第三章 数系的扩充与复数的引入
【课题】：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
【学情分析】：
从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充.
学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会复数问题向实数问题转化的方法.
【教学目标】：
（1）知识目标：
理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类.
（2）过程与方法目标：
从为了解决这样的方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i是方程的根.到将i添加到实数集中去,使新引入的数i和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。
（3）情感与能力目标：
通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。
【教学重点】：
复数的概念及其分类。
【教学难点】：
虚数单位i的引入。
【教学突破点】：
从解方程的需要，引入虚数单位i.及虚数单位i与实数的融合。
【教法、学法设计】：
讲授、练习相结合。
【课前准备】：
课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．方程在有理数系没有解，但当把数的范围扩充到实数系后，这个二次方程恰好有两个解：；
2．同学们在解一元二次方程的时候，会遇到判别式的情况。这时在实数范围内方程无解。一个自然的想法是能否把实数系扩大，使这种情况下的方程在更大的数系内有解？
从解方程的实际出发，使学生对数系的扩充有一个更深刻的认识。
二、讲授新课
（1）复数的概念
1．复数的概念：
①形如的数叫复数。其中i叫虚数单位。全体复数所成集合叫复数集。
②复数通常用字母表示。即z=。其中与分别叫做复数z的实部与虚部。
③与相等的条件是且
（2）复数的分类
2．复数的分类：
三、运用新知 ，
体验成功
练习1：
说出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是复数：
写出下列各复数的实部和虚部：
求适合下列方程的和的值：
答案:①实数有: 虚数有: ;复数有:全部.
②实部及虚部依次为:
③
及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习
四、师生互动，继续探究
复数的分类及复数相等条件的运用：
例1.已知复数当为何值时: (1) (2)是虚数; (3)是纯虚数.
例2.已知是虚数,是纯虚数,且满足求
让学生进行数的分类的探究, 对于较为正确的分类，并能说出特征的都将给予肯定，重视个体差异，体现多元评价的思想，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心，增强学生的自信心.然后教师给出规范的分类。
五、分层练习，巩固提高
探究活动：
练习2 ：
①试问取何值时，复数是实数？是虚数？是纯虚数？
②解方程
参考答案：①
②
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、概括梳理，形成系统
（小结）
采取师生互动的形式完成。
即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
采取师生互动的形式完成。
七、布置作业
A组
1.写出下列复数的实部与虚部:
2.求适合下列各方程的实数
B组
参考答案：
A组．1.五个复数的实部与虚部依次为:
2.
3.
B组. 1.A; 2.B; 3..
3.1.1数系的扩充与复数的概念
课前预习学案
课前预习：（1）预习目标：在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用
（2）1) 结合实例了解数系的扩充过程
2）引进虚数单位i的必要性及对i的规定
3)对复数的初步认识及复数概念的理解
（3） 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
学习过程
一、自主学习
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解的问题呢
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、探究以下问题
1、如何解决-1的开平方问题，即一个什么数它的平方等于-1
2、虚数单位i有怎样的性质
3、复数的代数形式
4、复数集C和实数集R之间有什么关系?
5、如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
你对复数的概念有了比较清醒的认识了吗？
对复数a+bi(a,b∈R)的正确分类
复数相等的概念的理解及应用
当堂检测
1. m∈R，复数z=（m-2）(m+5)+(m-2)（m-5）i，则z为纯虚数的充要条件是m的值为 ( )
A.2或5 B.5 C.2或-5 D.-5
2、设a∈R.复数a2-a-6+(a2-3a-10)i是纯虚数,则a的取值为? (??? )
(A)5或-2?????(B)3或-2 (C)-2???????? (D)3
3、如果（2 x- ?y)+(x+3)i=0(x，y∈R)则x+y的值是（ ）
4、
3.1.1数系的扩充与复数的概念
【教学目标】
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用理解复数的基本概念
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件
（3）了解复数的代数表示方法
【教学重难点】
重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定、复数的有关概念
难点：实数系扩充到复数系的过程的理解，复数概念的理解
【教学过程】
一、创设情景、提出问题
问题1：我们知道，对于实系数一元二次方程 ，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？ ?
