§3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算时应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
复数兼备代数形式和几何形式(点表示和向量表示),对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习有助于理解复数两种表示形式的统一,同时也提供了一个数形结合思想的载体.
【教学目标】：
（1）知识与技能：
了解复数代数形式的加减运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
（2）过程与方法：
从实数集中的相关概念以及运算出发，对比引出复数的加减法的定义，对比复数的代数形式，复数的向量形式同样具备其自身的加减法法则。培养学生类比、化归、数形结合的思想方法。
（3）情感态度与价值观：
通过复数的代数形式的加减运算的学习，体会数集运算定义的完备性与一致性，增加对数学逻辑美的认识。
【教学重点】：
复数代数形式的加减运算及其几何意义。
【教学难点】：
复数代数形式的加减运算几何意义。
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．同学们在学实数的时候有绝对值的概念，在复数里叫做复数的模长，在实数集里有相反数的概念，那么复数还有没有相反复数的概念呢？
2．实数与实数相加减得到的仍是实数，现在我们学习了复数这个数集，如果一个实数与一个纯虚数相加比如等于多少呢？或者一个实数加上一个虚数比如又等于什么呢？
将实数运算以及其中的概念提出，让学生对比思考在复数中相应的运算和概念，引出问题。
二、讲授新课
（１）复数代数形式的加法运算
1．复数的加法：
①设，规定。
②复数的加法运算满足交换律、结合律，即对任意复数有
（２）复数代数形式的减法运算
２．复数的减法
①已知复数，根据加法定义，存在惟一的复数使，叫做的相反数
②设，规定
（３）复数加减法的几何意义
３．复数加减法的几何意义
已知复数及其对应的向量如图，且不共线，以为邻边作平行四边形，根据向量的加法法则，对角线所表示的向量，而所对应的坐标为，正是两个复数之和所对应的有序实数对。因此复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，类似地，向量所对应两个复数的差，作，则点也对应复数。
三、运用新知 ，
体验成功
练习1：
计算：
写出下列各复数的相反数：
计算：
解：①2，，，
②
③，，，
及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习
四、师生互动，继续探究
计算：
解：原式＝
＝。
分析：复数的加减法，相当于多项式中加减中的合并同类项的过程，两个复数相加减，就是把实部与实部，虚部与虚部分别加减。
例２．已知复数，若，证明复数是纯虚数或０。
解：将代入得，，运算得：所以，所以，当时，，当时，为纯虚数。
分析：本题是证明一个虚数数为纯虚数的等价条件。
例３．已知对应的向量分别为，以为邻边作平行四边形，求向量对应的复数。
解：由复数加减法的几何意义知：向量对应的复数为，
向量对应的复数；向量对应的复数。
让学生进行复数代数形式加减运算。
五、分层练习，巩固提高
探究活动：
练习2 ：
①已知复数满足？
②在复平面内，复数对应的向量分别是对应的复数以及两点之间的距离。
解：①
②2，
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、概括梳理，形成系统
（小结）
采取师生互动的形式完成。
即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
采取师生互动的形式完成。
七、布置作业
课后作业。
2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。
1．计算的结果为（ ）
A.1 B. C. D.
解：Ａ
2．已知复数＝（ ）
A．0 B。 C。 6 D。
解：Ｄ
3．等于（ ）
A． B． C．2 D．
解：Ｂ
4．若（ ）.
A. 一个点 B. 两个点 C. 四个点 D. 一个圆
解：Ｄ
5．表示（ ）.
A. 点（3，2）与点（1，1）之间的距离
B. 点（3，2）与点（-1，-1）之间的距离
C. 点（3，2）到原点的距离
D.以上都不对
解：Ａ
6．在复平面上复数所对应的分别是Ａ，Ｂ，Ｃ，则平行四边形ＡＢＣＤ的对角线BD的长为 。
解：。
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义(导学案)
预习目标：
掌握复数代数式的加减运算法则，并能熟练地进行复数代数式形式的加减运算；
理解并掌握复数加法、减法的几何意义及其应用。
预习内容：设
（1）
（2）
(3)
(4)
（5）同（2），
提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
1：掌握复数的加法运算及意义
2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
学习重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
学习难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
学习过程:
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
探究:1.观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证?
