A级 基础巩固
一、选择题
1．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0，0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5
C．(x＋2)2＋y2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5
解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2，0)，(－2，0)关于原点的对称点为(2，0)，所以所求圆的圆心为(2，0)，易知所求圆的半径r＝5，所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：A
2．方程(x－1)x2＋y2－3＝0所表示的曲线是( )
A．一个圆 B．两个点
C．一个点和一个圆 D．一条直线和一个圆
解析：(x－1)x2＋y2－3＝0可化为，x－1＝0或x2＋y2＝3，
所以方程(x－1)x2＋y2－3＝0表示一条直线和一个圆．
答案：D
3．若点A(a＋1，3)在圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝m外，则实数m的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(－∞，5)
C．(0，5) D．[0，5]
解析：由题意知(a＋1－a)2＋(3－1)2＞m，即m＜5.
又m＞0，所以0＜m＜5.
答案：C
4．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )
A．2 B．1＋2
C．2＋22 D．1＋22
解析：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1，1)，圆心到直线x－y＝2的距离为|1－1－2|1＋1＝2，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋2.
答案：B
5．若圆心在x轴上，半径为5的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为( )
A．(x－5)2＋y2＝5 B．(x＋5)2＋y2＝5
C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5
解析：设圆心坐标为(a，0)，
由题意知|a|5＝5，所以|a|＝5.
因为圆C位于y轴左侧，所以a＝－5，
所以圆C的标准方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案：D
二、填空题
6．已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为__________．
解析：C1(5，3)，C2(2，－1)，根据两点间距离公式得|C1C2|＝（5－2）2＋（3＋1）2＝5.
答案：5
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________________．
解析：由x－y＋2＝0，2x＋y－8＝0，可得x＝2，y＝4，即圆心为(2，4)，从而r＝（2－0）2＋（4－0）2＝25，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
8．若AB为圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的直径且直线AB的斜率为2，则AB垂直平分线的方程为_________________________________．
解析：易知A，B关于圆心(－2，1)对称，则线段AB的垂直平分线经过(－2，1)且斜率为－12，
所以所求直线方程为y－1＝－12(x＋2)，即x＋2y＝0.
答案：x＋2y＝0
三、解答题
9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，求该圆的标准方程．
解：因为圆心在第一象限，而且与x轴相切，
所以可设圆心坐标为(a，1)，a＞0，
且圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，
即|4a－3|5＝1，得a＝2或a＝－12(舍去)，
所以该圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.
10．求圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程．
解：因为点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，
所以(1，2)关于直线y＝x对称的点为(2，1)，
所以圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.
B级 能力提升
1．过点P(1，1)的直线将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
解析：两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．
因为过点P(1，1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，即方程x＋y－2＝0.
答案：A
2．已知圆C经过A(0，0)，B(2，0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为__________________．
解析：因为圆心C在弦AB的垂直平分线上，
因此设C(1，m)．
由于△ABC为等腰直角三角形，
所以|AC|＝2＝1＋m2，
因为m＞0，所以m＝1，
所以圆心坐标为(1，1)，圆的半径为2.
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
3．已知以点C为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，且圆心在直线x＋3y－15＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)设点P在圆C上，求△PAB的面积的最大值．
解：(1)根据题意，所求圆的圆心C为AB的垂直平分线和直线x＋3y－15＝0的交点，
因为AB中点为(1，2)，斜率为1，
所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－1)，
即y＝－x＋3，
联立y＝－x＋3，x＋3y＝15，解得x＝－3，y＝6.
所以圆心C(－3，6)，
半径r＝（－3＋1）2＋（6－0）2＝210，
所以所求圆C的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40.
(2)|AB|＝42＋42＝42，
圆心到AB的距离为d＝42，
因为P到AB距离的最大值为d＋r＝42＋210，
所以△PAB面积的最大值为12×42×(42＋210)＝16＋85.
课件28张PPT。第四章 圆与方程
