15.4 角的平分线课时作业 有答案
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15.4 角的平分线课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E.当∠B＝30°时，图中一定不相等的线段有( )．
A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD C．CD＝DE D．AC＝BD
如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A． M点 B． N点 C． P点 D． Q点
△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
如图，点P是Rt△ABC各内角平分线的交点，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.4
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）．
A． B．2 C．3 D．
如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC= 度．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是____．
如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积=_________.
如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为_____．
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D。若BD＝BC，则∠A＝________度.
如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．
、解答题（本大题共5小题，共36分）
如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，点P是AD延长线上的一点，且PB⊥AB，PC⊥AC．求证：PB＝PC．
如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF，EF．则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.
求证：CE=CF．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)求△BDE的周长．
如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，延长 AE 交 BC 的 延长线于点 F.
（1）△DAE 和△CFE 全等吗？说明理由；
（2）若 AB=BC+AD，说明 BE⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若 EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出 E 到 AB 的距离？如果能 请直接写出结果.
答案解析
、选择题
【考点】线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含300角的直角三角形
【分析】分别根据线段垂直平分线及角平分线的性质对四个答案进行逐一判断即可．
解：∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=60°，AC=AB， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，AE=BE=AB， ∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A．B正确； ∴∠CAD=30°， ∴AD是∠BAC的平分线 ∵CD⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=DE，故C正确； 故选D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线及角平分线的性质、直角三角形的性质，涉及面较广，难度适中．
【考点】角平分线的性质
【分析】分析题目已知条件，可利用角平分线的性质进行解答.
解：∵AD平分∠CAB交BC于点D，∠C＝90°，DE⊥AB
∴DE=CD=．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线上的点到两边的距离相等，解题关键是熟记定理.
【考点】 角平分线的性质．
【分析】 根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】 本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°
∠OBC+∠OCB=70°
∠BOC=180°-70°=110°
故选A．
【点睛】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
【考点】角平分线的性质
【分析】根据角平分线的性质定理可得点P到各边的距离都相等，设点P到各边的距离为r，根据直角三角形面积的两种表示法可得AC?BC=（AC+BC+AB）?r，由此即可求得r的值，即为PE的值.
解：∵点P为三条角平分线的交点，
∴点P到各边的距离都相等，设点P到各边的距离为r，
∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC?BC=（AC+BC+AB）?r，
∴3×4=（3+4+5）×r，
解得：r=1．
即PE=1.
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．根据S△ABC=AC?BC=（AC+BC+AB）?r求得r的值是解决问题的关键.
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选C．
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A．B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE=AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF=∠DCE，
∴A．B、C、D四点共圆，
∴∠BDC=∠BAC，故③正确；
∠DAE=∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
、填空题
【考点】等腰三角形的性质；角平分线的性质．
【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形外角的性质求即可解．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°
∴∠ABC=∠C==65°
又BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=32.5°
∴∠BDC=50°+32.5°=82.5°．
故填82.5．
【点评】本题考查了三角形外角的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
【考点】角平分线性质
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE=6，根据角平分线性质求出CD=DE=6，求出BD即可．
解：过D作DE⊥AB于E．
∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6．
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6．
∵CDDB，
∴DB=12，
∴BC=6+12=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【考点】角平分线的性质
【分析】根据△ABC的三条角平分线交于O点，故点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，再把这三个三角形的面积加起来即为△ABC的面积.
解：∵△ABC的三条角平分线交于O点，
∴点O到三角形各边的距离相等，
即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，h=5,
∵△ABC的周长为20，即AB+AC+BC=20,
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=ABh+ACh+BCh
=（AB+AC+BC）h
=205=50.
【点睛】此题主要考察三角形内角平分线的性质.
【考点】角平分线的性质
【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．
解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，
又∵∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=5，
∴DP=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质
【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
解：∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠C=∠BDC=2∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，
解得∠A=36°．
【点睛】本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
、解答题
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】根据SSS证明△ABD≌△ACD，推出∠BAP=∠CAP，利用角平分线的性质定理即可解决问题.
