3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）
预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：
1.虚数单位:----------------------------------
2. 与－1的关系: ---------------------------------------
3. 的周期性：----------------------------------------------------
4.复数的定义------------------------------------------------------------
3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------
4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --
5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------
6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------
8．复数z1与z2的和的定义：-----------------------------
9. 复数z1与z2的差的定义：-----------------------------------------
10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------
11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------
提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
学习重点：复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念
学习难点：乘除运算
学习过程：
1.复数代数形式的乘法运算：
例1．计算（1）
（2）
（3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
探究：类比，试写出复数的除法法则
。2．复数的除法法则：
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
当堂检测：
1.设z=3+i,则等于
A.3+i B.3－i C. D.
2.的值是
A.0 B.i C.－i D.1
3.已知z1=2－i,z2=1+3i,则复数的虚部为
A.1 B.－1 C.i D.－i
4.设 (x∈R,y∈R),则x=___________,y=___________.
课后练习与提高：
已知复数z满足，求复数z.
复数z=a+bi,a,b∈R,且b≠0,若是实数，则有序实数对（a,b）可以是 .(写出一个有序实数对即可)
3.设z的共轭复数是，或z+=4,z·＝8，则等于D
（A）1 （B）-i (C)±1 (D) ±i
4.计算复数等于 （ ）
A．0 B．2 C． D．
5. ，若 则的值是（ ）
A．2i B． C． D．
3.2.2复数代数形式的乘除运算（教案）
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题
情感、态度与价值观：复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的，让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点：复数代数形式的除法运算。
教学难点：对复数除法法则的运用。
教学过程：
学生探究过程：
1. 复数的加减法的几何意义是什么？
2. 计算（1） （2） （3）
3. 计算：（1） （2） （类比多项式的乘法引入复数的乘法）
讲解新课：
1.复数代数形式的乘法运算
①.复数的乘法法则：。
例1．计算（1） （2） （3）
（4）
探究：观察上述计算，试验证复数的乘法运算是否满足交换、结合、分配律？
例2．1、计算（1） （2）（3）
②共轭复数：两复数叫做互为共轭复数，当时，它们叫做共轭虚数。
注：两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。
练习：说出下列复数的共轭复数。
③类比，试写出复数的除法法则。
2．复数的除法法则：
其中叫做实数化因子
例3．计算，（师生共同板演一道，再学生练习）
练习：计算，
2．小结：两复数的乘除法，共轭复数，共轭虚数。
三、巩固练习：
1．计算（1） （2） （3）
2．若，且为纯虚数，求实数的取值。变：在复平面的下方，求。
§3.2.2 复数的乘法和除法
【学情分析】：
学生在建立了复数的概念以后,很重要的一个问题就是建立复数集里的各种运算.由于实数是复数的一部分,在建立复数运算是,应当遵循的一个原则是作为复数的实数,在复数集里运算时和在实数集里的运算应当是一致的.
在学习了复数的加减法之后，学生对复数的乘除法以及其与实数乘除法的区别的好奇心自然也呼之欲出。.
【教学目标】：
（1）知识目标：
能进行复数代数形式的乘除运算.