?
问题2：类比引进 ，就可以解决方程 在有理数集中无解的问题，怎么解决 在实数集中无解的问题呢？
?
问题3：把实数和新引进的数i 像实数那样进行运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到什么样的数？
二、学生活动
1.复数的概念：
⑴虚数单位：数＿＿叫做虚数单位，具有下面的性质：
①＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵复数：形如＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做复数，常用字母＿＿＿表示，全体复数构成的集合叫做＿＿＿＿＿＿，常用字母＿＿＿表示．
⑶复数的代数形式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其中＿＿＿＿叫做复数的实部，＿＿＿叫做复数的虚部，复数的实部和虚部都是＿＿＿数．
(4)对于复数a+bi(a,b∈R),
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数;
当且仅当＿＿＿＿＿时,它是实数0;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做虚数;
当＿＿＿＿＿＿＿时, 叫做纯虚数;
2.学生分组讨论
⑴复数集C和实数集R之间有什么关系?
⑵如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
⑶复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可以用韦恩图表示出来吗？
3.练习：????????????????????????????????????????????????????
(1).下列数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？
2+?2i ,? ?????0.618, ???????2i/7 ,? ???????0,
???5 i +8,? ??????3-9 i
(2)、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
三、归纳总结、提升拓展
例1? 实数m分别取什么值时，复数
z＝m+1＋(m-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解：
?
?
?
归纳总结：
确定复数z＝a＋bi是实数、虚数、纯虚数的条件是：
?
练习：实数m分别取什么值时，复数
z＝m2+m-2＋(m2-1)i
是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
两个复数相等，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等．也就是
a+bi=c+di _______________________（a、b、c、d为实数）
由此容易出：a+bi=0 _______________________
例2已知x +2y +(2x+6)i=3x-2 ,其中，x,y为实数，求x与y．
四、反馈训练、巩固落实
1、若x,y为实数，且 2x -2y+(x+ y)i=x-2 i
求x与y.
?
?
?
?
2、若x为实数，且(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0，求x的值.
课件33张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念 自然数整数有理数实数数 系 的 扩 充负整数分数无理数自然数整数有理数实数数 系 的 扩 充负整数分数无理数加除乘减乘方实数开方1.了解数系的扩充过程.
2.理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件.
（重点）
3.了解复数的代数表示法.（难点） 从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的.
自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前. 探究点1 数系的扩充 负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.刘徽（公元250年前后）数集扩充到整数集 分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.数集扩充到有理数集11边长为1的正方形的对角线长度为多少？？毕达哥拉斯
(约公元前560——480年） 无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”. “无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑. 数集扩充到实数集正数与负数，
有理数与无理数，
都是具有“实际意义的量”，
称之为“实数”，构成实数系统.
实数系统是一个没有缝隙的连续系统.实数集能否继续扩充呢??思考？探究点2 复数的概念平方等于-1的数用符号i来表示。（2）可以和实数一起进行的四则运算, 原有的加法乘法运算律仍成立的 引 入i复数全体组成的集合叫复数集，记作：Cab复数的概念定义：把形如a+bi的数叫做复数（a,b 是实数）虚数纯虚数下列命题中正确的有_____
（1）若 ,则
（2） (x,y为实数)
的充要条件是 （3）1＋ai是一个虚数
（4）若a＝0，则a＋bi为纯虚数变式训练1：（2）例2 已知（x+y）+（x-2y）i=（2x-5）+（3x+y）i，求实数x,y的值.?变式训练2：例3、复数z=i+i2+i3+i4的值是（ ）
A.-１ B.0 C.1 Ｄ.i1.a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（ ）
A.必要条件 B.充分条件
C.充要条件 D.非必要非充分条件
2.以3i-2的虚部为实部，以3i2+3i的实部为虚部
的复数是（ ）
A.-2+3i B.3-3i
C.-3+3i D.3+3iAB3.下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位）的
是（ ）
A.n=2 B.n=3 C.n=4 D.n=5
4.若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，
则实数x的取值范围是________． C-25.我们已知i是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一
个根，那么方程x2=－1的另一个根是________. －i6.复数i2 (1+i)的实部是________.-1解 根据复数相等的定义，得方程组解得1. 虚数单位i的引入，数系的扩充；复数的代数形式:复数的实部、虚部复数相等复数的分类 用心智的全部力量，来选择我们应遵循的道路. ———笛卡尔课件64张PPT。第三章 数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念【自主预习】
