沪科版数学九年级上册同步课时训练
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第1课时 解直角三角形
自主预习 基础达标
要点 解直角三角形
1. 在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知 的过程，叫做解直角三角形.
2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，其他五个元素之间的关系如下：
三边之间的关系： ；
两锐角之间的关系： ；
边角之间的关系： ； ； ； ； ； .
课后集训 巩固提升
1. 在下列情况下，可解的直角三角形是( )
A. 已知b＝3，∠C＝90° B. 已知∠C＝90°，∠B＝46°
C. 已知a＝3，b＝6，∠C＝90° D. 已知∠B＝15°，∠A＝65°
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，a＝2，则b＋c的值为( )
A. 4 B. 8 C. 1 D. 6
3. 如果，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，BE＝2，则tan∠DBE的值是( )
A. B. 2 C. D.
第3题 第4题
4. 如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠B，∠C＝∠D＝∠E＝90°，DE＝DC＝4，AB＝，则五边形ABCDE的周长是( )
A. 16＋ B. 14＋ C. 12＋ D. 10＋
5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长为 .
第5题 第6题
6. 如图，在△ABC中，cosA＝，tanB＝，AC＝2，则AB＝ .
7. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，a＋b＋c＝36，则a＝ ，b＝ ，c＝ ，tanA＝ .
8. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，斜边AB上的中线长为3，则斜边上的高长为 .
9. 已知：S△ABC＝1，∠B是钝角，AB＝1，AC＝4，则∠A＝ 度.
10. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠ADC＝60°，求△ABC的周长.(结果保留根号)
11. 如图所示，已知：在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝8.求△ABC的面积.(结果可保留根号)
12. 如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝，求：
(1)BC的长；
(2)sin∠ADC的值.
13. 如图所示，△ABC中，D是AB的中点，DC⊥AC，且tan∠BCD＝，求tanA的值.
14. 如图所示，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC的长；
(2)若sinA＝，求AD的长.
15. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
(1)求sinB的值；
(2)如果CD＝，求BE的值.
16. 如图所示，四边形ABCD为正方形，E为BC上一点，将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，MN与AE相交于点G，若tan∠AEN＝，DC＋CE＝10.求：
(1)△ANE的面积；
(2)sin∠ENB的值.
参考答案
自主预习 基础达标
要点 1. 元素 2. c2＝a2＋b2 ∠A＋∠B＝90° sinA＝ cosA＝ tanA＝ sinB＝ cosB＝ tanB＝
课后集训 巩固提升
1. C 2. A 3. B 4. B
5. 2
6. 4＋2(提示：过点C作边AB的高)
7. 9 12 15
8.
9. 30
10. 解：在Rt△ACD中，∠ADC＝60°，sin60°＝＝，tan60°＝＝，解得AD＝2，DC＝1，则BD＝2AD＝4.在Rt△ACB中，AC＝，BC＝BD＋DC＝5，则AB＝＝2，则△ABC的周长为：2＋5＋.
11. 解：过C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中，∵∠CDA＝90°，∴＝tan∠DAC＝tan60°＝，∴AD＝CD.在Rt△BDC中，∵∠B＝45°，∴∠BCD＝45°，∴CD＝BD.∵AB＝DB＋DA＝CD＋CD＝8，∴CD＝12－4.∴S△ABC＝AB·CD＝×8×(12－4)＝48－16.
12. 解：(1)过点A作AE⊥BC于点E.∵cosC＝，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝1.∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，∵tanB＝，∴＝.∴BE＝3AE＝3.∴BC＝BE＋CE＝3＋1＝4.
(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝2.∴DE＝CD－CE＝2－1＝1.∵AE⊥BC，∴∠ADC＝45°.∴sin∠ADC＝.
13. 解：过点B作BE⊥CD交CD延长线于点E.在△DAC和△DBE中，则△DAC≌△DBE.∴CD＝DE.设BE＝x，tan∠BCD＝，则CE＝3x，又CD＝ED，故ED＝x，则tan∠EBD＝＝＝.又∠EBD＝∠A，则tanA＝tan∠EBD＝.
14. 解：(1)在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∠A＝60°，AB＝6，又∵tanA＝，∴BE＝6?tan60°＝6.在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，∠E＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴CE＝2CD＝8.∴BC＝BE－CE＝6－8.
(2)在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，sinA＝，∴＝.设BE＝4x，则AE＝5x，∵AE2－BE2＝AB2，AB＝6，∴(5x)2－(4x)2＝62.∴x＝2.∴BE＝8，AE＝10.在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，tanE＝，而在Rt△ABE中，tanE＝，∴＝.∴ED＝CD＝.∴AD＝AE－ED＝.
15. 解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°，又∵AE⊥CD，∴∠CAH＋∠ACH＝90°，∵CD是斜边AB上的中线，∠ACB＝90°，∴CD＝AD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠B＝∠CAH，∴sinB＝sin∠CAH，又∵AH＝2CH，∴＝，∴sinB＝.
(2)∵CD＝，∴AB＝2.∵sinB＝，∴AC＝2，∴BC＝4.又∵sinB＝sin∠CAH＝＝，AC＝2，∴CE＝1，∴BE＝BC－CE＝4－1＝3.
16. 解：(1)∵tan∠AEN＝tan∠EAN＝，∴设BE＝a，AB＝3a，则CE＝BC－BE＝AB－BE＝2a，∵DC＋CE＝10，∴3a＋2a＝10，∴a＝2，∴BE＝2，AB＝6，CE＝4，∴AE＝＝2，∴AG＝.又∵＝tan∠AEN＝，∴NG＝，∴AN＝＝，∴S△ANE＝AN·BE＝××2＝.
(2)sin∠ENB＝＝＝.
