A级 基础巩固
一、选择题
1．两圆x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圆心连线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：两圆的圆心分别为(2，－3)，(3，0)，直线方程为y＝0＋33－2?(x－3)，即3x－y－9＝0.
答案：C
2．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为22，则a的值为( )
A．－2或2 B.12或32
C．2或0 D．－2或0
解析：由圆心(1，2)到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22，得a＝0或a＝2.
答案：C
3．若圆(x－3)2＋(y＋3)2＝4关于直线l：Ax＋4y－6＝0对称，则直线l的斜率是( )
A．－32 B.23
C．－23 D．6
解析：圆心坐标为(3，－3)，由题意知圆心在直线Ax＋4y－6＝0上，所以A×3＋4×(－3)－6＝0，解得A＝6，
则直线l的斜率k＝－A4＝－32.
答案：A
4．在△ABC中，若点B，C的坐标分别是(－2，0)和(2，0)，中线AD的长度是3，则点A的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析：根据题意，易知点A在以D为圆心、半径为3的圆上，其中D为原点．又因为A，B，C构成三角形，故点A的轨迹为x2＋y2＝9(y≠0).
答案：C
5．已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是( )
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：设点M的坐标为(x，y)，则M满足（x－8）2＋y2＝2（x－2）2＋y2，整理得x2＋y2＝16.
答案：B
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________．
解析：由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心－1，－a2，
则－1＋a2＋2＝0，得a＝－2.
答案：－2
7．已知点P是圆C：x2＋y2＋4x＋ay－5＝0上任意一点，点P关于直线2x＋y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________．
解析：由题意圆心－2，－a2应在直线2x＋y－1＝0上，代入解得a＝－10，符合D2＋E2－4F>0的条件．
答案：－10
8．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为________．
解析：由x2＋y2＋kx＋2y＝－k2，
得x＋k22＋(y＋1)2＝－34k2＋1.
所以当－34k2＝0，即k＝0时，圆的面积最大，此时圆心坐标为(0，－1)．
答案：(0，－1)
三、解答题
9．已知定点A(4，0)，点P是圆x2＋y2＝4上一动点，点Q是AP的中点，求点Q的轨迹方程．
解：设点Q的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x′，y′)．
则x＝4＋x′2，y＝0＋y′2，即x′＝2x－4，y′＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝4上，所以x′2＋y′2＝4，将x′＝2x－4，y′＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.
故所求点Q的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1.
10．已知曲线C：(1＋a)x2＋(1＋a)y2－4x＋8ay＝0.
(1)当a取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点．
(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值．
(1)解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，为一条直线；
当a≠－1时，方程可化为x－21＋a2＋y＋4a1＋a2＝4＋16a2（1＋a）2，表示圆．
(2)证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a(x2＋y2＋8y)＝0.
令x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋8y＝0，
解得x＝0，y＝0或x＝165，y＝－85.
故曲线C过定点(0，0)和165，－85.
(3)解：因为圆恒过两定点，
所以以两定点为直径的圆面积最小．
则圆心为85，－45.
所以21＋a＝85，解得a＝14.
B级 能力提升
1．若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.5 B．5 C．25 D．10
解析：圆M的圆心为(－2，－1)，由题意知点M在直线l上，所以－2a－b＋1＝0，所以b＝－2a＋1，所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a2＋5≥5.
答案：B
2．已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．
解析：设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得1＋D＋F＝0，3＋3E＋F＝0，4＋3＋2D＋3E＋F＝0，
解得D＝－2，E＝－433，F＝1.
即△ABC外接圆的方程为x2＋y2－2x－433y＋1＝0.
所以圆心坐标为1，233，
所以圆心到原点的距离为 12＋2332＝213.
答案：213
3．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
解：(1)令x＝0，得二次函数图象与y轴的交点是(0，b)．令f(x)＝0，得x2＋2x＋b＝0，由题意知b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，
故D＝2，F＝b.
令x＝0，得y2＋Ey＋b＝0，此方程有一个根为b，
代入得E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．证明如下：
将圆C的方程x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0变形为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0.因为圆C过的定点与b无关，所以必有x2＋y2＋2x－y＝0且1－y＝0，解得x＝0，y＝1或x＝－2，y＝1，即圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．
课件33张PPT。第四章 圆与方程