1.复数的有关概念
(1)复数
①定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做
_________,满足i2= ___,a叫做复数的_____,b叫做复
数的_____.虚数单位-1实部虚部②表示方法:复数通常用______表示,即___________
_____,这一表示形式叫做复数的代数形式.
字母zz=a+bi(a,b∈R)(2)复数集
①定义:_________所成的集合叫做复数集.
②表示:通常用大写字母C表示.全体复数2.复数的分类
(1)对于复数z=a+bi(a,b∈R)而言,
①z为实数?b=0,
②z为虚数?b≠0,
③z为纯虚数?(2)集合表示:
3.复数相等的充要条件
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di?_________.a=c且b=d【即时小测】
1. i-1的实部和虚部分别是 ( )
A. ,-1 B.-1,
C.1, D. ,1
【解析】选B. i-1=-1+ i=a+bi,
所以实部a=-1,虚部b= .2.3i2+7i的实部为________,虚部为________.
【解析】因为3i2+7i=-3+7i,所以实部为-3,虚部为7.
答案:-3 73.如果复数z=(a2-1)+(a-1)i为纯虚数,则a的值等于________.
【解析】由题意知 解得a=-1.
答案:-14.若x,y为实数且满足(2x-y)i+(x-y)=3+2i,则x=________,y=________.
【解析】由题意知
解得
答案:-1 -4【知识探究】
探究点1 复数的有关概念
1.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗?
提示:不一定,只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部.2.i可以与任何实数作任何运算吗?
提示:不可以.i既然与实数之间建立了四则运算关系,运算与实数一致,由于在实数运算中0不能作除数,故i不可以除以任何实数.【归纳总结】
1.数系扩充的脉络
自然数系→整数系→有理数系→实数系→复数系.2.虚数单位i性质的两个关注点
(1)i2=-1的理解:并没有规定i=± 还是i= 或
i=- .(2)i与实数之间可以进行四则运算:这条性质是数系扩充的原则之一,这里只提到加、乘运算,没提到减、除运算,并不是对减法与除法不成立,而是为了与后面讲复数的四则运算时,只对加法、乘法法则作出规定,而把减法、除法作为加法、乘法的逆运算的做法相一致.特别提醒:数系扩充后在复数的代数形式a+bi的表示中注意a,b∈R这一条件.探究点2 复数的分类
1.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的什么条件?
提示:当a=0,b=0时z=0∈R;a=0,b≠0时,z为纯虚数,所以a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.2.若z1,z2∈R, z12+ z22=0,则z1=z2=0,此命题对z1,z2∈C还成立吗?
提示:不一定成立.比如z1=1,z2=i满足z12+ z22=0,但z1≠0,z2≠0.【归纳总结】
1.复数分类的依据
复数分类的依据是虚数单位i,若含有i则为虚数,不含有i则为实数;对于虚数,若实部为零,则又称其为纯虚数.2.两个复数相等的充要条件
(1)在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di?a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解.
易错警示:两个复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数、或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没有大小关系.类型一 复数的概念
【典例】1.给出下列三个命题:①若z∈C,则z2≥0;
②2i-1虚部是2i;③2i的实部是0.其中真命题的个数
为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.32.(2016·启东高二检测)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________.
3.判断下列命题的真假.
(1)若x,y∈C,则x+yi=1+2i的充要条件是x=1,y=2.
(2)若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应.
