3．4 二元一次方程组的应用
第1课时 比赛得分和行程问题
课题
3.4.1比赛得分和行程问题
授课人
教学目标
知识技能
1．了解列二元一次方程组解应用题的一般步骤．
2．结合实际问题，寻找相等关系列方程（组），掌握二元一次方程组解决实际问题的思路.
数学思考
通过列一元一次方程和列二元一次方程组解应用题的两种不同方法，体会列二元一次方程组的简洁性。
在运用二元一次方程组解决实际问题过程中，初步体会数学建模思想，培养学生应用意识.
问题解决
根据具体问题找到一组相等关系，列出二元一次方程组.
情感态度
在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣，是学生乐于参与数学活动。
在探究、讨论和合作交流中，鼓励学生发表自己的见解，获得解决问题成功的体验，树立学号数学的自信心。
教学重点
经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程
教学难点
实际问题转化为二元一次方程组，建立数学模型的能力
授课类型
新授课
2课时
教具
PPT（多媒体）
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
复习
提问：解二元一次方程组的方法有哪些？列一元一次方程解决实际问题的一般步骤有哪些？
通过复习提问，熟悉解二元一次方程组的思路和方法.对实际问题转化为方程，数学建模
活动一：
创设情境
导入新课
【课堂引入】
用多媒体展示足球精彩镜头，精彩画面.
导入语：同学们，你喜欢踢足球吗？你知道足球联赛中球队的积分怎样计算的？
在学生掌握解二元一次方程组的方法和列方程解应用题的步骤后，指出数学来源于生活，生活中很多例子都可列二元一次方程组解决.
活动二：
小组探究
交流，归纳总结新知
【探究1】
投影出示例1.
某市举办中学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分.市第二中学足球队比赛11场，没有输过一场，共得27分.试问该队胜几次，平几场？
（1）找出题目中的未知量，找出题目中的所有等量关系。
（2）如果设一个未知数，如何表示另一个未知数，根据哪个等量关系列方程解答.
(3)列出一元一次方程；
（4）解出方程并检验结果的合理性
（5）正确作答
通过学生探究、讨论、交流，教师给出示范性解答。
再提出追问：还有其他方法解决吗？
如果设出两个未知数，想想要找几个等量关系，建立几个方程；
本题可以根据“足球比赛该队共赛11场”和“该队共得27分”两个等量关系，列出两个二元一次方程，从而建立方程组。
【探究2】（1）在行程问题中有哪几个量？它们之间有什么关系？
（2）请画线段图表示相遇问题的路程关系、追赶问题的路程关系.
利用投影展示教材P108例2
甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇，试问两人的速度各是多少？
本例中如果设出两人的速度，能否画出线段示意图表示出“追及问题、相遇问题”？
根据线段图找出等量关系列出方程组解答。
先通过学生熟悉的列一元一次方程解答此题.为列二元一次方程组提供经验效仿.
如果学生没有提到用二元一次方程组解决时，教师要适时提出
有几个未知数？如果直接设出两个未知数？能找到几个等量关系？
学生通过列出方程组解决此题，和列一元一次方程解决此题进行比较，体会列方程组相对要简单些.
先复习了行程问题中几个量之间的关系。
然后通过画出线段示意图分析相遇或追及问题的等量关系关系。积累解答行程一类问题的经验。引导学生获得研究问题的方法和经验，同时发展学生的思维能力。
活动三：
变式训练
与提高
【应用举例】教材P112第2题
例1 甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步。如果同时同地出发，相向而行，每隔2 min相遇一次；如果同向而行，每隔6min相遇一次。已知甲比乙跑得快，甲、乙每分各跑多少圈？
【变式训练】
变式 甲、乙在周长400米的操场跑道上散步，以各自的速度同时出发.如果同向而行，甲乙20分钟再次相遇；如果相向而行，两人5分钟后相遇，试问两人的速度各是多少？
例2 （P109 练习T3）一艘轮船航行在相距72千米的两个港口之间，顺流需4 h，逆流航行需4 h48 min，求江轮在静水中的速度.
