2．代数式
第1课时 列代数式
课题
第1课时 列代数式
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
能说出代数式的意义及列出有“规律问题”的代数式．
数学思考
在解决问题的过程中体验归纳、分析、猜想、抽象、类比、转化等思维方法，发展学生抽象思维能力，培养学生良好的思维品质．
问题解决
经历探索数量关系，运用符号表示规律，掌握通过验算验证规律的能力．
情感态度与价值观
渗透辩证唯物主义思想中的从特殊到一般，从具体到抽象的认知观点，并通过小组讨论、合作交流等方式，体验在解决问题的过程中与他人合作的重要性．
教学重点
探索实际问题中蕴涵的关系和规律.
教学难点
用字母、运算符号表示一般规律．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
请同学们伸出左手，一起做下面的游戏：从大拇指开始，像图2－1－16中显示的这只手那样依次数数字1，2，3，4，5，…，请问数字20落在哪个手指上？
图2－1－16
处理方式：先让学生自己独立思考，预测学生会用数手指的方式解决，然后教师再鼓励学生采用画图、列表等方法进行思考、讨论，最终引导他们概括规律，并说出理由.
大拇指
食指
中指
无名指
小指
1
2
3
4
5
9
8
7
6
10
11
12
13
17
16
15
14
…
当学生说出数字20刚好落在无名指上后，教师继续追问：你们能很快地说出数字200落在哪个手指上吗？2000呢？预测学生的答案：除了第一排5个数字以外，其他的可先按从右到左、再从左到右的顺序，每8个数一组，故我们只需把要数的数字减去5，再除以8，将得到的余数从无名指开始先向左数、再向右数就可以知道落在哪个手指上了．比如：数字200，先计算(200－5)÷8＝24……3，所以只需从无名指开始向左数3就可以了，数到3时刚好落在食指上，即数字200落在食指上．采取类似的办法：(2000－5)÷8＝249……3，所以数字2000也落在食指上．
通过游戏创设问题情境，目的一方面是调动学生的积极性，活跃课堂气氛，另一方面是让学生在解决问题中形成认知冲突，激发学生的学习兴趣和探究欲望，为本节课做好情感、方法和思维铺垫，同时也让学生初步体验探索规律的一般方法.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】 两位数、三位数的问题
整数23读作“二十三”，应是2×10＋3.如果一个整数的个位和十位上的数字分别是a1，a2，那么这个两位数用代数式表示为__10a2＋a1__．
对于任何一个三位数，设它个位、十位和百位上的数字分别为a1，a2，a3，那么这个三位数用代数式表示为__100a3＋10a2＋a1__．
处理方式：引导学生分析数位上的数字并不都是代表它本身，如在十位，就表示多少个10，在百位就表示多少个100，….特别要强调ab表示a与b的积，并不能表示两位数．
变式练习
1．一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数可表示为__10a＋b__．
2．若a是一个两位数，b是一个一位数，将b放在a的前面组成一个三位数，则这个三位数可表示为__100b＋a__．
【探究2】 式子变化的规律
松手释放一个小球，让它从高处自由落下，测得它下落的高度h与时间t的有关数据如下表：
t/s
1
2
3
h/m
×9.8×1
×9.8×4
×9.8×9
t/s
4
5
…
h/m
×9.8×16
×9.8×25
…
观察表中的数据，你发现有什么规律？
(2)用含t的式子表示h，并求出t＝10时的h值.
处理方式：引导学生分析表中时间从1依次增加到5时，小球下落的高度是怎样变化的．在这个式子中，哪些部分没有变化？哪些部分变化了？1，4，9，16，25，…和对应的时间有什么关系？这个关系能否用字母表示？
通过具体的数过渡到用字母表示数，渗透从特殊到一般的思想.
1.变式练习训练学生用代数式表示数字问题，及时检验学生是否掌握该知识点.
2.通过学生自主探究和合作交流的学习方式，让师生共同经历探索式子变化规律、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，进一步发展其符号感，让学生经历从特殊到一般再到特殊的认识过程.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 把长与宽分别为2，1的小长方形纸片，一个紧接着前一个排在一条直线上，形成一个大长方形，如图2－1－17.
