第3单元 分数除法（详细教案104页）
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第3单元 分数除法
本单元的主要教学内容包括:倒数的认识、分数除以整数、一个数除以分数、分数四则混合运算、解决实际问题。本单元的内容和前面学习的很多知识具有比较直接的联系。学生已经学习了整数乘、除法、解简易方程及分数乘法的知识,这些都为学生学习分数除法打下了基础,特别是分数除法的学习关键在于理解分数除法与分数乘法的关系,因此,教材借助各种直观图示和操作活动,引导学生探索并理解分数除法的计算方法。通过本单元的学习,学生一方面完成了分数加、减、乘、除的学习任务,比较系统地掌握了分数的四则运算,掌握了解决相关实际问题的方法;另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解,体会数学知识方法的内在联系,为解决有关分数的实际问题提供了更多帮助。同时也为后面学习比和比例、百分数打下坚实的基础。
1.通过探究活动,理解倒数的意义,掌握求一个数的倒数的方法,能熟练地写出一个数的倒数。
2.使学生理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
3.结合解决问题的过程,理解与掌握分数四则混合运算的计算顺序,能正确进行计算。
体会并掌握模型、方程、数形结合、转化等数学思想,提高学生综合运用知识的能力。
会分析除法问题中的数量关系,并用线段图帮助分析问题,学会用分数除法解决相关的实际问题。
培养迁移、类推的能力,体会数学知识之间的联系,使学生体会到数学与生活的密切联系。
【重点】
1.理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
2.学会用分数除法解决相关的实际问题。
【难点】
1.理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
2.学会用分数除法解决相关的实际问题。
1.引导学生进行知识的迁移、类推
教材中设计了不少类比推理的材料,要善于利用这些材料,激活学生已有的知识和经验。
引导他们进行类比,促进学习的正向迁移。分数除法是分数乘法的进一步延伸,分数除法的学习关键在于理解分数除法与分数乘法的关系。如在进行分数除以分数的计算方法教学时,教师可以放手让学生进行自主探究,利用知识的迁移类推,掌握分数除以分数的方法。
2.加强直观教学,结合实际操作和图形语言,探索、理解计算方法
同分数乘法的教材设计一样,分数除法中,也有折纸与画图的教学活动。教师要用好这些直观手段,为学生充分提供动手的机会和时间,让学生在更多的操作、观察活动中,凭借直观感受,理解算理,发现算法。教师还要进行适当的引导,通过数形结合,学生边操作,边思考,并借助讨论、交流等形式,在理解的基础上总结和掌握算法。在解决实际问题的教学中,更多地运用线段图帮助理解题意,分析解题方法,建立思维模型。
3.注重拓展学生的思维能力,寻找多种方法解决问题
教材中有很多实际问题的解决方法都不止一种,教师在教学中要善于运用这些好的题目,给予学生思考的空间和时间,鼓励学生用多种方法解决问题,并通过交流,让学生有更多的思维方式,更多的解题策略。
1 倒数的认识
教材P28例1及练习六第1~5题。
本节课的内容包括倒数的意义和求一个数的倒数等。教材通过观察、比较、发现来引出倒数的意义,并用实例帮助理解倒数的意义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点,通过比较、归纳,为求一个数的倒数打下基础。教材中的例1给予了一个开放的流程,即先找一找,再通过观察发现三种情况:一是求分数的倒数;二是求整数的倒数;三是1和0的倒数问题。最后归纳总结出求一个数的倒数的方法。
1.通过观察、比较、分类、讨论等探究活动,让学生理解和掌握倒数的意义。
2.在合作探究中掌握求倒数的方法,会求一个数的倒数。
3.让学生亲身参与探究活动,体验数学学习的乐趣,激发他们学习的积极性,养成合作探究问题的习惯。
【重点】
使学生掌握求倒数的方法,会求一个数的倒数。
【难点】
让学生理解和掌握倒数的意义,会求小数的倒数。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.师:同学们,你们有好朋友吗?
预设 生:有。
师:你的好朋友是谁?
预设 生:我的好朋友是……
师:大家能用一句话描述这两位同学的关系吗?
预设 生1:甲和乙是好朋友。
生2:甲是乙的好朋友,乙是甲的好朋友。
师:能说甲是朋友,乙是朋友吗?为什么?还可以怎样描述得既清晰又简便?
预设 生:甲和乙互为朋友。
2.师:这些似乎与我们数学知识没有多大关系,其实,它能引导我们今天的学习呢!(出示课题:倒数的认识)
师:看到课题,你们有什么问题?
预设 生1:什么是倒数?
生2:它们有什么特点?
生3:怎样可以得到倒数?
……
师:看来同学们对未知的知识有很浓厚的兴趣,现在我们进入倒数的学习。
3.师:请先计算下面的几道题,再说说你的发现。(板书题目)
38×83 715×157
5×15 112×12
4.学生独立计算上面的题目。
5.全班交流。
预设 生1:我最后的计算结果是它们都等于1。
生2:我的也是。
生3:我发现第1题的前面一个因数是38,后面一个因数把它的分子和分母交换了,是83。第2题也是一样。
生4:第3题的前一个因数是整数5,后一个因数是15,这个整数刚好是它的分母,而它的分子是1。第4题和第3题的特点一样。
……
师:同学们观察得很仔细,表述得也非常清晰。像这样乘积是1的两个数就互为倒数。
[设计意图] 由日常生活中的情景导入,增加知识的生活气息,使学生能体会到数学与生活的紧密联系。看似不同的几件事,却有相同的地方,即两个量之间的相互关系,为倒数意义的理解做好铺垫。
方法二
1.师:在前面我们学习了分数乘法,大家掌握得怎么样了?
预设 生:很好。
师:很有自信!那就试试计算下面的这些题。(课件出示题目)
38×83 8×38 715×157
5×15 112×12 57×57
师:计算过程中,请观察这些算式。如果将它们分成两类,可以怎样分呢?
2.学生独立计算。
3.汇报交流。
师:说说你的想法。
预设 生:第1,3,4,5题分为一类,第2,6题分为一类。
师:为什么?
预设 生1:因为第1,3,4,5题的计算结果都是1,第2,6题的计算结果不是1。
生2:老师,我想把它们分成三类,行不行?
师:好,说说你的分法。
预设 生:第1,3题分为一类,第4,5题分为一类,第2,6题分为一类。
师:说说你的理由。
预设 生:我是从算式的特点来分的。
师:好的。我们一起来观察算式的特点,再看怎样分合理。
4.观察发现,交流算式特点。
师:说一说38×83和715×157的特点。
预设 生1:第一个因数和第二个因数的分子分母交换了位置。
生2:它们进行约分后,积是1。
师:说说5×15和112×12的特点。
预设 生1:其中一个因数是整数,另一个因数是几分之一,这个整数刚好是几分之一的分母。
生2:它们最后的积也是1。
师:说说8×38和57×57为什么分为一类。
预设 生:它们最后的积不是1。
师:如果把这些算式分为两类,可以把第1,3,4,5题分为一类,第2,6题分为一类,那么分的标准是什么?
预设 生:前一类题的积都是1,后一类题的积不是1。
师:刚才的那个同学分得更仔细,在后面的学习中,我们会进一步学习。
师:乘积是1的两个数互为倒数。今天我们一起来探讨倒数的知识。(板书课题:倒数的认识)
[设计意图] 让学生通过计算、观察、分类、讨论等活动,由分数乘法的学习顺势迁移到倒数的认识,即考虑两个数的积的问题。在分类过程中要允许学生有不同的分类方法,这样能培养学生思维的拓展性。
一、倒数的意义
师:乘积是1的两个数互为倒数。(板书倒数的定义)如何来理解呢?
师:观察38和83,它们的积是1,我们可以说38和83互为倒数,38的倒数是83,83的倒数是38。
师:你来说一说其他三个算式中哪两个数互为倒数,谁是谁的倒数。
预设 生1:715和157互为倒数,715是157的倒数,157是715的倒数。
生2:5和15互为倒数,5是15的倒数,15是5的倒数。
生3:112和12互为倒数,112是12的倒数,12是112的倒数。
师:说得很清晰,很准确。
师:对于5和15互为倒数,你是怎样理解的?5的分子是几?分母是几?
预设 生:5的分子是5,分母是1。
师:整数可以看成分母是1的分数。
师:为什么乘积是1的两个数不直接说是倒数,而要说“互为”倒数呢?怎么理解这两个字?
预设 生:我认为,就是你是我的,我是你的,不能说你是倒数,我是倒数,它们是相互并存的。
师:相互并存,说得好,谁也离不了谁。
师:倒数是表示两个数之间的关系,它们是相互依存的,所以必须说一个数是另一个数的倒数,而不能单独地说某一个数是倒数。
师:说一说,定义倒数的关键要素有哪些?(板书:定义倒数的关键要素)
预设 生1:乘积是1。
生2:两个数。
生3:互为。
师:很正确。数学语言要严谨,不然就会漏洞百出。那么如何求一个数的倒数呢?
二、求一个数的倒数
课件出示例1。
下面哪两个数互为倒数?
35 6 72 53 16 1 27 0
1.师:仔细观察数的特点,说一说哪两个数互为倒数。
预设 生:35和53,6和16,72和27。
师:小组同学交流,想一想,怎样求一个数的倒数?
