3．2 一元一次方程的应用
第1课时 等积变形与行程问题
课题
第1课时 等积变形与行程问题
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
1.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力；
数学思考
2. 理解行程问题中数量之间的关系，能根据行程问题中的数量关系建立方程，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力．
问题解决
分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题．
情感态度与价值观
通过对实际问题的解决体会方程模型的作用，发展抽象、概括、分析问题和解决提出问题的能力．
教学重点
寻找图形问题中的等量关系，建立方程．分析行程问题中的等量关系，建立方程．
教学难点
寻找实际问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
情景一：
用一块橡皮泥先捏出一个“瘦长”的圆柱，然后再让这个“瘦长”的圆柱“变矮”，变成一个又矮又胖的圆柱，请思考下列几个问题：
(1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化？还有哪些量改变了？
(2)在这个变化过程中，哪些量没有变化呢？
情景二：
学生分组用两个事先准备好的水杯，从一个水杯向另一个水杯倒水，如图3－2－3，观察并思考在这个过程中有什么发现？
图3－2－3
设计两个简单的生活场景，让学生初步体会“等积变形”问题，同时分析出不变量与变量间的等量关系.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
活动内容1：请同学们认真阅读，完成以下探究问题，并与同桌交流.
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4 m增高为多少米？
图3－2－4
1. 填写下表：
设新水箱的高变为 x m，则
旧水箱
新水箱
底面半径/m
2
1.6
高/m
4
x
体积/ m3
π×22×4
π×1.62×x
2. 根据表格中的分析，找出等量关系.
3.求出方程的解.
解：设新水箱的高变为x m．根据题意，得
π××4＝π×x.
解得x＝6.25.
答：水箱的高度将由原先的4 m增高为6.25 m.
活动内容2：
1.若小明每分钟走150米，那么他4分钟能走__600__米(路程＝速度×时间)．若甲乙两地相距1800米，小明从甲地出发，按此速度走了x分钟到达乙地，可列方程是__150x＝1800__.
2.小彬和小明每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑4米，小强每秒跑6米.
(1)如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？
(2)如果小彬站在小强前10米处，同时同向起跑，x秒后小强追上了小彬，可列方程__(6－4)x＝10__．此时小强跑了__30__米，小彬跑了__20__米.
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤有哪些？关键是什么？
1.审——通过审题找出等量关系；
2.设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；
3.列——依据找到的等量关系，列出方程；
4.解——求出方程的解(对间接设的未知数切记要继续求解)；
5.检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符合实际问题；
6.答——注意单位名称.
将上述环节中体会到的形之间的变与不变的关系，量之间的等量关系抽象成数学问题，利用解方程的方法解决实际问题.
引导学生通过填表，找到等量关系，正确列出方程.
主要引导学生分析行程问题中路程、速度、时间之间的关系，学会画线段图分析路程之间的关系，建立方程模型.
归纳列方程解应用题的步骤，感受方程模型.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 如图3－2－5，用直径为200 mm的圆柱体钢，锻造一个长、宽、高分别为300 mm，300 mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢(计算时π取3.14，结果精确到1 mm)?
图3－2－5
分析：锻造后长方体毛坯的体积怎样计算？所需要的钢坯体积是由圆柱体钢提供的，圆柱的体积怎样表示？能否列出方程？
变式训练
1．一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( B )
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
2．用直径为4 cm的圆钢，铸造三个直径为2 cm，高为16 cm的圆柱形零件，则需要截取长度为 __12_cm__的圆钢．
3．直径为30 cm，高为50 cm的圆柱形瓶里存满了饮料，现将饮料倒入底面直径为10 cm的圆柱形水杯，刚好倒满30杯．则水杯的高度是多少？
4．用一个底面半径为40厘米，高为120厘米的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100厘米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10毫米，大玻璃杯的高度为多少？
例2 为了适应经济发展，铁路运输再次提速．如果客车行驶的平均速度增加40 km/h，提速后由合肥到北京1110 km的路程只需行驶10 h．那么，提速前，这趟客车平均每时行驶多少千米？
分析：已知合肥到北京的路程和时间，提速前的速度与提速后的速度有什么关系？路程、速度、时间之间有什么关系？据此关系能列出方程吗？
变式训练
1．已知甲、乙两地之间的距离是740千米，一辆汽车从甲地出发匀速行驶3小时后，提速20千米/时，然后又匀速行驶5小时到达乙地，汽车提速后的速度是多少？
2．小华家离学校2.4千米，某天从家去上学，恰好行走到一半的路程时，发现离上课只有12分钟了，小华要想按时到校，剩下的路程他的速度是多少？
引导学生分析这个问题中什么发生了变化，什么没有发生变化？能否抓住等量关系列出方程？
分组解决问题，提高学生解决问题的能力，发展学生的合作意识，提高课堂效率，并培养学生做好解题反思的能力和习惯．
变式练习，熟练掌握.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【拓展提升】
例3 一个边长为10 cm的正方体铁皮箱，改造成一个长20 cm、宽10 cm的箱子，表面积不变，则新箱子的高是多少？改造后体积减少了多少？
例4 有大、中、小三个圆柱形水缸，它们的直径分别是60 cm，40 cm，20 cm，现把两堆石子分别沉没在中、小两个水缸中，两个水缸的水面分别升高了30 cm，60 cm，如果这两堆石子都沉没在大水缸里，那么大水缸的水面将升高多少？
提高学生分析、解决问题的能力，熟练解题方法，灵活求解.
