1．2 数轴、相反数和绝对值
第1课时 数轴
课题
第1课时 数轴
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
1.了解数轴的概念及其三个要素，会画数轴.
2.理解数轴上的点和有理数的对应关系，会利用数轴表示有理数．
数学思考
通过与温度计的类比认识数轴，能正确地画出数轴，并能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法．
问题解决
在负数概念的形成过程中，培养观察、归纳与概括的能力，提高学生语言表达能力，培养学生的“数感”，并通过正负数表示具有相反意义的量，体会数学知识与生活的密切联系．
情感态度与价值观
通过数轴与数的结合，培养数形结合思想．让学生知道数学来源于实践，激发学生学习数学的兴趣．在探究与交流中进行自主学习，培养学生的自学能力及学习数学的兴趣.
教学重点
数轴的概念，利用数轴表示有理数．
教学难点
用数轴上的点表示有理数．
授课类型
新授课
课时
教具
投影仪
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题1：观察温度计，体会特点
温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？
(通过多媒体展示读温度计的方法)
请你尝试读出图1－2－8中三个温度计所表示的温度．
图1－2－8
处理方式：找几个同学读温度计，看温度计时，因为它上面标有刻度数，所以我们只需看一看温度计液面指在哪个刻度线上，就知道温度了．通过学生读出温度计的温度初步了解数轴的特点．
问题2：画情境图，体会方向与距离
在一条东西走向的马路上，有一个汽车站，汽车站东3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一棵杨树，汽车站西3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境．
处理方式：理解题意、思考，并根据题意画图．教师指导，根据学生的画图情况用实物投影展示，对于作图较好的学生给予表扬．
结合实例使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习，也使学生体会到数学来源于实践，在生活中发现数学．通过问题1和问题2的解决， 学生感受到点与数之间的关系，从而由点表示数的感性认识上升到理性认识，同时对新知识的学习有了期待．创设问题情境，激发学生的学习热情，培学生的学习兴趣.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
探究1】 数轴的画法(PPT展示)
由上述两问题加以联想，你能用一条直线上的点表示有理数吗？
(用实物投影仪展示学生的画图)
具体作法：
第一步：画一条直线，定原点(如图①)，原点表示0.
第二步：规定从原点向右的方向为正方向，那么相反的方向(从原点向左的方向)为负方向(如图②)．
第三步：选择适当的长度为单位长度(如图③)．
图1－2－9
处理方式：学生在讨论的基础上动手操作，一边画图一边说画法，然后教师加以矫正．
要强调说明的是正数从0向右写，负数从0向左写，并且总结数轴的画法，最后强调数轴必须满足三个条件：原点、正方向、单位长度．也可以类似于温度计，把温度计水平放置即可．
教师引导学生总结出：
画一条直线，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示数0；规定这条直线的一个方向为正方向，相反的方向就是负方向；适当地选取某一长度作为单位长度，这种规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
几点说明：
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)原点可取直线上任一点，但一取定就不再改变；
(4)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(5)单位长度应结合实际需要选取，但一取定就不再改变，要做到刻度均匀．
知识反馈：
为了让大家进一步认清数轴，请同学们判断下列图形哪一个是准确的数轴．
处理方式：学生分组讨论，这道题要给学生足够的观察、思考时间，然后展开充分的讨论，教师要参与到学生的讨论之中，去接触学生，然后引导学生回答问题，对学生回答中的错误及时纠正，再次强调画图步骤，帮助学生认识原点、正方向、单位长度是数轴的三个要素．
【探究2】 抽象建模，数形结合(PPT展示)
观察画好的数轴，思考以下问题：
图1－2－10
(1)原点表示什么数？
(2)原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？
(3)表示数＋3，－，－1.5，0的点分别在数轴的什么位置？
处理方式：思考并与同桌相互叙述，互相纠正补充，然后举手回答．根据所画的数轴可知原点表示的数字是0，原点右方表示的是正数，原点左方表示的是负数．根据学生回答给予肯定或否定，第(3)个问题可以让学生在黑板上画图指出．教师也可以给出其他的数字让学生说出它们在数轴上的位置．
结论：数轴上原点右边的数表示正数，原点左边的数表示负数．
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
借助于温度计做类比，让学生分组展开积极讨论，引导学生合作学习，指出画数轴需要具备的条件，从而揭示了本节的目标是让学生正确地画出数轴.
