3.3 二元一次方程组及其解法
第1课时 二元一次方程组
课题
3．3.1二元一次方程组及其解法
授课人
教学目标
知识技能
1．通过实际问题建立二元一次方程（组），理解二元一次方程（组）的概念．
2．通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组都是反映数量关系的重要数学模型，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系.
数学思考
1.通过实例认识二元一次方程和二元一次方程组，体验数学模型的优化的重要性和必要性。
2.懂得二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型，体会代数方法的优越性和多样性．
问题解决
通过对以上知识点的学习，提高分析问题、解决问题的能力和逻辑思维能力. 初步学会利建立二元一次方程组的模型反映实际问题。
情感态度
1．引导学生对情境问题的观察、思考，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功得体验，建立学习的自信心。
2．通过对具有实际意义问题的解决，激发学生严肃认真的科学态度，从实践中感受数学的应用性和多样性．
教学重点
对二元一次方程和二元一次方程组的概念的理解．
根据实际问题中数量之间的关系，建立二元一次方程组．
教学难点
准确地根据题意列出二元一次方程组．
授课类型
新授课
1课时
教具
PPT（多媒体）
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
如何根据问题情境建立一元一次方程解决实际问题．
1.审 2.设 3.列 4.解 5.答
学生回忆列方程解应用题的步骤，为新课讲解作铺垫．
活动一：
创设情境
导入新课
【课堂引入】
活动一：对话
老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，
小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”
老牛气喘吁吁地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”
问题1:从它们的对话中，你最想知道什么？
问题2:如果假设老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹，你能得到怎样的方程？能列几个？
以动漫的形式引出方程问题，让学生再次经历建模的同时，调节部分学生的心情，以相对轻松的状态进入后面的学习
活动二：
小组探究
交流，归纳总结新知
【探究1】
多媒体展示：教材P98问题①，要求设两个未知数解决。
根据问题中两个未知数，列出两个独立的方程，每个方程中含有几个未知数？未知项的次数是几？根据一元一次方程的概念，你知道这是什么方程吗？
上面所列两个方程，每个方程都含有 个未知数，并且未知项的次数都是 ，这样的整式方程叫做二元一次方程．
【探究2】
学生活动：上述问题中所列的两个方程有什么关系？它们为什么能组合在一起？
（通过学生的小组讨论，总结与归纳，得出结论）
结论：由两个一次方程组成的只含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组。
1.通过探究发挥小组集体智慧的力量，结合前面所学知识，经历从实际问题抽象出二元一次方程和二元一次方程组的过程，让学生体会数学来源于生活，以及数学的实用性和多样性．
2．从学生的易错点上作好引导，让学生感受数学的严谨性，杜绝出错的表达，充分认识二元一次方程组的意义．
活动三：
变式训练
与提高
【应用举例】
例1.下列不是二元一次方程的是（ ）
A.x+2y=1 B.3x+2xy=5 C.x+2y=0 D.
【变式训练】
变式一 下列是二元一次方程的有（ ）
①3x-2y=3；②2xy=6；③ax-5y=0；④；⑤.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式二 已知是二元一次方程，则m= ,n= .
对二元一次方程概念的应用，充分认识和深刻理解二元一次方程．
【拓展提升】根据实际问题列方程组
例2 将“鸡兔同笼”问题改编如下：购买甲乙两种商品共计35元，若购甲商品2件，乙商品4件共需94元，求甲乙商品每件各多少元？列出求解方程组即可． 【解】设甲种商品每件是x元，乙种商品每件是y元．根据题意可列方程组.
训练根据实际问题建立方程组模型．通过改编应用题，进一步发展学生的思维能力，解决问题的能力.
活动四：课堂总结反思
当堂训练：下列属于二元一次方程组的有（ ）
下列方程组中,哪些是二元一次方程组?
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
P99 练习T1、2
作业布置：P105-106 习题3.3 T1、2、3、4
加强巩固，提升应用能力．
板书设计
便于归纳概念理解概念．
教学反思：
①[授课流程反思]
新课导入通过学生熟悉的问题情境，引起学生的兴趣，通过列方程和列方程组解决问题的对比应用，体会列方程组的实用性
②[讲授效果反思]
列方程组时，引导学生分析题中的等量关系，建立二元一次方程组的模型，训练学生的思维能力，体会所列的两个方程组合在一起的意义.
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号
错题题号
通过反思，为更进一步提升．
第2课时 代入消元法
课题
3．3.2代入消元法
授课人
教学目标
知识技能
1．知道二元一次方程组的解的概念．
2．初步体会解二元一次方程组的基本思想----“消元”,并会用代入消元法解二元一次方程组.