【当堂训练】
1．用7.8米长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多1.2米，求这个长方形框架的宽是多少米．设长方形框架的宽是x米，可列方程为( C )
A．x＋(x＋1.2)＝7.8
B．x＋(x－1.2)＝7.8
C．2[x＋(x＋1.2)]＝7.8
D．2[x＋(x－1.2)]＝7.8
2．有一个底面半径为10 cm，高为30 cm的圆柱形大水杯中存满了水，把水倒入一个底面直径为10 cm的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为( C )
A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm
3．要锻造一个半径为8 cm，高为10 cm的圆柱体，应截取半径为5 cm的圆柱形毛坯 __25.6__cm.
4．有一块长、宽、高分别为5 cm，3 cm，2 cm的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为2 cm的圆柱，若它的高是x cm，则可列方程__π×22·x＝5×3×2__．
5. 甲、乙两地相距1180千米，一辆车从甲地开往乙地，匀速行驶了2小时后，发现不能按原计划到达，于是将速度加快20千米/时，又过了6小时达到乙地，求开始时这辆车的速度.
检测本堂课的学习效果，重点考查学生的分析能力.
提纲挈领，重点突出.
活动
四：
课堂
总结
反思
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课通过实际生活中的几个情景引入，让学生体会体积不变，学生比较容易理解掌握．
②[讲授效果反思]
本节课重点在于使学生理解 “变化中的不变”，寻找不变的量，据此列出方程．指导学生借助表格去表达问题中的信息，这里表格的引入非常自然，使学生真正感受到表格对分析问题所起的作用．
③[师生互动反思]
本节课的设计中，通过引导学生进行探索，使学生在旧知识的基础上探求新内容，探索的过程是在复习旧知识的同时进行的，抓住题中的等量关系是关键．这种形式让学生切身去体验问题的情景，从而进一步帮助学生理解比较复杂的问题，再把实际问题抽象成数学问题．
④[习题反思]
好题题号__________________________________
错题题号__________________________________
反思，更进一步提升．
3．2 一元一次方程的应用
第2课时 利息和利润问题
课题
第2课时 利息和利润问题
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
1. 了解存款利息的计算方法；
数学思考
2. 理解打折销售问题，会计算商品的利润．
问题解决
通过调查、体验和分析，充分感受数学身边的数学，尝试用数学的眼光分析生活中的打折现象，理性消费．
情感态度与价值观
体验生活中数学的应用与价值，感受数学来源于生活，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣．
教学重点
用列方程的方法解决存款利息问题和打折销售问题.
教学难点
准确理解存款利息的计算方法、打折销售问题中的利润(利润率)、成本、销售价之间的关系．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
(1)利率：又叫利息率，是衡量利息高低的指标，是一定时期内利息额和本金的比率．利率＝利息/本金.
利率分年利率、月利率和日利率.
(2)利息：利息(年)＝本金×年利率×存期，
或利息＝本金×利率×时间，
本息和＝本金＋利息．
回顾与存款有关的概念，为下一步的学习做好铺垫.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
图3－2－16
生活中我们除了接触存款问题，还时常能遇到打折销售问题(如图3－2－16)．如何来解决这些问题呢？
了解与销售有关的几个概念：
1.进价：购进商品时的价格(有时也叫成本价).
2.售价：在销售商品时的售出价(有时也叫成交价、卖出价).
3.标价：在销售时标出的价(有时称原价或定价).
4.利润：在销售商品的过程中的纯收入，在教材中，我们就规定 : 利润＝售价－进价.
5.利润率：利润占进价的百分率，即利润率＝利润÷进价×100%.
6.打折：销售价占标价的百分率(如打八折，就是按标价的80%出售).