2.汇报交流,讲解。
预设 生1:交换分子和分母的位置就可以了。(板书)
3553 35×53=1
7227 72×27=1
生2:如果是一个整数,那么它的倒数就是几分之一。
师:因为整数可以看成分母是1的分数,所以也可以说交换分子和分母的位置。(板书)
6=6116 6×16=1
3.巩固练习。(课件出示)
说出下面各数的倒数。
38 110 7 923 16 12000
【参考答案】 38的倒数是83;110的倒数是10;7的倒数是17;923的倒数是239;16的倒数是116;12000的倒数是2000。
4.思考特例。
师:对于例1中的数,还有1和0,你们没有说出它们的倒数。它们没有倒数吗?请各小组对这两个数的倒数展开讨论。
小组讨论,再交流:1的倒数是几?0有倒数吗?为什么?
预设 生:1的倒数是1,因为1×1=1,乘积是1的两个数互为倒数,所以我认为1的倒数是1。
师:理由很充分,并且能用倒数的定义来加以说明,活学活用,真不错。(板书:1的倒数是1)
预设 生:我没有找到0的倒数,因为0乘任何数都得0,得不到1,所以我认为0没有倒数。
师:你们找到0的倒数没有?
预设 生:没有。
师:是不是和刚才这位同学的想法一样?
师:确实,因为0乘任何数都得不到1,所以0没有倒数。(板书)
[设计意图] 在探究求一个数的倒数的方法时,利用到学生的分类,把求一个数的倒数的三种情况分别展示,并且给予学生思考的时间,让学生通过小组讨论、交流,熟练掌握求一个数的倒数的方法。
5.求小数、带分数的倒数。
师:同学们已经会求一个分数和一个整数的倒数了。想一想,我们还学过哪些数?
预设 生:小数、带分数。
师:那么怎么样求小数、带分数的倒数呢?请选择一种,自己举例,在小组内探究。
(1)小组内探究,教师巡视指导。
(2)汇报交流,总结方法。
预设 生:我们研究的是求小数的倒数。举的例子是0.5。我们先把0.5化成分数,即12,再交换分子、分母的位置,就是2。(板书)
师:求一个小数的倒数,可以把小数先化成分数,再交换分子与分母的位置。
预设 生:我们研究的是求带分数的倒数。举的例子是325。我们先把325化成假分数,即175,再交换分子、分母的位置,就是517。(板书)
师:求一个带分数的倒数,我们可以先把带分数化成假分数,再交换分子与分母的位置。
6.巩固练习。
(教材第28页“做一做”)
独立完成,注意书写的规范。汇报交流,说一说你是怎样找出它们的倒数的。
【参考答案】 114 916 135 87 154
教材第29页练习六第1,2,3题。
(1)第1题。
独立完成,集体订正。
(2)第2题。
独立完成,汇报交流。
指名同学说一说判断的理由是什么,其他同学补充说明。
预设 生1:第1题是对的。
生2:第2题是错的。因为倒数是指两个数之间的关系,这道题是三个数的积为1。
生3:第3题是错的。因为0乘任何数都得0,0是没有倒数的。
生4:第4题是错的。比如175的倒数是517,而517小于175。又比如1的倒数是1,它们相等。所以根本无法确定一个数的倒数比这个数小,还是比这个数大。
(3)第3题。
指名同学到黑板上完成,其他同学独立完成,集体订正。
【参考答案】
1.
2.(1)√ (2)? (2)? (4)? 3.9 6251 38 15 2312 1102 716
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我认识了倒数,知道乘积是1的两个数互为倒数。
生2:我知道了1的倒数是1,0没有倒数。
生3:求一个数的倒数前,都要先把这个数化成分数,如整数要看做分母是1的分数,小数要先化成分数,带分数要先化成假分数等等。
生4:求一个数的倒数的方法是交换分子、分母的位置。
……
作业1
教材第29页练习六第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
59×( )=1 74×( )=1
12×( )=1 34×( )=1
5×( )=1 ( )×89=1
2.(基础题)找朋友。(把互为倒数的两个数用线连起来)
【提升培优】
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)真分数的倒数都比1大。 ( )
(2)假分数的倒数都比1小。 ( )
(3)0的倒数是0。 ( )
(4)1的倒数是它本身。 ( )
(5)38是倒数,83也是倒数。 ( )
4.(重点题)求下列各数的倒数。
(1)0.25 (2)56 (3)421 (4)12 (5)7
【思维创新】
5.(难点题)看一看,选一选。
(1)任何真分数的倒数都是( )。
A.真分数 B.假分数 C.不确定
(2)a×1112=1,a等于( )。
A.1112 B.1211 C.1
(3)最小的质数的倒数是( )。
A.2 B.12 C.23 D.0
(4)假分数的倒数都( )1。
A.大于 B.小于
C.小于或等于 D.大于或等于
【参考答案】
作业1:4.(横着填)18 3 94 18 3 94 = = = 5.小红说得对。只要两个数的乘积是1,这两个数就互为倒数,这两个数可以是整数、分数或小数。
作业2:
1.95 47 2 43 15 98 2. 3.(1)√
(2)? (3)? (4)√ (5)? 4.(1)4 (2)65 (3)214 (4)2 (5)17 5.(1)B (2)B (3)B(4)C
倒数的认识
38×83=1 715×157=1 5×15=1 112×12=1
乘积是1的两个数互为倒数。
定义倒数的关键要素:乘积是1;两个数;互为。
1的倒数是1,0没有倒数。
分数:3553 35×53=1
7227 72×27=1
整数:6=6116 6×16=1
小数:0.5=122 12×2=1
带分数:325=175517 175×517=1
1.导入方式贴近学生的生活。
本节课一开始创设“让学生找朋友”的情景,这是离学生最近的生活情景,一方面可以让学生感受到数学与生活的紧密联系,另一方面通过此活动帮助学生理解“互为”的含义,从而为构建新知识扫清语言理解障碍。
2.多次让学生进行小组讨论、交流,自主探究求一个数的倒数的方法。
只有学生经历过才有理解和熟练的基础,所以教学中让学生通过小组的讨论、交流,得出各种情况下求倒数的方法,既能拓展学生的思维空间,又能培养学生合作的能力和听取别人意见,完善自己的能力。
3.数学语言的严谨性和准确性。
在教学中多次强调表达的准确性,引导学生在与他人的交流中,运用数学语言清晰地、有条理地表述自己的思考过程,进行讨论与质疑。
引导过程中,步子有点小,没有完全放开。
再教这个内容时,把所有可能的情况全部展示出来,让学生进行小组分工,各自探究出求一个数的倒数的方法,最后进行交流,补充认识,形成完整的知识结构。
【做一做·28页】
114 916 135 87 154
【练习六·29页】
1.如下图所示。
2.(1)对,因为乘积是1的两个数互为倒数。(2)不对,因为乘积是1的两个数互为倒数,题中是三个数,所以不对。 (3)不对,因为0没有倒数,所以此题不对。 (4)不对。因为真分数的倒数比它本身大,1的倒数等于它本身,所以不对。 3.9 6251 38 15 2312 1102 716 4.(竖着填)18 18
= 3 3 = 94 94 = 5.小红说得对。
m是一个整数,它的倒数是( )。
[名师点拨] 由m是一个整数可以说明m有可能等于0,因为0没有倒数,所以当m是不为0的整数时,m的倒数是1m。
[解答] 1m(m≠0)
【知识拓展】 由倒数的意义可知乘积是1的两个数互为倒数,但是0没有倒数,因为0作为分母时,这个分数没有意义,所以0没有倒数。
数字趣联
宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试,他们到达试院时为时已晚,考官说:“我出一联,你们若对得上,我就让你们进考场。”考官的上联是:一叶孤舟,
坐了二三个学子,启用四桨五帆,经过六滩七湾,历尽八颠九簸,可叹十分来迟。
苏东坡对出的下联是:十年寒窗,进了九八家书院,抛却七情六欲,苦读五经四书,考了三番两次,今日一定要中。
考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中,将读书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致。
找规律填数
有6个不同的自然数,它们的倒数之和为1,求这6个自然数。
1( )+1( )+1( )+1( )+1( )+1( )=1
【参考答案】 (答案不唯一)12+13+19+127+181+1162=1。
2 分数除法
本节的内容有:分数除法、分数混合运算以及解决有关分数除法的问题。通过第一小节倒数的认识的学习,为分数除法的计算方法的学习做好了铺垫。分数除法的学习主要是通过折一折、画一画、涂一涂等活动来理解算理,掌握方法。教师在教学中要给学生操作的空间和时间。分数的混合运算实际上是分数的加减乘除四则混合运算,在分数乘法单元中学过分数混合运算,但没有分数除法参与。这里再一次学习,实际上既是分数混合运算的巩固,更是拓展与加深。解决有关分数除法的问题可分为:已知一个数的几分之几是多少,求这个数;已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数;和倍及差倍问题;工程问题等,这几类问题是学生掌握的难点,教师要让学生经历解决问题的全过程,掌握分析方法,寻求最合适的解决方法。
1. 引导学生在具体的情景中和动手操作活动中理解分数除法的意义和计算方法,并能正确进行计算。
2. 理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算,并学会解决相关的实际问题。
3.学会用线段图或其他方法分析各类除法问题中的数量关系,掌握各类除法实际问题的解决方法,能熟练地列方程解答这类问题。
4.培养学生的动手能力、分析并解决问题的能力等。体会算法的多样化,提升发散思维。
【重点】
1.掌握分数除法的计算方法和分数混合运算的计算顺序,会正确进行分数除法计算和分数混合运算。
2.掌握解决各类分数除法问题的方法,能解决这类实际问题。
【难点】
1.理解分数除法的算理,正确进行计算。
2.用线段图帮助分析实际问题中的数量关系,熟练运用方程解决问题。
第课时 分数除以整数
1.引导学生在具体的情景中借助已有的经验理解分数除法的意义。
2.经历动手操作,利用数形结合的思想理解分数除以整数的计算方法,并能正确进行计算。
3.在教学中渗透转化思想,让学生充分感受转化的好处与魅力。
【重点】
分数除法意义的理解,分数除以整数算法的探究。
【难点】
分数除以整数算法的探究和算理的理解。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 长方形纸、彩笔
方法一
1.师:前面我们认识了倒数,现在回忆一下,说说有关倒数的知识。
预设 生1:乘积是1的两个数互为倒数。
生2:求一个数的倒数的方法是交换分子和分母的位置。
生3:1的倒数是1,0没有倒数。
生4:倒数是相互依存的,不能单独说一个数是倒数。
……
师:请说出下面各数的倒数。
6 13 5 4 35
预设 生:6的倒数是16,13的倒数是3,5的倒数是15,4的倒数是14,35的倒数是53。
2.填一填。(课件出示)
①把10个练习本平均分成2份,每份是这些练习本的( )( ),求10个练习本的12,列式为 。?
