15.3 等腰三角形课时作业（1） 有答案

15.3 等腰三角形课时作业（1）
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则它的周长为（　　）
A．16cm B．17cm C．20cm D．16cm或20cm
如图,∥,,，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
如图，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（ ）
A． （1） B． （2） C．（3） D． （4）
如图，∠ADB=∠AEC=100°，∠BAD=50°，BD=EC，则∠C=（　　）
A． B． C． D．
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N．若BM+CN=7，则MN的长为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有
A． 8个 B． 7个 C． 6个 D． 5个
如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，AM的延长线交BC于点N，连接DM，下列结论：①AE＝AF；②DF＝DN；③AN＝BF；④EN⊥NC；⑤AE＝NC，其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠B＝50°，则∠BAD的度数为_____．
如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O．给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：________?
如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∠BAC=128°，∠EAG= ______°.
如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则△BEC的周长为　　．
等腰中，，垂足为点，且，则等腰底角的度数为_______．
如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为　　　　　　．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，DE⊥AC，垂足为E，∠BAC＝50°，求∠ADE的度数．
如图，中，，．
Ⅰ作图：在CB上截取，连接AD，过点D作，垂足为E；要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
Ⅱ求的度数．
如图，在△ABC 中，已知 AB=AC，BD 平分∠ABC，AE 为 BC 边的中线，AE、BD 相交于点 D，其中∠ADB=125°，求∠BAC 的度数．
如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且AE=BC，∠1=∠2．
（1）证明：AB=AD+BC；
（2）判断△CDE的形状？并说明理由．
如图在△ABC中，AD为BC边上的中线，E是线段AD上一点，且AE＝BC，BE的延长线交AC于F，若AF＝EF．
求证：（1）AC＝BE （2）∠ADC＝60°．
答案解析
、选择题
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】根据等腰三角形的性质，本题要分情况讨论．当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况．
解：等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，平行线的性质
【分析】直接利用等腰三角形的性质结合平行线的性质得出答案．
解：∵AD＝CD，∠1＝50°，
∴∠CAD＝∠ACD＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠ACD＝65°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，正确得出∠ACD＝65°是解题关键．
【考点】尺规作图的语言正确性的判断
【分析】1）、（2）、（4）均符合基本作图的要求，对于（3）在直线MN上截去线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符.正确的语言表达为“在射线DA上截取一点A，使DA=h”.
解：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符．
故选C.
【点评】本题考查了学生用简练、准确地运用几何语言表达作图方法与步骤的能力．
【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】根据AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=110°，可知△ADB≌△AEC，可得出AB=AC，根据等腰三角形的性质即可解答．
解：∵∠ADB=∠AEC=100°，
∴∠ADE=∠AED=80°，
∴AD=AE，
∵∠BAD=50°，
∴∠B=180°-100°-50°=30°，
在△ADB与△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，属于基础题，解题关键是先求出AB=AC，再根据等腰三角形等边对等角的关系即可．
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，
∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，
∴BM=ME，EN=CN，
∴MN=ME+EN，
即MN=BM+CN，
∵BM+CN=7，
∴MN=7，
故选：B．
【点评】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME△CNE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的性质和判定，角平分线定义，三角形内角和定理
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠ACB＝72°，根据角平分线求出∠ABD＝∠DBC＝∠ACE＝∠ECB＝36°，根据三角形内角和定理求出∠BDC、∠BEC、∠EOB、∠DOC，根据等腰三角形的判定推出即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°?∠A）＝72°，
∵BD，CE是角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝36°，∠ACE＝∠ECB＝36°，
∴∠A＝∠ABD＝∠ACE，∠DBC＝∠ECB，
∴∠BDC＝180°?∠ACB?∠DBC＝180°?72°?36°＝72°，
同理∠BEC＝72°，
∴∠BDC＝∠ACB，∠BEC＝∠EBC，
∴∠EOB＝180°?∠BEC?∠EBD＝180°?72°?36°＝72°，
同理∠DOC＝72°，
∴∠BEO＝∠BOE，∠CDO＝∠COD，
即等腰三角形有△OBC，△ADB，△AEC，△BEC，△BDC，△ABC，△EBO，△DCO，共8个，
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，角平分线定义，三角形内角和定理的应用，关键是能求出各个角的度数．
【考点】等腰三角形的性质
【分析】①根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得，继而可得∠AFE=∠AEB=67.5°，即可判断①；
②求出BD=AD，∠DBF=∠DAN，∠BDF=∠ADN，证△DFB≌△DAN，即可判断②；
③根据A．B、D、M四点共圆求出∠ADM=22.5°，根据三角形外角性质求出∠DNM，求出∠MDN=∠DNM，即可判断③；
④求出∠BMD=45°=∠BMN，即可判断④；
⑤证明△AFB≌△CNA可得AF=CN，由AF=AE，即可判断⑤．
解：∵等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠C＝45°，
∵∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠AEF＝∠CBE+∠C＝22.5°+45°＝67.5°，∠AFE＝∠FBA+∠BAF＝22.5°+45°＝67.5°
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
故①正确；
∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝45°＝∠CAD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，
∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，
∴AF＝AE，AM⊥BE，
∴∠AMF＝∠AME＝90°，
∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，
