3. 1.2复数的几何意义
课前预习学案
课前预习：
1、复数与复平面的点之间的对应关系
复数模的计算
共轭复数的概念及性质
4、 提出疑惑：
通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质
学习过程
一、自主学习
阅读 课本相关内容，并完成下面题目
1、复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是 的
2、 叫做复平面， x轴叫做 ，y轴叫做
实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
3、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 复平面内的点 平面向量
4、共轭复数
5、复数z=a+bi(a、b∈R)的模
二、探究以下问题
1、实数与数轴上点有什么关系？类比实数，复数是否也可以用点来表示吗？
2、复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
3、复数的几何意义你是怎样理解的？
4、复数的模与向量的模有什么联系？
5、你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？
三、精讲点拨、有效训练
见教案
反思总结
1、你对复数的几何意义的理解
2、复数的模的运算及含义
3共轭复数及其性质
当堂检测
判断正误
实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
（2） 若|z1|=|z2|，则z1=z2
（3） 若|z1|= z1，则z1>0
2、（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知a，判断z=所对应的点在第几象限
4、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数
3.1.2复数的几何意义
【教学目标】
1. 理解复数与复平面的点之间的一一对应关系
2.理解复数的几何意义 并掌握复数模的计算方法
3、理解共轭复数的概念，了解共轭复数的简单性质
【教学重难点】
复数与从原点出发的向量的对应关系
【教学过程】
一、复习回顾
（1）复数集是实数集与虚数集的
（2）实数集与纯虚数集的交集是
（3）纯虚数集是虚数集的
（4）设复数集C为全集，那么实数集的补集是
（5）a，b．c．d∈R，a+bi=c+di
（6）a=0是z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的 条件
二、学生活动
1、阅读 课本相关内容，并完成下面题目
（1）、复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是 的
（2）、 叫做复平面， x轴叫做 ，y轴叫做
实轴上的点都表示 虚轴上的点除原点外，虚轴上的点都表示
（3）、复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数 复平面内的点 平面向量
（4）、共轭复数
（5）、复数z=a+bi(a、b∈R)的模
2、学生分组讨论
（1）复数与从原点出发的向量的是如何对应的？
（2）复数的几何意义你是怎样理解的？
（3）复数的模与向量的模有什么联系？
（4）你能从几何的角度得出共轭复数的性质吗？
3、练习
（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i
（2）、已知复数=3-4i，=，试比较它们模的大小。
（3）、若复数Z=4a+3ai(a<0)，则其模长为
（4）满足|z|=1(z∈R)的z值有几个？满足|z|=1(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
三、归纳总结、提升拓展
例1．（2007年辽宁卷）若，则复数在复平面内所对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
复数z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它们在复平面上的对应点是一个平行四边形的三个顶点，求这个平行四边形的第四个顶点对应的复数.
例3.设Z为纯虚数，且，求复数
四、反馈训练、巩固落实
判断正误
实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数
（2） 若|z1|=|z2|，则z1=z2
（3） 若|z1|= z1，则z1>0
2、（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
3、已知a，判断z=所对应的点在第几象限
4、设Z为纯虚数，且|z+2|=|4-3 i |，求复数
第三章 数系的扩充与复数的引入
【课题】：3.1.2 复数的几何意义
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了.
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；
（2）过程与方法：
在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；
（3）情感态度与价值观：
培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。
【教学重点】：
复数的代数形式和复数的向量表示.
【教学难点】：
复数的向量表示.
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、问题引入
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？
提出问题,激发学生学习兴趣
二、学生活动
问题1 复数相等的充要条件表明，任何一个复数都可以由一个有序实数对（a，b）惟一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？
问题2 我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、 A为终点的向量是一 一 对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？
从实数的集合一一（用数轴上的点来表示）类比联想提出复数几何意义的问题后，让学生尝试、探索用直角坐标系中的点来表示复数
三、建构数学
师生共同活动：
1．在平面直角坐标系中，以复数的实部为横坐标、虚部为纵坐标就确定了点，我们可以用点来表示复数，这就是复数的几何意义。
2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面（也称为高斯平面），轴叫做实轴，轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
3．因为复平面内的点与以原点为起点、为终点的向量一 一对应（实数0与零向量对应），所以我们也可以用向量来表示复数，这也是复数的几何意义。
4． 根据上面的讨论，我们可以得到复数、复平面内的点和平面向量之间的关系（见下图）。今后，常把复数说成点或向量（并且规定相等的向量表示同一个复数）。
5．相对于复数的代数形式，我们把点称为复数的几何形式，向量称为复数的向量形式。并且规定，相等的向量表示同一个复数。
师生共同讨论,有助于学生对复数的几何意义的理解
用图形表示三者之间的关系,使学生加深印象.