②把一根长8 m的绳子平均分成4份,每份是这根绳子的( )( ),求8 m的14是多少,列式为 。?
师:同学们,请你来填一填,并说一说你的思路。
预设 生1:把10个练习本平均分成2份,每份是这些练习本的12,求10个练习本的12,列式为10×12=5(个)。
生2:把一根长8 m的绳子平均分成4份,每份是这根绳子的14,求8 m的14是多少,列式为8×14=2(m)。
生3:求一个数的几分之一是多少,就用这个数乘几分之一。其实我们可以换个角度来想,就是用这个数除以几份。
师:真聪明,能把乘法和除法联系起来。
师:今天,老师就要带着大家用这些我们已经掌握的知识去学习新知识,解决新问题。
[设计意图] 由倒数的认识及平均分的应用引入分数除以整数的教学,可以让学生进行知识的回顾,为新知识的学习做好铺垫,并且能让学生进行知识的迁移和类推,降低自主学习的难度。
方法二
口算,看谁算得又对又快。(课件出示口算题)
35×13 47×16 58×110
师:前面我们学习了分数乘法的计算,看看谁算得又对又快,开始抢答。
预设 生1:35×13=15。
生2:47×16=221。
生3:58×110=116。
师:同学们解答得又快又对。老师有个小疑问,35×13表示35的13是多少,还可以怎样理解?
师:哦,摸不着头脑了。那好,说说13的意义是什么。
预设 生:把一个整体平均分成3份,表示其中的1份。
师:那我们是否可以这样理解35×13,即把35平均分成3份,取其中的1份呢?
预设 生:是的。
师:还能用其他的算式表示吗?
预设 生:35÷3。
师:任何事物有时可以换个角度来思考。我们已经学过分数乘法,今天,我们来探索有关分数除法的知识。
[设计意图] 由分数乘法的巩固进入分数除以整数的学习,把乘法与除法的互逆关系紧密联系起来。并且提醒学生思考问题可以转换角度,为分数除法的探究学习起到暗示作用。
方法三
师:前面我们学习了分数乘法的计算,今天我们要一起探索分数除法的有关知识。你想知道什么?(板书课题)
预设 生:我想知道分数除法的计算方法。
……
师:好的。我们今天就一起来探究分数除法的计算方法。
[设计意图] 由学生抛出问题,能激发学生的求知欲和探究精神。
一、课件出示例1,分数除以整数的计算方法
把一张纸的45平均分成2份,每份是这张纸的几分之几?自己试着折一折,算一算。如果把这张纸的45平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?
1.读题,理解题意。
师:你知道了什么?
预设 生:把一张纸的45平均分成2份。
师:解决的问题是什么?
预设 生:求每份是这张纸的几分之几。
师:怎样列式?为什么?
预设 生:45÷2,要用除法计算,因为是“平均分”。
师:分数除法的计算方法,我们还没有学过。请你们大胆猜猜45÷2最后的结果是多少。
预设 生:等于25。
……
2.动手操作,探究算法。
师:究竟最后的正确结果是多少呢?我们可以用长方形的纸,试着折一折,涂一涂,再算一算,同桌之间利用我们学过的知识或方法来进行试验,验证哪一个得数是正确的。
学生进行操作,教师巡视指导。
3.汇报交流。(请同学上台展示并交流)
师:请上台来展示你的做法和计算结果。
预设 生1:(方法一)我们把这张纸平均分成5份,找出其中的4份,再把4个15平均分成2份,每份是2个15,也就是25。
生2:(方法二)我们是把这张纸平均分成5份,找出其中的4份,再把45平均分成两份,每份就是45的12,也就是45×12=25。
4.更加深入地分析这两种方法。
师:你们的方法都展现了你们的聪明才智。现在我们更加深入地分析一下这两种方法。
第一种方法是将4个15平均分成2份,每份是2个15,即用45的分子4除以整数2,得25。计算过程为:45÷2=4÷25=25。(板书)
第二种方法是把45平均分成2份,每份就是45的12,得25。计算过程为:45÷2=45×12=25。(板书)
[设计意图] 通过学生的操作活动,直观地展示分数乘法的算理,突破重难点,帮助学生掌握和理解正确的算理。
二、应用、比较计算方法
师:这是我们探索出的分数除法的计算方法,尝试选择一种方法来解决下面这个问题,并加以验证。
1.师:如果把这张纸的45平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?
学生独立计算,再在小组内说一说。
2.汇报交流。
师:展示你的计算过程和验证方法。
预设 生1:把45平均分成3份,每份就是45的13,用45×13=415,也可以用45÷3=415。(板书)
可以用折纸的方法进行验证。
生2:我也是这样想的。
师:有用第一种方法计算的吗?
预设 生:没有。
师:为什么你们都没有选择用分数的分子直接除以整数呢?
预设 生:因为分子4除以3得不到整数。
师:不是每一种方法都适用任何题目的解决,有些方法有它的局限性,比如第一种方法就只能在分子能被整数整除时用。所以我们要仔细思考,选择合适的方法计算。
[设计意图] 通过动手操作、尝试、观察等活动,使学生更深刻地理解第一种方法的局限性,从而理解和掌握第二种方法。
3.巩固练习。
师:如果是把这张纸的45平均分成5份、6份,求其中的一份呢?
独立计算,集体订正。
预设 生1:45÷5=45×15=425。
师:观察思考,计算过程中的5和15、6和16是什么关系?
预设 生:它们分别互为倒数。
师:我们可以怎样整理第二种算法?
预设 生:乘除数的倒数。
师:嗯,还比较简洁。
4.观察与整理。
师:同学们,观察我们这节课学的算式有什么特点。
预设 生:都是分数除以整数。
师:归纳、整理一下分数除以整数的计算方法吧!
5.共同小结。
分数除以整数有两种计算方法,第一种可以用分子除以整数,但分数的分子一定要能被整数整除;第二种用分数乘这个整数的倒数,无论分数的分子能否被整数整除都可以进行计算。
师:哪种方法更适合一般情况?
预设 生:第二种。
师:对这个整数有特别要说明的吗?
预设 生:这个整数不能是0,因为除数不能是0。
6.归纳总结。
一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。(板书)
师:下面我们一起做做练习,以巩固我们探究出来的计算方法。
1.教材第30页“做一做”。(板书)
指名板演,其他同学独立完成,集体订正。
2.教材第34页练习七第1,2,3题。
(1)第1题。
说一说乘法算式中各数的关系。
独立完成,集体订正。
(2)第2题。
根据乘法算式中各部分的关系完成。
开火车形式口答。
(3)第3题。
独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第30页“做一做”)910÷3=910×13=310 38÷2=38×12=316 2.(教材第34页练习七)1.154÷5=34 154÷34=5 635÷37=25 635÷25=37 2.57 17 58 516 715 7
89 4 3.45÷8=45×18=110(m)
师:通过这节课的探究活动,我们知道了分数除以整数的计算方法,回顾一下。
预设 生:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
师:这个方法是否适用于分数除法中的任意情况呢?比如分数除以分数。下节课我们会继续探讨这个问题。
作业1
教材第34页练习七第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)34÷9表示把( )平均分成( )份,每份是( ),也就是求( )的( )是多少。
(2)把34米长的丝带平均剪成4段,每段长( )米,每段是这根丝带的( )。
(3)35÷6=35×( )( )=( )。
2.(易错题)在○里填“>”“<”或“=”。
23÷4○23×2
910÷3○110×2
78÷1○78×1
【提升培优】
3.(重点题)我会计算。
49÷40 1013÷5 67÷4
4.(难点题)工程队修一段路,12天修了全长的27,平均每天修这段路的几分之几?
5.(重点题)如果a是一个大于0的自然数,那么16÷a与1a÷6哪个大?为什么?
【思维创新】
6.(竞赛题)小马虎计算A÷5时,把除号写成乘号,结果是13,正确的结果应该是多少?
