北师大版 数学 九年级上 2.1 认识一元二次方程（2） 教学设计
课题
2.1 认识一元二次方程（2）
单元
第二章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能：探索一元二次方程的解或近似解；
过程与方法：通过探究实际问题来发现新知，培养学生的估算意识和能力；
情感态度与价值观：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．
重点
探索一元二次方程的解或近似解．
难点
培养学生的估算意识和能力．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
上节课，我们学习了一元二次方程的概念，下面请回答：
问题1、什么是一元二次方程？
答案：只含有一个未知数x的整式方程1，并且都可以化成ax2+bx+c＝0（a,b,c为常数,a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
问题2、.把一元二次方程3x2+2x=5化成一元二次方程的一般形式，并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
解：一元二次方程的一般形式：3x2+2x–5=0
二次项：3x2，一次项系数：2，常数项：-5
学生积极回答老师的问题.
通过回答问题，为学习一元二次方程的解及近似解做好铺垫
新知讲解
我们一起来看下面的问题：
问题：幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？
解：设所求的宽度为xm，根据题意可列方程：
(8-2x)(5-2x)=18
追问：你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x（m）的值吗？
（1）x可能小于0吗？可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由.
答案：x不可能小于0，因为当x＜0时，不符合题意；
不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意；
不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
（2）你能确定x的大致范围吗？
答案：0＜x＜2.5
（3）填写下表：
x
0.5
1
1.5
2
(8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
追问：在0答案：由此看出,可以使(8－2x)(5－2x)的值为18的x=1.故可知所求的宽为1m.
追问：你还有其它求解方法吗?
答案：将(8-2x)(5-2x)=18看作是6×3=18.
则有8-2x=6,5-2x=3.
从而也可以解得x=1.
做一做：如图,一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
解：设梯子底端滑动xm，
则满足方程：
(x+6)2+72=102
即：
x2+12x-15=0
（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？
答案：不正确，当x=1时，原式=1+12-15=-3≠0
（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？
答案：不正确，当x=2时，原式=22+12×2-15=13≠0；
当x=3时，原式=32+12×3-15=30≠0.
（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？
x
0
0.5
1
1.5
2
x2+12x-15=0
-15
-8.75
-2
5.25
13
答案：1＜x＜1.5
追问：你还能进一步缩小范围吗？
x
1.1
1.2
1.3
1.4
x2+12x-15=0
-0.59
0.84
2.29
3.75
答案：1＜x＜1.1
（4）x的整数部分是几？十分位是几？
答案：x的整数部分是1，十分位是1．
说一说：你能说一说用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方法和步骤吗？
归纳1：用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方法：
当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值在某一精确度要求的范围内接近于0时，x的值即为一元二次方程的近似解．对于实际问题中解的估算，应先根据实际情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”．
归纳2：用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的步骤：
①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围．
学生认真读题，思考并根据方程寻找根，然后回答问题.
学生认真读题，思考并根据方程寻找解的范围，然后回答问题.
学生互相交流，最后与老师共同归纳出一元二次方程近似解的方法及步骤.
探索一元二次方程的解
探索一元二次方程的近似解
理解一元二次方程的概念.
掌握求一元二次方程近似解的方法及步骤.
课堂练习
1.下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是( )
x
－2
－1
0
1
2
3
…
x2－x
6
2
0
0
2
6
…
A.x＝－1 B.x＝0 C.x＝2 D.x1＝－1，x2＝2
答案：D
2.根据表格，选取一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解取值范围（ ）
x
-1
-0.5
0
0.5
1
ax2+bx+c=0
5
2.75
1
-0.25
-1
A．-1＜x＜-0.5 B．-0.5＜x＜0
C．0＜x＜0.5 D．0.5＜x＜1
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
观察下表：
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5x2﹣24x+28＝0
28
17.25
9
3.25
0
﹣0.75
1
5.25
12
从表中你能得出方程5x2﹣24x+28＝0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．
解：根据表格中的数据可知：
方程有一个根是x＝2；
另一个根x的范围是2.5＜x＜3．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）
A．?2 B．2 C．?4 D．4
答案：B
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题、如何用估算法判断一元二次方程解的取值范围？
①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第35页习题2.2第1、2题
能力作业
教材第35页习题2.2第3题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
课件22张PPT。认识一元二次方程（2）数学北师大版 九年级上新知导入1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax2+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.2. 把一元二次方程3x2+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．解：一元二次方程的一般形式：3x 2+2x –5=0
二次项：3x 2，一次项系数：2，常数项：-5新知讲解问题：幼儿园某教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为 18 m 2 的地毯（如图），四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？(8 - 2x) (5 - 2x) =18解：设所求的宽度为 x m，根据题意可列方程：你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度 x（m）的值吗？新知讲解x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．（2）你能确定 x 的大致范围吗？（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说你的理由.x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意；
不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意；
不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.0＜x ＜2.5新知讲解 在0则有8-2x=6, 5-2x=3.
从而也可以解得x=1.新知讲解
做一做：如图,一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？( x + 6)2+ 72= 102解：设梯子底端滑动 x m，
则满足方程：即：x2+12x -15=01m?新知讲解（1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？（2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？不正确，当x=1时，原式=1+12-15=-3≠0不正确，当x=2时，原式=22+12×2-15=13≠0；
当x=3时，原式=32+12×3-15=30≠0.x2+12x -15=0新知讲解（3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？x2+12x -15=01 ＜ x＜1.5新知讲解（3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？x2+12x -15=01 ＜ x＜1.1 你还能进一步缩小范围吗？新知讲解（4）x 的整数部分是几？十分位是几？x 的整数部分是 1，十分位是 1．x2+12x -15=0 你能说一说用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方法和步骤吗？新知讲解用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的方法：
当某一x的取值使得这个方程中的ax2＋bx＋c的值在某一精确度要求的范围内接近于0时，x的值即为一元二次方程的近似解．对于实际问题中解的估算，应先根据实际情况确定一元二次方程的解的大致取值范围，再通过具体的求值计算从两边接近方程的解，逐步求得符合精确度要求的方程的解的近似值，一般简称为“夹逼法”．新知讲解用估算法求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的近似解的步骤：①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围． 课堂练习1. 下表是某同学求代数式x2－x的值的情况，根据表格可知方程x2－x＝2的解是( )
A. x＝－1 B. x＝0
C. x＝2 D. x1＝－1，x2＝2
D课堂练习2. 根据表格，选取一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个近似解取值范围（ ）A．-1＜x＜-0.5 B．-0.5＜x＜0
C．0＜x＜0.5 D．0.5＜x＜1C课堂小结拓展提高观察下表：从表中你能得出方程5x2﹣24x+28＝0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．解：根据表格中的数据可知：
方程有一个根是x＝2；
另一个根x的范围是2.5＜x＜3．中考链接（盐城）已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．?2 B．2
C．?4 D．4B课堂总结如何用估算法判断一元二次方程解的取值范围？①列表：根据实际情况确定方程解的大致范围，分别计算方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中ax2＋bx＋c的值；
②在表中找出当ax2＋bx＋c的值可能等于0的未知数的范围；
③进一步在②的范围内列表、计算、估计范围，直到找出符合要求的范围． 板书设计
课题：2.1认识一元二次方程（2）?
教师板演区
学生展示区1、用估算法判断一元二次方程解的取值范围基础作业
教材第35页习题2.2第1、2题
能力作业
教材第35页习题2.2第3题作业布置
