人教版九年级上册教学课件：21.1 一元二次方程（共25张）

(共25张PPT)

第 二十一章 一元二次方程
















第二十一章 一元二次方程
21.1　一元二次方程
理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.(重点）
学 习 目 标
1
2
3
理解一元二次方程的概念.（难点）
根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.


18m2
幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为
18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
8m
问题情境1
解:设所求的宽度为xm,则中间地毯的宽表示为__________,长表示为________,
则方程列为_______________ ，整理得_________________.

(5-2x)m
(8-2x)m
(8-2x)(5-2x)=18
新课导入
4x2 -26x+22 ＝0
5m
桌上有一张矩形纸片，长25cm，宽15cm，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300cm2，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？
变式：
15㎝

25㎝
（25-2x）（15-2x ）= 300,





300cm2
4x2 -8x+75 ＝0.

设剪去的正方形边长为x cm，则无盖方盒的底面的长为（25-2x） cm ，
宽为（ 15-2x ） cm ，根据题意，可列方程为
整理得




7m
如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　　　m,
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　　　
72＋(x＋6)2 ＝102，
(x ＋6)
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
数学化

问题情境2
A
B
C
1m
D
E
整理得 x2 +12x-15 ＝0.

6m

要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
分析:
全部比赛共
4×7=28场.
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
即
(x-1)
问题情境3
思考
探究
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点:
①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）;
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
4x2 -26x+22 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0
x2 +12x-15 ＝0
知识讲解
★ 一元二次方程的概念
像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
（1） 只含一个未知数;
（2） 未知数的最高次数是2；
（3） 整式方程.
满足的条件:
★ 一元二次方程的一般形式


想一想
为什么要限制a ≠0 , b, c可以为零吗？
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项

二次项
一次项




当 a = 0 时
bx＋c = 0
当 a ≠ 0 ， b = 0时
ax2＋c = 0
当 a ≠ 0 ， c = 0时
ax2＋bx = 0
当 a ≠ 0 ，b = c =0时
ax2 = 0
总结：若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？




当b ≠ 0时，为
一元一次方程

一元二次方程
下列方程中哪些是一元二次方程？



是分式
－
y2
2
（8） =0
(7)4 － 7x2＝0
(6)x2＋2x－3＝1＋x2







例1
提示：判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.
(1)ax2-x=2x2；
(2)(a-1)x ∣ a ∣ +1 -2x-7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0,所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程.
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.
总结：用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值．
a为何值时，下列方程为一元二次方程？
例2

解：去括号，得
3x2-3x=5x+10.
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为
3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对一般形式而言的；
（2）系数和项均包含前面的符号.
将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、
一次项和常数项及它们的系数.
例3
★ 一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解（又叫做根）.
练一练：
下面哪些数是方程 x2 – 4x +3 = 0 的解?
-2 0 ,1,2,3 ,4.
解：1和3.
你注意到了吗？一元二次方程的根可能不止一个.
解：由题意，得
方法总结：已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值．
3(a2+2a)+2 019
=3×2 +2 019
=2 025.
∴ 3a2+6a+2019=
已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根, 求 3a2+6a+ 2 019的值.
例4
-1
1
2
★ 知识拓展
已知关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)一个根为1, 求a+b+c的值.
解：由题意，得
思考:1.若 a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
解：由题意,得
∴方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根是1.
2. 若 a-b +c=0,4a+2b +c=0 ，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的一个根吗?
x=2或x=-1
例5

1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x?-x=2 ( )
(2)2(x-1)?=3y ( )
(3)3x?-2x+5 ( )
( )
(5)(m?+5)x?+7x-1=0 ( )

√
√
×
×
×
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程，则二次项系数不为零，
∴2a-4 ≠0，解得a≠2，
即当a≠2时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元二次方程；
若（2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，
∴2a-4 =0且-2b ≠0，解得a＝2，b≠0,
即当a＝2，b≠0时， (2a-4）x2 -2bx+a=0是一元一次方程.
3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少：

(1) 2x2=3x-1；
(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0.

解：（1） 2x2=3x-1化为一般形式为 2x2-3x+1=0，
∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1.
(2)(x+2)(x-2)-2x(x-1)=0化为一般形式为 -x2+2x-4=0,
∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.
4.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.
解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得
32+3a+a=0,
即9+4a=0,
∴4a=-9，
5.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.


二次项系数不为零不容忽视
解：将x=0代入方程m2-4=0，
解得m= ±2.
∵ m+2 ≠0，
∴ m ≠-2，
综上所述，m =2.
6.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242.
x2 ＋2x－80＝0.
整理得
一元二次方程
概念
是整式方程；
含一个未知数；
最高次数是2
一般形式
对于ax2+bx+c=0 (a ≠0)，
其中(a≠0)是一元二次方程的必要条件；
确定一元二次方程的二次项系数、一次项 系数及常数项要先化为一般式
根
使方程左右两边相等的未知数的值




课堂小结