【参考答案】
作业1:4.15 27 38 415 521 827
作业2:1.(1)34 9 112 34 19 (2)316 14
(3)16 110 2.< > = 3.190 213 3144.27÷12=142 5.16÷a=16×1a=16a,1a÷6=1a×16=16a,所以16÷a与1a÷6一样大。 6.A=13÷5=115,正确结果是115÷5=175。
分数除以整数
方法一:45÷2=4÷25=25
方法二:45÷2=45×12=25
45÷3=45×13=415
归纳总结:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
910÷3=( )( )×( )( )=( )( ) 38÷2=( )( )○( )( )=( )( )
1.让学生充分进行操作活动,直观理解算理。
在整个计算方法的探究过程中,都是让学生进行折纸、画图的活动,然后进行小组交流,全班交流,交流自己的折纸方法、计算过程及其算理。在这各种的活动中,学生是学习的主体,教师只是起到指导作用。由折一折、画一画等活动更能帮助学生直观理解算理。
2.大胆猜测,小心求证,引导学生主动学习。
在进入计算方法的探究前,让学生大胆猜测“45÷2最后的结果是多少”。学生或许会根据分数乘法来有理有据地猜测,也许会想当然。接着教师引导“究竟最后的正确结果是多少呢”。可以用长方形的纸,试着折一折,涂一涂,再算一算,同桌之间利用学过的知识或方法来进行试验,验证哪一个得数是正确的。激发学生的求知欲和好奇心。
提问过于细化,致使教学中时间不够,条理不够清晰。
再教这个内容时,要注意给予学生更多表述的机会。六年级的学生已具备一定的自学能力,教师要肯定学生,创造更多的活动,给予更多交流的时间。
【做一做·30页】
910÷3=910×13=310 38÷2=38×12=316
红星面粉厂将123吨面粉平均分给5个学校食堂,每个食堂分得多少吨?
[名师点拨] 123吨面粉平均分给5个食堂,就是把123吨面粉平均分成5份,每个食堂应得123÷5吨。
[解答] 123÷5=53×15=13(吨)。
【知识拓展】 一个带分数除以整数(0除外),要先把带分数化成假分数,再按照分数除以整数的计算方法进行计算。
算数书
1984年初,在湖北江陵张家山的一座汉墓中出土了一批数学竹简,约有2000余支完好,其中一支背面有“算数书”三字。学术界因此将其定名为《算数书》。它的成书年代在公元前2世纪或更早一点,绝大多数内容和题目产生于秦或先秦,可归纳为算术和几何两大类。其中对于分数除法,《算数书》有明确的颠倒相乘法。公元9世纪,印度数学家摩珂毗罗才提出了分数除法法则,这比《算数书》晚了1000多年。
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年7月1日~1716年11月14日),德意志哲学家、数学家。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上,他和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为,莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分,而是发明了微积分中使用的数学符号,因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。莱布尼茨还对二进制的发展做出了贡献。1716年11月14日莱布尼茨于汉诺威逝世。2006年7月1日莱布尼茨360周年诞辰之际,汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。
莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数):
第一行:11
第二行:12 12
第三行:13 16 13
第四行:14 112 112 14
第五行:15 120 130 120 15
……
根据前五行的规律,可以知道第六行的数依次是: 。?
【参考答案】 16 130 160 160 130 16
第课时 一个数除以分数
1.通过具体的问题情景,探索并理解一个数除以分数的计算方法。
2.掌握一个数除以分数的推理过程,运用转化思想理解计算方法的由来,能正确地进行分数除法的计算。
3.让学生通过探索知识,体验成功的乐趣,树立学习的自信心。
【重点】
理解一个数除以分数的算理,并抽象概括出分数除法的计算法则。
【难点】
一个数除以分数算法的探究和算理的理解。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 尺子、铅笔
方法一
口算。(课件出示)
18×56 45×57 29×0
89÷4 37÷4 611÷2
口答。
【参考答案】 15 47 0 29 328 311
师:说一说怎样计算分数除以整数。
预设 生:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
师:如果把除数变成一个分数,我们该如何计算呢?今天我们就继续研究分数除法的其他内容。(板书课题:一个数除以分数)
[设计意图] 由复习分数除以整数导入新知,是想运用顺势迁移和类比推理,理解和掌握一个数除以分数的计算方法。
方法二
(课件出示题目)
一架飞机3小时飞行1800 km,这架飞机每小时飞行多少千米?
口头列式计算。
师:说一说题中存在什么数量关系?
预设 生:路程÷时间=速度。
师:生活中许多时候都是会用到这个数量关系来解决问题的。看看下面的情景图,你会怎样来解决这个问题?
[设计意图] 由数量关系导入新知,减少列式上的难度。
方法三
师:生活中我们随处都会遇到实际的数学问题,看看图中,你会发现什么信息?(课件出示主题图)
[设计意图] 直接导入情景图,不给学生提供任何暗示,那么学生在学习新知识时,就会出现多种解题策略,有助于学生思维空间的拓展。
课件出示教学例2,一个数除以分数的计算方法
小明23小时走了2 km,小红512小时走了56 km。谁走得快些?
1.读题,理解题意。
2.列出算式,学生口答。
师:怎么理解“谁走得快些?”
预设 生:就是比较他们俩的速度,即谁每小时走的路程多。
师:如何解决?
预设 生1:小明平均每小时走:2÷23。
生2:小红平均每小时走:56÷512。
3.师:说出你列式的根据。
预设 生:我是根据数量关系式:速度=路程÷时间。
师:谁会计算出这两个算式的结果?
预设 生1:我们似乎没有学过。
生2:第一个算式是整数除以分数,第二个算式是分数除以分数。
4.师:观察很仔细。我们先尝试着算一算2÷23,看看能不能找到整数除以分数的计算方法。老师建议你们画个线段图帮助自己。
(1)学生计算,同桌互议。教师巡视指导。
(2)汇报交流。
师:谁能说一说你是怎样算的?
预设 生:老师,我是根据分数除以整数的计算方法模仿的,2÷23=2×32=3(km),但是我不太理解,为什么要这样做?
师:你很聪明,会利用旧知识来解决新知识的问题。但是这个结果是否正确?实际的计算方法是否真是这样?我们一起来解决这些难题。
(3)教师引导探究。
师:根据题意先画线段图,可以帮助我们更清晰地展现题目意思。
师:先画一条线段表示1小时走的路程,再思考如何表示23小时走了2千米。(板书)
预设 生:“23小时走了2 km”就是把1小时所走的路程平均分成3份,其中的2份的路程是2 km。(板书图)
师:仔细看图,思考一下,老师理解的对吗?
预设 生:是对的。
师:看图想一想,小组讨论,要求1小时走了多少千米,我们可以怎样做?小组讨论。汇报交流。
预设 生:已知23小时走了2 km,要求1小时走了多少千米,我们可以先算出其中的一份是多少,即13小时走了多少千米。再乘3,就是1小时走的路程。
根据学生回答,把线段图补充完整。(板书图)
师:要求13小时走了多少千米,也就是求什么?
预设 生:就是求2 km的12是多少。
师:求13小时走了多少千米,也就是求2 km的12。再求3个13小时,即1小时走了多少千米。(板书思路)
2÷23=2×12×3
(板书:小明平均每小时走:2÷23=2×12×3=2×32=3(km))
师:再来巩固一下思考的过程。说出2×12×3中每一步的意义。
预设 生1:2×12是表示2 km的12是多少,也就是13小时走了多少千米。
生2:“×3”,1小时里面有3个13小时,就是求1小时走了多少千米。师完善计算过程。(板书)
2÷23=2×12×3=2×32=3(km)
师:为什么老师要回转过来写成“2×”,而不是直接约分计算出结果?
预设 生1:为了引导我们发现23和32是什么关系?
生2:我发现23和32互为倒数。
师:从2÷23=2×32可以得出什么结论?
预设 生:整数除以分数可以用整数乘这个分数的倒数来计算。
(4)师:你们的结论很正确。我们再试着算一算。(出示计算题)
5÷23 12÷67
学生上台板演,再全班交流。
【参考答案】 152 14
5.拓展延伸。
(1)尝试计算56÷512。
师:请尝试计算,再找出分数除以分数的计算方法。
(2)学生独立计算,教师巡视。
(3)汇报交流,师生研讨。
预设 生1:56÷512=56×125=2(km)。
生2:我画了线段图。(板书线段图)
要求1小时走了多少千米,先要求出112小时走了多少千米,即56 km的15是多少。再求12个112小时是多少千米。(板书思路)
56÷512=56×15×12=56×125=2(km)
(板书:小红平均每小时走:56÷512=56×125=2(km))
师:第二位同学的分析和思维过程十分清晰,值得学习。
师:归纳一下分数除以分数怎么计算?
预设 生:分数除以分数可以用分数乘这个分数的倒数计算。
(4)巩固练习。
师:试着计算下面两道题。
89÷47 512÷38
学生独立计算,再交流。
【参考答案】 149 109
[设计意图] 对于分数除以分数的计算方法的探究,要全方位地放手让学生自主探索。因为前面学过整数除以分数,这里的新知识可以进行迁移和类推,有利于学生思维能力的提高。
6.师:把我们所探讨的两种情况的计算方法一起用一句话概括一下。
预设 生:分数除以分数和整数除以分数的计算方法一样,计算时都是乘这个分数的倒数。
师:还可以简洁一些吗?整数、分数都可以说成“一个数”。
预设 生:一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数。
师:可以把前面学的分数除以整数和今天的一个数除以分数总结成一个计算方法吗?