(3)实数集的补集是虚数集.【解题探究】1.典例1中虚数的平方是否大于等于0?复数中的虚部是否一定为实数?
提示:虚数的平方不一定大于等于0,复数中的虚部一定为实数.
2.典例2中复数z=a2-(2-b)i的实部与虚部分别是什么?
提示:实部为a2,虚部为-(2-b).3.典例3(1)中数x,y是否一定为实数?
提示:(1)中数x,y不一定为实数,也可能是虚数.【解析】1.选B.对于①,当z∈R时,z2≥0成立,否则不成立,如z=i,z2=-1<0,所以①为假命题;
对于②,2i-1=-1+2i,其虚部为2,不是2i,所以②为假命题;
对于③,2i=0+2i,其实部是0,所以③为真命题.2.由题意得:a2=2,-(2-b)=3,
所以a=± ;b=5.
答案:± ,53.(1)由于x,y都是复数,故x+yi不一定是代数形式,因此不符合两个复数相等的充要条件,故(1)是假命题.
(2)当a=0时,ai=0为实数,故(2)为假命题.
(3)由复数集的分类知,(3)正确,是真命题.【方法技巧】判断与复数有关的命题是否正确的方法
(1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.(2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实、虚部.
特别提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质.【变式训练】下列命题:
①1+i2=0;
②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;
③若x2+y2=0,则x=y=0;
④两个虚数不能比较大小.
其中,正确命题的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选B.对于①,因为i2=-1,所以1+i2=0,故①正确.
对于②,两个虚数不能比较大小,故②错.
对于③,当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,故③错.
④正确.【补偿训练】判断下列命题的真假.
(1)复数a+bi不是实数.
(2)(a+bi)2≥0.
(3)复数z=3+bi>0(b∈R),则b=0.【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假.
(1)是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+bi是实数.
(2)假命题,当b≠0时,(a+bi)2是虚数,与零不能比较大小.
(3)只有实数才可以比较大小,既然有3+bi>0,则说明z=3+bi为实数,故b=0,(3)是真命题.类型二 复数的分类
【典例】(2016·青岛高二检测)当实数m为何值时,复
数z= +(m2-2m)i为(1)虚数.(2)纯虚数.【解题探究】复数z=a+bi(a,b∈R),在什么条件下z为虚数?在什么条件下为纯虚数?
提示:当b≠0时z为虚数,当a=0,b≠0时z为纯虚数.【解析】(1)要使z为虚数,则m必须满足m2-2m≠0,且m≠0,
即m≠0且m≠2,所以当m≠0且m≠2时复数z是虚数.
(2)要使z为纯虚数,
则m必须满足 解得m=-3,
即当m=-3时,复数z是纯虚数.【延伸探究】
1.条件不变,当m为何值时z为实数?
【解析】要使z为实数,则m必须满足 解得m=2,
即当m=2时,复数z是实数.【解析】(1)当z为虚数时,a的取值满足
所以a≠±1且a≠6.2.将复数改为 求相应的问题.(2)当z为纯虚数时,a的取值满足
所以 所以不存在实数a使z为纯虚数.【方法技巧】解决复数分类问题的方法与步骤
(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),
①z为实数?b=0;
②z为虚数?b≠0;③z为纯虚数?a=0且b≠0.【拓展延伸】复数分类的应用
(1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解决复数问题的重要思路之一.【补偿训练】实数m取什么值时,复数z=(m2-3m+2)+
(m2-4)i是:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.【解析】(1)要使z为实数,必须有m2-4=0,得m=-2或m=2,即当m=-2或m=2时,z为实数.
(2)要使z为虚数,必须有m2-4≠0,即m≠-2且m≠2,故当m≠-2且m≠2时,z为虚数.(3)要使z为纯虚数,必须有
所以
所以m=1,所以当m=1时,z为纯虚数.类型三 复数相等
【典例】1.已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-
(3-y)i,则x=________,y=________.