针对数轴三要素和学生画数轴时常犯的错误而设置，通过判断正误强化概念，引起学生注意，让学生在开放的环境下，大胆地发表自己的见解，培养学生认真观察，认真思考的学习习惯．强调步骤，有助于学生的理解，规范学生的画图.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 说出图1－2－11所示的数轴上A，B，C，D各点表示的数．
图1－2－11
解：点C在原点表示0，点A在原点左边与原点距离2个单位长度，故表示－2.同理，点B表示－3.5.点D在原点右边与原点距离2个单位长度，故表示2.
处理方式：先给学生10秒钟时间观察例1中数轴的特点，再分别回答，教师板书，在学生口述过程中，教师可进行有针对性的提问，让学生明确A，B，C，D四点所表示的数是什么．根据学生的生活经验，不难得出结论，所以让学生直接口答说出答案．
例2 画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
，－5，0，5，－4，－.
解：如图1－2－12所示．
图1－2－12
处理方式：首先让学生到黑板上正确地画出数轴，其他学生在练习本上完成．教师巡视．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题并进行矫正．让学生互相提问、点评．一般情况下，整数点比较好找，分数点有一定的难度，特别是在找－的位置时，相当多的同学可能要出现错误，可能选择在－处，所以教师要及时引导和矫正．
变式练习
已知：如图1－2－13，在数轴上有A，B，C，D四个点．
(1)请写出A，B，C，D四点分别表示什么数；
(2)在数轴上描出表示数－5，0，＋3，－2的点．
图1－2－13
学生指出数轴上已知点所表示的数，是由“形”到“数”的思维过程，加深学生对数轴的认识．渗透了数形结合的思想．
本题是把给定的数在数轴上进行描点，是由“数”到“形”的思维过程，再次渗透数形结合的思想方法．
【拓展提升】
例3 在数轴上有三个点A，B，C(如图1－2－14)．请回答：
图1－2－14
(1)写出数轴上距点B三个单位长度的点所表示的数；
(2)将点C向左移动6个单位长度到达点D，写出A，B，D三点所表示的数．
例4 小林准备利用星期天休息时到老板、经理、处长和科长的家登门拜访，小王告诉他：“老板的家在工厂的正东方，距离工厂8000米；经理的家在老板的家的正西方向，距离老板家10000米；处长的家在经理的家的正东方向，距离经理家5000米；科长的家在处长的家的正东方向，距离处长家3000米．”
(1)利用数轴确定四人家的位置；
(2)走哪条路线才能使往返路程最短？
通过拓展问题加深利用数轴表示有理数，从而深化了学习目标.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．下列各图表示的数轴中，正确的是( C )
图1－2－15
2．如图1－2－16点A、B、C、D所表示的数分别是__－4，－＋2.5，0.5，3__．
图1－2－16
3．在数轴上，点A表示－11，点B表示10，那么距离原点较远的是__A__点．
4．画出数轴，用数轴上的点表示下列各数．
3．－2，1.5，－，0，－
通过检测发现学生对本节课知识的掌握情况，总结本节课的教学效果，并为课下辅导做好准备．
【课堂总结】
本节课你学到了哪些知识？有哪些收获呢？
1．数轴的定义，能够正确地画出数轴．
2．给出数可以在数轴上正确地描点，根据数轴上的点可以正确地读数．
处理方式：让学生回顾本节课所学知识，小组长代表本组畅谈本组的收获比较哪个小组总结较好教师给予鼓励并加以教师补充．
通过师生共同小结，发挥学生的主体作用，有利于学生巩固所学知识，也有利于培养学生归纳、概括的能力．使学生不仅有知识上的收获，而且在能力和情感上都有所发展.