预设 生:一个数除以另一个数,等于乘它的倒数。
师:嗯,概括性很强。老师把它记录下来。(板书)
除以一个数,等于乘这个数的倒数。
师:这句话中有需要特别说明的地方吗?
预设 生1:一个数可以是整数,也可以是分数。
生2:除数不能是0。
生3:被除数不变。
生4:除号变为乘号。
生5:除数变成它的倒数。
师:怎样说?
预设 生:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
完善计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。(板书)
7.解决问题。
师:回到例题情景,现在你能回答出“谁走得快些”了吗?
预设 生:小明走得快些。
教材第32页“做一做”第1,2,3题。
(1)第1题。
学生独立完成,注意按照计算法则做,能够口算的,要用口算。集体订正。
(2)第2题。
学生独立完成,指名学生板演,要求写出具体的计算过程。集体订正,回顾算理。
(3)第3题。
①读题,理解题意。
②不计算,独立判断。想一想判断的依据是什么。
③计算验证。
④归纳小结:一个数(大于0)除以比1小的数(0除外),商比原数大;一个数(大于0)除以比1大的数,商比原数小。
【参考答案】 1.24÷89=24×98=27 716÷45=716×54=3564 2.29 326 392 928 3.商大于被除数:9÷34 12÷23 149÷730 45÷45 商小于被除数:67÷3 158÷2 6÷54 57÷52
师:通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?
预设 生1:我学会用线段图来分析和理解题目。
生2:我知道了一个数除以一个不为0的数,等于乘它的倒数。
……
作业1
教材第34页练习七第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)23÷815=23×( )=( )。
(2)18×( )=15,( )千克的310是30千克。
(3)有一根长5米的绳子,每段截成15米,则可以截成( )段;如果把它平均截成10段,每段长( )米。
2.(基础题)算一算。
2516÷548= 1322÷3944=
727×2714= 0÷12=
3.(易错题)在○里填“>”“<”或“=”。
56÷5○56
34÷23○34
12÷45○12×45
512÷1○512×1
4.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)两个真分数相除,商大于被除数。 ( )
(2)一个数除以假分数,商一定小于被除数。 ( )
【提升培优】
5.(情景题)把45 L果汁分装在容量是15 L的小瓶里,可以装几瓶?
6.(情景题)两个修路队合修一段公路。甲队3天修了910 km,乙队2天修了12 km。甲队每天比乙队多修多少千米?
【思维创新】
7.(竞赛题)一个分数连续除以12,23,34的商是自然数,这个分数最小是多少?
【参考答案】
作业1:5.512 32 49 34 57 58 43 37 6.34÷14=34×4=3(瓶) 7.1分钟=60秒 60
÷125=60×25=1500(个) 8.0.5÷124=0.5×24=12(张)或12÷124=12×24=12(张) 1分钟=60秒 60÷124=60×24=1440(张)
作业2:1.(1)158 54 (2)120 100 (3)25 12 2.15 23 12 0 3.< > > = 4.(1)√ (2)? 5.45÷15=4(瓶) 6.910÷3-12÷2=120(km) 7.大于0的自然数最小是1,所以当这分数最小时,商是1,这个分数就是1×12×23×34=14。
一个数除以分数
思路:先求13小时走了多少千米,也就是求2 km的12。再求3个13小时,即1小时走了多少千米。
小明平均每小时走:2÷23=2×12×3=2×32=3(km)
思路:先求112小时走了多少千米,也就是求56km的15。再求12个112小时,即1小时走了多少千米。
小红平均每小时走:56÷512=56×125=2(km)
归纳小结:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
数学问题教学来源于生活,而又应用于生活。因此在本节课的设计上我从现实生活的情景中引入,让学生经历“复习问题——解决问题——归纳方法——运用方法”的过程。为了突破教学的重点与难点,教学过程中主要借助线段图,引导学生探索并理解分数除法的计算方法,真正使学生理解算理,学会方法与技巧。
在尝试计算2÷23时,出现了冷场现象,学生有些不知从何开始分析理解。
再教这个内容时,我会省掉此环节,直接引导学生用线段图来分析,当然,引导时,要放手让学生根据步骤独立画图,而不是由教师画图。
【做一做·32页】
1.24÷89=24×98=27 716÷45=716×54=3564 2.29 326 392 928 3.67÷3<67,158÷2<158,6÷54<6,57÷52<57。一个数除以大于1的数,商
小于被除数。9÷34>9,12÷23>12,149÷730>149,45÷45>45。一个数除以小于1的数(0除外),商大于被除数。总结规律:一个数(大于0)除以小于1的数(0除外),商大于被除数;除以1,商等于被除数;除以大于1的数,商小于被除数。
一堆苹果重45吨,装入一些纸箱中,每个纸箱能装140吨,需要多少个这样的纸箱?
[名师点拨] 已知每个纸箱能装140吨,苹果一共重45吨,得知纸箱的数量×每个纸箱装的质量=这堆苹果的质量。列出等量关系式:纸箱的数量×140吨=45吨,已知两个因数的积45和其中一个因数140,求另一个因数的运算用除法列算式。
[解答] 45÷140=45×40=32(个)。
【知识拓展】 分数除以整数(0除外)、整数除以分数或分数除以分数,都可以把它看成是甲数除以乙数(0除外)的形式,把除法转化成乘法,把乙数转化成其倒数的形式。
河边洗碗
我们现在只要打开自来水龙头,就可以接到水洗碗了,非常方便。
古时候没有自来水,吃过饭要洗碗,只能提一只大篮子,装着碗、筷、瓢、盆到河边去洗。大家都到河边去,见面要说话,有问有答,题目就多了。下面是中国古代数学书《孙子算经》里的一道关于洗碗的算术题。
妇女在河边洗碗。有人问她,为什么要洗这么多碗?妇女答,家里来了客人。那个人又问,有多少客人?妇女反问道,二人合一大碗饭,三人合一大碗汤,四人合一大碗肉,共用碗六十五个,你说有多少人?
“二人合一大碗饭,三人合一大碗汤,四人合一大碗肉”,平均分配,每个人能分到几大碗饭?几大碗汤?几大碗肉?每个人共计分用几个大碗?
利用分数,容易算出每个人用的大碗个数是12+13+14=1312(个)。
用大碗总数除以每人所用大碗数,即65÷1312=60,得到客人总数是60人。
线段图
线段图是由几条线段组合在一起,用来表示应用题中的数量关系,帮助人们分析题意、解答问题的一种平面图形。特点:从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过程。线段图以其形象、直观的特点,在数学教学中广泛应用。在数学教学中,注重让学生运用线段图来解决实际问题,有效地提高了学生的自我学习能力和创新能力。
第课时 分数混合运算
1.理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算。
2.根据生活情景,使学生经历解决实际问题的过程,理解分数混合运算的运算顺序,培养学生的理解能力和解决问题的能力。
3.使学生经历小组合作、问题探究的过程,体验合作学习和探究学习的方法。
【重点】
理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算,并能用分数乘除混合运算解决实际问题。
【难点】
理解分数连除和分数乘除混合运算相互转化的算理。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.口算。(课件出示)
13÷5 6÷13
56÷59 78×47×25
师:口答,说一说怎样计算。
预设 生1:分数除法的计算方法是:除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。
生2:分数乘法计算时,能约分的要先约分,再分子和分母分别相乘。
【参考答案】 115 18 32 15
2.不计算,说一说计算顺序。
18+12×20 125÷5×18
180÷9÷2 289-18×(2.5+6.8)
师:说一说整数、小数四则混合运算的运算顺序是怎样的?(答案略)
预设 生1:没有括号的,是同一级运算,就按照从左到右的顺序计算;含有两级运算,就先乘除,后加减。
生2:有小括号的,就先算小括号里面的。
师:我们已经学习过分数乘法、除法,如何进行分数的四则混合运算呢?今天我们一起来研究。(板书课题:分数混合运算)
[设计意图] 先复习有关的旧知识,唤起学生的记忆,为新知识的学习做好铺垫。
方法二
师:你生病了,会怎么做?
预设 生1:会去看医生。
生2:普通的病,会要爸爸妈妈给药吃。
生3:有些病,我是自己找药吃。
……
师:我建议你们生病后最好先找医生看看再服药。
师:吃药时,要注意什么?
预设 生1:要注意吃的药是否正确。
生2:要看看使用说明书或听医生的交代,弄清楚如何服药。
生3:有些药在吃的时候还需要注意饮食,哪些东西能吃,哪些东西不能吃。
……
师:你们的生活经验很丰富。看看下面的图,你知道了什么?(出示课件)
[设计意图] 从贴近学生的生活情景出发,一是感受到数学与生活的紧密联系,二是体会到知识之间的关系,三是丰富学生的生活经验。
方法三
师:小丽生病了,妈妈带她去看医生,医生给她一盒药,并交代了一些事。看图,你知道了什么?(课件出示不完整的主题图)
预设 生:知道了这盒药有12片,每次吃半片,每天吃3次。
师:你能提出什么问题?
预设 生:这盒药可以吃多少天?
师:试着解决这个问题。
[设计意图] 从情景图直接进入新知识的学习,让学生更主动、注意力更加集中。
课件出示教学例3,分数的混合运算
1.师:观察图,说一说从图中你可以得到哪些信息?
