22.2.1直接开平方法与因式分解法导学案
课题
直接开平方法与因式分解法
单元
22
学科
数学
年级
九年级
知识目标
了解直接开平方法的几种形式。
能熟练运用直接开平方法解一元二次方程。
了解因式分解法解一元二次方程的步骤。
能运用因式分解法解一元二次方程。
了解因式分解法与直接开平方法的联系。
重点难点
重点：理解直接开平方法与因式分解法
难点：直接开平方法及因式分解法的运用
教学过程
知识链接
请同学们回想以前学的知识
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
4.任何数都可以作为被开方数吗？
5.因式分解
合作探究
一、教材第20页问题：
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4； （2）x2－1＝0;
解:x=____ 解: 左边用平方差公式分解因式，得
x=____ ______________＝0，
必有 x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
二、课本第21页概括
概括：
叫直接开平方法.
叫因式分解法.
想一想：
（1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
（2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
三、教材第22页例题
例1、解下列方程：
（1）x2－2＝0; （2）16x2－25＝0.
解：
例2、解下列方程：
（1）3x2＋2x=0； （2）x2＝3x.
解：
例3、解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0.
分析：两个方程都可以转化为（ ）2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解：（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（2）原方程可以变形为________________________，
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________.
四、教材第24页你知道吗？
小张和小林一起解方程x（3x+2）－6（3x+2）=0.
小张将方程左边分解因式，得
（3x+2）（x－6）=0，
∴ 3x+2=0，或x－6=0.
方程的两个解为 x1=?23 ，x2=6.
小林的解法是这样的：
移项，得 x（3x+2）=6（3x+2）.
方程两边都除以（3x+2），得
x=6.
小林说：“我的方法多简便！”可另一个根x=?23
哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
自主尝试
1、解下列方程：
（1）x2＝169； （2）45－x2＝0； （3）12y2－25＝0；
（4）x2－2x＝0； （5）（t－2）（t +1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
【方法宝典】
1.如果一个一元二次方程具有x2=p 或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2.当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.形如ab=0
当堂检测
方程的根是（ ）
B、 C、 D、
方程化为的形式，正确的是（ ）
B、 C、 D、以上都不是
方程的根是（ ）
A、3 B、-1 C、1 D、3或-1
解方程，较为简便的方法是（ ）
直接开平方法 B、因式分解法 C、配方法 D、公式法
方程的较小根是（ ）
A、 B、 C、 D、
拓展提高
m为何值时，方程有一个根为正。
小结反思
通过本节课的学习，你们有什么收获？
1.直接开平方法。
2.因式分解法
参考答案：
当堂检测：
C 2、C 3、D 4、B 5、B
拓展提高
解：方程化简得
解得
∵ 有一根为正
∴
华师大版数学九年级上22.2.1直接开平方法与因式分解法教学设计
课题
直接开平方法与因式分解法
单元
22
学科
数学
年级
九
学习
目标
知识与技能目标
1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b（a≠0,ab≥0）的方程.
2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.
3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.
过程与方法目标
创设学生熟悉的问题情境，综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.
情感态度与价值观目标
鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程，激发求知的欲望，体验求知的成功，增强学习的兴趣和自信心
重点
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程
难点
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
提问：
1.如果 x2=a,则x叫做a的 .
2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .
3.如果 x2=64 ,则x= .
4.任何数都可以作为被开方数吗？
学生回答问题，老师给予订正
通过复习，引出新问题，提高学生学习的积极性.
讲授新课
课件展示：
解下列方程
(1)x2=4
(2)x2?1=0
师：你是怎样解的呢？
生：对于题(1)，有这样的解法
方程x2=4
意味着x是4的平方根，所以x=±4
即x=±2
∴ 方程 χ2=4的两个根为x1=2，x2=?2
师：他的这种解法叫直接开平方法，那什么是直接开平方法呢？
生：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。
师：对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？
还有其他的解法吗？
生：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0，则必有：χ＋1=0，或χ－1=0.
分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.
师：这又是什么方法？
生：因式分解法
师：说一说什么是因式分解法吧
生：利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法
师：思考，(1)方程x2=4能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将方程化成什么形式？
生：当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.形如ab=0
师：(2)方程x2?1=0能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将方程化成什么形式？
生：如果一个一元二次方程具有x2=p 或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
课件展示：
做一做
试用两种方法解方程：x2?900=0
课件展示
例1、解下列方程
(1). x2 – 2 = 0
(2). 16x2 – 25 = 0
师：你能总结一下直接开平方法的特点吗？
生：直接开平方法的理论根据是平方根的定义
用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程
课件展示：
例2. 利用因式分解法解下列方程：
1) 3x2+2x=0；(2) x2=3x；
师：总结一下采用因式分解法解方程的一般步骤：
生：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；
（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式
（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
课件展示：
考考你
小张和小林一起解方程x（3x+2）－6（3x+2）=0.
小张将方程左边分解因式，得
（3x+2）（x－6）=0，
∴ 3x+2=0，或x－6=0.
方程的两个解为 x1=?23 ，x2=6.
小林的解法是这样的：
移项，得 x（3x+2）=6（3x+2）.
方程两边都除以（3x+2），得
x=6.
小林说：“我的方法多简便！”可另一个根x=?23
哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？
学生进行计算，总结直接开平方法和因式分解法的定义以及形式
学生板演，老师订正
学生解答，师生总结步骤
学生解答
学生通过自己解决问题，充分发挥学习的主动性，同时也培养了学生归纳问题的能力。
巩固所学知识
培养学生分析归纳的能力.