【板书设计】
第1课时 数轴
投
影
区
1.数轴的三要素
2．用上的点表示有理数
例1
例2
学 生 活 动 区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
利用温度计引出数轴既形象又直观，也为后面学习利用数轴表示有理数奠定基础.
②[讲授效果反思]
借助学生常见的温度计，让学生通过观察、分析、交流，得到数轴具备的相关要素，形象、直观、深刻地理解数轴，并感受数轴的作用，很好地串联了本节课的知识点，有效地突破了重难点.
③[师生互动反思]
在教学中充分调动学生的积极性，学生参与的热情高、交流的比较充分，对数轴的探究也比较深刻，提高学生的展示能力，树立学生学习的信心.
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
第1章 有理数
1．2 数轴、相反数和绝对值
第2课时 相反数和绝对值
课题
第2课时 相反数和绝对值
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
1.理解相反数的概念，会求一个数的相反数.
2.初步理解绝对值的意义，掌握求有理数的绝对值的方法，并会求一个有理数的绝对值；体会数形结合的思想方法．
数学思考
经历探索知识形成的过程，渗透数学的数形结合、分类讨论等思想，感受数学知识的严谨性、完整性．
问题解决
通过运用相反数、绝对值解决实际问题，体会相反数、绝对值的意义和作用．
情感态度与价值观
在相反数、绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学生的概括能力及推理论证能力．学会与人合作，与人交流，体会绝对值的意义和作用，感受数学在生活中的价值．
教学重点
1.理解相反数和绝对值的概念.
2.求一个数的相反数和绝对值．
教学难点
对绝对值概念的理解．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
回答下列问题：
问题1：如果支出50元记作－50元，那么收入50元记作什么？
问题2：河道中的水位比正常水位高3厘米记作＋3厘米，那么比正常水位低3厘米记作什么？
处理方式：引导学生通过类比的方法，让学生完成两个问题的解答，然后教师总结这些问题的共同方面，即实际生活中存在着许多具有相反意义的量，因此产生了正数与负数，并且像＋3与－3这样的一对数较为特殊，从而引出新课．
用正负数表示意义相反的量，并发现特殊的一对数，从而为本节课的学习做好铺垫.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 相反数
请同学们观察下列各组数：＋3与－3有什么相同点？＋与－，＋5与－5，－1与＋1呢？你还能举出这样的两个数吗？它们有什么不同点？
处理方式：学生通过讨论交流，且学生之间互相补充，教师适时点评，强调：每组数的数值相同，只有符号不同，进而得出相反数的概念．两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0.
小试身手：看谁回答得又对又快！
(1)－10是10的相反数．( √ )
(2)10是－10的相反数．( √ )
(3)1.5与－1.5互为相反数．( √ )
(4)－2是相反数．( × )
处理方式：学生抢答，这样既活跃了课堂，又巩固了所学知识．
【探究2】 绝对值的概念及性质
问题1：请同学们画出数轴，并在画出的数轴上标出下列各组相反数：
＋3与－3；－5与5；4与－4；－1与1；－与.
问题2：每组相反数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？
问题3：每组相反数所对应的点到原点的距离有什么关系？
处理方式：从形的角度进一步理解相反数，先由学生利用数轴表示出相反数，通过观察相反数表示的点在数轴上的位置及与原点的距离，理解绝对值的概念．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．例如，＋4的绝对值是4，记作∣＋4∣＝4；－5的绝对值是5，记作∣－5∣＝5.
参考答案：1.