【探究1】 教育储蓄所得的利息不需纳税，小华的爸爸在小华上高中期间为小华存了一笔三年期的教育储蓄，年利率是5%，到期后，可以从银行取得本息和共46000元．那么小华的爸爸存入了多少元钱？
分析：46000元包括本金和利息，如果设本金为x元，怎样表示利息？怎样列出方程？
结合自身平时生活中在商场了解的有关打折销售的信息，共同交流，说明数学就在我们身边，从而引入新课.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究2】 某商场将某种商品按原价的八折出售，此时商品的利润率是10%.已知这种商品的进价为1800元，那么这种商品的原价是多少？
处理方式：给学生介绍利润率的概念，即利润率＝利润÷成本×100%＝(售价－成本)÷成本×100%.在解决问题时，要抓住这个等量关系．由于本例中只提到售价、进价和利润率，因此我们可以用“进价”代替“成本”.
解：设这种商品的原价是x元．根据题意，得
＝10%.
解得x＝2475.
答：这种商品的原价是2475元.
通过问题引导学生学会思考此类存款利息计算的应用题，会设出相应未知数，列出方程并解方程.
引导学生探究打折销售中几个量之间的关系，根据等量关系列方程．学生理解利润率的概念是解决此类问题的关键，符合学生的认知规律.
（续表）
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 一商店出售书包时，将一种双肩背的书包按进价提高30%作为标价，然后再按标价9折出售，这样商店每卖出一个这种书包可盈利8.50元．问这种书包每个进价多少？
变式训练
1. 一件商品的标价为100元，现以九折销售，售价为__90__元，如果进价为80元，那么它的利润为__10__元，利润率是__12.5%__.
2.一件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系，按标价的八折出售，每件以60元卖出，这批夹克每件的成本价是多少元？
3. 某种商品的进价是300元，标价是400元，打折销售后的利润率为20%，那么此商品是按几折销售的？
4. 某商品在原价的基础上提高25%标价，若想调回原价，应降价的百分率为多少？
体会利润率的概念，灵活应用此概念解题.
【拓展提升】
例2 某个体户在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件以135元出售，若以成本计算，其中一件赢利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中他( C )
A.不赚不赔 B．赚了9元
C.赔了18元 D．赚了18元
例3 新华书店一天内销售两种书籍，甲种书籍共卖得1560元，乙种书籍共卖得1350元，若按甲、乙两种书的成本分别计算，甲种书赢利25%，乙种书亏本10%，试问这一天共赢利(或亏本)多少元？
例4 枫枫去文具店买练习本，营业员告诉她如果购买超过10本，则超过10本后的部分按七折优惠，枫枫买了20本，结果便宜了1.8元，你知道原来每本的价格是多少吗？
拓展思维，提升能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1.为了促进人们的购买力，商场纷纷搞起了打折促销活动，一件原价为100元的服装打八折销售，则现在的价格为( B )
A.20元 B．80元 C．100元 D．120元
2.一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物进价为每件21元，则每件标价应为__28__元.
3. 小明存入银行800元，存期三年，到期时共取出905.6元(不计利息税)，年利率是多少？
检测学生掌握情况，及时反馈．
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课与实际生活联系紧密，可让学生课前去银行了解存款类型和利息计算．到超市体会打折销售的情况，使他们充分体验生活中数学的应用与价值，这样他们自己就有了学习的愿望，变被动为主动，这也正是教师每节课希望达到的目标.
②[讲授效果反思]
在讲授知识时，主要理解有关概念，有效针对学生接受知识的思维习惯，有条不紊地进行知识的探究和掌握，引导学生进行探索，使不同层次的同学有不同程度的收获.
③[师生互动反思]
在教学实施中自始至终精心设计问题，引导学生探索、归纳，注重过程教学，这样既有利于培养学生的分析归纳能力，也真正体现了以学生为主体的教学理念.
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升．
3．2 一元一次方程的应用
第3课时 工程问题
课题
第3课时 工程问题
授课人
教
学
目
标
知识与
技能
会设关于比例问题的未知数，会通过列一元一次方程解决有关工程问题的应用题．
数学思考
借助表格学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力．
问题解决
通过解决实际问题，体会直接、间接设未知数的解题思路，建立方程解决实际问题，使学生明确实际问题中方程的解必须检验．
情感态度与价值观
培养学生的数学兴趣，发展逻辑思维能力，并能在日常生活中奉献爱心．
教学重点
借助表格准确分析问题中的数量关系，间接设未知数．
教学难点
正确找出等量关系，解决实际问题，探究多种解题方法．
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体课件
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
(1)列一元一次方程解应用题的步骤有哪些？
(2)列方程解应用题的关键是什么？
通过复习，进一步熟悉列方程解应用题的方法步骤.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
教师用多媒体展示一组有关城市内涝的图片(如图3－2－19)，让学生谈谈自己的所见所感.
