15.3 等腰三角形课时作业（2） 有答案

15.3 等腰三角形课时作业（2）
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是（　　）
A． 180° B． 220° C． 240° D． 300°
如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，∠1=20°，则∠2的度数为（　　）
A．60° B．45° C．40° D．30°
如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）
A．45° B．55° C．60° D．75°
如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为（　　）
A．（2，） B．（，2） C．（，3） D．（3，）
如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧作正△BCE、正△ABF和正△ACD，已知BC=3，高AH=1，则五边形BCDEF的面积是（　　）
A．3+ B．3+ C．6 D．
如图，在四边形ABCD中AC，BD为对角线，AB＝BC＝AC＝BD，则∠ADC的大小为（　　）
A．120° B．135° C．145° D．150°
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=_________．
如图，AB=AC=8cm，DB=DC，若∠ABC=60°，则BE=　　　　　　cm．
如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为　 　．
如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为　 　．
如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是　 　．
如图，已知点B．C．D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，
AD交CE于H．
①△BCE≌△ACD；②CF＝CH；③△CFH为等边三角形；④FH∥BD；
⑤AD与BE的夹角为60°，以上结论正确的是　______________．说明理由。
、解答题（本大题共5小题，共35分）
已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．
如图，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．
（1）作图：
①过B作AC的平行线BH；
②过D作BH的垂线，分别交AC，BH，AB的延长线于E，F，G．
（2）在图中找出一对全等的三角形，并证明你的结论．
如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，延长AC至E，使CE=AC．
（1）求证：DE=DB；
（2）连接BE，试判断△ABE的形状，并说明理由．
如图，在四边形ABCD中，AD=BC且AD∥BC，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=20°，求∠AED的度数．
 (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E.求证：DE＝BD＋CE；
(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)拓展与应用：如图(3)，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】等边三角形的判定．
【分析】根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【考点】等边三角形的性质；多边形内角与外角．
【分析】本题可先根据等边三角形顶角的度数求出两底角的度数和，然后在四边形中根据四边形的内角和为360°，求出∠α+∠β的度数．
解：∵等边三角形的顶角为60°，
∴两底角和=180°﹣60°=120°；
∴∠α+∠β=360°﹣120°=240°；
故选C．
【点评】本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°，四边形的内角和是360°等知识，难度不大，属于基础题
【考点】平行线的性质；等边三角形的性质．
【分析】延长AC交直线m于D，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠3，再根据两直线平行，内错角相等解答即可．
解：如图，延长AC交直线m于D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠3=60°﹣∠1=60°﹣20°=40°，
∵l∥m，
∴∠2=∠3=40°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键，也是本题的难点．
【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中，，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故选C
【点评】本题考查等边三角形的性质，关键是利用等边三角形的性质来为三角形全等的判定创造条件，是中考的热点．
【考点】含30°直角三角形，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质
【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，由直角三角形的性质求出EF长和OF长即可．
解：过点E作EF⊥x轴于点F，
∵四边形OABC为菱形，∠AOC＝60°，
∴＝30°，∠FAE＝60°，
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴＝2，
∴，EF＝＝＝，
∴OF＝AO﹣AF＝4﹣1＝3，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质．正确作出辅助线是解题的关键．
【考点】面积及等积变换．
【分析】由正△ABF、正△BCE、正△ACD和正△BCE可知：△ABC≌△FBE≌△DEC，所以由S△ABC=S△FBE=S△DEC求得△FBE与△DEC的面积，然后求得正△BCE的面积，由五边形BCDEF的面积=S△BCE+S△FBE+S△DEC即可求得答案．
解：∵正△ABF和正△BCE，
∴AB=BF，BC=BE，∠ABC=∠FBE=60°﹣∠EBA，
∴△ABC≌△FBE，
同理，∵正△ACD和正△BCE，
∴AC=DC，BC=EC，∠ACB=∠DCE=60°﹣∠ECA，
∴△ABC≌△DEC，
∴△ABC≌△FBE≌△DEC，
∴S△ABC=S△FBE=S△DEC=×3×1=，
又∵S△BCE=×3×3×sin60°=，
∴五边形BCDEF的面积=S△BCE+S△FBE+S△DEC=++=3+．
故选A．
【点评】此题考查了正三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形面积的求解问题．此题难度较大，解题的关键是得到五边形BCDEF的面积=S△BCE+S△FBE+S△DEC与△ABC≌△FBE≌△DEC．
【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质
【分析】先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的每一个内角都是60°可得∠ABC＝60°，再根据等腰三角形两底角相等表示出∠ADB、∠BDC，然后根据∠ADC＝∠ADB+∠BDC求解即可．
解：∵AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝BC＝BD，
∴∠ADB＝（180°﹣∠ABD），
∠BDC＝（180°﹣∠CBD），
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC，
＝（180°﹣∠ABD）+（180°﹣∠CBD），
＝（180°+180°﹣∠ABD﹣∠CBD），
＝（360°﹣∠ABC），
＝180°﹣×60°，
＝150°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，本题主要利用了等腰三角形两底角相等，要注意整体思想的利用．
、填空题
【考点】等腰三角形的性质，等边三角形的性质
【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴
又点D是边BC的中点，
∴
故答案是：30°．
【点睛】考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
【考点】等边三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】先证明△ABC是等边三角形，再证明AD是BC的垂直平分线，即可得出BE=BC=4cm．