2.例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现？
例3．计算（1）
（2）
（3）
当堂检测：
1、
2、计算
（1） （2）
（3） （4）
3、ABCD是复平面内的平行四边行，A,B,C三点对应的复数分别是
课后练习与提高：
1．计算
（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
§3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义）（教案）
教学目标：
知识与技能：掌握复数的加法运算及意义
过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义
情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用
教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．
教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。
教学过程：
一．学生探究过程：
1. 与复数一一对应的有？
2. 试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。向量的加减运算满足何种法则？
4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？
二、讲授新课：
1.复数的加法运算及几何意义
①.复数的加法法则：，则。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
②．观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。
例2．例1中的（1）、（3）两小题，分别标出，所对应的向量，再画出求和后所对应的向量，看有所发现。
③复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则）
2．复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若，则。
④讨论：若，试确定是否是一个确定的值？
（引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演）
⑤复数的加法法则及几何意义：，复数的减法运算也可以按向量的减法来进行。
例3．计算（1） （2） （3）
练习：已知复数，试画出，，
（三）小结：两复数相加减，结果是实部、虚部分别相加减，复数的加减运算都可以按照向量的加减法进行。
（四）巩固练习：
1．计算
（1）（2）（3）
2．若，求实数的取值。
变式：若表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数的取值。
3．三个复数，其中，是纯虚数，若这三个复数所对应的向量能构成等边三角形，试确定的值。
课件21张PPT。3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加减运算
及其几何意义 运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算——复数的加、减法．引入 随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数实部虚部1.复数代数形式的加、减运算法则.（重点）
2.复数代数形式的加、减运算律.（难点）
3.复数代数形式的加、减运算的几何意义.复数的加法我们规定，复数的加法法则如下：
设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
说明:
（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.1. 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.（1）因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i)
=(a1+a2)+(b1+b2)i,
所以 z1+z2=z2+z1 探究点1 复数的加法满足交换律、结合律（2）因为 (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i)
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)]
=(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i,
所以 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)所以，对任意z1，z2，z3 C,有
z1+z2=z2+z1
（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）点拔：复数的加法运算，只需把相同部看作一个字母，完全按照合并同类项方法进行。例1探究点2 复数与复平面内的向量有一一对应关系
我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发
讨论复数加法的几何意义吗？设 , 分别与复数a+bi,c+di对应=(a+c)+(b+d)i复数的加法可以按照向量的加法来进行xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)符合向量加法的平行四边形法则.复数加法运算的几何意义探究点3 复数的减法 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作
(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有c+x=a, d+y=b,因此 x=a-c, y=b-d,所以 x+yi=(a-c)+(b-d)i ,即 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i.4. 复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i
说明：（1）两个复数的差是一个确定的复数 .
（2）两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。例2 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i)
=（5-2-3）+（-6-1-4）i
=-11i变式训练 计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i).解： 原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)符合向量减法的三角形法则.探究点4.复数减法运算的几何意义|z1-z2|表示什么?表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离?例3????(1)|z－(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|变式训练：已知复数z对应点Ｚ,说明下列各式所表示的几何意义.点Ｚ到点(1,2)的距离点Ｚ到点(－1, －2)的距离A.一条直线 B.两条直线
C.圆 D.其他C3.|z1|= |z2|
平行四边形OABC是 .4.| z1+ z2|= | z1- z2|
平行四边形OABC是 .菱形矩形D6. 已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.(1)|z－1|(2)|z+2i|点A到点(1,0)的距离点A到点(0, －2)的距离复数加减复平面的点坐标运算一一对应一一对应一一对应平面向量加减1.复数代数形式的加减运算:
复数可以求和差，虚实各自相加减。2.复数加减运算的几何意义: 人类的幸福和欢乐在于奋斗，而最有价值的是为理想而奋斗.课件47张PPT。3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 【自主预习】
复数的加、减法法则及几何意义与运算律z1z2+z3【即时小测】
1.(2015·福建高考)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于 ( )
A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4【解题指南】根据复数相等的含义求解.