2．每组相反数所对应的点在数轴上位于原点两侧．
3．每组相反数所对应的点到原点的距离相等．
想一想：
问题1：如果a表示有理数，那么│a│有什么含义？
问题2：互为相反数的两个数的绝对值有什么关系呢？
问题3：一个数的绝对值与这个数有什么关系？
正数的绝对值是__它本身__，零的绝对值是__0__，负数的绝对值是__它的相反数__．
即
(1)如果a＞0，那么│a│＝a；
(2)如果a＜0，那么│a│＝－a.
(3)如果a＝0，那么│a│＝0.
处理方式：学生通过交流和互相讨论来完成问题的解决，然后师生共同总结．
参考答案：1.│a│表示数轴上数a对应的点到原点的距离．
2．互为相反数的两个数的绝对值相等，用符号表示为│－a│＝│a│.
对概念的理解不是单纯地强调，根据学生判断的结果使学生加深对相反数“互为”的理解，提高学生全面分析问题的能力．
通过学生举例思考，对互为相反数的两个数在数轴上表示的点的特点进行观察对比，给出绝对值的概念．这样让学生从“特殊到一般”分类归纳绝对值的意义，并通过归纳，总结出绝对值的内在涵义，体现学生的主体性.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 写出下列各数的相反数：
3，－7，－2.1，，－，0，20.
解：3的相反数是－3，－7的相反数是7，－2.1的相反数是2.1，的相反数是－，－的相反数是，0的相反数是0，20的相反数是－20.
例2 求下列各数的绝对值：
－，＋1，－0.1，4.5.
解：＝，|＋1|＝1，|－0.1|＝0.1，|4.5|＝4.5.
处理方式：学生先通过类比的方法，求出一些常见数的绝对值，然后，利用绝对值的概念来求数的绝对值，即先表示出各数的绝对值，然后根据绝对值的意义写出结果，教师通过板演，明确求绝对值的方法．
变式训练：
1．填空：︱5︱＝__5__，︱－2︱＝__2__，＝____，︱－5.6︱＝__5.6__．
2．[青岛中考] －7的绝对值是( B )．
A.－7 B．7 C．－ D.
3．[宁波中考] －4的绝对值是__4__．
求一个数的相反数，教师要板演，谨防解题格式的错误。防止出现类似3＝－3的错误。
【拓展提升】
例3 如果一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是
__非正数__．
例4 化简：－(－4)＝__4__，－＝__－4__，－＝__－6__．
例5 若＝3.6，则a＝__±3.6__.
依据概念会求出一个数的绝对值，同时根据老师的板演，让学生明白求一个有理数绝对值的方法，并通过巩固训练提高学生的理解.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.直接填写结果：︱＋6︱＝__6__，︱－1.5︱＝__1.5__，＝____，︱0︱＝__0__，︱－12︱＝__12__．
2．如果一个数的绝对值等于10，那么这个数等于__±10__．
3．一个数的绝对值是它本身，那么这个数一定是__非负数__．
4．︱－2︱相反数是__－2__；绝对值最小的数是__0__．
5．用“>”、“<”、“＝”填空：│－1│__>__0，│＋5│__>__0，│＋9│__＝__│－9│，│－3│__<__│－6│.
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并学生根据答案进行纠错．
学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
【课堂总结】
通过这节课的学习，同学们有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获！
课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识.
第2课时 相反数、绝对值
一、相反数
二、绝对值
三、绝对值的性质
例3
解：
例4
解：
投
影
区
学 生 活 动 区
【板书设计】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过复习正负数的相反意义和利用数轴表示互为相反的两个数引入相反数和绝对值的概念，比较自然、流畅．数学结合，使学生更好地理解相反数和绝对值的概念.
②[讲授效果反思]
巧用相反意义的量，在复习旧知的同时感受相反数的特征，巧借数轴体会绝对值的意义，由点到原点的距离感受绝对值的非负性，掌握有理数绝对值的求法.
③[师生互动反思]
引导学生直观感受相反数、绝对值，通过观察、思考、交流使学生对相反数、绝对值的感性认识上升为理性认识，同时提高学生对问题的分析和思考能力.
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