解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PB⊥AB，PC⊥AC，
∴PB＝PC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】根据角平分线的性质，得PD=PE，根据三角形的外角的性质，得∠DPF=∠EPF，再根据SAS证明△DPF≌△EPF，则DF=EF．
解：DF＝EF．
理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，∠DOP＝∠EOP，∠ODP＝∠OEP＝90°．
∵∠DPF是△ODP的外角，∠EPF是△OEP的外角
∴∠DPF＝∠DOP+∠ODP，∠EPF＝∠EOP+∠OEP，
∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，，
∴△DPF≌△EPF（SAS），
∴DF＝EF（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键．
【考点】角平分线的性质，等腰三角形的判定
【分析】利用BF平分∠ABC知∠CBF＝∠DBE，又∠ACB=90°,CD⊥AB得∠CFB＝∠DEB，再利用对顶角相等得∠CFB＝∠FEC，即CE＝CF.
证明：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°
∵BF平分∠ABC
∴∠CBF＝∠DBE
∴∠CFB＝∠DEB
∵∠FEC＝∠DEB
∴∠CFB＝∠FEC
∴CE＝CF
【点睛】此题主要考察角平分线的定义，并通过角的等量变换，等腰三角形的判定进行证明.
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积
【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）根据三角形面积公式可求得S△ABC＝24，再根据S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝AC·CD＋AB·DE，可求得AB的长，再根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，继而可求得BE的长，再求△BDE的周长即可.
解：(1)∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
(2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝AC·BC＝24，
又∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝AC·CD＋AB·DE，
∴×6×3＋AB×3＝24，
∴AB＝10.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4，
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE＝BC＋BE＝8＋4＝12.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握和应用相关性质是解题的关键.
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，根据中点定义可得DE=EC，结合对顶角相等即可根据“ASA”得到△ADE≌△FCE；
（2）由全等三角形的性质可得AD=CF，AE=EF，从而AB=BF，E为为 AF 中点，由三线合一的性质知BE⊥AF，BE平分∠ABC；
（3）由（2）知BE平分∠ABC，根据角平分线的性质即可得到答案.
解：（1）△DAE≌△CFE 理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
∵ADC＝(ECF（已证），
DE＝EC（已证），
(AED＝(CEF（对顶角相等），
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=EF（全等三角形的对应边相等），
∴E 为 AF 中点，即 BE 是△ABF 中 AF 边上的中线，
∵AB=BC+AD，
∴AB=BC+CF=BF，
∴BE⊥AF（三线合一）；
（3）∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=90°,
∵CE=5，
∴E 到 AB 的距离等于5.
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解（1）的关键，熟练掌握等腰三角形的性质是解（2）的关键，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解（3）的关键.
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）
如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于D，交AB于点E.当∠B＝30°时，图中一定不相等的线段有( )．
A．AC＝AE＝BE B．AD＝BD C．CD＝DE D．AC＝BD
如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若CD＝，则DE的长为（ ）
A．2 B．3 C． D．2
在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A． M点 B． N点 C． P点 D． Q点
△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
如图，点P是Rt△ABC各内角平分线的交点，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.4
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（ ）．
A． B．2 C．3 D．
如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：
①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC= 度．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是____．
如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积=_________.
如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝5，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C，若P是边BC上一动点，则DP长的最小值为_____．
如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D。若BD＝BC，则∠A＝________度.
如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PC＝4，点D是射线OA上的一个动点，则PD的最小值为_____．
、解答题（本大题共5小题，共36分）
如图，已知：AB＝AC，BD＝CD，点P是AD延长线上的一点，且PB⊥AB，PC⊥AC．求证：PB＝PC．
如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交OA于点D，PE⊥OB交OB于E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF，EF．则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.
求证：CE=CF．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
(1)求DE的长；
(2)求△BDE的周长．
如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，延长 AE 交 BC 的 延长线于点 F.
（1）△DAE 和△CFE 全等吗？说明理由；
（2）若 AB=BC+AD，说明 BE⊥AF；
（3）在（2）的条件下，若 EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求出 E 到 AB 的距离？如果能 请直接写出结果.
