被5整除
B．a，b都不能被5整除
C．a，b不都能被5整除
D．a不能被5整除
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为 ( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都不是偶数
C．a，b，c中至多一个是偶数
D．至多有两个偶数
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是___________________________．
7．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为
__________________．
二、能力提升
8．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝(n＝1,2，…)，试证：“数列{xn}对任意的正整数n都满足xn>xn＋1”，当此题用反证法否定结论时应为 ( )
A．对任意的正整数n，有xn＝xn＋1
B．存在正整数n，使xn＝xn＋1
C．存在正整数n，使xn≥xn＋1
D．存在正整数n，使xn≤xn＋1
9．设a，b，c都是正数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A．都大于2
B．至少有一个大于2
C．至少有一个不小于2
D．至少有一个不大于2
10．若下列两个方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是________．
11．已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，
求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．
12．已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能都大于.
三、探究与拓展
13．已知函数f(x)＝ax＋ (a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．
答案
1．D 2．D 3．B 4．B 5．B
6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
7．a，b不全为0
8．D 9．C
10．a≤－2或a≥－1
11．证明 假设a，b，c，d都是非负数，
因为a＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd>1，这与上式相矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．
12．证明 假设三个式子同时大于，
即(1－a)b>，(1－b)c>，(1－c)a>，
三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>，①
又因为0所以0同理00所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c≤②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．
13．证明 假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)．则有x0<0，且f(x0)＝0.
∴ax0＋＝0?ax0＝－.
∵a>1，∴0解上述不等式，得故方程f(x)＝0没有负数根．