解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm，
∵DB=DC，
∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，
∴BE=BC=4cm．
故答案为：4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质和线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；证明AD是BC的垂直平分线是解题的关键．
【考点】规律型：点的坐标，等边三角形的性质
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
【考点】作图—基本作图，等边三角形的判定和性质
【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD=AD=DC，可得S△ADC=S△ABD即可解决问题；
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴DA=DC，
∴∠C=∠DAC=30°，
∴∠ADB=∠C+∠DAC=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AD=DC，
∴S△ADC=S△ABD=×62=9，
故答案为9．
【点评】本题考查作图基本作图,三角形的面积,等边三角形的判定和性质,等高模型等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型。　
【考点】线段的性质：两点之间线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．
【点评】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．
【考点】全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质
【分析】①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH；
③由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形；
④∠DCH=∠CHF=60°，可得FH∥BD；
⑤设AD，BE相较于点O，根据三角形内角和定理可得∠CAD+∠CDA=60°，而∠CAD=∠CBE，则∠CBE+∠CDA=60°，然后再利用三角形内角和定理即可得到∠BOD=120°，进而可得AD与BE的夹角为60°．
证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD{BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
∠CBF=∠CAHBC=AC∠BCF=∠ACH{∠CBF=∠CAHBC=AC∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
（3）∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形；
（4）∵△CHF为等边三角形
∴∠FHC=60°，
∵∠HCD=60°，
∴FH∥BD．
∴AD=BE；
（5）∵∠CAD+∠CDA=60°，
而∠CAD=∠CBE，
∴∠CBE+∠CDA=60°，
∴∠BOD=120°，
∴∠AOB=60°，
即AD与BE的夹角为60°，
故答案为：①②③④⑤．
【点评】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共
有四个定理，即AAS、ASA．SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三
角形全等是正确解答本题的关键．
、解答题
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等边三角形的判定与性质
【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵D为AC的中点，
∴AD=DC，
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠A=∠C，
∴BA=BC，∵AB=AC，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；等边三角形的性质．
【分析】（1）根据平行线及垂线的作法画图即可；
（2）根据ASA定理得出△DEC≌△DFB即可．
解：（1）作图如下：①如图1；
②如图2：
（2）△DEC≌△DFB
证明：∵BH∥AC，
∴∠DCE=∠DBF，
又∵D是BC中点，
∴DC=DB．
在△DEC与△DFB中，
∵，
∴△DEC≌△DFB（ASA）．
【点评】本题考查的是作图-基本作图，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．　
【考点】等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质
【分析】（1）由直角三角形的性质和角平分线得出∠DAB=∠ABC，得出DA=DB，再由线段垂直平分线的性质得出DE=DA，即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得出BA=BE，再由∠CAB=60°，即可得出△ABE是等边三角形．
（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴BC⊥AE，∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠CAB=30°=∠ABC，
∴DA=DB，
∵CE=AC，
∴BC是线段AE的垂直平分线，
∴DE=DA，
∴DE=DB；
（2）△ABE是等边三角形；理由如下：
连接BE，如图：
∵BC是线段AE的垂直平分线，
∴BA=BE，
即△ABE是等腰三角形，
又∵∠CAB=60°，
∴△ABE是等边三角形．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识．
【考点】平行的性质，全等三角形的判定与性质．
【分析】 （1）从题中可知△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．
（2）根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD．
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE=∠BAE；
又∵∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE=60°．
∵∠EAC=20°，
∴∠BAC=8O°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=80°．
【点评】 本题主要考查了全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA．AAS、HL，熟记全等三角形的各种判定方法是解题关键．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；（2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE；（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
证明：(1)∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∵BD⊥CD，CE⊥CD，
∴∠BDA＝90°，∠CEA＝90°，
∴∠BAD＋∠DBA＝90°，
∴∠CAE＝∠DBA，∠BDA＝∠CEA，
∵AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴DE＝AD＋AE＝EC＋BD，即DE＝BD＋CE
(2)成立．理由如下：
∵∠BDA＝∠BAC，∠BDA＋∠DBA＝∠BAC＋∠CAE，
∴∠DBA＝∠CAE，
∵∠BDA＝∠AEC，AB＝AC，
∴△BDA≌△AEC(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝EC，
∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE
(3)△DEF是等边三角形，理由如下:
由(1)(2)可证得△BDA≌△AEC，
∴∠BAD＝∠ACE，AD＝EC，
∵△ABF和△ACF是等边三角形，
∴FC＝FA，∠FCA＝∠FAB＝60°，
∴∠BAD＋∠FAB＝∠ACE＋∠FCA，
∴∠DAF＝∠ECF，
∴△FAD≌△FCE(SAS)，
∴FD＝FE，∠DFA＝∠EFC，
∵∠EFC＋∠AFE＝60°，
∴∠DFA＋∠AFE＝60°，
∴∠DFE＝60°，
∴△DEF是等边三角形
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.