（2）过程与方法目标：
从实数的乘除运算及其运算律出发，对比引出复数的的乘除法定义及其运算律，通过实现实数与虚数的转化，培养学生转化的思想。
（3）情感与能力目标：
通过复数的乘除法的学习，体会实虚数的矛盾和统一，加深对数学的情感认识。
【教学重点】：
的运算和分母实数化。
【教学难点】：
复数除法中的分母实数化。
【课前准备】：
powerpoint课件
【教学过程设计】：
教学环节
教学活动
设计意图
一、复习引入
1．根据虚数单位的定义, 满足方程,那么呢,呢？
2．实数与实数相乘除得到的仍是实数，实数的乘除满足交换律、结合律，乘法对加法的分配律，复数的乘除还满足这些运算律吗？两个虚数相乘能得到实数吗？
通过虚数单位的定提出问题，通过实数运算的对比引出复数乘除法的定义。
二、讲授新课
（１）复数的乘法运算
1．复数的乘法：
①设，规定
。
②复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，即对任意复数有
③实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数有：
④
（２）复数的除法运算
２．复数的除法
①已知复数，叫做的倒数。它满足
显然
②设，规定=
三、运用新知 ，
体验成功
练习1：
计算：
计算：
解：①，，，，1，1，
②，0
③，，，1
及时运用新知识，巩固练习，让学生体验成功，为了使学生实现从掌握知识到运用知识的转化，使知识教育与能力培养结合起来，设计分层练习
四、师生互动，继续探究
求证：
解：
分析：（1）表明，两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方。
例2．已知
解：可写成，即。
分析：在进行复数除法运算时，通常把化简整理．
例３．设为非零复数，，问能否比较大小？若能，请指出他们的大小关系．
解：设
，由于A,B都是实数，所以可以比较大小，又当且仅当时，即时，取等号。
分析：复数比较大小，则复数必须是实数，为实数．
让学生进行复数乘除法运算，并得到一些复数运算结论。
五、分层练习，巩固提高
探究活动：
练习2 ：
①设复数．
②已知．
③已知为复数，为纯虚数，且，求
解：①或
②
③。
通过多角度的练习，并对典型错误进行讨论与矫正，使学生巩固所学内容，同时完成对新知的迁移。
六、概括梳理，形成系统
（小结）
采取师生互动的形式完成。
即：学生谈本节课的收获，教师适当的补充、概括，以本节知识目标的要求进行把关，确保基础知识的当堂落实。
采取师生互动的形式完成。
七、布置作业
课后作业。
2、设计题可根据自己的喜好和学有余力的同学完成。
1．若复数满足方程，则（ ）
A. B. C. D.
解：Ｄ
2．复数等于（ ）
A． B。 C。 D。
解：Ｄ
3．是虚数单位，（ ）
A． B． C． D．
解：Ａ
4．已知的值。
解：＝，又，所以原式＝0。
5．计算：
解：。
6．已知的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模
解：，
，。
课件30张PPT。3.2.2 复数代数形式的乘除运算 已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）即:两个复数相加(减)就是
实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).(1)加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则：z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (a+bi )±(c+di) = (a±c) + (b±d)ixoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)符合向量加法的平行四边形法则.1.复数加法运算的几何意义?xoyZ1(a,b)Z2(c,d)符合向量减法的三角形法则.2.复数减法运算的几何意义? 复平面中点
Z1与点Z2间的距离|z1-z2|表示：_________
______________.已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R)3.复数模的几何意义：特别地，|z|表示：______________________.复平面中点Z与原点间的距离如：|z+(1+2i)|表示：_________________
_______________.点(-1，-2)的距离点Z(对应复数z)到1.掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则.
（重点）
2.对复数除法法则的运用.（难点）
3.乘法的运算法则与运算律.
4.共轭复数的定义是什么.探究点1 复数乘法运算
我们规定，复数乘法法则如下：
设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i.
即 (a+bi)(c+di)= (ac-bd)+(ad+bc)i
注意：两个复数的积是一个确定的复数.探究点2 复数乘法的运算律复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？
请验证乘法是否满足交换律?对任意复数z1=a+bi,z2=c+di
则z1·z2=(a+bi)(c+di )=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i
而z2·z1= (c+di )(a+bi)=ac+bci+adi+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
所以 z1·z2=z2·z1(交换律)乘法运算律对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1 (交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3 (分配律)例1 计算(1-2i)(3+4i)(-2+i).解:(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i.分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1例2 计算:(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)2.解: (1)(3+4i)(3-4i)
=32-(4i)2
=9-(-16)
=25. (2)(1+i)2
=1+2i+i2
=1+2i-1
=2i.1.计算 2.已知,则=变式训练：【总结提升】
（1）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；
（2）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的．探究点3 共轭复数的定义 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
实数的共轭复数是它本身.思考：若z1，z2是共轭复数，那么
(1)在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
(2)z1·z2是一个怎样的数？记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作=a-bi解：⑴作图得出结论：在复平面内，共轭复数z1 ,z2所对应的点关于实轴对称.⑵令z1=a+bi,则z2=a-bi
则z1·z2=(a+bi)(a-bi)
=a2-abi+abi-b2i2
=a2+b2
结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数.探究点4 共轭复数的相关运算性质?探究点5 复数除法的法则
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法的法则.复数除法的法则是:方法:在进行复数除法运算时,通常先把 在作根式除法时,分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”.这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”(共轭复数),从而使分母“实数化”.先写成分式形式然后分母实数化,分子分母同时乘以分母的共轭复数结果化简成代数形式B2. 若复数z=1+i (i为虚数单位) 是z的共轭复数，
则 + 的虚部为（ ）
A. 0 B. -1 C. 1 D. -2 AAB5.已知方程x2-2x+2=0有两虚根为x1, x2,
求x14+x24的值.注:在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用.1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部和虚部分别合并.