培养学生分析问题的能力
课堂练习
1．下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A．x2＝4 B．4x2－4x－3＝0
C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝9
答案：A
2.解方程 7（8x+3）=6（8x+3）2的最佳方法应选择（ ）
A．因式分解法 B．直接开平方法
C．配方法 D．公式法
答案：A
2.下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
12 B. 4??????????C. 3 D. 8
答案：C
3.已知2x（x+1）=x+1，则x= ．
答案：﹣1或 12
4.若一个圆的面积是100π cm2，则它的半径
r＝ cm.
答案：10
5．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－25＝0;
(2)4.3－6x2＝2.8.
答案：
解：(1)x2=25
?x1=5，x2=?5
(2)6x2＝1.5，
x2＝14，
x1＝12，x2＝－12.
6.用因式分解法解下列方程：
(1)（2x+3）2=4（2x+3）．
(2)2（x﹣3）2=x2﹣9.
答案：
解：(1)（x﹣1）（3x+2）=0
x﹣1=0，3x+2=0
x1=1，x2=﹣23
(2)（2x+3）2﹣4（2x+3）=0
（2x+3）（2x+3﹣4）=0
2x+3=0，2x+3﹣4=0
x1=﹣32 ，x2= 12；
拓展提高
已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是3，求k的值和另一个根．
答案：
解：把x＝3代入方程，得(3－1)2＝k2＋2.
∴k2＝2.∴k＝±2.
再将k2＝2代入方程，得(x－1)2＝4.
∴x1＝3，x2＝－1.
∴方程的另一个根为－1.
中考链接
1.（泰州中考）一元二次方程x2=2x的根是( )
A.x=2 B.x=0
?C.x1=0，x2=2
D.x1=0，x2=?2
答案：C
2.(柳州中考)方程x2-4=0的解是( )
A.x=2 B.x=-2
C.x=±2 D.x=±4
答案：C
学生自主解答，教师讲解答案。
学生自主解答，教师讲解答案。
练中考题型
通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
可以照顾不层次的学生，调动学生学习积极性
让学生更早的接触中考题型，熟悉考点.
课堂小结
学生归纳本节所学知识
回顾学过的知识，总结本节内容，提高学生的归纳以及语言表达能力。
板书
1.直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法
2.形式
如果一个一元二次方程具有x2=p 或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解
3.因式分解法
利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。
4.步骤
右化零 左分解
两因式 各求解
课件23张PPT。22.2.1直接开平方法和因式分解法华师大版 九年级上1.如果 x2=a,则x叫做a的 .平方根2.如果 x2=a(a ≥0),则x= .3.如果 x2=64 ,则x= .±84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.复习导入新知讲解?你是怎样解的呢？试一试??即x=±2??利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法。新知讲解对于方程（2） χ2－1=0 ，你可以怎样解它？还有其他的解法吗？还可以这样解：将方程左边分解因式，得（χ+1）（χ－1）=0则必有：χ＋1=0，或χ－1=0.分别解这两个一元一次方程，得χ1=－1,χ2=1.概括：利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。新知讲解?新知讲解思考?如果一个一元二次方程具有x2=p 或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.形如ab=0新知讲解做一做???(1). x2 – 2 = 0(2). 16x2 – 25 = 0例1、解下列方程例题解析???????1.直接开平方法的理论根据是 。平方根的定义2.用直接开平方法可解形如χ2=a(a≥0)或（χ－a）2=b（b≥0)类的一元二次方程??想一想：小结中的两类方程为什么要加条件：a≥0,b≥0呢？新知讲解小结例2. 利用因式分解法解下列方程：解：(1)方程左边分解因式，得x（3x+2）=0.∴ x=0,或3x+2=0，2) 方程移项，得x2－ 3x =0方程左边分解因式，得x(x－3)=0∴ x=0，或 x－3=0，解得 x1=0 ，x2= 3 .?例题解析采用因式分解法解方程的一般步骤：（1）将方程右边的各项移到方程的左边，使方程右边为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积形式：（3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程：（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。新知讲解小结右化零 左分解
两因式 各求解速记口诀考考你?1．下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A．x2＝4 B．4x2－4x－3＝0
C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝9
2.解方程 7（8x+3）=6（8x+3）2的最佳方法应选择（ ）
A．因式分解法 B．直接开平方法 C．配方法 D．公式法AA课堂练习3.已知2x（x+1）=x+1，则x= ．
4.若一个圆的面积是100π cm2，则它的半径r＝ cm.?105．用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－25＝0; (2)4.3－6x2＝2.8.??6．用因式分解法解下列方程：
(1)（2x+3）2=4（2x+3）． (2)2（x﹣3）2=x2﹣9.??已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是3，求k的值和另一个根．解：把x＝3代入方程，得(3－1)2＝k2＋2.
∴k2＝2.∴k＝±2.
再将k2＝2代入方程，得(x－1)2＝4.
∴x1＝3，x2＝－1.
∴方程的另一个根为－1.拓展提高?中考链接CC课堂总结直接开平方法因式分解法直接开平方法与因式分解法解方程利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法如果一个一元二次方程具有x2=p 或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.当一元二次方程的一边为0 ，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可以用因式分解法来解.形如ab=0利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。板书设计1.直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法2.形式如果一个一元二次方程具有x2=p 或（x＋n）2= p（p≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.3.因式分解法利用因式分解的方法解方程，这种方法叫做因式分解法。4.步骤右化零 左分解
两因式 各求解作业布置1.解下列方程：
(1)(2x－3)2－＝0；
(2)4(x－2)2－36＝02.x2+ax+b分解因式的结果是（x﹣1）（x+2），则方程x2+ax+b=0的二根分别是什么？谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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