【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b均为实数,所以a=3,b=-2.
2.若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于 ( )
A.0 B.2i C.6 D.6-2i
【解析】选D.z=3-i-(i-3)=6-2i.【知识探究】
探究点1 复数的加法与减法运算
1.两个复数的和是个什么数,它的值唯一吗?
提示:仍然是个复数,是唯一的复数.
2.若复数z1,z2满足z1-z2>0,能否认为z1>z2?
提示:不能.如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.【归纳总结】
对复数加法减法运算的五点说明
(1)一种规定:复数的代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算.
(2)运算律:实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移项法则在复数中仍然成立.(3)运算结果:两个复数的和(差)是唯一的复数.
(4)适当推广:可以推广到多个复数进行加、减运算.
(5)虚数单位i:在进行复数加减运算时,可将虚数单位i看成一个字母,然后去括号,合并同类项即可.
特别提醒:当复数的虚部为零时,与实数的加法、减法法则一致.探究点2 复数加减法的几何意义
1.类比绝对值|x-x0|的几何意义,说明|z-z0|(z,z0∈C)
的几何意义.
提示:|z-z0|(z,z0∈C)的几何意义是复平面内点Z(对
应z的点)到点Z0(对应z0的点)的距离,即| |=|z-
z0|.2.既然复数的加减法可以按照向量加减法的运算法则
来运算,是不是就有z1+z2= z2-z1=
呢?提示:因为复数的几何意义只是强调了复数与向量之间
的对应关系;式子z1+z2= z2-z1=
的左边是复数,而右边是向量,因此不能说z1+z2与
,z2-z1与 相等.【归纳总结】
对复数加减运算几何意义的两点说明
(1)复数的加法:根据复数加法的几何意义知,两个复数的和就是两个复数对应向量的和所对应的复数.
(2)复数的减法:根据复数减法的几何意义,两个复数的差就是两个复数对应向量的差所对应的复数.易错警示:注意向量的加减法与复数的加减法之间的关系.
类型一 复数的代数形式的加减运算
【典例】1.若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在实轴上,则实数a= ( )
A.-2 B.2 C.-1 D.12.计算:(1)(-2+3i)+(5-i).
(2)(-1+ i)+(1+ i).
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).
【解题探究】1.本例1中复数z1+z2的值是多少?实轴上的点所对应复数的虚部是多少?
提示:z1+z2=5+(a+1)i,实轴上点的纵坐标为0,则实轴上的点所对应复数的虚部是0.2.解答本例2的思路是什么?
提示:明确复数的实部和虚部,实部与虚部分别相加减.【解析】1.选C.由z1+z2=5+(a+1)i所对应的点在实轴
上得a=-1.
2.(1)(-2+3i)+(5-i)=(-2+5)+(3-1)i=3+2i.
(2)(-1+ i)+(1+ i)=(-1+1)+( + )i=2 i.
(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+(b+3b-3)i=-a+(4b-
3)i.【延伸探究】将本例1改为“若z1=2+i,z2=3+ai,复数z1+z2所对应的点在第四象限上,求实数a的取值范围”.
【解析】由题意知a+1<0,解得a<-1.【方法技巧】复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.
(2)把i看作一个字母,类比多项式加减中的合并同类项.
特别提醒:注意运算格式及范围,避免出错(1)在进行复数减法运算时要注意格式,两复数相减所得结果依然是一个复数,其对应的实部与虚部分别是两复数的实部与虚部的差.注意中间用“+”号,如z1= a+bi,z2=c+di,z1-z2=(a-c)+(b-d)i,而不是z1-z2=(a-c)-(b-d)i(a,b,c,d∈R).(2)复数中出现字母时,首先要判断其是否为实数,再确定复数的实部与虚部,最后把实部与虚部分别相加.