2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立.
3.当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
虚部不等于０的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
实数的共轭复数是它本身.
4.复数代数形式的除法实质：分母实数化.男儿不展风云志，空负天生八尺躯.课件50张PPT。3.2.2
复数代数形式的乘除运算 【自主预习】
1.复数代数形式的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1·z2=(a+bi)(c +di)= _________________.(ac-bd)+(ad+bc)i2.复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有z2·z1z1z2+z1z33.共轭复数
已知z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R,则
(1)z1,z2互为共轭复数的充要条件是__________.
(2)z1,z2互为共轭虚数的充要条件是_____________.a=c且b=-da=c且b=-d≠04.复数代数形式的除法法则
(a+bi)÷(c+di)= ________________
(a,b,c,d∈R,c+di≠0).【即时小测】
1.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 ( )
A.(1,3) B.(3,1)
C.(-1,3) D.(3,-1)
【解析】选A. 所以其对
应点的坐标为(1,3).2.设i是虚数单位,若复数a- (a∈R)是纯虚数,则a的值为 ( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
【解析】选D.因为
=(a-3)-i,由纯虚数的定义,知a-3=0,所以a=3.3.设z= +i,则|z|= ( )
【解析】选B.因为
所以 4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,则实数x=________, y=________.
【解析】由题意得:
答案:-1 1【知识探究】
探究点1 复数代数形式的乘除运算
1.a∈R,z∈C,a2=|a2|与z2=|z|2都成立吗?
提示:a2=|a2|成立;z2=|z|2不一定成立.
例如z=i,z2=-1,|z|2=1,z2≠|z|2.2.z2=|z2|成立的条件是什么?
提示:当且仅当z∈R时,z2=|z|2成立.【归纳总结】
1.复数的乘法的三点说明
(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.
(3)常用结论:
①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.2.对复数除法的两点说明
(1)实数化:
分子、分母同乘以分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化.探究点2 共轭复数
1.若z≠0且z+ =0,则z是否为纯虚数?
提示:是纯虚数,因为z≠0,又实数的共轭是它本身,则
由z≠0且z+ =0知z不是实数,设z=a+bi, =a-bi(a,b
∈R, b≠0)和z+ =2a=0,所以a=0,故z为纯虚数.利用
这个性质,可证明一个复数为纯虚数.2.复数共轭的共轭是否为复数本身?
提示:根据复数的概念,复数共轭的共轭是复数本身.【归纳总结】
1.共轭复数的注意点
(1)结构特点:实部相等,虚部互为相反数.
(2)几何意义:在复平面内两个共轭复数的对应点关于实轴对称.2.共轭复数的性质
(1)实数的共轭复数是它本身,即z∈R?
(2)相关结论:
③
易错警示:注意共轭复数在复平面内对应点的对称关系.类型一 复数代数形式的乘法运算
【典例】1.(2015·全国卷Ⅱ)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a= ( )
A.-1 B.0 C.1 D.22.已知复数z1= (1+i)(i为虚数单位),复数z2的
虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.【解题探究】1.本例1中解题的关键点是什么?
提示:根据复数相等求解a.
2.z1·z2是实数的含义是什么?
提示:虚部为零.【解析】1.选B.由题意得4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0,a2-4=-4,解得a=0,故选B.
2.z1= (1+i)=2-i,
设z2=a+2i,a∈R,则z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+
(4-a)i,
因为z1·z2∈R,所以a=4,所以z2=4+2i.【延伸探究】将本例2中z1·z2是实数改为“z1·z2是
纯虚数”,其他条件不变,求z2.
【解析】由例题知 解得a=-1所以z2=-1+2i.【方法技巧】复数的乘法运算法则的应用
(1)复数的乘法运算可以把i看作字母,类比多项式的乘法进行,注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.
(2)对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法,用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.【变式训练】(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)
的模为 ,则(a+bi)(a-bi)=__________.
【解题指南】本题直接利用复数的模的概念及乘法运
算求解即可.【解析】因为复数a+bi(a,b∈R)的模为
所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3.
答案:3
类型二 共轭复数
【典例】(2016·兰州高二检测)把复数z的共轭复数记
作 ,已知(1+2i) =4+3i,求z.【解析】设z=a+bi(a,b∈R),则 =a-bi,
由已知得:(1+2i)(a-bi)=(a+2b)+(2a-b)i=4+3i,由复数相等的定义知, 得a=2,b=1,
所以z=2+i.【延伸探究】
1.若把本例条件改为 (z+2)=4+3i,求z.