【变式训练一】一架飞机顺风飞行，每小时飞行500km，逆风飞行，每小时飞行460km，求飞机无风时飞行速度和风速.
【变式训练二】一轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时．已知水流速度为3千米/时，该船在静水中速度和两个码头之间的距离.
【变式训练三】A地至B地的航线长975km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12.5h，它逆风飞行同样的航线需13h，求飞机无风时的平均速度与风速．
通过应用举例使学生熟练掌握行程问题中数量之间的关系，提供分析问题、解决问题的能力。
在行程问题中顺水航行速度=船在静水中的速度+水速；逆水航行速=船在静水中的速度-水速.
设置变式训练使学生能灵活地解决关于直道（圆形跑道）相遇、追及问题。锻炼学生的表达能力，培养学生的思维能力，树立他们的自信心。
【拓展提升】
例3 甲、乙两人从同一地点出发，同向而行．甲骑自行车，乙步行．如果乙先行12千米，甲用1小时就追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用小时就追上乙，则甲乙的速度各是多少？
例4 （2014?呼伦贝尔）从甲地到乙地的路有一段上坡，一段下坡．如果上坡平均每分钟走50米，下坡平均每分钟走100米，那么从甲地走到乙地需要25分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．甲地到乙地上坡与下坡的路程各是多少？
加强巩固，提升应用能力．
活动四：课堂总结反思
【当堂训练】
1．现在父亲的年龄是儿子的年龄的3倍，7年前父亲的年龄是儿子的年龄的5倍，问父亲、儿子现在的年龄分别是（ ）
A、42岁，14岁 B、48岁，16岁 C、36岁，12岁 D、39岁，13岁
2. 小红的储钱罐里有面值2元和5元的人民币共65张，总钱数为205元，两种面值的人民币各多少张？
3．蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现这两种小虫共有腿108条和20对翅膀，则蜻蜓有__________只，蝉有________只．
4. 用一根绳子环绕一个圆柱形油桶，若环绕油桶3周，则绳子还多4尺；若环绕油桶4周，则绳子又少了3尺。这根绳子有多长？环绕油桶一周需要多少尺？
巩固提高，熟练应用．
板书设计
提纲挈领，重点突出
教学反思：
①[授课流程反思]
在引入新课时无论通过复习引入，还是通过悬念设疑，都让学生知道数学来源于生活，又服务于生活，这样用所学知识解决实际问题，带着一定的目的和认为进行探究，容易激发学生的兴趣.
②[讲授效果反思]
通过所给问题情境，分析题中数量关系，学会分析问题、建立数学模型的方法，不断积累.提高解决问题的能力。
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号
错题题号
通过反思，为更进一步提升．
第2课时 物资配比和方案决策问题
课题
第2课时 物资配比和方案决策问题
授课人
教学目标
知识技能
1．能用方程组解决物质配比、搭配问题．
2．会借助“表格”、“对话”、“图形”等分析数量关系，解决方案决策问题.
数学思考
经历利用二元一次方程组解决物质配比、搭配问题、方案决策问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型.
问题解决
通过学习，会借助“表格”、“图形”等分析数量关系，能够解决有关物质配比和搭配问题，以及方案决策问题.
情感态度
在列方程组解决实际问题的过程中，增强学生应用数学的能力．体会数学与生活的联系。培养学生应用数学的意识，增强学生学习的信心。
教学重点
用方程组解决物质配比、搭配问题和方案决策问题．
教学难点
表格和题中提供的信息的综合应用.找出符合题意的等量关系建立方程组是难点。
授课类型
新授课
2课时
教具
PPT（多媒体）
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
活动一：
创设情境
导入新课
【课堂引入】
玻璃现在用处越来越大，玻璃的种类也很多，但是玻璃的基本成分都是由石英砂和长石粉配制而成的。如何配制？本节课将学习列方程组解决物质配比这类问题。
通过问题情景吸引学生的兴趣，如何开门见山说出本节课的目的。
活动二：
小组探究
交流，归纳总结新知
【探究1】
课本P109例3
玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉的混合而成，要求原料中含有二氧化硅70%。根据化验，石英砂中含有二氧化硅99%，长石粉中含有二氧化硅67%，试问3.2 t原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
要求学生思考：混合前后什么保持不变？玻璃液中二氧化硅来源于哪里，由哪个物质提供？由此你能得到等量关系并建立方程组吗？
【探究2】P110例4
某村18为农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地。根据市场调查，他们对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦，种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
1.5
荞麦
4
1
在现有的条件下，这18位农民应承包多少公顷土地，怎样安排种植才能使所有的人都有工作，且资金正好够用？
处理方式：让学生充分读题、认真分析题中的等量关系？所需资金和人数都与什么有关？“所有的人都有工作，且资金正好够用”指的是什么？能否从中找出两个等量关系建立方程组？
让学生审题、思考，提高学生分析问题的能力.