数学思考
经历探究二元一次方程组的解法过程，学会代入消元法解方程组。体会消元思想的运用，思考数学中“多元”化“一元”的思想与方法.
问题解决
通过学习，能迅速在所给的二元一次方程组中，选择一个系数较简单的方程进行变形．并用代入法解方程组.
情感态度
通过本节课的学习，感知消元，化未知为已知的数学思想，渗透化归的数学美．
通过探索解二元一次方程组的方法，培养学生合作交流的意识与探究精神.
教学重点
用代入法解二元一次方程组．
教学难点
方程组中两个未知数的系数都不是1，如何恰当选择其中一个未知数用另一个未知数表示，并使解法简单，需要一定的观察、分析、运算能力，因此是本节课的难点。
授课类型
新授课
1课时
教具
PPT（多媒体）
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：
创设情境
导入新课
【课堂引入】
采用多媒体展示上节课所提出的问题，并给出所列的方程组.
提出问题：要解决这个问题，求出其中的x，y，怎样求方程组中未知数的值呢，即如何解方程组？
通过复习引入，提出有待解决的问题，使学生明白学习目标.
活动二：
小组探究
交流，归纳总结新知
【探究】
回忆解决问题列出的方程2x+(45-x)=60和方程组
（1）它们中的未知数x意义相同吗？方程组中的未知数y，与方程中哪个式子意义相同？
（2）方程组中的两个未知数，能否用一个未知数表示？能得出y=45-x，或x=45-y吗？
（3）能否将方程组化为方程2x+(45-x)=60.
这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的思想是“消元”思想，也就是消去一个未知数，把解二元一次方程组化为解一元一次方程.
从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入”到另一个方程中，进行求解，这种方法叫做代入消元法，简称为代入法.
基本思路是：二元一次方程组 一元一次方程
解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：
第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.
第二步：把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：回代求出另一个未知数的值.
第五步：把方程组的解表示出来.
引导学生回忆、对比同一个问题建立的两个模型，既复习了旧知识，又把学生带入到新课的学习情境中，激发了学生的求知欲。
引导学生分析、比较，有利于学生形成良好的思维习惯.
重视知识发生的过程，帮助学生掌握用代入法解二元一次方程组的全过程.
活动三：
变式训练
与提高
【应用举例】教材P102例1
例1 解方程组：
【变式训练】
变式一 用含有x的式子表示y
（1）2x-y=1；
(2)3x+2y=10.
【解】利用等式的性质变形（1）y=2x-1；(2).
变式二 解方程组.
【提示】直接选择方程②代入到方程①中，即可消元求解.
变式三 解方程组.
【提示】选择方程②变形成2x=3y-85,代入到方程①中，即可消元求解.
1、让学生运用代入法解方程组，在积累解题经验的同时，体会如何正确选择方程进行适当的变形。
2、模仿改造试题可体现知识的延伸养成，更好地理解代入消元法.
【拓展提升】
例2 若二元一次方程组的解为，则a+b的值为（ ）
A. B. C. D.
【提示】用代入法将方程②代入到方程①中，求出x的值，然后再代入求出y的值，从而得出a，b的值.
例3 小红和小新两人解方程组
小强一边做作业，一边看电视，一不小心把a给看错了，从而得到方程组的解为；
小新一边做作业，一边吃零食，一走神把b看错了，从而得到方程组的解为
若按正确的a、b计算，原方程组的解是什么？
解：因为小强只看错了方程（1）中的a，所以小红得到的解应该满足无a的方程（2），即4×（-3）-b×（-1）=-2 (3),同理小新得到的解应满足无b的方程（1）即a×2+5×3=13 (4)；由（3）、（4）解得，
所以原方程组应为，
解得.
知识的综合与拓展提高解题技巧和能力
活动四：课堂总结反思
[应用举例]
1．由，可以得到用表示的式子是（ ）
A . B .
C . D.
2．解二元一次方程组
（1） （2）
3. 教材P101练习第1、2、3题。
通过让学生解决数学问题，将新知识融入学生已有的认知结构中．通过检测纠错，提高认识知识的效率，使学生能运用所学知识和技能解决问题，同时为学生提供充分发挥创造力的空间，更大地调动学生的积极性．
板书设计
3．3.2代入消元法
二元一次方程组的解
代入消元法:
主要步骤：
例1
投
影
区
学 生 活 动 区
提纲挈领，重点突出
教学反思：
①[授课流程反思]
在探究用代入消元法解方程组时，先回顾同一个问题列出一元一次方程与二元一次方程组的关系，以及未知数的意义后，提出代入“消元”的思想，充分让学生思考、交流，以便于理解为什么可以这样做。
②[讲授效果反思]
在学生掌握解方程组的“化归”思想后，训练解题的方法以及步骤，使学生能够熟练地掌握代入消元法解方程组.