预设 生1:这盒药共12片,每次吃半片,每天吃3次。
生2:要解决的问题是“可以吃几天?”。
2.讨论解决问题的方法。
师:怎样解决这一问题呢?尝试列式解答。学生独立解题,再全班交流。
3.汇报交流。
师:说一说你的解题思路是什么。
预设 生1:我是先算每天吃多少片,12×3=32(片),再算可以吃多少天,12÷32=8(天)。(板书)
生2:我是先算一盒药可以吃几次,12÷12=24(次),再算可以吃多少天,24÷3=8(天)。(板书)
4.写出综合算式,理清混合运算的计算顺序。
师:请写出这两种解法的综合算式,并尝试计算。
(1)学生独立列式计算。
(2)汇报交流。
预设 生1:我的解法的综合算式是:12÷12×3,先算12×3 =32,再算12÷32=8(天)。(板书)
生2:我的解法的综合算式是:12÷12÷3,先算12÷12=24,再算24÷3=8(天)。(板书)
师:想一想,第2个算式是分数连除,还可以怎么算?
预设 生:可不可以一次性地把除法转化成乘法,变成连乘再计算?
师:你们可以试一试他的这种提议。
学生再次计算。
师:感觉怎么样?
预设 生:计算比较简单,可以直接约分。
师:看来解决问题时,要多进行尝试,寻求多种解题途径,不能固守一种方法。
5.小结计算顺序。
师:通过刚才的计算,你们对分数的混合运算有哪些要概括的知识点?
预设 生1:有小括号的要先计算小括号里面的,再计算小括号外面的。
生2:没有小括号的分数乘除混合运算,要按从左到右的顺序计算。
生3:计算分数连除或乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。
师:大家总结得很好。其实分数四则混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。
6.尝试计算。(课件出示并板书)
320×56+14÷38 12-38÷34
(1)师:同桌互相说一说这两题的计算顺序,再独立计算。
(2)独立计算,指名两位学生板演。
(3)集体交流,说一说在计算中应注意什么。
预设 生1:注意按正确的计算顺序进行计算。
生2:计算过程中要注意分数加、减、乘、除的计算方法要正确,别弄混了。
生3:计算过程中,计算要认真。
生4:有括号的,先算括号里面的。
……
7.归纳算法。
分数四则混合运算,先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的。
1.出示课件:一艘客船23小时航行了18 km,照这样的速度,它89小时航行了多少千米?
(1)学生读题,理解题意。
(2)说一说题中存在哪几种量?它们之间是什么关系?
速度×时间=路程
路程÷时间=速度
路程÷速度=时间
(3)根据关系式独立完成,再集体订正。
2.教材第33页“做一做”。
(1)学生读题,理解题意。
(2)师:求玻璃的面积也就是求什么的面积?
预设 生:求梯形的面积。
师:还记得梯形的面积公式吗?
(3)独立完成,汇报交流。
3.教材第35页练习七第9,10题。
(1)第9题。
先说一说运算顺序,再独立完成,指名学生板演,最后集体订正。
(2)第10题。
学生读题,理解题意,独立完成,交流解题思路。
【参考答案】 1.18÷23×89=24(km)2.35+45×34÷2=2140(m2) 3.(教材第35页练习七)9.114 143 65 0 516 10.2÷12×6=24(分钟)或6÷12×2=24(分钟)
通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?
作业1
教材第35页练习七第11,12题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)算一算。
12×34÷35
1-18÷79
12×49+12×39+12×29
2.(易错题)判断正误,若错误,请改正过来。
23×916-14+13×516
=23×516+13×516
=23+13+516+516
=1+1016
=138 ( )
【提升培优】
3.(重点题)计算,能简算的要简算。
112÷56-12×3
8÷9×89
127-314÷34÷2549
4.(情景题)一块地有910公顷,用2台拖拉机耕种,34小时可以耕完。平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷?
5.(难点题)小强去外婆家玩,去时平均每小时行12千米,23小时到了外婆家。返回时只用了12小时,返回时平均每小时比去时多行多少千米?
【参考答案】
作业1:11.50÷15×(7-1)=20(m)或(7-1)÷15×50=20(m) 12.240÷14×34=720(袋)或240×34÷14=720(袋)
作业2:1.12×34÷35=12×34×53=15 1-18÷79=78÷79=78×97=98 12×49+12×39+12×29=12×49+39+29=12×1=12 2.? 改正:23×916-14+13×516=23×516+13×516=23+13×516=516 3.112÷56-12×3=112÷56-36×3=112×1=112 8÷9×89=89×89=6481 127-314÷34÷2549=127-314×43×4925=127-27×4925=107×4925=145 (公顷) 5.12×23÷12=16(千米) 16-12=4(千米)
返回时平均每小时比去时多行4千米 6.109
1.运用教材情景图,感受数学与实际生活的联系。
本节课设计了两种复习题,让学生感受旧知识与新知识的联系,借助具体情景,让学生感受到分数四则混合运算在生活中的实际应用,并通过具体情景,让学生自主参与到新知识的学习过程中来。让学生通过多种形式的练习,在数学学习过程中发现运算顺序,掌握运算顺序,并合理地进行计算。
2.引导学生自主探索,并适当指导。
本节课的内容因为有整数四则混合运算为基础,学生学习起来并不是很难,所以放手给学生自主探索的空间和时间。这节课中,学生自己独立尝试的次数较多,交流的次数也多,学生能主动进行学习。在教学过程中,教师并没有脱离开学生,总是适时地给予引导和提示,这样避免学生学习中走弯路。
练习的量略有不足,主要是没有分出层次,出现了优等生吃不饱的现象。
再教这个内容时,要设计有层次的练习,并且适当有所提高和拓展,给优等生发展的空间。
【做一做·33页】
35+45×34×12=2140(m2)
【练习七·34页】
1.154÷5=34 154÷34=5 635÷25=37 635÷37=25 2.57 17 58 516 715 7 89 43.45÷8=45×18=110(m) 4.15 27 38 415
521 827 5.512 32 49 34 57 58 43 37
6.34÷14=34×4=3(瓶) 7.1分=60秒 60÷125=1500(个) 8.12÷124=12(张) 1分=60秒
60÷124=1440(张) 9.114 143 65 0 516 10.6÷12×2=24(分) 11.50÷15×(7-1)=20(m) 12.240÷14×34=720(袋) 13.344 70 185 34
772 910 34 14.x=319 x=710 x=37 x=92
15.65÷3250=100(小时) 16.3分=180秒 180÷9100=2000(个) 17.7157101415715,我发现得数等于原来的数。因为23,34的倒数与12的积正好是1。也就是除以23,34,再乘12,实际上相当于除以或乘1。
计算15÷3+45×13。
[名师点拨] 先把15÷3写成15×13的形式,变成了15×13+45×13。根据乘法分配律,把算式变成13×15+45再计算。
[解答] 15÷3+45×13=15×13+45×13=13×15+45=13×1=13
【知识拓展】 分数的乘除混合运算中,乘法的三条运算定律同样适用。
计算8.4×910+1.6÷109。
[名师点拨] 在算式中,如果有小数,可以把小数化成分数再计算。题中先把除号转化成乘号,乘109的倒数910,然后把各自式子中公有的910提出来,再计算。
[解答] 8.4×910+1.6÷109
=8.4×910+1.6×910
=(8.4+1.6)×910
=10×910
=9
古代的分数除法
世界上系统叙述分数最早的著作是我国的《九章算术》,它给出了相当完整的分数运算法则,基本上和现在的算法一致。该书介绍分数除法(称之为“经分”)表示为ab÷cd=adbd÷bcbd=adbc。分数除法的
颠倒相乘法过去人们认为是公元3世纪刘徽创造的。
分数的起源——破碎数
在拉丁文里,分数一词源于frangere,是打破、断裂的意思,因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。
在数的历史上,分数几乎与自然数同样古老,在各个民族最古老的文献里,都能找到有关数的记载,然而,分数在数学中传播并获得自己的地位,却用了几千年的时间。
在欧洲,这些“破碎数”曾经令人谈虎色变,视为畏途。7世纪时,有个数学家算出了一道8个分数相加的习题,竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里,欧洲数学家在编写算术课本时,不得不把分数的运算法则单独叙述,因为许多学生遇到分数后,就会心灰意懒,不愿意继续学习数学了。直到17世纪,欧洲的许多学校不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在,德国人形容某个人陷入困境时,还常常引用一句古老的谚语,说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数,把分数叫做“整数的比”。古埃及人更奇特,他们表示分数时,一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点,表示这个数是15;在7上面加一个小圆点,表示这个数是17。那么,要表示分数27怎么办呢?古埃及人把14和128摆在一起,说这就是27。
14和128怎么能够表示27呢?原来,古埃及人只使用单分子分数。也就是说,他们只使用分子为1的那些分数,遇到其他的分数,都得拆成单分子分数的和。14和128都是单分子分数,它们的和正好是27,于是就用其来表示。那时还没有加号,相加的意思要由上下文显示出来,看上去就像把14和128摆在一起表示了分数27。
第课时 已知一个数的几分之几是多少,求这个数
1.使学生掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题,能熟练地列方程解答这类问题。
2.学会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
3.感悟分数乘、除法应用题之间的内在联系,培养推理能力,提高分析问题、解决问题的能力。
【重点】
掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题的解题方法。
【难点】
会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段
图帮助分析数量关系。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 尺子、铅笔
方法一
1.说出下面各题中是把哪个量看做单位“1”,再说出数量关系。(课件出示)
(1)男生人数是女生人数的12。
(2)灰兔只数的23是白兔只数。
(3)小华的体重是妈妈体重的35。
师:口答这些题目。
预设 生1:男生人数是女生人数的12中,把女生人数看做单位“1”。数量关系是:女生人数×12=男生人数。
生2:灰兔只数的23是白兔只数中,把灰兔的只数看做单位“1”。数量关系是:灰兔只数×23=白兔只数。
生3:小华的体重是妈妈体重的35中,把妈妈的体重看做单位“1”。数量关系是:妈妈的体重×35=小华的体重。
2.小明的体重为35千克,他体内水分的质量占体重的45,小明体内有多少千克水分?
