1．6 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
课题
第1课时 有理数的乘方
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
1.理解并掌握有理数的乘方、幂、底数、指数的概念及意义.
2.在现实背景中，感受有理数乘方的必要性，掌握有理数乘方的概念，并能进行有理数的乘方运算.
3.认识并理解a2的非负性．
数学思考
经历探索有理数乘方的运算过程，培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力，使学生初步体会类比、特殊到一般、化归及分类讨论的数学思想，并培养学生的逆向思维．
问题解决
在问题情境中让学生获得有理数乘方的初步经验；通过类比、联想、归纳，加强对乘方意义的理解，发展学生的思维能力；经历从乘法到乘方的推广的过程，从中感受化归的数学思想．
情感态度与价值观
通过经历探索有理数乘方意义的过程，获得数学活动的体验，鼓励学生积极主动发现问题并解决问题，提高学生分析问题的能力，培养学生的探索精神以及良好的学习习惯，增加学习数学的兴趣，体会与他人合作交流的重要性．
教学重点
理解有理数乘方的意义，会进行有理数的乘方运算．
教学难点
有理数乘方的意义及幂的符号的确定；认识并理解a2的非负性．
授课类型
新授课
课时
教具
投影仪
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
活动内容：问题1：比如3＋3＋3＋3＋3＋3＝3×( )？这么长的式子就变得简单了.
问题2：我们现在学习了乘法，那么3×3×3×3×3＝( )？你们打算怎样简化一下呢？
处理方式：让学生在轻松的氛围下，自主交流2分钟左右，对学生经过思考的每个回答给以积极的评价.
带着这个问题，我们进入本课“有理数的乘方”的学习．(板书课题：第1课时 有理数的乘方)
结合已有的知识经验和生活常识，通过问题的形式引导学生发现“新数”进而引入课题.
通过问题引导学生的思维，激发学生的学习兴趣，通过类比的方法让学生感受到新的知识和方法的存在性，使学生更易于接受新知识.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 探究有理数的乘方
问题1：正方形的边长为2，则面积是多少？
问题2：棱长为2的正方体，它的体积为多少？
处理方式：让学生思考回答，a·a＝a2，读作a的平方(或二次方)．a·a·a＝a3，读作a的立方(或三次方)．
合作探究
如图1－6－5，某种细胞每过30 min便由1个分裂成2个，经过5 h，这种细胞由1个分裂成多少个？
图1－6－5
处理方式：由学生思考交流，合作探讨如何解决问题．教师就势设计下列问题：
问题1：这个细胞分裂一次可得多少个细胞？
问题2：分裂两次呢？
问题3：分裂三次呢？四次呢？
问题4：那么5 h共分裂了多少次？分裂成多少个细胞？
处理方式：选不同的学生回答，当学生回答细胞分裂成2×2×2×2×2×2×2×2×2×2个细胞时，教师让学生思考下列问题：
1．这个式子有什么特点？
2．想一想：这样的运算能像平方、立方那样简写吗？
2个a相乘可表示为__a2__；
3个a相乘可表示为__a3__；
4个a相乘可表示为__a4__；
n个a相乘可表示为__an__．
3．引出乘方的概念(出示投影如下)：
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，
即
板书：
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数．
把an读作a的n次方．
注意：乘方是一种运算，幂是乘方的结果．
处理方式：学生由具体的数据推导出乘方的定义，老师给予适时指导，让学生能分清底数、指数、幂之间的联系和区别．先由学生讨论，然后由小组代表表达自己的观点．在表示乘方的结果时，注意引导学生如何区分底数和指数．
变式训练
1．写出下列各幂的底数与指数：
(1)在64中，底数是__6__，指数是__4__；
(2)在a4中，底数是__a__，指数是__4__；
(3)在(－6)4中，底数是__－6__，指数是__4__．
2．你能再写出一些幂的形式的例子，并指出他们的底数与指数吗？
3．请你说说下列各数分别表示什么，它们表示的意义一样吗？
(1)23，32，3×2；
(2)(－5)4与－54.