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号
错题题号
通过反思，为更进一步提升．
第3课时 加减消元法
课题
3．3.3二元一次方程组及其解法
授课人
教学目标
知识技能
1．知道加减消元法，会用加减消元法解二元一次方程组．
2．能将方程组中未知数系数化为相等或互为相反数，掌握加减消元的方法.
数学思考
经历探究二元一次方程组的解法过程，思考如何经过加减“消元”。体会消元思想的运用，思考数学中“多元”化“一元”的思想与方法.
问题解决
通过学习，能掌握选择所给方程组中一个未知数用“加减”消去的方法，并能对方程组进行同解方程组的“变形”.
情感态度
通过本节课的学习，感知消元，化未知为已知的数学思想，渗透化归的数学美．
通过探索解二元一次方程组的方法，培养学生合作交流的意识与探究精神.
教学重点
用加减法解二元一次方程组．
教学难点
方程组中两个未知数的系数既不相等也不相反时，如何变形利用加减消元，在选用加减消元时，是用加法还是减法？以及未知数的系数是负数时，正确计算是加减消元法的难点.
授课类型
新授课
2课时
教具
PPT（多媒体）
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
复习
提问：等式具有哪些性质？解方程组的基本思路是什么？
通过复习提问，巩固所学知识，也引入了新课.
活动一：
创设情境
导入新课
【课堂引入】
上节课学习了代入法解方程组，如果解方程组.试试用代入法求解.
提出问题：1.除了用代入消元法解这个方程组，还有其它方法消元吗？
2. 对于二元一次方程x+y=5和方程x-y=3如果看作两个等式，对于方程x+y+（x-y）=5+3成立吗？
让学生经历用代入法解较为复杂的方程组的过程.便于与本节学习的加减消元法对比，体会引入加减消元法的必要性.
活动二：
小组探究
交流，归纳总结新知
【探究1】
例1 解方程组
仔细观察到方程①、②中未知数x的系数相等，思考能否利用等式的性质将两个方程相减消去未知数x？
总结：加减消元法解方程组的方法和步骤。
注意：解此题的易错点是②-①时是（2x+3y）-(2x-5y)=-1-7，方程左边去括号时注意符号.另外解题时，①-②或②-①都可以消去未知数x，不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数.
【探究2】
例2 解方程组
对于用加减消元法解，x、y的系数既不相同也不是相反数，没有办法用加减消元法吗？
是不是可以这样想，将方程组中的方程用等式的基本性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或互为相反数)的情形，再用加减消元法，达到消元的目的.
说明：先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观察到方程有什么特点，能不能自己解决此方程组，用什么方法解决？如学生提出用代入消元法，可以让学生先按此法完成，然后再问能不能用刚学过的加减消元法解决？让学生讨论尝试，并总结方法。
总结：直接将两个方程相加或相减，消去一个未知数；或对其中一个（或两个）方程进行编写，使得这个方程组中的x或y 的系数相同或互为相反数，可消去一个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
让学生观察、讨论得出消去未知数x的方法.
活动三：
变式训练
与提高
【应用举例】教材P103例3
例1 解方程组
【变式训练】
变式一 用加减法解方程组时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有以下四种变形的结果：
① ②
③ ④
其中变形正确的是( )
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
变式二 求二元一次方程4x-3y=6与2x+6y=7的公共解.
变式三 已知方程组，则x+2y= 。
1、让学生运用加减消元法解方程组，在积累解题经验的同时，注意总结方法。首先确定消去哪个未知数，然后再确定用加法还是减法，怎样才能消去.
2、模仿改造试题可体现知识的延伸养成，更加灵活地运用加减消元法解方程组.
【拓展提升】P104 例4
例2 解方程组
例3 已知关于x，y的方程组的解满足x+y=7,则a的值.
对于方程组中每个方程如果含有括号，分母，百分数或小数应先化简，然后考虑如何消元.
知识的综合与拓展提高解题技巧和能力。消未知数时，也可考虑消去常数项.
活动四：课堂总结反思
当堂训练：
P104 练习， P105 练习
作业布置：P106 习题3.3 T6T7（1）（2）
加强巩固，提升应用能力．
板书设计
提纲挈领，重点突出
教学反思：
①[授课流程反思]
在引入新课时无论通过情景引入，还是通过悬念设疑，都直接给出消元的另一种方法，加减消元法，使学生能明确本节课的目的，带着一定的目的和认为进行探究，容易激发学生的兴趣.
②[讲授效果反思]
在学生掌握解方程组需要消元的的理念时，提出加减可以消元，然后从不同的方程组消元的具体方法中积累经验，逐渐掌握加减消元法解方程组.
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号
错题题号
通过反思，为更进一步提升．