四、数学运用
运用1
（1）例1 在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2+i，-i，-1+3i，3-2i.
（2）P118练习1(口答)
问题3 我们知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度.相应地,我们可以给出复数的模(或绝对值）的概念吗？
向量的模叫做复数的模（或绝对值），记作︱︱或︱︱。由模的定义可知︱︱=︱︱=。
运用2
例2 实数m取什么值时，复平面内表示复数的点
（1）位于第四象限？ （2）位于第一、三象限？
（3）位于直线上？
巩固练习：
1.设,
(1)若是虚数,求的范围;
(2)若在复平面对应的点在第三象限,求的范围.
2.在复平面内， 是原点，向量对应的复数是.
(1)如果点A关于实轴的对称点为点B,求向量对应的复数;
(2)如果（1）中点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数.
通过例题的讲解和分析，提高学生分析问题和解决问题的能力。
培养学生思维的灵活性和深刻性。
巩固知识，培养技能.
五、小结
1.由实数用数轴上的点来表示,,类比联想到复数可用复平面上的点来表示,进而得到复数的向量形式,这是由一维到二维的联想,同时实现了从”数”到”形”的转化.
2．通过复数的几何意义的学习 ,体会数形结合的思想.复数作为一种新的数学语言,也将为我们今后用代数的方法解决几何问题提供了可能.
回顾反思
作业
1、在复平面内，复数对应的点位于 （ B ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2、复数在复平面内，所对应的点在 （ B ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
在复平面内指出与复数 对应的点.试判断这四个点是否在同一个圆上？并证明你的结论.
解：因为
︱︱=，︱︱=，︱︱=，︱︱=，
所以，这四个点都在以圆点为圆心，半径为的圆上.
4、如果P是复平面内表示表示复数+bi（a，bR）的点，分别指出在下列条件下点P的位置：
（！）>0，b>0; (2) <0,b>o; (3)=0,b0; (4)b<0.
解：（1）第一象限 （2）第二象限 （3）位于原点或虚轴的下半轴上
（4）位于实轴下方
5、如果复数的实部为正数，虚部为3，那么在复平面内，复数对应的点应位于怎样的图形上？
解：平面直角坐标系中以（0，3）为端点的一条射线，但不包括端点（0，3）
6、已知复数的虚部为，在复平面内复数对应的向量的模为2，求该复数.
解：由已知，设
则解得 1.
所以
课件25张PPT。3.1.2 复数的几何意义 在几何上，我们用什么来表示实数?实数可以用数轴上的点来表示.实数 数轴上的点 (形)(数)一一对应 想一想？复数的一般形式一个复数又该怎样表示呢？回忆…实部虚部(a, b∈R)1.类比实数的几何意义思考复数的几何意义.