【变式训练】计算:
(1)(3-2i)-(10-5i)+(2+17i).
(2)(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(2011-2012i).【解析】(1)原式=(3-10+2)+(-2+5+17)i=-5+20i.
(2)原式=(1-2+3-4+…+2009-2010+2011)+(-2+3-4+5-…-2010+2011-2012)i=1006-1007i.类型二 向量的加减法的几何意义
【典例】1.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第__________象限.2.如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别对应的复数为0,3+2i,-2+4i.
求:(1) 表示的复数.
(2) 表示的复数.【解题探究】1.典例1中z1,z2,z在复平面内对应的点可以构成一个什么图形?
提示:由z=z1-z2及复数减法的几何意义知,构成的是一个三角形.
2.典例2中点O,A,C对应的坐标分别是什么?
提示:分别是(0,0),(3,2),(-2,4).【解析】1.因为z1=3+2i,z2=1-3i,
所以z=z1-z2=3+2i-(1-3i)=(3-1)+(2+3)i=2+5i.
所以点Z位于复平面内的第一象限.
答案:一2.(1)因为 ,所以 表示的复数为-3-2i.
(2)因为
所以 表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.【延伸探究】
1.若本例2条件不变,试求点B所对应的复数.
【解析】因为 所以 表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.
所以点B所对应的复数为1+6i.2.若本例2条件不变,求对角线AC,BO的交点M对应的复
数.
【解析】由题意知,点M为OB的中点,则 由探
究1中点B坐标为(1,6)得点M坐标为 ,所以点M对应
的复数为 【方法技巧】利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论
(1)技巧:
①形转化为数:利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理.②数转化为形:对于一些复数运算也可以给予几何解释,使复数作为工具运用于几何之中.(2)常见结论:在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,则四边形OACB:
①为平行四边形;
②若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;③若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;
④若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.
【补偿训练】已知z1,z2∈C, |z1|=|z2|=1，|z1+z2|=
,求|z1-z2|．【解析】设复数z1,z2,z1+z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,Z,由|z1|=|z2|=1知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是菱形,在△OZ1Z中,由余弦定理,得
cos∠OZ1Z=
所以∠OZ1Z=120°,所以∠Z1OZ2=60°,因此,△OZ1Z2是正三角形,所以|z1-z2|=|Z2Z1|=1.【延伸探究】若把本题中的条件“|z1+z2|= ”改为
|z1-z2|=1“|z1+z2| ”,则 等于多少?【解析】设复数z1,z2在复平面上对应的点分别为Z1,Z2,
由|z1|=|z2|=1,|z1-z2|=1知,以OZ1,OZ2为邻边的平行四
边形是菱形OZ1ZZ2,OZ为对角线,△OZ1Z2为正三角形,由
余弦定理,得|z1+z2|2=|z1|2+|z2|2-2|z1||z2| cos∠OZ1Z,
因为∠Z1OZ2=60°,所以∠OZ1Z=120°,
所以|z1+z2|= .自我纠错 复数加减法的几何意义
【典例】已知:复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四
边形,顶点A,B,C对应于复数-5-2i、-4+5i、2,则点D对
应的复数为________.【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错误的根本原因是误认为复平面上的四个点A,B,C,D构成平行四边形只能是平行四边形ABCD,实际上还有平行四边形ABDC和平行四边形ACBD.正确的解答过程如下:【解析】(1)若ABCD是平行四边形,则
所以
所以 =(2,0)+(-5,-2)-(-4,5)=(1,-7),
所以点D对应的复数为1-7i.(2)若ABDC是平行四边形,则
所以
=(2,0)-(-5,-2)+(-4,5)=(3,7),
所以点D对应的复数为3+7i.(3)若ACBD是平行四边形,则
=(-5,-2)+(-4,5)-(2,0)=(-11,3),
所以点D对应的复数为-11+3i.