在△FBD和△NAD中
，
∴△FBD≌△NAD（ASA），
∴DF＝DN，AN＝BF，
∴②③正确；
连接EN，
∵AE＝AF，FM＝EM，
∴AM⊥EF，
∴∠BMA＝∠BMN＝90°，
∵BM＝BM，∠MBA＝∠MBN，
∴△MBA≌△MBN，
∴AM＝MN，
∴BE垂直平分线段AN，
∴AB＝BN，EA＝EN，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△NBE，
∴∠ENB＝∠EAB＝90°，
∴EN⊥NC．
故④正确；
在△AFB和△CNA中，
，
∴△AFB≌△CAN（ASA），
∴AF＝CN，
∵AF＝AE，
∴AE＝CN，
故⑤正确；
其中正确结论的个数是：①②③④⑤，共5个；
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形三线合一的性质和应用，能正确证明两个三角形全等是解此题的关键．
、填空题
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的性质可得到AD是顶角的角平分线和高线，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD是∠BAC的角平分线和高线，
∵∠B＝50°，
∴∠BAD＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
【考点】等腰三角形的判定
【分析】根据已知条件求证△EBO≌△DCO，然后可得∠OBC=∠OCB再利用两角相等即可判定△ABC是等腰三角形．此题答案不唯一．　
答：由①③条件可判定△ABC是等腰三角形．
证明：∵∠EBO=∠DCO，∠EOB=∠DOC，（对顶角相等）
BE=CD，
∴△EBO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴△ABC是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A+∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB=∠B，同理∠GAC=∠C，计算即可．
解：∵∠BAC=128°，
∴∠B+∠C=180°-128°=52°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠B，
同理∠GAC=∠C，
∴∠EAB+∠GAC=∠A+∠B=52°，
∴∠EAG=128°-52°=76°，
故答案为：76°．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键。
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后求出△BEC周长=AC+BC，再根据等腰三角形两腰相等可得AC=AB，代入数据计算即可得解．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∵AC=AB=8，BC=6，
∴△BEC周长=8+6=14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两腰相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【考点】等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【分析】分点是顶点、点是底角顶点、在外部和在内部三种情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算．
解：①如图1，点是顶点时，
，，
，
，
，
在中，；
②如图2，点是底角顶点，且在外部时，
，，
，
，
；
③如图3，点是底角顶点，且在内部时，
，，
，
，
；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，关键在于分类讨论思想的应用，是一道很好的练习题.
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再根据EP⊥BC，得出∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，从而得出∠D=∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E=∠AFE，最后根据等角对等边即可得出答案．
证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EP⊥BC，
∴∠C+∠E=90°，∠B+∠BFP=90°，
∴∠E=∠BFP，
又∵∠BFP=∠AFE，
∴∠E=∠AFE，
∴AF=AE，
∴△AEF是等腰三角形．
又∵AF=2，BF=3，
∴CA=AB=5，AE=2，
∴CE=7．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解题的关键是证明∠E=∠AFE，注意等边对等角，以及等角对等边的使用．
、解答题
【考点】等腰三角形的性质
【分析】由等腰三角形“三线合一”得到∠DAE的度数，再由直角三角形的两锐角互余得到结论．
解：∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵∠BAC＝50°，
∴∠DAE＝∠BAC＝25°．
又∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°－∠DAE＝90°－25°＝65°．
【考点】查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余
【分析】（Ⅰ）以C为圆心CA为半径画弧交CB于D，作即可；
Ⅱ先由等腰三角形的性质求出，再在在中根据直角三角形两锐角互余计算即可；
解：Ⅰ如图，点D就是所求作的点，线段AD，DE就是所要作的线段．
Ⅱ，
，
在中，
．
【点睛】本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
【考点】等腰三角形的性质
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠DBE，然后根据角平分线的定义求出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和定理列式进行计算即可求出∠BAC．
解：∵AB=AC，AE为BC边的中线，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
又∵∠ADB=125°，
∴∠DBE=∠ADB-∠AEB=35°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBE=70°，
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=40°．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质，角平分线的定义，准确识图并熟记性质是解题的关键．
【考点】等腰三角形的判定，垂直的定义，全等三角形的判定和性质
【分析】(1)易证DE=CE，即可证明RT△ADE≌RT△BEC，可得AD=BE，即可解题;
(2)由RT△ADE≌RT△BEC可得∠AED=∠BCE，即可求得∠DEC=90°，即可解题.
解：（1）∵∠1=∠2，
∴DE=CE，
∵在RT△ADE和RT△BEC中，，
∴RT△ADE≌RT△BEC，（HL）
∴AD=BE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AD+BC；
（2）∵RT△ADE≌RT△BEC，
∴∠AED=∠BCE，
∵∠BCE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠AED=90°，
∴∠DEC=90°，
∴△CDE为等腰直角三角形.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直的定义，全等三角形的判定,全等三角形对应角、对应边相等的性质,本题中求证RT△ADE≌RT△BEC是解题的关键.
【考点】全等三角形的判定和性质,三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质
【分析】（1）倍长AD至点T，先证明△ACD≌△TBD得AC=BT，在证明BT=BE即可解决问题
(2)在DT上取DM=DC,连接BM.想办法证明△BDM是等边三角形即可解决问题
证明:(1)倍长AD至点T,连BT
在△ACD和△TBD中
∵AD=DT;∠ADC=∠BDT;CD=BD
∴△ACD≌△TBD
∴AC=BT,∠CAD=∠T,
又∵AF=EF
∴∠CAD=∠AEF=∠BET
∴BT=BE
∴BE=AC
(2)在DT上取DM=DC,连接BM
∴AEtED=ED+DM
即AD=EM
∴△DAC≌△MEB(SAS)
∴BM=CD=BD
∴△BDM为正三角形
∴∠ADC=∠BDM=600
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质,三角形中线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形,属于中考常考题