2.明确复数的两种几何意义.（重点、难点）
3.了解复数模的意义.复数z=a+bi有序实数对(a,b)一一对应一一对应探究点1 复数的几何表示Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示复数的平面——复平面x轴——实轴y轴——虚轴z=a+bi这是复数的一种几何意义.A.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；
B.在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；
C.在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；
D.在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数.下列命题中的假命题是（ ）D【即时训练】【解题关键】虚轴上的点除原点外都表示纯虚数。 实轴上的点表示实数，虚轴上的点除原点外都表示纯虚数，各象限内的点表示实部不为零的虚数.总结提升
一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？复数z=a+bi有序实数对(a,b)一一对应一一对应一一对应探究点2 复数的向量表示Z(a,b)z=a+bi这是复数的又一种几何意义.复数的模其实是实数绝对值概念的推广xOz=a+biy|z|=r=|OZ|探究点3 复数的模的几何意义: 复数 z=a+bi的模r就是复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离.Z(a,b)【总结提升】虚数不能比较大小，但模可以比较大小。若复数z(x,y)对应点集为圆: 试求│z│的最大值与最小值.o121131变式训练：例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 确定复数对应点在复平面内位置，关键是理解好复数与该点的对应关系，实部就是该点横坐标，虚部就是该点的纵坐标，从而列方程或不等式求解。【总结提升】解：因为复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2） 所以(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 所以m=1或m=-2变式训练2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。1．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点
在虚轴上”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.不充分不必要条件C2. 在复平面内，描出下列各复数的点：xyO⑴ 2＋5i;⑵ －3＋2i;⑶ 2－4i;⑷－3－i;⑸ 5;⑹ －3i．xyO⑵⑷⑶⑸⑴⑹⑴ 2＋5i;⑵ －3＋2i;⑶ 2－4i;⑷－3－i;⑸ 5;⑹ －3i．3.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围. D表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想1. 数学知识：2. 几何意义：(1)复数相等(2)复平面(3)复数的模(2)向量（a,b）(1)点（a,b）3. 数学思想：(1)转化思想(2)数形结合思想(3)类比思想 明德、新民、止于至善，以及格物、致知、诚意、正心、修身、齐家、治国、平天下.课件64张PPT。3.1.2
复数的几何意义【自主预习】
1.复平面实轴虚轴2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点
Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量
(O为坐标原点).3.复数的模
(1)定义:向量 的___r叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的模.
(2)记法:复数z=a+bi的模记为____________.
(3)公式:|z|=|a+bi|=r=____________(r≥0,r∈R).模|z|或|a+bi|【即时小测】
1.已知a,b∈R,那么在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点的位置关系是 ( )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【解析】选B.在复平面内对应于复数a-bi,-a-bi的两个点为(a,-b)和(-a,-b),关于y轴对称.
2.(2017·保定高二检测)已知i为虚数单位,则复数-1-i对应的点位于坐标平面内 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选C.复数-1-i对应的点的坐标为(-1,-1),位于坐标平面内的第三象限.3.复数z与它的模相等的充要条件是 ( )
A.z为纯虚数 B.z是实数
C.z是正实数 D.z是非负实数
【解析】选D.因为z=|z|,所以z为实数且z≥0.4.在复平面内,O为原点,向量 对应的复数为-1+2i,
若点A关于直线y=-x的对称点为B,则向量 对应的复
数为 ( )
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i【解析】选B.因为A(-1,2)关于直线y=-x的对称点为
B(-2,1),所以向量 对应的复数为-2+i.5.已知复数z=a+i(其中a∈R,i为虚数单位)的模为|z|=2,则a等于 ( )
A.1 B.±1
C. D.±
【解析】选D.因为|z|=2,所以a2+1=4,所以a=± .6.设z=a+bi(a,b∈R)和复平面内的点Z(a,b)对应,当b=________时,点Z位于实轴上.
【解析】当b=0时,复数z=a+bi=a为实数,即落在实轴上.
答案:0【知识探究】
探究点1 复数的几何意义
1.原点O在虚轴上,数0是否也可以看作虚数?
提示:不可以.数0为实数,不是虚数.2.实数可用数轴上的点来表示,类比一下,复数怎样来表示呢?
提示:任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都和一个有序实数对(a,b)一一对应,因此,复数集与平面直角坐标系中的点集一一对应.【归纳总结】
1.复平面、实轴、虚轴与复数的对应
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应:点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示.
(2)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.(3)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.(4)象限内的点与复数的对应:
①第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正;
②第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正;
③第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负;
④第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负.2.复数几何意义的两个注意点
(1)复数与复平面上的点:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应
点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).
(2)复数与向量的对应:复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向
量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应,因为复
平面上与 相等的向量有无数个.探究点2 复数的模
1.复数的模可以等于该复数吗?
提示:可以,当复数为正实数和0时就可以.
2.任意两个复数的模能比较大小吗?