2.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},同时满足M∩N M,M∩N≠ ,求整数a,b.【解题探究】1.复数(2x-1)+i的实部与虚部分别是多少?复数-y-(3-y)i的实部与虚部分别是多少?
提示:复数(2x-1)+i的实部为2x-1,虚部为1;复数-y-(3-y)i的实部为-y,虚部为-(3-y).2.由条件M∩N M,M∩N≠?能得到的结论是什么?
提示:M∩N M知两个集合M,N不能相等.由M∩N≠?能
得到两个集合M,N中有公共元素.【解析】1.由复数相等的充要条件得
解得
答案:- 42.由条件M∩N M,M∩N≠?,
得(a+3)+(b2-1)i=3i;①
或8=(a2-1)+(b+2)i.②
或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i.③
由①得a=-3,b=±2,
当a=-3,b=2时,M={3i,8},N={3i,8+4i}满足题意.经检验,a=-3,b=-2不合题意,舍去.
由②得b=-2,a=-3或b=-2,a=3,
当b=-2,a=-3时不合题意,舍去.
当b=-2,a=3时,M={6+3i,8},N={3i,8}满足题意.
由③得 得a,b不是整数舍去.
故a=-3,b=2或a=3,b=-2.【方法技巧】化复为实转化求解
应用两个复数相等的充要条件时,首先要把“=”左右两侧的复数写成代数形式,即分离出实部与虚部,然后确定两个独立参数方程,化复数问题为实数问题.【变式训练】已知x,y∈R,(x+2y-1)+(x-3y+4)i=10-5i,求x,y.【解析】因为x,y∈R,所以x+2y-1,x-3y+4是实数,所以由复数相等的条件得
解得 所以x=3,y=4.【补偿训练】已知P={-1,1,4i},M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i}.若M∪P=P,求实数m的值.
【解析】因为M∪P=P,所以M?P,
即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得m2-2m=-1,m2+m-2=0,解得m=1.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-4i得m2-2m=0,m2+m-2=4,解得m=2.
综上可知,m=1或m=2.
自我纠错 复数概念的理解
【典例】在下列命题中,正确命题的个数是 ( )
(1)两个复数不能比较大小.
(2)若z1和z2都是虚数,且它们的虚部相等,则z1=z2.
(3)若a,b是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i必为纯虚数.
A.0 B.1 C.2 D.3【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是对基本概念的理解不到位,实际上两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等,一个复数为纯虚数的条件是实部为零虚部不为零,两个复数都为实数时可以比较大小.正确的解答过程如下:【解析】选A.两个复数,当它们都是实数时,是可以比较大小的,故(1)是错误的;
设z1=a+bi(a,b∈R,b≠0),z2=c+di(c,d∈R,且d≠0),因为b=d,所以z2=c+bi.当a=c时,z1=z2,当a≠c时,z1≠z2,故(2)是错误的;
(3)当a=b≠0时,(a-b)+(a+b)i是纯虚数,当a=b=0时,(a-b)+(a+b)i=0是实数,故(3)错误.课时提升作业(八)
数系的扩充和复数的概念
(25分钟 60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为 ( )
A.1 B.±1 C.-1 D.-2
【解题指南】根据复数的概念,列方程求解.
【解析】选A.由x2-1=0得,x=±1,
当x=-1时,x2+3x+2=0,不合题意,
当x=1时,满足,故选A.
【一题多解】本题还可用以下方法求解:
选A.检验法:x=1时,原复数为6i,满足;
x=-1时,原复数为0,不满足,
当x=-2时,原复数为3,不满足.故选A.
2.(2018·银川高二检测)已知x，y∈R，且(x+y)+2i=4x+(x-y)i，则( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由复数相等的条件得解得
【补偿训练】已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i.求实数x，y的值.
【解析】因为x，y是实数，所以
解得
3.(2018·临沂高二检测)若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+isinθ，z1=z2，则θ等于( )
A.kπ(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)
C.2kπ±(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)
【解题指南】由复数相等的定义，列方程组求解.