通过设置问题，给学生示范如何抓住题目的本质.学会建立此类的方程组的方法。
对于图表类问题学生从中获取信息和题干容易脱节，本题中的等量关系不是很明显，需要学生认真审题、把握题中的等量关系。
活动三：
变式训练
与提高
【应用举例】
例1 现在将含盐率20%的盐水与含盐率5%的盐水混合在一起，配制成含盐率为10%的盐水1200克，需取含盐率20%的盐水与含盐率5%的盐水各多少克？
变式1 已知使用两种铁矿石炼铁：磁铁矿含铁51%，赤铁矿含铁56%，取这两种铁矿石共500t．若炼出260t铁，则两种铁矿石各多少t ？
变式2 某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，米食每100 g含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭有7.5个单位的蛋白质和12.5个单位的淀粉，问应如何配制盒饭才能到达要求？
例2 某种植大户安排10个劳动力来耕作30亩土地，这些土地可以种蔬菜和水稻，种这些作为所需劳动力以及预计产值如下表：
每亩所需劳动力
每亩预计产值（元）
蔬菜
0.5
3000
水稻
0.25
700
为了使所有土地都种上作物，全部劳动力都有工作，应安排种蔬菜和水稻的劳动力各多少人？这时预计产值是多少？
【变式训练一】灾后重建，四川从悲壮走向豪迈．灾民发扬伟大的抗震救灾精神，桂花村派男女村民共15人到山外采购建房所需的水泥，已知男村民一人挑两包，女村民两人抬一包，共购回15包．请问这次采购派男女村民各多少人？（ ）
A．男村民3人，女村民12人
B．男村民5人，女村民10人
C．男村民6人，女村民9人
D．男村民7人，女村民8人
【变式训练二】机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问安排 名工人加工大齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套．
要求学生用一元一次方程解答和利用方程组解答进行对比.体验建立方程组解决问题的优越性。
通过变式训练提高学生解决问题的能力
【拓展提升】
例3 某幼儿园每天需用甲、乙两种原料为小朋友们配置营养餐．每克甲种原料含0.7单位蛋白质和0.5单位维生素，每克乙种原料含0.2单位蛋白质和1单位维生素，每天小朋友需要蛋白质23个单位，维生素25个单位，那么每天需用甲、乙两种原料各多少克恰好满足一位小朋友的需要？ 设每位小朋友每天需甲、乙两种原料各x、y克． ①请你在下表空格中填写相应的代数式； ②请你列方程组求解．
对于方案决策（配套问题）类问题学生易错.而且也是难点，通过拓展练习促使学生掌握这类问题，提高应用能力。
活动四：课堂总结反思
当堂训练：
P110 练习， P111 练习
作业布置：P112 习题3.4 T3、4、5、6
巩固提高，熟练应用．
板书设计
提纲挈领，重点突出
教学反思：
①[授课流程反思]
通过问题情景引入新课，使学生明确数学来源于生活，又服务于生活，将所学的数学知识应用到实际生活中，学以致用，容易激发学生的兴趣.
②[讲授效果反思]
在问题探究时要帮助学生学会如何分析问题，从题中找出已知和未知之间的等量关系，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题解决,
③[师生互动反思]
④[习题反思]
好题题号
错题题号
通过反思，为更进一步提升．