提示:复数的模为实数,故能比较大小.【归纳总结】
对复数模的三点说明
(1)数学上所谓大小的定义是,在(实)数轴上右边的比左边的大,而复数的表示要引入虚数轴,在平面上表示,所以也就不符合关于大和小的定义,而且定义复数的大小也没有什么意义,所以我们说两个复数不能比较大小.(2)数的角度理解:复数a+bi(a,b∈R)的模|a+bi|=
,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实
数,可以比较大小.
(3)几何角度理解:表示复数的点Z到原点的距离.|z1-
z2|表示复数z1,z2对应的点之间的距离.易错警示:两个复数不能比较大小,但是复数的模能比较大小.
类型一 复数与复平面内点的关系
【典例】1.(2016·潍坊高二检测)复数z= +i2对
应的点在复平面的( )
A.第一象限内 B.实轴上
C.虚轴上 D.第四象限内2.在复平面内表示复数z=(m-3)+2 i的点在直线y=x
上,则实数m的值为________.3.在复平面内,若复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点
(1)在虚轴上.
(2)在第二象限.
(3)在直线y=x上.
分别求实数m的取值范围.
【解题探究】1.典例1中复数对应的点是什么？
提示：( -1，0).2.典例2中复数对应的点有什么特点?
提示:复数对应的点坐标中横坐标与纵坐标相等.
3.典例3中复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i对应点的坐标是什么?
提示:(m2-m-2,m2-3m+2).【解析】1.选B.因为z= +i2= -1∈R，
所以z对应的点在实轴上.
2.复数z在复平面上对应的点为(m-3,2 ),
所以m-3=2 ,即m-2 -3=0.解得m=9.
答案:93.复数z=(m2-m-2)+(m2-3m+2)i的实部为m2-m-2,虚部为m2-3m+2.
(1)由题意得m2-m-2=0.
解得m=2或m=-1.(2)由题意得
所以 所以-1
(3)由已知得m2-m-2=m2-3m+2.所以m=2.【延伸探究】将典例2中“复数z=(m-3)+2 i的点在
直线y=x上”改为“复数z=(m-3)+2 i的点在直线
y=2x+2上”,求m的值.
【解析】复数z在复平面上对应的点为(m-3,2 ),
所以2(m-3)+2=2 ,即m- -2=0.解得m=4.【方法技巧】利用复数与点的对应解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
特别提醒:复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示.
【变式训练】已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点在第二象限,求实数x的取值范围.
【解题指南】根据复数在复平面内对应点所在的象限,确定实部和虚部对应的不等式,由不等式组求出x的取值范围.【解析】复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内对应的点的坐标为(x2-6x+5,x-2),因在第二象限,
所以有
故实数x的取值范围是2【典例】复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在复平面内对应的点分别为A,B,C,若∠BAC是钝角,求实数c的取值范围.【解题探究】典例中复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i
对应点的坐标分别是多少?两点间的距离公式是什么?
提示:复数z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i对应点的坐标分
别是A(3,4),B(0,0),C(c,2c-6),A(x1,y1),B(x2,y2)两
点间的距离公式|AB|= 【解析】在复平面内三点坐标分别为A(3,4),B(0,0), C(c,2c-6),由∠BAC是钝角,得cos∠BAC<0,且A,B,C不共线,
cos∠BAC=
即|AB|2+|AC|2-|BC|2<0.由两点间的距离公式,得25+(3-c)2+(4-2c+6)2-[c2+(2c-6)2]<0,解得c> .
其中当c=9时,此时A,B,C三点共线,故c≠9.
所以c的取值范围是 【延伸探究】
1.若∠BAC为锐角,求实数c的取值范围.
【解析】要使∠BAC为锐角,由余弦定理得
|AB|2+|AC|2-|BC|2>0,且A,B,C不共线,
25+(3-c)2+(4-2c+6)2-[c2+(2c-6)2]>0,
解得 2.在本例中,求|z1+z3|的最小值.