处理方式：题目较容易，第一题由学生口答，第二题学生仿照例子，写出正确的式子，第三题学生找出各数的不同之处，教师适时点评．在处理这些问题时，学生可能对(－5)4与－54这两个幂容易犯错，错误的原因是弄不清底数和指数．
【探究2】 有理数的混合运算
想一想：在有理数范围内各运算的顺序应该是什么样的？
处理方式：学生回答后教师提出新的要求：尝试解决下面的问题：
计算：
(1)－10＋8÷(－2)2－(－4)×(－3)；
(2)×＋÷.
处理方式：先让学生说明有几种运算，先算什么，后算什么，教师板演．
探究结论：有理数的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；如果有括号，先进行括号里的运算．
解题技巧指导：一是正确确定符号；二是有小数与分数相加减的算式，一定要统一成分数或小数，根据具体题目而定．
让学生感受现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用，面对实际问题，尝试从数学的角度运用所学知识进行解决，并在解决问题的过程中体验到乘法运算的必要性和优越性，同时感受有理数的乘方．
为学生提供数学活动的机会，通过合作交流，使学生在现实情境中得出乘方的定义，经历数学知识的发生、发展过程，强调乘方是一种特殊的乘法运算．
对于分数的乘方，负数的乘方，书写时一定要注意添加小括号．但在这里不作符号的讨论，只要求学生明白它们的底数不同即可.
回顾四则运算的顺序，引导学生分析、比较，主动探究，进而推广到有理数的范围内，得到有理数的混合运算顺序、法则，有利于学生形成良好的数学思维习惯，同时还让学生体会知识的延续性.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 计算：(1)(－4)3； (2)(－2)4.
处理方式：师生共同完成，教师在黑板上板演过程，然后通过计算器验证结果以及让学生用计算器作乘方运算．
变式练习
计算：
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)－(－2)3； (6)－.
有理数乘方的法则：非0有理数的乘方，将其绝对值乘方，而结果的符号是：正数的任何次乘方都取正号；负数的奇次乘方取负号，负数的偶次乘方取正号.
由师生共同完成例题的教学，充分体现学生的主体性，培养学生的语言表达能力，体现例题的示范作用．
通过习题巩固学生的计算，让学生逐步熟练有理数的乘方运算，进一步规范幂的书写格式，加深对有理数的乘方运算的印象.
【拓展提升】
例2 求1＋2＋22＋23＋…＋22015的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22015，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22016，因此2S－S＝22016－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52015的值为( D )
A.52015－1 B．52016－1 C. D.
提升学生的阅读能力和举一反三的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．(－4)×(－4)×(－4)×(－4)×(－4)写成乘方的形式是__(－4)5__．(－3)4中，底数是__－3__，指数是__4__．
2．对于(－2)4与－24，下面说法正确的是( D )
A.它们的意义相同
B．它们的结果相等
C．它们的意义不同，结果相等
D．它们的意义不同，结果不相等
3．计算：(1)(－3)3； (2)－； (3)(－0.2)2；
(4)－(－14)2；(5)－；(6)－.
4．－23__＝__(－2)3(填“>”“<”或“＝”)．
5．(－1)10＝__1__；(－1)9＝__－1__；(－3)3＝__－27__．
6．计算：
(1)×60；
(2)(－3)2－×－6÷.
处理方式：先让学生自己在规定的时间(5－10分钟)内独立完成，学生做完后，教师出示答案，同桌之间互相批改，教师统计学生的答题情况，并对学生出现错误较多的题目加以强调．出现错误的学生根据答案和教师的讲解进行纠错.
当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
【课堂总结】
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？学会了哪些知识？还有什么疑难问题要和大家一起探讨吗？先想一想，再分享给大家．
可以参考提示：
1．有理数乘方的意义和相关概念；
2．乘方的运算法则；
3．混合运算顺序；
4．体会特殊到一般，具体到抽象的数学方法．
处理方式：学生用自己的语言来总结知识点，互相补充，教师适时点拨、及时点评.
课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识.
【板书设计】
第1课时 有理数的乘方
乘方定义：
例题
乘方法则：
例题
混合运算顺序：
投影区
学 生 活 动 区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过类比乘法与加法的关系，使得学生对乘方和乘法的关系有大致的猜测和感性的认识，为下一步的验证提供方向，也感受数学中类比的思想.
