A级 基础巩固
一、选择题
1．在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：(x－2)2＋y2＝5上的任意一点，点Q(2a，a＋2)，其中a∈R，则线段PQ长度的最小值为( )
A. B.
C. D.
解析：设点Q(x，y)，则x＝2a，y＝a＋2，所以x－2y＋4＝0.所以点Q在直线x－2y＋4＝0上．由于圆心(2，0)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝，所以PQ长度的最小值为d－＝－＝.
答案：A
2．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以内公切线的条数为2.
答案：B
3．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
解析：将x2＋y2－2x－5＝0化为圆的标准方程是(x－1)2＋y2＝6，其圆心是(1，0)．两圆的方程相减得公共弦AB所在直线方程为4x－4y＋1＝0.又线段AB的垂直平分线就是过两圆圆心的直线，且其斜率为－1，故所求直线方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案：A
4．已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是( )
A．9 B．14
C．14－6 D．14＋6
解析：方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，
所以圆心为(－2，1)，r＝3，
而x2＋y2＝[ ]2.
所以x2＋y2的最大值为[＋3]2＝14＋6.
答案：D
5．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
解析：圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)可化为：x2＋(y－a)2＝a2，由题意知点M到直线的距离为d＝，所以有a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝22，圆心距为，半径和为3，半径差为1，所以二者相交．
答案：B
二、填空题
6．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．
解析：C1(1，2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，
|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，
因此两圆外切．
答案：外切
7．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________．
解析：由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，和(0，b)，1.
因为两圆外离，所以＞＋1，
则a2＋b2＞3＋2.
答案：a2＋b2＞3＋2
8．设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．
解析：因为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，
所以从村庄外围到小路的最短距离为－2.
答案：－2
三、解答题
9．已知圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A，B两点，求：
(1)公共弦AB所在直线的方程；
(2)圆心在直线AB上，且经过A，B两点的圆的方程；
(3)经过A，B两点且面积最小的圆的方程．
解：(1)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0与圆C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0的公共弦AB所在直线的方程为x2＋y2＋2x＋2y－8－(x2＋y2－2x＋10y－24)＝0，即x－2y＋4＝0.
(2)由
解得或
所以A，B两点的坐标分别为(－4，0)，(0，2)，
线段AB的中点坐标为(－2，1)．
则|AB|＝＝2，
故所求圆的圆心为(－2，1)，半径为.
所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，即x2＋y2＋4x－2y＝0.
(3)经过A，B两点且面积最小的圆即为以AB为直径的圆，与(2)所求的圆是相同的，则所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
10．求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆C的方程．
解：由
相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－2＝0.
再由
联立得两圆交点坐标(－1，2)，(5，－6)．
因为所求圆以公共弦为直径，
所以圆心C是公共弦的中点(2，－2)，
半径为 ＝5.
所以圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝25.
B级 能力提升
1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
解析：如图，以A地为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则以B(40，0)为圆心、30为半径的圆内MN之间(含端点)为危险区，取MN的中点E，连接BE，BN，BM，则BE⊥MN，BN＝BM，△ABE为等腰直角三角形．因为AB＝40 km，所以BE＝20 km.在Rt△BEN中，NE＝＝10 km，则MN＝20 km，所以时间为1 h.
答案：B
2．圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________．
解析：由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1，0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3.
所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝
2＝2.
答案：2
3.如图某圆拱桥的示意图，水面跨度EF＝4 m，拱高OM＝6 m，现有一艘船宽为4 m，水面以上高4.5 m(平顶)，这艘船能否从桥下通过？
解：如图，以EF所在直线为x轴，以OM所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy.
则有F(2，0)，M(0，6)．
由于圆心在y轴上，
所以设圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
因为F(2，0)，M(0，6)在圆上，
所以解得b＝－2，r2＝64，
所以圆的方程是x2＋(y＋2)2＝64，
当x＝2时，(y＋2)2＝36.
因为y＞0，所以y＝4＜4.5，所以这艘船不能从桥下通过．
课件36张PPT。第四章 圆与方程