【解析】z1+z3=c+3+(2c-2)i,
|z1+z3|2=(c+3)2+(2c-2)2=5c2-2c+13
当c= 时, |z1+z3|2取得最小值 即|z1+z3|的最小值为 【方法技巧】求解关于复数模最值问题的两种方法
(1)转化为函数式求最值:将z=x+yi(x,y∈R)直接代入所要求的式子中去,把所要求的模用x,y的函数表示出来,转化为函数最值问题.(2)数形结合求最值:因为复数和图形有着密切的关系,可以利用这种关系把所给条件转化为图形直观地求出最大值和最小值.
【补偿训练】设z∈C,满足下列条件的点Z的集合分别是什么图形?
(1)|z|=4.
(2)2<|z|<4.
【解题指南】根据复数的模的几何意义判定复数z对应点Z的集合所构成的图形.【解析】(1)复数z的模等于4,就是说,向量 的模等
于4,所以满足条件|z|=4的点Z的集合是以原点O为圆心,
以4为半径的圆.(2)2<|z|<4可化为不等式组
不等式|z|<4的解集是圆|z|=4内部所有的点组成的集合,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是不等式组 所表示的集合.容易看出,点Z的集合是以原点O为圆心,以2及4为半径的圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.类型三 复数与平面向量的一一对应
【典例】1.向量 对应的复数是5-4i,向量 对应
的复数是-5+4i,则 对应的复数是 ( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i2.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,
-1+2i.
(1)求向量 对应的复数.
(2)判定△ABC的形状.【解题探究】1.典例1中 怎样用坐标表示?
提示: =(5,-4), =(-5,4).
2.典例2中 对应的复数怎样求?
提示: 【解析】1.选C.因为向量 对应的复数是5-4i,向量
对应的复数是-5+4i,所以 =(5,-4), =(-5,4),
所以 =(5,-4)+(-5,4)=(0,0),
所以 对应的复数是0.2.(1)由复数的几何意义知:
=(1,0), =(2,1), =(-1,2),
所以 =(1,1),
所以 对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为
所以
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.【方法技巧】复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.【变式训练】(2017·大连高二检测)设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z1=2+i,则z2=( )
A.2+i B.-2+i
C.2-i D.-2-i【解析】选B.因为z1=2+i,所以z1在复平面内对应点的坐标为(2,1),
由复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,可知z2在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),
所以z2=-2+i.【补偿训练】复数z=3+4i对应的向量 所在直线的
斜率为________.
【解题指南】先利用复数与向量的对应关系,确定出向
量 的坐标,再利用直线的斜率公式求直线斜率.【解析】由z=3+4i知, =(3,4),
所以直线的斜率:k= .
答案: 自我纠错 复数与复平面内点的对应关系
【典例】在复平面内,O为原点,已知复数z=x- i所对
应的点都在单位圆内,则实数x的取值范围是_________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是误认为复数z=x- i所对应的
点为z 而导致错误.正确的解答过程如下:【解析】因为复数z=x- i所对应的点Z 都在单
位圆内,所以|OZ|<1,即 所以
即 解得
答案: 课时提升作业 九
复数的几何意义
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,
所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.
2.(2018·黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),
且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,
所以所以θ为第二象限角.
【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于 ( )
A.实轴对称
B.虚轴对称
C.一、三象限平分线对称
D.二、四象限平分线对称
【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.
3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为 ( )
A.-1+i B.1-i
C.-5-5i D.5+5i
【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),
所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),
所以对应的复数为5+5i.
4.(2018·烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是 ( )
A. B.- C. D.
【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),
所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.
5.(2018·西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )
A.2cos B.-2cos C.2sin D.-2sin
【解析】选B.所求复数的模为
==，
因为π<α<2π，
所以<<π，
所以cos<0，
所以=-2cos.
【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2018·潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.
【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.
答案：2
7.(2018·武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.
【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.
【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.
答案:-2+3i
8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________.
【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).
又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),
所以对应的复数为-1-5i.
答案:-1-5i
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.
【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.
10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
(4)对应点在x轴上方.
(5)对应点在直线x+y+5=0上.
【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.
(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.
(3)由得m=-2.
故当m=-2时,z为纯虚数.
(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.
(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,
得m=或m=.
故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 ( )
A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.
【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.
【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z=________.
【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),
所以z=3+2i.
答案:3+2i
2.(2018·福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 ( )
A.1 B.2 C. D.3
【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.