②[讲授效果反思]
通过具体的例子，逐步引入乘方的概念，并体会到乘方与乘法的关系，进而理解并掌握乘方运算，同时体会幂的底数与相同因数的关系和指数与因数个数的关系．有效地解决幂的相关问题，让学生对乘方和幂都有清晰的认识.
反思，更进一步提升.
1．6 有理数的乘方
第2课时 科学记数法
课题
第2课时 科学计数法
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
1.能用科学记数法表示绝对值较大的数.
2.会把用科学记数法表示的绝对值较大的数还原成原数．
数学思考
探索归纳出科学记数法中指数与整数位数之间的关系．
问题解决
通过科学记数法的学习，让学生从多种角度感受绝对值较大的数，发展数感．积累数学活动经验，培养学生与人合作、与人交流的好习惯．
情感态度与价值观
用科学记数法方便、简洁地表示绝对值较大的数，感受数学的简洁美，让学生通过对现实生活中的绝对值较大的数的背景知识的了解，感受数学与生活的密切联系，开拓学生视野，激发学生学习数学的热情．
教学重点
能用科学记数法表示绝对值较大的数．
教学难点
探索归纳出科学记数法中指数与整数位数之间的关系．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
活动内容：多媒体投影，展示图片(如图1－6－8)：
图1－6－8
四创吉尼斯纪录的拉面王子厉恩海，利用一公斤面粉拉出2097152根细面，累计长度5304公里，是万里长城山海关到嘉峪关的距离的2倍，是珠穆朗玛峰高度的266倍，面如细丝，一根针眼可穿39根细面，根根不断，细如蛛丝．
问题1：生活中有比2097152更大的数吗？请试举出几个例子．
问题2：从上面的问题中，你发现这些数据有什么特点？
问题3：请同学们想一想，有没有更简单的方法来表示它们，使我们便于书写和读这些比较大的数呢？
通过拉面王子的故事快速激起学生的兴趣，从而水到渠成地引入新课.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 计算并讨论提出的问题
1．计算：
102＝__100__； 103＝__1000__；
104＝__10000__； 105＝__100000__．
2．讨论：108表示什么？指数与运算结果中的0的个数有什么关系？
一般地，10n还原成原数为在1的后面有__n__个0.
处理方式：第1题由学生口答，第2题由学习小组讨论后指定代表回答．
【探究2】
1．试把下列各数用10n的形式来表示：
100＝__102__；1000＝__103__；1000000＝__106__；
100000000＝__108__；1000000000＝__109__．
2．太阳半径约700000 千米：700000＝7×__100000__＝7×__105__．
3．2015年春运期间铁路运送旅客达280000000人次：
280000000＝2.8×__100000000__＝2.8×__108__．
处理方式：有了前面的经验，学生解决这几个问题不会有太大的困难，因而可完全放手给学习小组自行完成．
【探究3】
问题1：我们可以借助10n的形式来表示这些绝对值较大的数．比如：1370000000＝1.37×109，你还有没有其他的表示方法？
问题2：请同学们自学教材第42页例3前面的内容，完成下面的问题：
(1)什么是科学记数法？科学记数法的形式是怎样的？
(2)科学记数法中的a和n是如何规定的？
处理方式：问题1以学习小组为单位，讨论交流，争执不休，可能出现下面的答案：
(1)0.137×1010.(2)13.7×108.(3)137×107.教师不要急于告诉他们孰对孰错，反而要让他们完成问题2的学习，通过问题2的学习，大部分学生能够明确自己表示的结果都等于原数，但不符合科学记数法的书写要求．通过科学记数法中的a和n是如何规定的探讨，使学生对科学记数法有了更深刻的理解．教师借此让学生熟记科学记数法的概念，并书写概念：一般地，一个绝对值大于10的数都可以记成±a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1，这种记数方法叫做科学记数法．特别强调：科学记数法只是一种形式的规定，其中它特别要求1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1.通过强化概念，学生自然知道了刚才1370000000的表示方法中只有1.37×109才符合科学记数法的书写要求．
通过这个问题的设置，让学生对幂的意义进行回忆，弄清10n中的指数与其结果中零的个数的关系，为学生对下面将要学习的科学记数法的理解做好铺垫．
活动2与活动1两组题目为互逆形式，通过第1题复习了以10为底的幂的乘方规律，第2题的练习为科学记数法的学习做铺垫，也提升了学生的学习信心．
通过上面问题的思考，让学生思维受到启发，然后通过交流体会，在教师的引导下，自主探究出科学记数法的概念及相关要求，印象深刻，效果较好.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 用科学记数法表示下列各数：
(1)696000；(2)58000；(3)1200000；(4)4032000000.