【解析】设z=x+yi(x,y∈R).则 =x-yi,由题意知,
(x-yi)(x+yi+2)=4+3i.2.若把本例条件改为(1+2i)z=4+3i,求z.
【解析】设z=x+yi,则(1+2i)(x+yi)=4+3i,
得
所以z=2-i.【方法技巧】处理与共轭复数有关问题的思路
当已知条件为含有一个或多个复数z(或其共轭复数)的等式时,常设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.【补偿训练】(2015·广东高考)若复数z=i(3-2i)(i是
虚数单位),则 = ( )
A.3-2i B.3+2i C.2+3i D.2-3i
【解题指南】可先求出z,再利用共轭复数的概念实部
相同,虚部互为相反数求出结果.
【解析】选D.因为z=i(3-2i)=2+3i,所以 =2-3i.类型三 复数代数形式的除法运算
【典例】1.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分
别是 则复数 对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限2.计算:(1)
(2) 【解题探究】1.典例1中复数z1,z2的代数形式为什么?
提示:由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i.
2.观察典例2式子的特征,应如何计算?
提示:先化简,再运算.【解析】1.选B.由复数的几何意义知,z1=-2-i,z2=i,
所以 对应的点在第二象限.
2.(1)方法一: 方法二：
(2)原式=
=(2i)3·i+(-2i)3·(-i)-
=8+8-16-16i=-16i.【方法技巧】复数除法运算法则的应用
(1)复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).(2)对于复数的运算,除了应用四则运算法则之外,对于
一些简单的算式要知道其结果,这样起点就高,计算过
程就可以简化,达到快速、简捷、出错少的效果.比如
下列结果,要记住:
④a+bi=i(b-ai).易错警示:除数是虚数的复数的除法是将分子、分母同乘以分母的共轭复数,再按复数的乘法进行运算,最后化简.【变式训练】
【解析】 【补偿训练】(2017·全国卷Ⅰ)设复数z满足
=i,则|z|= ( )【解题指南】将 =i化为z=a+bi(a,b∈R)的形式,
利用|z|= 求解.
【解析】选A.因为 =i,所以
故|z|=1.自我纠错 复数代数形式的除法
【典例】(2016·西安高二检测)复数 等于
( )
【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.
提示:错解中有两处错的地方:因为i3=-i,所以 -i3=
+i,(1- i)(1+ i)=1-( i)2=1-2·i2=1+2=3.
正确解答过程如下:【解析】选A. 课时提升作业 十一
复数代数形式的乘除运算
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.复数(2+i)2等于 ( )
A.3+4i B.5+4i
C.3+2i D.5+2i
【解析】选A.(2+i)2=4+4i+i2=4+4i-1=3+4i.
2.(2018·长春高二检测)若复数z满足z=(z-1)i,则复数z的模为 ( )
A.1 B. C. D.2
【解析】选B.因为复数z满足z=(z-1)·i,所以z(1-i)=-i,故有z===-i,
故|z|==.
3.(2018·四川高考)设i是虚数单位,则复数i3-= ( )
A.-i B.-3i C.i D.3i
【解题指南】利用i2=-1,对原式化简,便可求解.
【解析】选C.i3-=-i-=-i+2i=i.
4.(2018·东营高二检测)若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是 ( )
A.E B.F C.G D.H
【解析】选D.依题意得z=3+i,====2-i,该复数对应的点的坐标是H(2,-1).
5.(2018·山东高考)若复数z满足2z+=3-2i,其中i为虚数单位,则z= ( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
【解题指南】利用共轭复数的性质解题.
【解析】选B.设z=a+bi(a,b∈R),则2z+=3a+bi=3-2i,所以a=1,b=-2,所以z=1-2i.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.计算(7-i)=________.
【解题指南】复数乘法运算可以把虚数单位i看作一个字母,按照实数的多项式乘法运算法则进行运算.
【解析】(7-i)
=×7-i+i·7-i·i
=+i.
答案:+i
7.(2018·银川高二检测)已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.
【解析】根据已知可得=b+i?2-ai=b+i?即从而a+b=1.
答案:1
【补偿训练】i是虚数单位,若=a+bi(a,b∈R),则乘积ab的值是 ( )
A.-15 B.-3
C.3 D.15
【解析】选B.=
=-1+3i=a+bi,所以a=-1,b=3,
所以ab=-3.