【解析】选D.由z1=z2，可知
所以cosθ=，sinθ=.
所以θ=+2kπ，k∈Z，故选D.
【补偿训练】1.已知复数z1=m+(4+m)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+3cosθ)i(λ∈R)，若z1=z2，则λ的取值范围是 .
【解析】因为z1=z2，所以
所以λ=4-cosθ.
又因为-1≤cosθ≤1.
所以3≤4-cosθ≤5.
所以λ∈.
答案：
2.已知复数z1=x+2+(y+1)i，z2=2014+2018i，x，y∈R，若z1=z2，求x和y的值.
【解析】根据复数相等的充要条件a+bi=c+di?a=c且b=d(a，b，c，d∈R)，可得解得
4.已知关于x的方程x2-6x+9+(a-x)i=0(a∈R)有实数根b,则实数ab的值为
( )
A.1 B.3 C.-3 D.9
【解析】选D.将b代入题设方程,整理得(b2-6b+9)+(a-b)i=0,则b2-6b+9=0且a-b=0,解得a=b=3,ab的值为9.
5.下列说法正确的是( )
A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B.若a，b∈R且a>b，则ai>bi
C.如果复数x+yi是实数，则x=0，y=0
D.当z∈C时，z2≥0
【解析】选A.由两个复数相等的充要条件知这两个复数的实部与虚部分别相等，即它们的实部差与虚部差都为0.故A正确；两个复数都是实数时才能比较大小，故B错误；复数x+yi∈R?故C错误；当z=i时，z2=-1<0，故D错误.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.已知a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,a的值为 .
【解析】因为a∈R,且(a-2)+(a2-a-2)i=0,
所以解得a=2.
答案:2
【误区警示】在某一复数等于0时,要保证实部、虚部均为0.
7.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i为虚数单位,则a2+b2= .
【解析】因为2+ai=b-i(a,b∈R),
所以a=-1,b=2,所以a2+b2=5.
答案:5
8.给出下列说法:
①复数由实数、虚数、纯虚数构成;
②满足x2=-1的数x只有i;
③形如bi(b∈R)的数不一定是纯虚数;
④复数m+ni的实部一定是m.
其中正确说法的个数为 .
【解析】③中b=0时bi=0不是纯虚数.故③正确.①中复数分为实数与虚数两大类;②中平方为-1的数为±i;④中m,n不一定为实数,故①②④错误.
答案:1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.复数z=(m2-5m+6)+(m2+3m-10)i(m∈R),求满足下列条件的m的值.
(1)z是实数.(2)z是虚数.(3)z是纯虚数.
【解析】(1)若z是实数,
则m2+3m-10=0,
解得m=2或m=-5.
(2)若z是虚数,
则m2+3m-10≠0,
解得m≠2且m≠-5.
(3)若z是纯虚数,则解得m=3.
10.集合M={1，2，(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i}，N={3，10}，且M∩N≠?，求实数m的值.
【解题指南】通过M∩N≠?可得出(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i的值，再利用复数相等的充要条件求解.
【解析】因为M∩N≠?，所以(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3或
(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10，
由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=3得
解得m=-2.
由(m2-2m-5)+(m2+5m+6)i=10得
解得m=-3.
所以m的值为-2或-3.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.(2018·唐山高二检测)已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合P={-1,3},M∩P={3},则实数m的值为 ( )
A.-1 B.-1或4 C.6 D.6或-1
【解题指南】应从M∩P={3}来寻找解题的突破口.
【解析】选A.因为M∩P={3},所以(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i=3.
所以所以m=-1,故选A.
2.复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则有 ( )
A.a≠0 B.a≠2
C.a≠-1且a≠2 D.a=-1
【解析】选D.只需即a=-1时,复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)为纯虚数.
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,则k= .
【解析】因为z<0,所以z∈R,
故虚部k2-5k+6=0,(k-2)(k-3)=0,
所以k=2或k=3,但k=3时,z=0,故k=2.
答案:2
【补偿训练】若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，则实数x的值是 .