图3－2－19
法国文学家雨果曾说过，下水道是“城市的良心”．但每逢暴雨天气，国内各大城市的内涝却总让这点“良心”不得安宁．暴雨侵袭带来的严重积水和交通堵塞屡遭抱怨却屡现不止．无怪乎台湾作家龙应台说：“验证一个国家和城市是否发达，一场雨足矣．”
师：现在一个城市发生了内涝，需要对一个区域用水泵进行排水，同时安排三个作业队，怎样分配工作呢？
通过图片让学生了解城市内涝问题，激发求知欲，增强责任感，长大之后为社会多做贡献.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
例 一件工作，甲单独做15小时完成，乙单独做10小时完成，那么两人合作多少小时完成？
(1)这道题目中的已知量是什么？
(2)这道题目中的未知量是什么？
(3)这道题目中的等量关系是什么？引导学生填写表格：
工作效率
工作时间
工作量
甲
x
乙
x
等量关系：甲的工作量＋乙的工作量＝工作总量.
解：设两人合作x小时完成.
根据题意，得＋＝1.
解得x＝6.
答：两人合作6小时完成.
总结：通过上面的问题使学生理解工作量、工作效率、工作时间之间的关系.
工作量＝工作效率×工作时间，
工作时间＝工作量÷工作效率，
工作时间＝总工作量÷(甲的工作效率＋乙的工作效率).
通过例题让学生理解工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系．为下一步学习做好铺垫.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1 三个作业队共同使用水泵排涝，如果三个作业队排涝的土地面积之比为4∶5∶6，而这一次装运水泵和耗用的电力费用共计120元，三个作业队按土地面积比各应该负担多少元？
变式训练
1.三角形三个内角的和是180°，已知三个内角的度数之比是2︰3︰5，则每个内角是多少度？
2.七年级三个班参加篮球课外兴趣小组的共有36人，其中三个班参加人数之比是2︰3︰4，每班各有多少人参加篮球兴趣小组？
3.用长为84 cm的铁丝围成一个长方形，已知长与宽的比为4︰3，则该长方形的面积是多少？
设未知数的方法有两种：一种是直接设未知数，一种是间接设未知数，根据实际问题，哪种设法列方程容易，就选用哪种方法.
举一反三，熟练解决.
【拓展提升】
例2 小敏用168厘米长的细铁丝扎一个长方体框架，已知长、宽、高之比为6︰5︰3，若用白纸根据这个长方体框架糊一个长方体纸盒，则需要白纸多少平方厘米？
例3 红旗中学原计划向向阳中学捐赠 3500册图书，实际共捐赠了4125册，其中初中学生捐赠了原计划的120%，高中学生捐赠了原计划的115%. 问：初中学生和高中学生原计划捐赠图书各多少册？
拓展思维，提升能力.
例4 某会议厅主席台上方有一个长12.8 m的长条形会议横标框，铺红色衬底，开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上，但会议名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空∶字宽∶字距＝9∶6∶2，如图3－2－20所示.
图3－2－20
根据这个规定，求当会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少.
活动
四：
课堂
总结
反思
【当堂训练】
1. 某地为打造河道风光带，现将一段长为180米的河道整治任务交由甲、乙两个工程队先后接力完成．已知甲工程队每天整治12米，乙工程队每天整治8米，共用时20天．甲、乙两个工程队分别整治河道多少米？
2.某蔬菜公司收购某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售．该公司加工该种蔬菜的能力是：每天可以精加工4吨或粗加工8吨．现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工、几天粗加工？
3. 甲、乙两人去商店买东西，他们所带的钱数比是7∶6，甲用掉50元，乙用掉60元，两人余下的钱数比为3∶2，则两人余下的钱数分别是多少？
检测本节课学生的掌握情况，及时反馈.
提纲挈领，重点突出
【教学反思】
①[授课流程反思]
本节课让学生从实际问题出发，激发学生的学习兴趣，增强他们的社会责任心.
②[讲授效果反思]
教师引导学生用不同的方式设未知数，用不同的等量关系列方程，并加以比较研究，切实提高了学生分析问题和解决问题的能力，这也是本节课较成功的地方，还应注意检验方程解的合理性.
③[师生互动反思]
给学生留有充分的思考和交流的时间和空间，让学生经历观察、探索、交流、反思等活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，分析问题的过程中要求学生列表格分析问题，使学生真正感受到表格在分析问题中的重要性.
④[习题反思]
好题题号__________________________________________
错题题号__________________________________________
反思，更进一步提升．
