A级 基础巩固
一、选择题
1．若两球的体积之和是12π，经过两球球心的截面圆周长之和为6π，则两球的半径之差为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：设两球的半径分别为R，r(R＞r)，则由题意得解得故R－r＝1.
答案：A
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为( )
A．8π B．4π
C．2π D.π
答案：D
3．如图所示，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42 B．36π＋18
C.π＋12 D.π＋18
解析：由三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体，其体积V＝π＋3×3×2＝π＋18.
答案：D
4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是( )
A．S正方体>S球 B．S正方体C．S正方体＝S球 D．无法确定
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，
由题意，得V＝πR3＝a3，所以a＝，R＝，
所以S正方体＝6a2＝6＝，
S球＝4πR2＝＜＝S正方体．
答案：A
5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是( )
A. B. C. D．π
解析：设球的内接正方体的棱长为a，球的半径为R，则3a2＝4R2，所以a2＝R2，球的表面积S1＝4πR2，正方体的表面积S2＝6a2＝6×R2＝8R2，所以＝.
答案：C
二、填空题
6．(2017·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝18，所以a＝.
设球的半径为R，则由题意知2R＝＝3，
所以R＝.
故球的体积V＝πR3＝π×＝π.
答案：π
7．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积S＝________．
解析：由三视图可知此几何体的上半部分为半个球，下半部分是一个长方体，故其表面积S＝4π×＋4×2×3＋2×2＋2×2－π＝32＋π.
答案：32＋π
8.(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，
因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，
所以圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R.
所以＝＝.
答案：
三、解答题
9.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．
解：组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π.
因为圆柱的体积V圆柱＝πr2l＝π×12×3＝3π，
又两个半球的体积2V半球＝πr3＝π，
因此组合体的体积V＝3π＋π＝π.
10．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
解：设取出小球后，容器中水面下降h cm，两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，
此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.
B级 能力提升
1．已知三棱锥DABC中，AD＝2，AC＝，BC⊥BD，AD⊥AC，则三棱锥的外接球的表面积为( )
A．6π B．24π
C.π D．8π
解析：设DC的中点为O，如图．
因为DA⊥AC，所以CD的中点O为△ADC外接圆圆心．
又因为DB⊥BC，所以CD的中点O为△BDC外接圆圆心．
所以O点到点A、B、C、D的距离相等，
所以O为三棱锥外接球的球心．
又因为AD＝2，AC＝，所以CD＝，
所以三棱锥外接球的半径R＝，
所以三棱锥外接球的表面积为4π＝6π.
答案：A
2．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为________．
解析：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，则R2＝d2＋r2＝3，
所以R＝，
因此V球＝πR3＝4π.
答案：4π
3．体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形的圆柱)的表面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小．
解：设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，
则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.
由题意知πR3＝a3＝πr2·2r，
所以R＝a，r＝a，
所以S2＝4π＝4π·a2＝a2，
S3＝6π＝6π·a2＝a2，
所以S2＜S3.
又6a2＞3a2＝a2，即S1＞S3.
所以S1，S2，S3的大小关系是S2＜S3＜S1.
课件26张PPT。第一章 空间几何体