(1)学生读题,说一说题中的条件与问题。
(2)找出题中的单位“1”,说出数量关系。
预设 生1:题中的条件是小明的体重为35千克,他体内水分的质量占体重的45,所求的问题是小明体内有多少千克水分?
生2:单位“1”是小明的体重。
生3:数量关系是:小明的体重×45=小明体内水分的质量。
生4:列式是:35×45,计算结果是28(千克)。
师:刚才我们解决的是分数乘法的实际问题。说一说解答分数乘法实际问题的关键是什么。
预设 生:找单位“1”和数量关系。
师:今天这节课我们来学习“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法。(板书课题)
[设计意图] 由相关的旧知识的复习导入,一方面可以巩固学生对旧知识的掌握,另一方面对新知识的学习做好知识铺垫,让学生能通过知识迁移和类比推理理解和掌握新知识。
方法二
师:前面我们已经学习了分数除法的计算方法,今天我们来学习用分数除法解决实际问题。(板书课题:已知一个数的几分之几是多少,求这个数)
[设计意图] 由相关的分数除法过渡到新知识的学习,一是可以让学生感受到知识之间的内在联系,二是给学生提示学习的内容还是与分数除法有关的,学生可以用相关的知识解决问题。
方法三
师:人体是一个非常奇妙的物体,隐藏着许多的秘密。(课件出示情景图的一部分)
预设 生:成人体内的水分约占体重的23,儿童体内的水分约占体重的45。(出示完整的情景图)
师:你能求出小明重多少千克吗?
[设计意图] 由学生感兴趣的知识入手,既能吸引学生注意力,激发求知欲,又能让学生感受到各学科之间的联系。
课件出示教学例4,已知一个数的几分之几是多少,求这个数
小明重多少千克?
1.阅读与理解。
师:你能收集到什么信息?
预设 生1:成人体内的水分约占体重的23,儿童体内的水分约占体重的45。
生2:小明体内有28 kg水分。
师:解决“小明重多少千克”这一问题,需要哪些条件?(课件出示阅读与理解的内容)
请根据提示独立完成对题目的理解。学生独立解决,全班交流。
预设 生:小明体内有28 kg水分。儿童体内的水分约占体重的45。
师:在解决问题时,有些条件是多余的,要认真审题,筛选与问题相关的条件。
2.分析与解答。
(1)师:找出题中的单位“1”,分析数量关系。
师:你能用线段图表示出它们的关系吗?
学生独立画出线段图,小组交流。
(2)汇报交流,讲解线段图的画法。
预设 生:先画一条线段表示小明的体重(单位“1”),把这条线段平均分成5份,其中的4份表示体内的水分,正好是28 kg,再标出要求的问题。(板书图)
(3)发现数量关系。
[设计意图] 画线段图本是难点,但此处却让学生自己来操作。一是教师的引导不要过细,适当增加难度,可以增强学生的进取精神和钻研精神。二是锻炼学生的分析能力和小组合作意识。
师:你们的线段图现在越画越精准了,真不错。观察上面的线段图,你从中可以得出什么数量关系?
预设 生:小明的体重×45=小明体内水分的质量。(板书)
(4)列式解答。
师:请同学们以小组为单位尝试列式解答。
学生小组合作解决问题,再交流。教师巡视指导。
师:小组选派代表上台展示,并阐述解题思路。
预设 生1:我们小组是根据等量关系列方程来解答的。小明的体重是一个未知量,我们就把它设成未知数x。(板书)
解:设小明重x kg。
45x=28
x=28÷45
x=35
生2:我们小组是用除法算式计算的。根据除法是乘法的逆运算,一个因数等于积除以另一个因数,上面的数量关系可以写成:小明体内水分的质量÷45=小明的体重,即28÷45=35(kg)。(板书)
[设计意图] 列方程解决问题是已学知识,但要唤起学生的记忆、灵活运用知识的能力。学了知识,要会根据情况进行调动与应用,而不是纯粹的记忆和反复练习。所以,此处放开学生,给他们自主活动的空间,更能激发学生的潜能,也能寻求到多种解题的策略。
师:你们的分析能力越来越强,思维也越来越清晰,并能够把所学过的知识融会贯通,真是聪明。
师:回顾整理一下,让我们的思路更清晰。第一种解法是根据数量关系,把未知]的量设成x,再列方程解决问题。第二种解法是根据除法是乘法的逆运算和分数除法的意义,把数量关系进行转换,直接用除法计算,即“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”。(板书)
(5)分析、比较两种解法。
师:比较两种不同的解答方法。说一说它们各有什么优点?
预设 生1:我认为用方程解决问题是顺着数量关系进行列式的,不用像算术方法那样要把数量关系进行转换,很直截了当。
生2:我认为算术方法计算很简单,根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”可以列式。只是思维时是倒着想的,有点难度。
师:看来任何解法都会有优劣,同学们要根据具体的问题和自己熟悉的解法来进行选择。
3.回顾反思。
师:用方程解决问题后,如何验证结果是否正确?用你的想法先验证一下,再交流。全班学生独自验证。
预设 生:我是把求出来的“小明重35千克”代入原题,看结果是不是题目中小明体内水分的质量。如果是,说明解答正确,最后写上答语。
4.比较例4与练习八第2题,说一说这两题有什么联系与区别?
预设 生1:数量关系不同,单位“1”不同,已知条件不同,问题不同。
生2:解决问题所用的方法相同。
5.巩固练习。(出示教材练习八第1题)
师:独立分析,选用合适的解法解决问题。
师:说说自己的想法。
预设 生1:我是用方程来解答的。单位“1”是南北的距离。
数量关系是:南北的距离×5255=东西的距离。
解:设南北相距x千米。
x×5255=5200
x×5255÷5255=5200÷5255
x=5200×5552
x=5500
答:南北相距5500 km。
生2:我是用除法来解答的。单位“1”是南北的距离。根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”,列式为5200÷5255=5200×5552=5500(km)。
6.总结方法。
师:解简单的“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法:
(1)方程解法:①找出单位“1”,设未知量为x;②找出题中的数量关系;③列出方程解答。
(2)算术方法:①找出单位“1”;②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几;③列出除法算式,即:数量÷对应的分率=单位“1”的量。
教材第39页练习八第2,3题。
(1)第2题。
①学生读题,理解题意。说一说解这一题需要哪些条件。
②引导学生找出单位“1”,再根据数量关系进行计算。
(2)第3题。
独立完成,集体订正。
【参考答案】 2.解法1:设一个成年人一天大约需要x g钙质。x×38=310,x=45 解法2:310÷38=310×83=45(g) 3.解法1:设宇宙飞船的速度大约是x千米/秒。x×4057=8,x×4057÷4057=8÷4057,x=8×5740,x=1125 解法2:8÷4057=8×5740=1125(千米/秒)
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道可以用两种不同的方法来解决“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”这一类问题。
生2:列方程解决问题和算术方法解决问题都要先找到单位“1”。
生3:列方程解决问题是顺着数量关系列式的。
生4:用除法来解决这一类问题时,我们是根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”列式的。
生5:最后都要进行检验。可以把结果代入原题进行计算,再比较,看计算的结果是不是原题中已知的数量。
作业1
教材第39页练习八第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)妈妈给小林一些钱,小林买毛衣花了90元,买裤子花了60元。买这两样衣物花的钱数是妈妈给小林钱数的34,妈妈给小林多少钱?
【提升培优】
2.(难点题)画线段图表示下面各题中的数量关系,并写出数量关系式。
(1)鸡的只数是鸭的只数的23。
(2)女生人数占全班人数的35。
【思维创新】
3.(易错题)赵老师的讲桌上有红粉笔16支,白粉笔的支数是红粉笔的54,又是蓝粉笔的1011。蓝粉笔有多少支?
【参考答案】
作业1:4.(1)解法1:设图书馆共有x本书。25x=320 x=800 解法2:320÷25=800(本) (2)解法1:设图书馆有x本故事书。 43x=320,x=240解法2:320÷43=240(本) 5.116
314 15 392 23 32 2203 12 49 34
作业2:1.解:设妈妈给小林x元。34x=90+60,x=200 2.(1) 数量关系:鸭的只数×23=鸡的只数
(2) 数量关系:全班人数×35=女生人数 3.解:设蓝粉笔有x支。x×1011=16×54,x=22
1.通过复习,沟通分数乘、除法之间的联系,为列方程解决问题做好铺垫。
在复习中设计了找单位“1”和解决“求一个数的几分之几是多少”的乘法问题,接着转换问题和条件的位置,成为例题,这样,一方面巩固对旧知识的掌握,另一个方面为新知识的学习做好铺垫。特别是让学生对分数乘、除法之间的关系有了解,对列方程解决问题起到引导作用。
2.开放教学,重视学生能力的培养和思维品质的提高。
不管是画线段图,还是根据线段图的理解列式计算,都是全开放的教学环境,这样能激发学生的学习潜能和不服输的精神,让学生能更积极主动地进入学习,并且有更多的解题策略出现。
开放空间太大,教师的引导指向性不强,给学困生造成学习难度,没有掌握好分析方法。
再教这个内容时,开放空间可以加大,但是要注意学困生的指导,更多地关注此类学生的学习,把知识落到实处。
水果商店新进一批水果,橘子的重量是苹果重量的25,梨的重量是橘子重量的13,梨有200千克,苹果有多少千克?