综上所述,点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.
答案:1-7i或3+7i或-11+3i课时提升作业 十
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·太原高二检测)已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是 ( )
A.-2+2i B.-2+4i
C.-1+i D.-1+2i
【解析】选C.设C表示的复数为x+yi,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,
=(x+2,y-3),=(-x,-1-y).
因为=,
所以x+2=-x,y-3=-1-y,
解得x=-1,y=1.
点C表示的复数是-1+i.
2.(2018·昆明高二检测)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2,
??xy=1.
3.(2018·西宁高二检测)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是 ( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
【解析】选D.依题意有==-,
而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,
即对应的复数为4-2i.
【补偿训练】(2018·武汉高二检测)在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是 ( )
A.2+14i B.1+7i
C.2-14i D.-1-7i
【解析】选D.由平行四边形法则可得
解得=(1,7),
所以=(-1,-7),所以对应的复数是-1-7i.
4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )
A. B.5
C. D.5
【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,
所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.
【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 ( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
【解析】选A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z= ( )
A.-+i B.-i
C.--i D.+i
【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),
则x+yi+=2+i,
因此有解得
故z=+i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.
【解析】因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),
由|z|=4得a2+4=16,
所以a2=12,所以a=±2,
所以z=±2-2i.
答案:±2-2i
7.(2018·成都高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=3,所以a2+b2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
所以即
又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
答案:3i
8.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=________.
【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题.
【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,
||==5,||=10.
|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.
答案:100
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).
(2)5i-.
【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i.
10.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2
=(3x+y)+(y-4x)i-
=+i
=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=4×(-1)-2×2-i=-8-7i.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·福州高二检测)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-2或1
【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得?a=-2.
【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.
2.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】选D.因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.
【一题多解】选D.设z=x+yi(x,y∈R),
所以z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1,
所以(x-3)2+(y-4)2=1,
设x=3+cosθ,y=4+sinθ,
则|z|===
=(其中sinφ=,cosφ=),所以|z|的最大值是6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________.
【解析】因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得a-b=-4.
答案:-4
4.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________.
【解析】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形,
所以|z1-z2|=2.
答案:2
【补偿训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.
【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.
如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四边形为正方形,所以另一条对角线的长|z1-z2|=.
【拓展延伸】复数运算几何意义的应用
(1)已知复数z1,z2,z1+z2在复平面内分别对应点A,B,C,O为原点且|z1+z2|=|z1-z2|,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角线长相等,故四边形OACB为矩形.
(2)因为|z1|,|z2|,|z1-z2|(或|z1+z2|)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O三点不共线),所以可用解三角形来处理边与角的问题.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数.
(2)平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,
所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因为=,
所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).
设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cosB,
所以cosB===.
所以sinB=.
所以S=||||sinB=××=7,
所以平行四边形ABCD的面积为7.
6.(2018·杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+i|的最大值和最小值.
【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义,再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2知x2+y2=4,
故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,
又|z+1+i|表示点(x,y)到点(-1,-)的距离.
又因为点(-1,-)在圆x2+y2=4上,
所以圆上的点到点(-1,-)的距离的最小值为0,最大值为圆的直径4,
即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.
【拓展延伸】数形结合求解复数问题
因为复数拥有实部与虚部“两条腿”,进而与复平面上的点建立了一一对应,又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.
【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1,z1+z2=+i,求复数z1,z2.
【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|==1,
所以z1+z2对应向量,其中∠COx=60°,如图1所示.
设对应复数z1,对应复数z2,则四边形AOBC是菱形,且△AOC和△BOC都是等边三角形,于是z1=1,z2=+i或z1=+i,z2=1.如图2和图3所示.
