A级 基础巩固
一、选择题
1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相交
C．相切 D．不确定
解析：因为直线ax－y＋2a＝0恒过定点P(－2，0)，
又点P(－2，0)在圆x2＋y2＝9内部，
所以直线与圆相交．
答案：B
2．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：设圆心为C(a，－a)，
则＝，解得a＝1，
所以r＝＝，
圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0 D．x＋y－3＝0
解析：由圆的一般方程，可得圆心为M(－1，2)．由圆的性质易知，M(－1，2)与C(－2，3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1，即得kAB＝1.
故直线AB的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0.
答案：A
4．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为( )
A. B．4－
C.＋4 D．0
解析：距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径，
即＋4.
答案：C
5．在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx－y＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于( )
A．1 B．2
C．0 D．－2
解析：因为四边形OAMB为平行四边形，且点M在圆C上，
所以四边形OAMB为菱形．
所以△OAM为等边三角形，且边长为2.
所以弦AB的长为2.又直线过定点N(0，1)，且过点N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行于x轴，即k＝0.
答案：C
二、填空题
6．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________．
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得圆心为(0，－1)，半径为2，
所以圆心到直线的距离d＝＝.
所以|AB|＝2＝2.
答案：2
7．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，则直线x0x＋y0y＝R2与圆的位置关系是________．
解析：因为点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝R2外，
所以x＋y＞R2，圆心到直线x0x＋y0y＝R2的距离为＜＝R，所以直线与圆相交．
答案：相交
8．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析：切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心的距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
答案：
三、解答题
9．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.若以点M(2，0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．
解：法一 依题意，点P的坐标为(0，m)．
因为直线MP⊥l，所以×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0，2)．
从而圆的半径长r＝|MP|＝＝2，
故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
法二 设所求圆的半径长为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.
依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，
则解得
所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
10．设圆上的点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程．
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则圆心为(a，b)，半径长为r.
因为点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，所以圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上．
所以a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又因为直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2.
所以r2－d2＝r2－＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组．
得或
所以所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
B级 能力提升
1．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为
＝＝.
因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为.
答案：C
2．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析：x2＋y2－2ay－2＝0化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离d＝＝.
又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，得a2＝2，
所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案：4π
3．如图所示，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，点Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r.
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以r＝＝2，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，
直线l的方程为x＝－2，经检验符合题意．
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，AM，如图所示，
则AQ⊥MN.
因为|MN|＝2，
|AM|＝2，
所以|AQ|＝＝1，
则由|AQ|＝＝1，得k＝.
所以直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
课件37张PPT。第四章 圆与方程