【解析】因为log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1，所以解得x=-2.
答案：-2
4.复数z=cos+sini,且θ∈,若z是实数,则θ的值为 ;若z为纯虚数,则θ的值为 .
【解析】z=cos+sini=-sinθ+icosθ,
当z是实数时,cosθ=0,
因为θ∈,所以θ=±;
当z为纯虚数时
又θ∈,所以θ=0.
答案:± 0
三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2018·天津高二检测)已知复数z=+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什么值时,z分别为:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
【解题指南】根据复数z为实数、虚数、纯虚数的条件,分别求出相应的a的值.
【解析】(1)当z为实数时,
则有所以
所以a=6,即a=6时,z为实数.
(2)当z为虚数时,
则有a2-5a-6≠0且有意义,
所以a≠-1且a≠6且a≠±1,
所以a≠±1且a≠6.
所以当a∈(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,6)∪(6,+∞)时,z为虚数.
(3)当z为纯虚数时,有
所以
所以不存在实数a使z为纯虚数.
【误区警示】解答本题注意使式子有意义的条件限制,防止在(1)(2)问解答中因忽视a≠±1而导致错误.
6.设z1=m2+1+(m2+m-2)i,z2=4m+2+(m2-5m+4)i,若z1【解析】由于z1所以z1∈R且z2∈R,
当z1∈R时,m2+m-2=0,m=1或m=-2.
当z2∈R时,m2-5m+4=0,m=1或m=4,
所以当m=1时,z1=2,z2=6,满足z1所以z1【补偿训练】如果m为实数，z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i，z2=4m+2+(m3-5m2+4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1【解题指南】由于z1，z2可以比较大小，故其一定是实数.
【解析】z1>z2或z1所以当z1>z2时，
有
由①②两个式子解得m=0，不能满足最后一个式子，所以使z1>z2的m的值的集合为空集.
由上面可知，当m=0时，m2+1<4m+2，
所以使z1§3.1 数系的扩充与复数的引入
第一课时
一、基础过关
1．“复数a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”是“a＝0”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列命题正确的是 ( )
A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数
B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i
C．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1
D．两个虚数不能比较大小
3．以－＋2i的虚部为实部，以i＋2i2的实部为虚部的新复数是 ( )
A．2－2i B．－＋i
C．2＋i D.＋i
4．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为 ( )
A. B．2 C．0 D．1
5．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为 ( )
A．－1 B．0
C．1 D．－1或1
二、能力提升
6．若sin 2θ－1＋i(cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为 ( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.π＋(k∈Z)
7．z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
8．给出下列几个命题：
①若x是实数，则x可能不是复数；
②若z是虚数，则z不是实数；
③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；
④－1没有平方根．
则其中正确命题的个数为________．
9．已知集合M＝{1,2，(a2－3a－1)＋(a2－5a－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数
a＝________.
10．实数m分别为何值时，复数z＝＋(m2－3m－18)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
11．已知(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，求实数x，y的值．
12．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1三、探究与拓展
13．如果log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，如何求自然数m，n的值？
答案
1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B
7．2 ±2
8．1
9．－1
10．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.
故若使z为实数，则，
解得m＝6.所以当m＝6时，z为实数．
(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0.
故若使z为虚数，则m2－3m－18≠0，且m＋3≠0，
所以当m≠6且m≠－3时，z为虚数．
(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0.
故若使z为纯虚数，
则，
解得m＝－或m＝1.
所以当m＝－或m＝1时，z为纯虚数．
11．解 ∵(2x－y＋1)＋(y－2)i＝0，
∴解得
所以实数x，y的值分别为，2.
12．解 由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z113．解 因为log(m＋n)－(m2－3m)i>－1，所以log(m＋n)－(m2－3m)i是实数，从而有
由①得m＝0或m＝3，
当m＝0时，代入②得n<2，又m＋n>0，所以n＝1；
当m＝3时，代入②得n<－1，与n是自然数矛盾，
综上可得m＝0，n＝1.