答案解析
、选择题
【考点】线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含300角的直角三角形
【分析】分别根据线段垂直平分线及角平分线的性质对四个答案进行逐一判断即可．
解：∵∠B=30°，∠C=90°， ∴∠BAC=60°，AC=AB， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，AE=BE=AB， ∴∠DAB=30°，AC=AE=BE，故A．B正确； ∴∠CAD=30°， ∴AD是∠BAC的平分线 ∵CD⊥AC，DE⊥AB， ∴CD=DE，故C正确； 故选D．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线及角平分线的性质、直角三角形的性质，涉及面较广，难度适中．
【考点】角平分线的性质
【分析】分析题目已知条件，可利用角平分线的性质进行解答.
解：∵AD平分∠CAB交BC于点D，∠C＝90°，DE⊥AB
∴DE=CD=．
故选C．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线上的点到两边的距离相等，解题关键是熟记定理.
【考点】 角平分线的性质．
【分析】 根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．
解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．
所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．
【点评】 本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．
【考点】角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质
【分析】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
解：由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°
∠OBC+∠OCB=70°
∠BOC=180°-70°=110°
故选A．
【点睛】此题主要考查学生对角平分线性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．
【考点】角平分线的性质
【分析】根据角平分线的性质定理可得点P到各边的距离都相等，设点P到各边的距离为r，根据直角三角形面积的两种表示法可得AC?BC=（AC+BC+AB）?r，由此即可求得r的值，即为PE的值.
解：∵点P为三条角平分线的交点，
∴点P到各边的距离都相等，设点P到各边的距离为r，
∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=AC?BC=（AC+BC+AB）?r，
∴3×4=（3+4+5）×r，
解得：r=1．
即PE=1.
故选A．
【点睛】本题考查了角平分线的性质．根据S△ABC=AC?BC=（AC+BC+AB）?r求得r的值是解决问题的关键.
【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形
【分析】根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角△BDE中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得BD长，则BC即可求得．
解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=1，
又∵直角△BDE中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
∴BC=CD+BD=1+2=3．
故选C．
【点评】本题考查了角的平分线的性质以及直角三角形的性质，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，理解性质定理是关键．
【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△CDE和Rt△BDF全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=AF，利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后求出CE=AB+AE；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠DCE，然后求出A．B、C、D四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BDC=∠BAC；∠DAE=∠CBD，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠DAF，然后求出∠DAF=∠CBD．
解：∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴DE=DF，
在Rt△CDE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△BDF（HL），故①正确；
∴CE=AF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；
∵Rt△CDE≌Rt△BDF，
∴∠DBF=∠DCE，
∴A．B、C、D四点共圆，
∴∠BDC=∠BAC，故③正确；
∠DAE=∠CBD，
∵Rt△ADE≌Rt△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴∠DAF=∠CBD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④共4个．
故选D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图判断出全等的三角形是解题的关键，难点在于需要二次证明三角形全等．
、填空题
【考点】等腰三角形的性质；角平分线的性质．
【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形外角的性质求即可解．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°
∴∠ABC=∠C==65°
又BD为∠ABC的平分线
∴∠ABD=32.5°
∴∠BDC=50°+32.5°=82.5°．
故填82.5．
【点评】本题考查了三角形外角的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．
【考点】角平分线性质
【分析】过D作DE⊥AB于E，则DE=6，根据角平分线性质求出CD=DE=6，求出BD即可．
解：过D作DE⊥AB于E．
∵点D到边AB的距离为6，∴DE=6．
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE=6．
∵CDDB，
∴DB=12，
∴BC=6+12=18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
【考点】角平分线的性质
【分析】根据△ABC的三条角平分线交于O点，故点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，再把这三个三角形的面积加起来即为△ABC的面积.
解：∵△ABC的三条角平分线交于O点，
∴点O到三角形各边的距离相等，
即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，h=5,
∵△ABC的周长为20，即AB+AC+BC=20,
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=ABh+ACh+BCh
=（AB+AC+BC）h
=205=50.
【点睛】此题主要考察三角形内角平分线的性质.
