15.3 等腰三角形（3）课时作业 有答案

15.3 等腰三角形（3）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是（　　）
A． 30° B． 15° C． 20° D． 35°
如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB、AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A． 3 B． C． 4.5 D． 6
如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=24，点M，N在边OB上，PM=PN，若NM=6，则OM等于（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
如图，等边△ABC的边长为1 cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点处，且点在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．

在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最短边BC=4cm，则最长边AB的长是（　　）
A． 5cm B． 6cm C． cm D． 8cm
如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F，作CM⊥AD，垂足为M，下列结论不正确的是（　　）
A． AD=CE B． MF=CF C． ∠BEC=∠CDA D． AM=CM
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，BC=2.3，那么∠A=　 　，AB=　 　．
△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于E，交BC于F．若FC=3 cm，则BF=_________．
如图，在长方形ABCD的边AD上找一点P，使得点P到B、C两点的距离之和最短，则点P的位置应该在____________．
如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA．OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是_____．
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD．若∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝BD，则∠ADC＝　 　°．
如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是　 　（用含m的代数式表示）．
、解答题（本大题共5小题，共35分）
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=1，求AD的长．
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD=1．
（1）求点D到AB的距离；
（2）求BD的长度．
如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．
（1）求∠F的度数；
（2）若CD=2，求DF的长．
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，△BDC为等腰直角三角形，∠BDC=90°，BD=CD；CE与BD交于F，连AF，M为BC中点，连接DM交CE于N．请说明：
（1）△ABD≌△NCD；
（2）CF=AB+AF．
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点P是BC上的一动点,AP=AQ,∠PAQ=90°,连接CQ.
（1）求证：CQ⊥BC．
（2）△ACQ能否是直角三角形?若能,请直接写出此时点P的位置；若不能,请说明理由.
（3）当点P在BC上什么位置时，△ACQ是等腰三角形?请说明理由.
答案解析
、选择题
【考点】线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝12，根据直角三角形30度角的性质解答即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC＝12，
∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，
∴DE＝EB＝6，
故选：D．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
【考点】轴对称-最短路线问题轴对称-最短路线问题
【分析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当三点在同一直线上时，的值最小．
解：由题意知，当B.?P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，
连接BD交MN于P，
∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴PA=PC，
∴
【点睛】考查轴对称-最短路线问题，找出点C关于直线MN的对称点是B，根据两点之间，线段最短求解即可.
【考点】轴对称-最短路线问题
解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AB=AC，AD⊥BC于D，
∴∠ABC=∠C，AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵∠ABC=∠C，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，
∵BH⊥AC，
∴BH=AB=3．
故选A．
【点睛】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过三线合一的性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【分析】过点P作PC⊥OB于C，根据直角三角形两锐角互余求出∠OPC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得OC=OP，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CM=MN，然后根据OM=OC﹣CM计算即可得解．
解：如图，过点P作PC⊥OB于C，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPC=30°，
∴OC=OP=×24=12，
∵PM=PN，
∴CM=MN=×6=3，
∴OM=OC﹣CM=12﹣3=9．
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．　
【考点】轴对称的性质;翻折变换(折叠问题)
【分析】由题意得AE=AE,AD=AD,故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长
解:将△ADE沿直线DE折叠,点A落在点
所以AD=AD,AE=AE
则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+AD+AE
BC+BD+CE+AD+AE=BC+AB+AC
故答案为:3
【点评】折叠间题的实质是“轴对称”,解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】利用三角形的内角和和角的比求出三角的度数，再由最小边BC=4cm，即可求出最长边AB的长．
解：设∠A=x，
则∠B=2x，∠C=3x，
由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=x+2x+3x=180°，
解得x=30°，
即∠A=30°，∠C=3×30°=90°，
即△ABC为直角三角形，
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴AB=2BC=2×4=8cm，
故选D．
【点评】本题很简单，考查的是直角三角形的性质，即在直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半．
【考点】 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【分析】 由等边三角形的性质和已知条件证出△AEC≌△BDA，即可得出A正确；
由全等三角形的性质得出∠BAD=∠ACE，求出∠CFM=∠AFE=60°，得出∠FCM=30°，即可得出B正确；
由等边三角形的性质和三角形的外角性质得出C正确；
D不正确．
解：A正确；理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC
又∵AE=BD
在△AEC与△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS），
∴AD=CE；
B正确；理由如下：
∵△AEC≌△BDA，
∴∠BAD=∠ACE，
∴∠AFE=∠ACE+∠CAD=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠CFM=∠AFE=60°，
∵CM⊥AD，
∴在Rt△CFM中，∠FCM=30°，
∴MF=CF；
C正确；理由如下：
∵∠BEC=∠BAD+∠AFE，∠AFE=60°，
∴∠BEC=∠BAD+∠AFE=∠BAD+60°，
∵∠CDA=∠BAD+∠CBA=∠BAD+60°，
∴∠BEC=∠CDA；
D不正确；理由如下：
要使AM=CM，则必须使∠DAC=45°，由已知条件知∠DAC的度数为大于0°小于60°均可，
∴AM=CM不成立；
故选：D．
【点评】 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
、填空题
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】先利用直角三角形的两个锐角的和为90°，可得∠A=30°，再利用直角三角形中30°角对应的直角边等于斜边的一半，即可得AB=2BC．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
所以∠A=30°，又BC=2.3，
所以AB=4.6．
【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形
【分析】利用辅助线，连接AF，求出CF=AF，∠BAF=90°，再根据AB=AC，∠BAC=
120°可求出∠B的度数，由直角三角形的性质即可求出BF=2AF=2CF=6 cm.