8.(2018·济南高二检测)设x,y为实数,且+=,则x+y=________.
【解析】+=+
=+i,
而==+i,
所以+=且+=,
解得x=-1,y=5,
所以x+y=4.
答案:4
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.计算:(1)(2+i)(2-i).
(2)(1+2i)2.
(3)+.
【解析】(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5.
(2)(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
(3)原式=+
=i6+i=-1+i.
【拓展延伸】复数的运算顺序
复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算乘方、开方,再进行次级运算乘、除,最后进行低级运算加、减,如i的幂运算,先利用i的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.
10.(2018·青岛高二检测)已知复数z=.
(1)求复数z.
(2)若z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.
【解析】(1)z====1+i.
(2)把z=1+i代入z2+az+b=1-i,
得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i,
整理得a+b+(2+a)i=1-i,
所以
解得
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2018·全国卷Ⅲ)若z=4+3i,则= ( )
A.1 B.-1 C.+i D.-i
【解题指南】根据复数的运算法则进行计算.
【解析】选D.==5,=4-3i,
则=-i.
2.(2018·西宁高二检测)复数为纯虚数,则实数a= ( )
A.-2 B.- C.2 D.
【解析】选D.因为复数==
为纯虚数,所以2a-1=0,2+a≠0.解得a=.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.(2018·天津高考)i是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数a的值为____________.
【解析】=a+2+(1-2a)i,该复数为纯虚数,所以a+2=0,且1-2a≠0,所以a=-2.
答案:-2
4.(2018·青岛高二检测)若复数z满足(3-4i)z=4+3i,则|z|=________.
【解题指南】由已知利用复数代数形式的除法运算化简求得z,然后直接利用复数模的公式求解.
【解析】因为(3-4i)z=4+3i,
所以z====i.
则|z|=1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.已知z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.
(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.
【解析】设z1=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
(1)z2=z1+=a+bi+=+i.
因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,所以z2=2a.
由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是.
(2)ω====-i.
因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.
【补偿训练】已知z,ω为复数,(1+3i)z为实数,ω=,且|ω|=5,求ω.
【解析】设ω=x+yi(x,y∈R),
由ω=,得z=ω(2+i)=(x+yi)(2+i).
依题意,得(1+3i)z=(1+3i)(x+yi)(2+i)=( -x-7y)+(7x-y)i,
所以7x-y=0.①
又|ω|=5,所以x2+y2=50.②
由①②得或
所以ω=1+7i或ω=-1-7i.
6.(2018·潍坊高二检测)已知z为虚数,z+为实数.
(1)若z-2为纯虚数,求虚数z.
(2)求|z-4|的取值范围.
【解析】(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0),则z-2=x-2+yi,
由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,则z+=2+yi+=2+i∈R,得y-=0,y=±3,所以z=2+3i或z=2-3i.
(2)因为z+=x+yi+=x++i∈R,
所以y-=0,
因为y≠0,所以(x-2)2+y2=9,
由(x-2)2<9,得x∈(-1,5),
所以|z-4|=|x+yi-4|=
=
=∈(1,5).
3.2.2 复数的乘法和除法
一、基础过关
1．复数－i＋等于 ( )
A．－2i B.i C．0 D．2i
2．i为虚数单位，＋＋＋等于 ( )
A．0 B．2i C．－2i D．4i
3．若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则 ( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝－1，b＝－1 D．a＝1，b＝－1
4．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·是实数，则实数t等于( )
A. B. C．－ D．－
6．若z＝，则复数等于 ( )
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
二、能力提升
7．设复数i满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________．
8．复数的虚部是________．
9．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝________.
10．计算：(1)＋()2 010；
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
11．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.
12．已知复数z的共轭复数为，且z·－3iz＝，求z.
三、探究与拓展
13．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试说明1－i也是方程的根吗？
答案
1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D
7．1
8．－
9．－2i
10．解 (1)＋()2 010
＝＋() 1 005＝i(1＋i)＋()1 005
＝－1＋i＋(－i)1 005＝－1＋i－i＝－1.
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i)
＝22－14i＋25－25i＝47－39i.
11．解 (z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i.
设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，
∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.
12．解 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
又z·－3iz＝，
∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝，
∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，
∴
∴或.
∴z＝－1，或z＝－1－3i.
13．解 (1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴，得.
∴b、c的值为b＝－2，c＝2.
(2)方程为x2－2x＋2＝0.
把1－i代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根．