图2－1－17
(1)分别算出各个大长方形的周长(填在表内)：
小长方形个数
1
2
3
4
5
6
…
大长方形周长
__6__
__8__
__10__
__12__
__14__
__16__
…
(2)当小长方形有n个时，求大长方形的周长.
处理方式：让学生动手摆一摆，在摆的过程中思考每增加一个小长方形，大长方形的周长增加多少？然后找到大长方形的周长与小长方形个数之间的关系.
图2－1－18
A.196 cm2 B．200 cm2 C．216 cm2 D．256 cm2
2.如图2－1－19，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中第1个黑色“┗”形由3个正方形组成，第2个黑色“┗”形由7个正方形组成，…，那么组成第n个黑色“┗”形的正方形个数是__4n－1__(用含n的代数式表示).
图2－1－19
本题通过学生动手实践，提高学生学习的兴趣，然后根据数形结合，找到变化规律．在这里设计的变式练习是对此类问题的进一步加深，同时给予学生足够的巩固时间，综合利用所学知识，使知识点都得到充分的落实.
【拓展提升】
例2 用棋子按如图2－1－20的方式摆正方形：
图2－1－21
(1)照这样的规律摆下去，摆第8个正方形需要多少颗棋子？
(2)探究：摆第n个正方形需要多少颗棋子？
例3 用棋子摆成以下图案，并填写表格：
图2－1－21
(1)填写下表：
图案编号
①
②
③
④
⑤
…
棋子个数
__5__
__11__
__17__
__23__
__29__
…
(2)摆第n个图案需要__(6n－1)__颗棋子.
例4 [金华改编] 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图2－1－22的方式进行拼接.
图2－1－22
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周可坐多少人？
(2)若n张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
让学生经历从感性到理性的思维上升过程，从而从图形的摆放方式上探索数量关系，运用符号表示规律，通过计算验证规律，进一步发展其符号感.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.观察，，，，，…，第n个数是( C )
A. B.
C. D.
2.根据图2－1－23中图形的排列规律，第2015个图形是( C )
图2－1－23
图2－1－24
3.计算：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，25－1＝31，…，归纳各计算结果中个位数字的规律，猜测224－1的个位数字是( C )
A.1 B．3 C．5 D．7
4.图2－1－25是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n(n是正整数)个图案由__(3n＋1)__个基础图形组成.
图2－1－25
5.儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如图2－1－26所示：
图2－1－26
图①表示1条金鱼，图②表示2条金鱼，图③表示3条金鱼，…，按照上面规律，摆n个“金鱼”需要火柴棒的根数为__6n＋2__.
学以致用，通过当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
【课堂总结】
(1)这节课你有什么收获？你觉得探索规律的一般步骤有哪些？
(2)在探索规律中遇到困难，你是怎么解决的？
由师生共同归纳总结，一是通过反思提高学生的思维水平；二是给学生准确、全面表述自己观点的机会；三是培养学生及时总结、归纳知识的良好习惯.
【板书设计】
第2课时 列代数式
一、数字问题
二、式子变化规律
三、图形变化规律
例题
投
影
区
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
通过游戏创设问题情境，目的是让学生在解决问题中形成认知冲突，激发学生的学习兴趣和探究欲望，为本节课做好情感、方法和思维铺垫，同时也让学生初步体验探索规律的一般方法.
②[讲授效果反思]
课堂上教学活动开放，体现了民主的教学意识，教师放手让学生自主探究、自由探究、独立作业、归纳总结，学生参与面广，较好地落实了学生的主体地位．从游戏引入开始、到归纳小结结束，做到了问题力求让学生自己解决，规律力求让学生自己总结，作业力争让学生独立完成．学生自始至终参与观察、分析、思考、归纳、猜想、判断、验证数学规律的全过程，这一教学过程实质上就是学生自主建构知识的过程.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
2．代数式
第2课时 整式
课题
第2课时 整式
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
通过具体实例理解单项式、多项式、整式及相关概念．
数学思考
能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感．
问题解决
培养学生认识特殊与一般的辩证关系．
情感态度与价值观
通过整式的学习过程，培养学生严谨、认真的学习态度以及独立思考的良好的学习习惯．
教学重点
对单项式、多项式、整式概念的理解．
教学难点
对单项式的系数、次数、多项式的项数、次数等概念的理解．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
什么是代数式？代数式的正确书写格式是什么？
学生回忆并回答，为本课的学习提供迁移或类比方法.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
师：前面我们学习了代数式的有关内容，这节课我们将进一步地认识代数式.