课时提升作业 十
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2018·太原高二检测)已知A,B,C是复平面内的三个不同点,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,若=,则点C表示的复数是 ( )
A.-2+2i B.-2+4i
C.-1+i D.-1+2i
【解析】选C.设C表示的复数为x+yi,点A,B对应的复数分别是-2+3i,-i,
=(x+2, y-3),=(-x,-1-y).
因为=,
所以x+2=-x,y-3=-1-y,
解得x=-1,y=1.
点C表示的复数是-1+i.
2.(2018·昆明高二检测)实数x,y满足z1=y+xi,z2=yi-x,且z1-z2=2,则xy的值是 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2,
??xy=1.
3.(2018·西宁高二检测)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量,对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是 ( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
【解析】选D.依题意有==-,
而(3+i)-(-1+3i) =4-2i,
即对应的复数为4-2i.
【补偿训练】(2018·武汉高二检测)在复平面上的平行四边形ABCD中,对应的复数是6+8i,对应的复数是-4+6i,则对应的复数是 ( )
A.2+14i B.1+7i
C.2-14i D.-1-7i
【解析】选D.由平行四边形法则可得
解得=(1,7),
所以=(-1,-7),所以对应的复数是-1-7i.
4.设f(z)=|z|,z1=3+4i,z2=-2-i,则f(z1-z2)= ( )
A. B.5
C. D.5
【解析】选D.因为z1-z2=5+5i,
所以f(z1-z2)=f(5+5i)=|5+5i|=5.
【补偿训练】复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为 ( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
【解析】选A.由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
5.设复数z满足关系式z+|z|=2+i,那么z= ( )
A.-+i B.-i
C.--i D.+i
【解析】选D.设z=x+yi(x,y∈R),
则x+yi+=2+i,
因此有解得
故z=+i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知|z|=4,且z+2i是实数,则复数z=________.
【解析】因为z+2i是实数,可设z=a-2i(a∈R),
由|z|=4得a2+4=16,
所以a2=12,所以a=±2,
所以z=±2-2i.
答案:±2-2i
7.(2018·成都高二检测)已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=________.
【解析】设z=a+bi(a,b∈R),
因为|z|=3,所以a2+b2=9.
又z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数,
所以即
又a2+b2=9,所以a=0,b=3,所以z=3i.
答案:3i
8.复数z1,z2分别对应复平面内的点M1,M2,且|z1+z2|=|z1-z2|,线段M1M2的中点M对应的复数为4+3i,则|z1|2+|z2|2=________.
【解题指南】利用复数加减法的几何意义解题.
【解析】根据复数加减法的几何意义,由|z1+z2|=|z1-z2|知,以,为邻边的平行四边形是矩形(对角线相等),即∠M1OM2为直角,M是斜边M1M2的中点,
||==5,||=10.
|z1|2+|z2|2=||2+||2=||2=100.
答案:100
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算:
(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i).
(2)5i-.
【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
= (1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-=5i-(4+i)=-4+4i.
10.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R),设z=z1-z2=13-2i,求z1,z2.
【解析】z=z1-z2
=(3x+y)+(y-4x)i-
=+i
=(5x-3y)+(x+4y)i,
又因为z=13-2i,且x,y∈R,
所以解得
所以z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,
z2=4×(-1)-2×2-i=-8-7i.
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·福州高二检测)已知复数z1=(a2-2)-3ai,z2=a+(a2+2)i,若z1+z2是纯虚数,那么实数a的值为 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-2或1
【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+(a2-3a+2)i是纯虚数,得?a=-2.
【误区警示】解答本题时,易将虚数与纯虚数的概念相混淆而导致错误.
2.设复数z满足|z-3-4i|=1,则|z|的最大值是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】选D.因为|z-3-4i|=1,所以复数z所对应点在以C(3,4)为圆心,半径为1的圆上,由几何性质得|z|的最大值是+1=6.
【一题多解】选D.设z=x+yi(x,y∈R),
所以z-3-4i=(x+yi)-(3+4i)=(x-3)+(y-4)i,又|z-3-4i|=1,
所以(x-3)2+(y-4)2=1,
设x=3+cosθ,y=4+sinθ,
则|z|===
=(其中sinφ=,cosφ=),所以|z|的最大值是6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·大连高二检测)在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________.
