沪科版数学九年级上册同步课时训练
第23章 解直角三角形
23.2 解直角三角形及其应用
第4课时 坡度、坡角问题及坐标系中直线与x轴的夹角
自主预习 基础达标
要点1 坡度、坡角问题
1. 坡度也叫 ，是坡面的 与 的比.坡角是坡面与 的夹角.i＝＝ .
2. 与坡度有关的应用题常自斜坡的顶端作 ，从而转化为解直角三角形问题.
要点2 坐标系中直线与x轴的夹角
设直线y＝kx＋b向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为α，则tanα＝ .
课后集训 巩固提升
1. 一只小蚂蚁沿着倾斜角为α的斜坡前进了mcm，那么它上升的高度是( )
A. msinαcm B. mcosαcm C. mtanαcm D. cm
2. 某坡面的坡度是1∶，则此坡的坡角是( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
3. 直线y＝x－2的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4. 如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为( )
A. 4m B. m C. m D. 4m
第4题 第5题
5. 某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动.如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )
A. 8.1米 B. 17.2米 C. 19.7米 D. 25.5米
6. 直线y＝x＋1与直线y＝x＋2的向上方向与x轴正方向所成的角分别为α，β，则( )
A. α＝β B. α＜β C. α＞β D. 无法确定
7. 直线y＝3x＋5的向上方向与x轴正方向所夹的锐角为α，则tanα＝ .
8. 已知一次函数y＝kx＋b经过点(1，3)和点(3，5).则该直线的向上方向与x轴正方向所夹的锐角的正切值为 .
9. 直线x＝3向上的方向与x轴的正方向所夹的角为 .
10. 如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来.此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG＝0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4∶3，坡长AB＝8米，点A，B，C，D，F，G在同一个平面上，则此时小船C到岸边的距离CA的长为 米.(结果保留根号)
11. 已知正比例函数y＝kx经过点(3，9)，求直线向上的方向与x轴正方向所夹的夹角α.
12. 已知直线y＝kx＋b经过点(－5，11)，且向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为45°，求直线表达式.
13. 某校加强社会主义核心价值观教育，在清明节期间，为缅怀先烈足迹，组织学生参观滨湖渡江战役纪念馆.渡江战役纪念馆实物如图①所示.某数学兴趣小组同学突发奇想，我们能否测量斜坡的长和馆顶的高度？他们画出渡江战役纪念馆示意图如图②，经查资料，获得以下信息：斜坡AB的坡比i＝1∶，BC＝50m，∠ACB＝135°，求AB的长及过点A作的高是多少.(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
图① 图②
14. 已知直线y＝kx＋b经过点(－，m)和点(m，2)，且向上的方向与x轴正方向所夹的锐角为30°，求直线表达式.
15. 如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°.若坡角∠FAE＝30°，求大树的高度.(结果保留整数.参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73)
16. 某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，坡角∠BAD＝68°.为了减缓坡面防止滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保不滑坡.
(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长；(精确到0.1m)
(2)如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC左移11m到F点处，像这样改造能确保安全吗？(参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48，sin58°12′≈0.85，tan49°30′≈1.17)
17. 如图，斜坡AP的坡度为1∶2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求
(1)坡顶A到地面PQ的距离；
(2)古塔BC的高度.(结果精确到1米)
(参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01)
18. 某市为提高某段海堤的防海潮能力，计划将长96m的一堤段(原海堤的横断面形如图中的梯形ABCD)的堤面加宽1.6m，背水坡坡度由原来的1∶1改成1∶2，已知原背水坡长AD＝8.0m，求完成这一工程所需的土方，要求保留两个有效数字.(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24)
参考答案
自主预习 基础达标
要点1 1. 坡比 铅直高度 水平长度 水平面 tanα 2. 垂线
要点2 k
课后集训 巩固提升
1. A 2. A 3. B 4. C 5. A 6. B
7. 3
8. 1
9. 90°
10. 8－5.5
11. 解：将(3，9)代入y＝kx，得9＝3k，k＝，∴tanα＝，又α是锐角，∴α＝60°.
12. 解：∵k＝tan45°＝1，又直线y＝kx＋b过点(－5，11)，∴－5＋b＝11，b＝16，∴所求直线表达式为y＝x＋16.
13. 解：过点A作AD⊥BC交其延长线于点D，∵∠ACB＝135°，∴∠ACD＝45°，∴△ADC为等腰直角三角形，设AD＝x，则CD＝x，在Rt△ADB中，BD＝50＋x，∵斜坡AB的坡比i＝1∶，∴x∶(50＋x)＝1∶，解得x＝≈68.5，∴AD≈68.5.∵在Rt△ABD中，∠B＝30°，∠D＝90°，∴AB＝2AD≈137.0.答：AB的长约为137.0m，过点A作的高约是68.5m.
14. 解：∵k＝tan30°＝，又直线过点(－，m)和(m，2)，∴解得∴所求直线表达式为y＝x＋.
15. 解：延长BD交AE于点G，过点D作DH⊥AE于点H.由题意知：∠DAE＝∠BGA＝30°，DA＝6，∴GD＝DA＝6.∴GH＝AH＝DA·cos30°＝6×＝3.∴GA＝6.设BC的长为x米.在Rt△GBC中，GC＝＝＝x.在Rt△ABC中，AC＝＝.∵GC－AC＝GA，∴x－＝6.∴x≈13.即大树的高度约为13米.
16. 解：(1)在Rt△ABE中，AB＝26，∠BAD＝68°，∵sin∠BAD＝，∴BE＝AB·sin∠BAD＝26×sin68°≈24.2(m).
(2)过点F作FM⊥AD于点M，连接AF.∵BC∥AD，BE⊥AD，BF＝11，∴FM＝BE＝24.2，EM＝BF＝11.在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AE＝AB·cos∠BAE＝26×cos68°≈9.62.∴AM＝AE＋EM＝9.62＋11＝20.62.在Rt△AFM中，∵tan∠FAM＝＝≈1.17，∴∠FAM＝49°30′＜50°.∴这样改造能确保安全.
17. 解：(1)过点A作AH⊥PQ，垂足为点H.∵斜坡AP的坡度为1∶2.4，∴＝＝.设AH＝5k，则PH＝12k.由勾股定理，得AP＝13k.∴13k＝26，解得k＝2，∴AH＝10.∴坡顶A到地面PQ的距离为10米.
(2)延长BC交PQ于点D.由(1)可得PH＝24.∵BC⊥AC，AC∥PQ，∴BD⊥PQ，∴四边形AHDC是矩形，∴CD＝AH＝10，AC＝DH.∴∠BPD＝45°，∴PD＝BD.设BC＝x，则x＋10＝24＋DH，∴AC＝DH＝x－14.在Rt△ABC中，∠BAC＝76°.tan76°＝，即≈4.01，解得x≈19.∴古塔BC的高度约为19米.
18. 解：作EG⊥FB于点G，DH⊥FB于点H，设堤高为h，则EG＝DH＝h.由tan∠DAH＝1∶1＝1，得∠DAH＝45°.∴h＝DH＝ADsin∠DAH＝8sin45°＝8×＝4，∴AH＝DH＝4，由tanF＝EG∶FG＝1∶2，得FG＝2EG＝2h＝8，∴FA＝FG－AG＝8－(4－1.6)＝4＋1.6，∴海堤横断面增加的面积：S梯形FADE＝(ED＋FA)·h＝(4＋3.2)×4≈25.0(m2)，∴工程所需土方＝96×S梯形FADE≈96×25.0＝2400＝2.4×103(m3).答：完成这工程约需土方2.4×103m3.