我们学校操场的示意图如图2－1－33所示，由一个长方形和两个半圆组成．
(1)两个半圆的面积是多少？
(2)整个操场的面积是多少？
图2－1－33
生1：两个半圆的面积是b2.
生2：整个操场的面积是ab＋b2.
师： 这两个式子都是代数式，那么不同的代数式之间又有哪些区别和联系呢？
师： 下面让我们继续从生活中来认识整式.
以小组为单位，完成以下问题：
(1)如图2－1－34，一个十字形花坛铺满了草皮，这个花坛草皮的面积是多少？
(2)当水结冰时，其体积大约会比原来增加，x m3的水结成冰后体积是多少？
图2－1－34 图2－1－35
(3)如图2－1－35，一个长方体箱子紧靠墙角，它的长、宽、高分别是a，b，c，这个箱子露在外面的表面积是多少？
(4)某件商品的标价是a元，以八折(即按标价的80%)销售，这件商品的售价是多少元？
生：(1)ab－4c2. (2)x m3.
(3)ab＋ac＋bc. (4)0.8a.
从学生身边的情境出发，使学生了解整式的实际背景，进一步理解用字母表示数的意义，认识代数式的表示作用，既巩固了旧知识，又可以借此自然地引入新课.
进一步丰富整式的实际背景，使学生再一次体会代数式的表示作用，并借此引出单项式、多项式及整式的概念.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】
我们把上面得到的结果分成两组，观察下面两组式子各有什么特点？
(1)b2, x ，0.8a.
(2)ab＋b2，ab－4c2，ab＋ac＋bc.
生1：(1)都是数与字母的积，(2)不仅有乘积还有加减.
生2：(1)和(2)中都有乘方.
师：同学们观察很仔细，说得也很好，实际上乘方是求几个相同因数的积的运算，所以乘方也是乘积.
概念1
在代数式中，b2, x ，0.8a都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式，单个的字母或数也是单项式.
概念2
ab＋b2，ab－4c2，ab＋ac＋bc都是几个单项式的和，像这样的代数式叫做多项式.
概念3
单项式与多项式统称为整式.
【特别注意】 分母中出现字母的式子一定不是单项式.
【探究2】
师： 一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数. 其中的数字因数叫做单项式的系数．哪位同学能说出上面几个单项式b2, x ，0.8a的系数和次数呢？
生1：单项式b2的系数是，次数是3；单项式x的系数是，次数是0；单项式0.8a的系数是0.8，次数是0.
生2：单项式b2的系数是，次数是2；单项式x的系数是，次数是1；单项式0.8a的系数是0.8，次数是1.
师：你认为哪位同学的回答正确？能给大家解释一下原因吗？
生3：第二个同学回答正确，这是因为单项式b2中π不是字母，所以系数是，次数是2; 单项式x和0.8a的次数是1不是0.
师：这位同学很仔细，π不是字母，a的指数是1，这一点很容易被部分同学误认为是0.单独的一个字母a，我们可以看成1?a，所以单独的一个字母系数是1，次数也是1.
【温馨提示】 单独的一个非零数的次数是0.
【探究3】
师：在多项式里，每个单项式(连同符号)叫做多项式的项，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．请说出上面多项式ab＋b2，ab－4c2，ab＋ac＋bc的项和次数.
生1： ……
生2： ……
生3： ……
师：有不同意见吗？
生4：……
师：说得很好！多项式的项应包括前面的符号，千万别丢掉.