【解析】因为+=,所以2+i+(-b+ai)=-2a+3i,所以得a-b=-4.
答案:-4
4.已知z1,z2∈C,|z1+z2|=2,|z1|=2,|z2|=2,则|z1-z2|为________.
【解析】由复数加法、减法的几何意义知,以复平面上对应z1,z2的向量为邻边的平行四边形为正方形,
所以|z1-z2|=2.
答案:2
【补偿训练】若|z1|=|z2|=1,且|z1+z2|=,求|z1-z2|.
【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.
如图所示,由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知四边形为正方形,所以另一条对角线的长|z1-z2|=.
【拓展延伸】复数运算几何意义的应用
(1)已知复数z1,z2,z1+z2在复平面内分别对应点A,B,C,O为原点且|z1+z2|=|z1-z2|,把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为:平行四边形两对角线长相等,故四边形OACB为矩形.
(2)因为|z1|,|z2|,|z1-z2|(或|z1+z2|)构成了三角形的三边(Z1,Z2,O三点不共线),所以可用解三角形来处理边与角的问题.
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:
(1)点C,D对应的复数.
(2)平行四边形ABCD的面积.
【解析】(1)因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,
所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.
又=+,
所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.
因为=,
所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).
设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),
所以解得
所以点D对应的复数为5.
(2)因为·=||||cosB,
所以cosB===.
所以sinB=.
所以S=||||sinB=××=7,
所以平行四边形ABCD的面积为7.
6.(2018·杭州高二检测)已知|z|=2,求|z+1+i|的最大值和最小值.
【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义,再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R),则由|z|=2知x2+y2=4,
故z对应的点在以原点为圆心,2为半径的圆上,
又|z+1+i|表示点(x,y)到点(-1,-)的距离.
又因为点(-1,-)在圆x2+y2=4上,
所以圆上的点到点(-1,-)的距离的最小值为0,最大值为圆的直径4,
即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.
【拓展延伸】数形结合求解复数问题
因为复数拥有实部与虚部“两条腿”,进而与复平面上的点建立了一一对应,又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.
【补偿训练】已知|z1|=|z2|=1, z1+z2=+i,求复数z1,z2.
【解析】因为|z1|=|z2|=1,|z1+z2|==1,
所以z1+z2对应向量,其中∠COx=60°,如图1所示.
设对应复数z1,对应复数z2,则四边形AOBC是菱形,且△AOC和△BOC都是等边三角形,于是z1=1,z2=+i或z1=+i,z2=1.如图2和图3所示.
§3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法和减法
一、基础过关
1．若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于 ( )
A．0 B．2i
C．6 D．6－2i
2．复数i＋i2在复平面内表示的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于 ( )
A．2 B．2＋2i
C．4＋2i D．4－2i
4．设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为 ( )
A．1＋i B．2＋i
C．3 D．－2－i
5．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z等于 ( )
A．－3i B．3i
C．±3i D．4i
6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2 011i)．
二、能力提升
7．若复数z1＝－1，z2＝2＋i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是________．
8．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是________．
9．若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是________．
10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
11．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向
量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标．
12．已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数．
三、探究与拓展
13．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
答案
1．D 2．B 3．C 4．D 5．B
6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i
＝－1 005＋1 005i.
7．3＋i
8.＋i
9．1
10．解 ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，
∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，
∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
11．解 ∵＝－，
∴对应的复数为
(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i，
∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i，
故x＝4，y＝－2.
∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)．
12．解 方法一 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1)．
∴AC中点为，BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴，∴.
即点D对应的复数为3＋5i.
方法二 设D点对应的复数为x＋yi (x，y∈R)．
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)＝(x－1)＋(y－3)i，又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴，∴.
即点D对应的复数为3＋5i.
13．解 (1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为
－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，
||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.