【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,
而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,
所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.
【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,
所以
所以所以z=5+3i.
答案:5+3i
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.
【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,
所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.
答案:180°
【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.
4.(2018·南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.
【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,
所以解得-1由条件得|z|==
==,
因为-1答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点
(1)位于第四象限.
(2)位于第一、三象限.
【解析】(1)??
-2(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0
?(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,
得m<-2或37.
【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?
【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0?m=1±2.
【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.
【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,
所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.
不等式等价于①:解得a=,
所以a=时,0·x2+>0恒成立.
或②:
解得-1所以a∈.
综上,可得实数a的取值范围是
.
6.(2018·合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.
【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.
【解析】因为对应的复数为-3+4i,
对应的复数为2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因为与共线,所以存在实数k使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值为-.
【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.
【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.
【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,
又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).
过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=
tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.
【方法技巧】常见复数模的几何意义
复数的模在复平面内对应的常见图形为:
(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.
(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.
课时提升作业 九
复数的几何意义
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·青岛高二检测)在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选D.因为<2<π,所以sin2>0,cos2<0,
所以复数z=sin2+icos2对应的点位于第四象限.
2.(2018·黄山高二检测)设i是虚数单位,若z=cosθ+isinθ对应的点位于复平面的第二象限,则θ位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解析】选B.因为z=cosθ+isinθ对应的点坐标为(cosθ,sinθ),
且点(cosθ,sinθ)位于复平面的第二象限,
所以所以θ为第二象限角.
【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于 ( )
A.实轴对称
B.虚轴对称
C.一、三象限平分线对称
D.二、四象限平分线对称
【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.
3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为 ( )
A.-1+i B.1-i
C.-5-5i D.5+5i
【解析】选D.因为由已知=(2,3),=(-3,-2),
所以=-=(2,3)-(-3,-2)=(5,5),
所以对应的复数为5+5i.
4.(2018·烟台高二检测)过原点和-i对应点的直线的倾斜角是 ( )
A. B.- C. D.
【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是(,-1),
所以tanα==-(0≤α<π),所以α=π.
5.(2018·西安高二检测)复数1+cosα+isinα(π<α<2π)的模为( )
A.2cos B.-2cos C.2sin D.-2sin
【解析】选B.所求复数的模为
==，
因为π<α<2π，
所以<<π，
所以cos<0，
所以=-2cos.
【误区警示】本题容易忽视cos<0而错选A.
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2018·潍坊高二检测)若复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.
【解析】复数z=(a-1)+3i(a∈R)在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.
答案：2
7.(2018·武汉高二检测)i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.
【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.
【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为(2,-3),且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为(-2,3),对应的复数为z2=-2+3i.
答案:-2+3i
8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________.
【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=(-1,2), =(-2,-3).
又=-=(-2,-3)-(-1,2)=(-1,-5),
所以对应的复数为-1-5i.
答案:-1-5i
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·郑州高二检测)在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.
【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=(-3,-1),=(5,1),所以+=(-3,-1)+(5,1)=(2,0),所以向量+对应的复数是2,又=-=(-3,-1)-(5,1)=(-8,-2),所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.
10.实数m分别取什么数值时,复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:
(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.
(4)对应点在x轴上方.
(5)对应点在直线x+y+5=0上.
【解析】(1)由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.
(2)由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.
(3)由得m=-2.
故当m=-2时,z为纯虚数.
(4)由m2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z的对应点在x轴上方.
(5)由(m2+5m+6)+(m2-2m-15)+5=0,
得m=或m=.
故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·太原高二检测)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 ( )
A.4+8i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.
【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A(6,5),B(-2,3),又C为线段AB的中点,所以C(2,4),所以点C对应的复数是2+4i.
【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z=________.
【解析】Z1(-2,3),Z2(-2,-3),Z3(3,2),
所以z=3+2i.
答案:3+2i
2.(2018·福州高二检测)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 ( )
A.1 B.2 C. D.3
【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离.
【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,
而|z-i|表示的是圆上一点到点(0,1)的距离,
所以其最大值为圆上点(0,-2)到点(0,1)的距离,最大的距离为3.