【考点】角平分线的性质
【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小，则结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．
解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小，
∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，
又∵∠A=90°，
∴∠A=∠BDC，
又∵∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=5，
∴DP=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了直线外一点到直线的距离垂线段最短、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解题的关键在于确定好DP垂直于BC．
【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质
【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求“角”的度数，将“等边”转化为有关的“等角”，充分运用“等边对等角”这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．
解：∵BD=BC，
∴∠C=∠BDC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD，
∴∠C=∠BDC=2∠A，
又∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴∠A+2∠C=180°
把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2×2∠A=180°，
解得∠A=36°．
【点睛】本题反复运用了“等边对等角”，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．
【考点】角平分线的性质，含30°角的直角三角形
【分析】作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD，根据平行线的性质可得∠ACP＝∠AOB＝30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解：当PD⊥OA时，PD有最小值，作PE⊥OA于E，
∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP＝∠AOP＝15°，
∴∠AOB＝30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP＝∠AOB＝30°，
∴在Rt△PCE中，PE＝PC＝×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD＝PE＝2，
故答案是：2．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
、解答题
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定和性质
【分析】根据SSS证明△ABD≌△ACD，推出∠BAP=∠CAP，利用角平分线的性质定理即可解决问题.
解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵PB⊥AB，PC⊥AC，
∴PB＝PC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】根据角平分线的性质，得PD=PE，根据三角形的外角的性质，得∠DPF=∠EPF，再根据SAS证明△DPF≌△EPF，则DF=EF．
解：DF＝EF．
理由如下：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，
∴PD＝PE，∠DOP＝∠EOP，∠ODP＝∠OEP＝90°．
∵∠DPF是△ODP的外角，∠EPF是△OEP的外角
∴∠DPF＝∠DOP+∠ODP，∠EPF＝∠EOP+∠OEP，
∴∠DPF＝∠EPF．
在△DPF与△EPF中，，
∴△DPF≌△EPF（SAS），
∴DF＝EF（全等三角形的对应边相等）．
【点睛】此题综合运用了角平分线的性质、全等三角形的判定及性质．由角平分线的性质得到线段相等，是证明三角形全等的关键．
【考点】角平分线的性质，等腰三角形的判定
【分析】利用BF平分∠ABC知∠CBF＝∠DBE，又∠ACB=90°,CD⊥AB得∠CFB＝∠DEB，再利用对顶角相等得∠CFB＝∠FEC，即CE＝CF.
证明：∵∠ACB＝90°,CD⊥AB
∴∠CBF＋∠CFB＝∠DBE＋∠DEB＝90°
∵BF平分∠ABC
∴∠CBF＝∠DBE
∴∠CFB＝∠DEB
∵∠FEC＝∠DEB
∴∠CFB＝∠FEC
∴CE＝CF
【点睛】此题主要考察角平分线的定义，并通过角的等量变换，等腰三角形的判定进行证明.
【考点】角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积
【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；
（2）根据三角形面积公式可求得S△ABC＝24，再根据S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝AC·CD＋AB·DE，可求得AB的长，再根据HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，继而可求得BE的长，再求△BDE的周长即可.
解：(1)∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
∵CD＝3，
∴DE＝3；
(2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴S△ABC＝AC·BC＝24，
又∵S△ABC＝S△ACD＋S△ABD＝AC·CD＋AB·DE，
∴×6×3＋AB×3＝24，
∴AB＝10.
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB－AE＝10－6＝4，
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋CD＋BE＝BC＋BE＝8＋4＝12.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握和应用相关性质是解题的关键.
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADE=∠FCE，根据中点定义可得DE=EC，结合对顶角相等即可根据“ASA”得到△ADE≌△FCE；
（2）由全等三角形的性质可得AD=CF，AE=EF，从而AB=BF，E为为 AF 中点，由三线合一的性质知BE⊥AF，BE平分∠ABC；
（3）由（2）知BE平分∠ABC，根据角平分线的性质即可得到答案.
解：（1）△DAE≌△CFE 理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
∵ADC＝(ECF（已证），
DE＝EC（已证），
(AED＝(CEF（对顶角相等），
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）由（1）得△ADE≌△FCE，
∴AD=CF，AE=EF（全等三角形的对应边相等），
∴E 为 AF 中点，即 BE 是△ABF 中 AF 边上的中线，
∵AB=BC+AD，
∴AB=BC+CF=BF，
∴BE⊥AF（三线合一）；
（3）∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=90°,
∵CE=5，
∴E 到 AB 的距离等于5.
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解（1）的关键，熟练掌握等腰三角形的性质是解（2）的关键，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解（3）的关键.