解：连接AF．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°；
∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F，
∴CF=AF，∠FAC=30°，
∴∠BAF=90°，
∴BF=2AF（30°直角边等于斜边的一半），
∴BF=2CF=6 cm．
故答案是：6 cm?
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形．解题的时，通过作辅助线AF构造直角三角形ABF，利用垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等以及等腰三角形的两个底角相等等知识求得BF的长度．
【考点】轴对称-最短路线问题
【分析】过AD作C点的对称点C′，根据轴对称的性质或线段垂直平分线的性质得出AC=PC′，从而根据两点之间线段最短，得出这时的P点使BP+PC的之最短.
解：如图，过AD作C点的对称点C′，
根据轴对称的性质可得：PC=PC′，CD=C′D
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD
∴△ABP≌△DC′P
∴AP=PD
即P为AD的中点.
故答案为：P为AB的中点.
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，矩形的性质，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
【考点】轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定
【分析】先作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,可证∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2, ∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,继而可得△OP′P″是等边三角形,即PP′=OP′=2．
解：作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,
∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,
所以,△OP′P″是等边三角形,
所以,PP′=OP′=2．
故答案为:2.
【点睛】本题主要考查轴对称和等边三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握轴对称性质和等边三角形的判定.
【考点】平行线的性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形
【分析】作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，则DE＝CF，由等腰直角三角形的性质得出CF＝AF＝BF＝AB，得出DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，由直角三角形的性质得出∠ABD＝30°，得出∠BAD＝∠BDA＝75°，再由平行线的性质即可得出答案．
解：作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，如图所示：
则DE＝CF，
∵CF⊥AB，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴CF＝AF＝BF＝AB，
∵AB＝BD，∴DE＝CF＝AB＝BD，∠BAD＝∠BDA，
∴∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∵AB∥CD，
∴∠ADC+∠BAD＝180°，
∴∠ADC＝105°，
故答案为：105°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证出∠ABD＝30°是解题的关键．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】先判断出∠ADE=∠BDF，进而判断出△ADE≌△BDF得出AE=BF，DE=DF，利用勾股定理求出EF即可得出结论．
解：如图，
连接BD，在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴BD=AD=CD，∠DBC=∠A=45°，∠ADB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，DE=DF，
在Rt△DEF中，DF=DE=m．
∴EF=DE=m，
∴△BEF的周长为BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+m，
故答案为：（m+2）
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．　
、解答题
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】易证∠BCD=∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．
解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，
∴∠BCD=∠A=30°，
∵BD=1，
∴BC=2，
∴AB=4，
∴AD=AB﹣BD=3．
【点评】本题考查了直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得AB的长是解题的关键．　
【考点】角平分线的性质，含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；
（2）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60°，根据角平分线的定义求出∠DAB，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质计算即可．
解：（1）过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=CD=1，
即：点D到AB的距离为1；
（2）∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°﹣30°=60°，
∵AD平分∠CAB，CD=1．
∴∠BAD=∠CAD=30°，
即：BD=AD=2CD=2，
∴BD的长度是2．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．　
【考点】等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠EDC=∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；
（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°，
∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，
∴△EDC是等边三角形．
∴ED=DC=2，
∵∠DEF=90°，∠F=30°，
∴DF=2DE=4．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．
【考点】全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质
【分析】（1）只要证明∠ABD=∠DCN，∠ADB=∠CDN=45°，即可解决问题．
（2）先证明△FDA≌FDN，得到AF=FN，再根据AB=CN，即可证明．
证明：（1）∵CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠ABD+∠EFB=90°，∠DCF+∠DFC=90°，∠EFB=∠DFC，
∴∠ABD=∠DCN，
∵DB=DC，∠BDC=90°，BM=CM，
∴∠MDB=∠MDC=∠DBC=45°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠ADB=∠CDN，
在△ADB和△NDC中，
，
∴△ABD≌△NCD．
（2）∵△ABD≌△NCD，
∴AD=DN，AB=CN，
在△FDA和△FDN中，
，
∴△FDA≌△FDN，
∴AF=FN，
∴CF=CN+FN=AB+AF．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质
【分析】（1）根据同角的余角相等求出∠BAP=∠CAQ，然后利用“边角边”证明△ABP和△ACQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACQ=∠B，再根据等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，然后求出∠BCQ=90°，然后根据垂直的定义证明即可；
（2）分∠APB和∠BAP是直角两种情况求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答；
（3）分BP=AB，AB=AP，AP=BP三种情况讨论求出点P的位置，再根据△ABP和△ACQ全等解答．
解：（1）∵∠BAP+∠CAP=∠BAC=90°,∠CAQ+∠CAP=∠PAQ=90°,
∴∠BAP=∠CAQ,
在△ABP和△ACQ中，
，
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴∠ACQ=∠B,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠BCQ=∠ACB+∠ACQ=45°+45°=90°,
∴CQ⊥BC；
（2）当点P为BC的中点或与点C重合时，△ACQ是直角三角形；
（3）①当BP=AB时，△ABP是等腰三角形;
②当AB=AP时，点P与点C重合;
③当AP=BP时,点P为BC的中点；
∵△ABP≌△ACQ,
∴当点P为BC的中点或与点C重合或BP=AB时，△ACQ是等腰三角形.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，求出△ABP和△ACQ全等是解题的关键，难点在于（2）（3）要分情况讨论．