【补偿训练】已知f(z)=|1+z|-z且f(-z)=10+3i,则复数z为________.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),
则f(-z)=|1-x-yi|+(x+yi)=10+3i,
所以
所以所以z=5+3i.
答案:5+3i
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.
【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,
所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°.
答案:180°
【误区警示】注意|z|=a(a>0)z=±a.
4.(2018·南宁高二检测)复数z=(a-2)+(a+1)i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.
【解析】复数z=(a-2)+(a+1)i对应的点的坐标为(a-2,a+1),因为该点位于第二象限,
所以解得-1由条件得|z|==
==,
因为-1答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.(2018·广州高二检测)实数m取什么值时,复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点
(1)位于第四象限.
(2)位于第一、三象限.
【解析】(1)??
-2(2)(m2-8m+15)(m2-5m-14)>0
?(m-3)(m-5)(m+2)(m-7)>0,
得m<-2或37.
【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?
【解析】由复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2(m2-5m-14)+16=0?m=1±2.
【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.
【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,
所以>|x2+a|对x∈R恒成立,等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.
不等式等价于①:解得a=,
所以a=时,0·x2+>0恒成立.
或②:
解得-1所以a∈.
综上,可得实数a的取值范围是
.
6.(2018·合肥高二检测)已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i(a∈R).若与共线,求a的值.
【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.
【解析】因为对应的复数为-3+4i,
对应的复数为2a+i,
所以=(-3,4),=(2a,1).
因为与共线,所以存在实数k使=k,
即(2a,1)=k(-3,4)=(-3k,4k),
所以所以
即a的值为-.
【补偿训练】已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为,求的取值范围.
【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点(x,y)的轨迹;再由=的几何意义表示动点(x,y)与(0,0)所在直线的斜率,作出草图,求出范围.
【解析】由(x-2)+yi是虚数,得y≠0,
又由|(x-2)+yi|=,得(x-2)2+y2=3.这是以(2,0)为圆心,为半径的圆(除去(2±,0)).
过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=
tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.
【方法技巧】常见复数模的几何意义
复数的模在复平面内对应的常见图形为:
(1)以z0为圆心,r为半径的圆:|z-z0|=r.
(2)线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.
第二课时
一、基础过关
1．复数z＝＋i3对应的点在复平面第几象限 ( )
A．一 B．二
C．三 D．四
2．当0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 ( )
A．4＋8i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
4．已知复数z＝a＋bi(a、b∈R)，当a＝0时，复平面内的点z的轨迹是 ( )
A．实轴 B．虚轴
C．原点 D．原点和虚轴
5．已知复数z＝a＋i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于( )
A．－1＋i
B．1＋i
C．－1＋i或1＋i
D．－2＋i
6．若复数(－6＋k2)－(k2－4)i(k∈R)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是________________．
二、能力提升
7．若θ∈(，)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8．复数z＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是 ( )
A．虚轴
B．虚轴除去原点
C．线段PQ，点P，Q的坐标分别为(0,1)，(0，－1)
D．C中线段PQ，但应除去原点
9．复数z＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第______象限．
10．若复数z1＝1－i，z2＝3－5i，则复平面上与z1，z2对应的点Z1与Z2的距离为________．
11．复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则|z|＝______.
12．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点：
(1)位于第四象限；
(2)位于x轴负半轴上；
(3)在上半平面(含实轴)．
13．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2，求复数z.
三、探究与拓展
14．(1)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 ( )
A．一条直线 B．两条直线
C．圆 D．椭圆
(2)已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，求的最大值．
答案
1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．27．B 8．C 9．三
10．2
11．2
12．解 (1)要使点位于第四象限，须，
∴，∴－7(2)要使点位于x轴负半轴上，须
，
∴，∴m＝4.
(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m2＋3m－28≥0，
解得m≥4或m≤－7.
13．解 根据题意可画图形如图所示：
设点Z的坐标为(a，b)，
∵||＝|z|＝2，∠xOZ＝120°，
∴a＝－1，b＝，
即点Z的坐标为(－1，)，
∴z＝－1＋i.
14．(1)C
(2)解 ∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.