对于探究1，通过让学生分类，从而让学生初步感受单项式、多项式的特点与不同，激发学生的学习兴趣．对于探究2和探究3，则通过让学生先阅读，再共同探究，既培养学生的阅读和理解能力，也培养学生主动学习的能力.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 写出下列单项式的系数和次数：
－15a2b，xy，a2b2，－a，ah.
解
单项式
－15a2b
xy
a2b2
－a
ah
系 数
－15
1
－1
次 数
3
2
4
1
2
处理方式：让学生根据单项式的系数和次数的概念自行解答，然后教师点评.
变式练习
1.单项式－4a2b的次数是( B )
A.2 B．3 C．4 D．5
2.下列说法正确的是( B )
A.xy2的次数是2 B．－2xy的系数是－2
C.4不是单项式 D. πy3的系数是
3.观察一列单项式：x，3x2，5x3，7x，9x2，11x3，…，则第2015个单项式是__4029x2__．
例2 下列多项式分别是几次几项式？
x－y, 4a2－ab＋b2, x2 y2－xy－1.
解：x－y是一次二项式；
4a2－ab＋b2是二次三项式；
x2y2－xy－1是四次三项式．
处理方式：提问学生口述，教师点评即可.
通过例题和变式，让学生进一步理解单项式的概念，一方面巩固学生对所学知识的掌握，另一方面有助于培养学生的发散思维能力.
【拓展提升】
例3 如果整式xn－2－5x＋2是关于x的二次三项式，那么n等于( B )
A.3 B．4 C．5 D．6
例4 已知一个含有x，y的二次三项式，其二次项系数为－4，一次项系数为3，常数项为－2，请写出这个整式．
拓展提升，提高学生应用知识的能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1．下列说法正确的是( C )
A．8―是多项式
B．―x2yz是三次单项式，系数为0
C．x2―3xy2＋2x2y3―1是五次多项式
D.是单项式
2．下列结论中，正确的是( C )
A．单项式ab2的系数是2，次数是2
B．单项式a既没有系数，也没有次数
C．单项式－ab2c的系数是－1，次数是4
D．单项式―x2yz2的系数是0，次数是4
3．多项式1＋xy－xy2的次数及最高次项的系数是( C )
A. 2，1 B. 2，－1 C. 3，－1 D. 5，－1
4．x的2倍与y 的平方的的和，用代数式表示为__2x＋y2__，它是__多项式__(填单项式或多项式)．
5．单项式－34a2b5的系数是__－34__，次数是__7__．
6．多项式a3＋ab4－am＋1－6是六次四项式，则m＝__5__．
7．2x－3πx3＋8 是___三__次多项式，第二项是__－3πx3__，它的系数是__－3π__．
学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
【课堂总结】
1.单项式及相关概念
(1)定义：数与字母的__积__.
特别地：单个的___字母__或__数__也是单项式.
(2)系数.
(3)次数：__所有字母__的指数__之和__.
单独的一个非零数的次数是__0__.
2.多项式及相关概念
(1)定义：几个单项式的___和__.
(2)项：构成多项式中的每个__单项式__.
(3)次数：__一个多项式里，次数最高__的项的次数.
3.整式
单项式与__多项式__统称为整式.
课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学知识进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈、自主发展的意识.
【板书设计】
第3课时 整式
一、
单项式
二、
多项式
三、
整式
例题
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
使学生了解单项式、多项式、整式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，认识代数式的表示作用，既巩固了旧知识，又可以借此引出单项式、多项式及整式的概念．本章前两节学生学习了用字母表示数及代数式的概念，在丰富的情境中，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，深刻感受到代数式的表示作用．本环节开始就有效地激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性，学生主动学习和合作交流较为充分.
②[讲授效果反思]
根据课程标准把握教材．新的课程标准要求淡化概念、注重知识的形成过程，如在学生已有的知识基础上引入单项式、多项式、整式的概念，显得自然流畅，学生学得轻松，让学生充分观察、思考、分析和讨论，帮助学生在不断纠错中学习新知识，在不断归纳中学习新知识，在不断创新中学习新知识，使学生的大脑始终处于兴奋状态，得到了预想不到的教学效果.
③[师生互动反思]
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升.
