2.3 等差数列的前n项和 课件（49张PPT）

课件49张PPT。2.3 等差数列的 前n项和Learning goal学习目标
1、掌握等差数列前n项和公式
及其获取思路；
2、会用等差数列的前n项和
公式解决一些简单的与前n项
和有关的问题.（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.
高斯 有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？创设情景问题就是：计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②①+②式得问题分析已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？①②由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)da1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.典型例题例一、已知 求合作探究同学们！找好数列的项数很关键。我们可以用什么方法来确定数列的项数呢？谈谈自己的收获！1、等差数列的前n项和公式：已知首相和末项时用。已知首相和公差时用2、倒序相加法的数学思想。3、在应用等差数列前n项和公式解决问题时要注意正确的求出项数。教材45页第1题，46页第2题，
写在作业本上。作业达标检测加试题对下列式子求和高斯的算法计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.首尾配对相加法中间的一组数是什么呢？若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？创设情景问题就是：1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n若用首尾配对相加法，需要分类讨论.三角形平行四边形n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1倒序相加法 那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？前n项和分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.①②问题分析已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .如何才能将等式的右边化简？①②由此得到等差数列的{an}前n项和的公式即：等差数列前n项的和等于首末项的和与项数乘积的一半。上面的公式又可以写成解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1an公式的记忆我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.a1(n-1)da1an将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.典型例题例一、已知 求合作探究加油！同学们！找好数列的项数很关键。我们可以用什么方法来确定数列的项数呢？完成展示交流部分加试题对下列式子求和小结达标检测公式应用 根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50练一练5002550 已知等差数列{an}．
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
[思路探索] 根据等差数列前n项和公式解方程．
题型一　与等差数列前n项和有关的基本量的计算
【例1】 a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．
在等差数列{an}中；
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a3＋a15＝40，求S17.
【变式1】 解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，【例2】2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？故，该市在未来10年内的总投入为答：从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.且a1=500,d=50,n=10.题型二 利用等差数列求和公式解决实际问题 【变式2 】 一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.答：屋顶斜面共铺瓦片570块.于是，屋顶斜面共铺瓦片：题型三　利用Sn求an 已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋2＝5.
(2)当n≥2时，Sn－1＝3＋2n－1，
又Sn＝3＋2n，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.
又当n＝1时，a1＝21－1＝1≠5，
【例3】 (1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，这里常常因为忽略条件“n≥2”而出错．
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋3n，求an.
解　a1＝S1＝5，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋
3(n－1)]＝4n＋1，
当n＝1时也适合，∴an＝4n＋1.【变式3】 【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式可得所以题型四 已知等差数列的某些项的和求出n项和【例4】已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？另解： 两式相减得　　一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[思路探索] 解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．
【变式4】故此数列的前110项之和为－110.
法二　数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则
又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，
∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
∴S110＝－120＋S100＝－110.
法三　设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
∵S10＝100，S100＝10，
　　　　解决此类问题的方法较多，法一、法三是利用方程的思想方法确定出系数，从而求出Sn；法二是利用等差数列的“片断和”性质，构造出新数列，从而使问题得到解决．
课堂小结1．等差数列前n项和的公式；
3.公式的应用(知三求二）
4. 用上页下页（两个）2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；由sn求an时注意对n进行讨论