例2 资料表明，被称为“地球之肺”的森林正以每年约1300万公顷的速度从地球上消失，每年森林的消失量用科学记数法表示应是多少公顷？
例3 中国森林面积约为1.2863×108公顷，原来的数是多少呢？
处理方式：学生板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评并表扬．
变式训练
1．用科学记数法表示下列各数：
(1)32000； (2)384000000； (3)94100；
(4)－810000； (5)10000000； (6)－223000；
(7)二千三百四十六万； (8)一亿五千万．
2．下列科学记数法表示的数的原数是什么？
(1)1×105； (2)4×103； (3)8.5×106； (4)7.04×102；
(5)3.96×108； (6)3.6×103.
3．用科学记数法表示下列数据：
(1)赤道长约为40000000 m；
(2)地球表面积约为510000000 km2.
检查学生的学习效果，看其能否真正理解并掌握科学记数法．找同学板演，便于对比讲解，更能充分暴露问题．也可以借助此环节，引导学生进行解题后的总结，进一步达到学习目标.
【拓展提升】
例4 2014年3月发生了一件举国悲痛的空难事件——马航失联，该飞机上有中国公民154名．噩耗传来后，我国为了搜寻生还者及找到失联飞机，在搜救方面花费了大量的人力物力．已花费人民币大约934000万元．把934000万用科学记数法表示为( C )
A．9.34×102 B．0.934×103
C．9.34×109 D．9.34×1010
学以致用，当堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．人类的遗传物质就是DNA，DNA是很长的链状结构，最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸，数据30000000用科学记数法表示为( B )
A.3×108 B．3×107 C．3×106 D．0.3×106
2.将0.38×55×107用科学记数法表示，其中正确的是( C )
A．20.9×107 B．2.09×109
C．2.09×108 D．209×104
3．被称为“神威1”的计算机运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒 __3.84×1011__次．
4．我国国土面积约为9600000平方公里，用科学记数法表示为__9.6×106__ 平方公里．
5．地球离太阳约有一亿五千万千米，用科学记数法表示为__1.5×108__千米．
6．用科学记数法表示的数5.16×104的原数是__51600__．
7．据测算，我国每天因土地沙漠化造成的经济损失约为1.5亿元，按一年365天计算，我国一年因土地沙漠化造成的经济损失是多少元？(用科学记数法表示)
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生的答题情况．学生根据答案进行纠错.
本环节的目的是检测学生的达标情况，通过练习，加深学生对科学记数法的理解，也展示出学生对不同问题的不同思考.
【课堂总结】
这节课你学到些什么？
1．遇到绝对值较大的数时可用________来表示．
2．用科学记数法±a×10n表示绝对值较大的数时应注意两点：
(1)a的取值范围；
(2)10的指数n的确定．
处理方式：学生交流，教师指生口答．
课堂总结是知识沉淀的过程，通过总结，使学生对本节课所学知识进行梳理，培养学生自我反馈，自主发展的意识和归纳总结的能力.
【板书设计】
第2课时 科学记数法
科学记数法：
±a×10n(1≤a＜10，n等于原数的整数位数减1)
例题
投影区
学 生 活 动 区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过问题情境与活动快速激起学生的兴趣和好奇心，引导学生发现生活中到处存在着的绝对值较大的数．为了更简洁准确地表示这些绝对值较大数，引入科学记数法的内容.
②[讲授效果反思]
在大量计算的基础上，通过操作、观察、分析、交流，掌握正确用科学记数法表示绝对值较大的数的方法和要求，认清标准，找到规律.
③[师生互动反思]
通过问题的设置调动学生的思维，通过对问题的探究与交流，师生共同发现科学记数法中10的指数与小数点移动位数之间的关系，让学生深刻理解、牢固掌握知识的同时，体会知识的生成过程，感受解决问题的方法，培养学生的思维能力.
反思，更进一步提升.