[名师点拨] 画线段图分析数量关系。
数量关系式:
苹果的重量×25=橘子的重量橘子的重量×13=梨的重量苹果的重量×25×13=梨的重量(200千克)
[解法1] 算术法解答。
橘子的重量:200÷13=600(千克)。
苹果的重量:600÷25=1500(千克)。
列综合算式:200÷13÷25=1500(千克)。
答:苹果有1500千克。
[解法2] 列方程解答。
设苹果有x千克。
x×25×13=200
x=200÷25÷13
x=1500
答:苹果有1500千克。
【知识拓展】 有时连续的单位“1”有的是已知的,有的是未知的,所以解决分数乘除混合运算应用题时,要注意找准哪个单位“1”是已知的,哪个单位“1”是未知的。
人体内水的含量
(1)脑部:70%~85%。
(2)血浆:91%~92%。
(3)骨质:44%~55%。
(4)肌肉:72%~80%。
苏步青的故事
苏步青,1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫,可他父母省吃俭用,拼死拼活也要供他上学。他在读初中时,对数学并不感兴趣,觉得数学太简单,一学就懂。可是,后来的一堂数学课影响了他一生的道路。
那是苏步青上初三时,他就读于浙江省六十中,来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学,而是讲故事。他说:“当今世界,弱肉强食,世界列强依仗船坚炮利,都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫,振兴科学,发展实业,救亡图存,在此一举。‘天下兴亡,匹夫有责’,在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引,讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是:“为了救亡图存,必须振兴科学。数学是科学的开路先锋,为了发展科学,必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课,但这一堂课使他终生难忘。
杨老师的课深深地打动了他,给他的思想注入了新的兴奋剂。读书,不仅为了摆脱个人困境,而是要拯救中国广大的苦难民众;读书,不仅是为了个人找出路,而是为中华民族求新生。当天晚上,苏步青辗转反侧,彻夜难眠。在杨老师的影响下,苏步青的兴趣从文学转向了数学,并从此立下了“读书不忘救国,救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学,不管是酷暑隆冬,霜晨雪夜,苏步青只知道读书、思考、解题、演算,4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中(即当时省六十中)还珍藏着苏步青一本几何练习簿,用毛笔书写,工工整整。中学毕业时,苏步青门门功课都在90分以上。
第课时 已知比一个数多(少)几分之几的数
是多少,求这个数
1.明确列方程解答稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题的解题思路,掌握解题方法。
2.学会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
3.进一步培养学生自主探索、解决问题的能力和分析、推理、判断等思维能力。
【重点】
掌握稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”这类问题的解题思路和解决方法。
【难点】
会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.读一读下面的句子,填一填,说一说你的理解。(课件出示)
(1)苹果有a千克,梨的质量比苹果多15。
梨比苹果多( )千克,梨有( )千克。
(2)学校图书室有科技书x本,故事书比科技书少14。
故事书占科技书的( ),故事书有( )本。
师:上面各题分别是把谁看做单位“1”?两个量之间存在什么样的等量关系。
预设 生1:第一题把苹果的质量看做单位“1”。数量关系是:苹果的质量+梨比苹果多的质量=梨的质量。
生2:第一题的数量关系也可以是:苹果的质量×(1+梨比苹果多的几分之几)=梨的质量。
生3:第二题把科技书的本数看做单位“1”。数量关系是:科技书的本数-故事书比科技书少的本数=故事书的本数。
生4:第二题的数量关系也可以是:科技书的本数×(1-故事书比科技书少的几分之几)=故事书的本数。
2.谈话引入课题。
师:这是我们之前学过的有关分数乘法的实际问题:求比一个数多(少)几分之几的数是多少。今天,我们要学习稍复杂的用分数除法解决的实际问题。(板书课题)
[设计意图] 先复习用分数乘法解决的“求比一个数多(少)几分之几的数是多少”的实际问题,导入“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题的解决,是想通过分数乘、除法的对比与沟通,降低分数除法解决问题的难度。
方法二
师:前面我们学习了如何解决“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题,还记得方法吗?
预设 生1:可以根据数量关系用方程解决,这种方法的优点就是顺向思维,理解起来较简单。
生2:可以用除法解决问题。求单位“1”的量可以用“已知数量÷对应的分率”。
师:我们一般用方程解决这类问题较多。
师:今天,我们要学习稍复杂的用分数除法解决的实际问题。(板书课题)
[设计意图] “已知一个数的几分之几是多少,求这个数”和“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的解决方法基本相同,只是第二类问题稍微复杂一些。这里先让学生回忆“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解决方法,为学习新知识的迁移和类推做好铺垫。
一、课件出示教学例5,“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”
1.阅读与理解。
师:课件出示教材“阅读与理解”部分内容,学生口答。
阅读与理解。
小明的体重是 。?
小明的体重比爸爸轻 。?
要求的是 的体重。?
预设 生:小明的体重是35 kg,小明的体重比爸爸轻815。要求的是小明爸爸的体重。
2.分析与解答。
(1)独立思考,理清关系。
师:请同学们独立思考,尝试用线段图表示出“小明体重比爸爸的体重轻815”,并在线段图上标出小明的体重35 kg以及要求的问题。
(2)汇报交流。
师:说一说怎样画线段图,应先画哪个数量?为什么?
预设 生1:首先找出单位“1”,关键句“小明体重比爸爸的体重轻815”中,爸爸的体重是单位“1”,画出单位“1”。
生2:把爸爸的体重平均分成15份,其中8份是小明的体重比爸爸轻的那部分。
生3:小明的体重相当于其中的(15-8)份,也就是小明的体重相当于爸爸体重的715。(板书完整的线段图)
(3)列出数量关系式。
师:说一说,从图中你能得到什么数量关系?小组讨论讨论。
小组讨论,汇报交流。
预设 生1:爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重。(板书)
生2:爸爸的体重×1-815=小明的体重。(板书)
(4)根据数量关系,分组尝试解答。
师:请同学们分成两组,分别用不同的方法来解答。
学生分组尝试解答。
(5)汇报交流。
预设 生1:我们是根据“爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重”,用列方程解答的。
解:设爸爸的体重为x kg。x-815x=35,715x=35,x=75。答:爸爸的体重是75 kg。(板书)
生2:我们是根据“爸爸的体重×1-815=小明的体重”,用列方程解答的。
解:设爸爸的体重为x kg。1-815x=35,x=35÷715,x=75。答:爸爸的体重是75 kg。(板书)
生3:根据乘、除法的关系,由数量关系“爸爸的体重×1-815=小明的体重”可得“小明的体重÷1-815=爸爸的体重”。(板书)
35÷1-815=75(kg)(板书)
师:用“爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重”可以转换成算术方法来解答吗?
预设 生:不可以。因为爸爸的体重是单位“1”,而它又是未知的,是要求的量。
(6)对比分析,优化方法。
师:上面的几种方法,大家对比分析一下,你更喜欢哪一种方法?说说你的理由。
预设 生1:我喜欢用方程解答,因为直接根据数量关系列式,思考起来简单。
生2:其实我喜欢用算术方法解答,因为计算简便,但是思维过程太复杂,并且有时还不好列出算式。
生3:还是列方程解答比较好。
师:用哪种方法解决更好,要根据具体的问题。但列方程解答更适用于一般情况。
3.回顾反思。
师:我们的结果是否合理呢?你能验证一下吗?
(1)小组交流验证方法,然后独立验证。
(2)汇报交流。
预设 生:把计算的结果放到原题计算,看看小明的体重是否比爸爸的体重轻815。
(75-35)÷75=815
4.巩固练习。(课件出示)
看图列式计算。
【参考答案】 (1)1-47x=150 x=350或x-47x=150 x=350 (2)1-15x=60 x=75或x-15x=60 x=75
5.归纳小结。
师:小组交流,这是一种什么类型的实际问题?怎样解决这种实际问题?
预设 生1:这是“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题。
生2:首先要弄清单位“1”,可利用解方程的方法,设这个数为未知数,根据数量关系列出方程,然后解方程。也可以先计算出已知量占单位“1”的几分之几,再根据分数除法的意义列除法算式解答。
生3:可以画线段图帮助理解题意,分析方法。
二、巩固练习
教材第40页练习八第6,7题。
(1)第6题。
①学生读题,理解题意。
②根据题意画出线段图,找出数量关系。
③根据数量关系解答。
④汇报交流。
(2)第7题。
①学生读题,理解题意。
②根据题意画出线段图,找出数量关系,独立解答。
③你能用不同的方法完成这一题吗?
④汇报交流。
【参考答案】 6.(3000+2500)×1-35=2200(元) 7.解法1:35÷1-27=49(页) 解法2:设这本课外读物一共有x页。1-27x=35,x=49或x-27x=35,x=49。
师:这节课我们学习了什么内容?
预设 生:学习的是已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数。
师:你有什么收获?
预设 生1:我进一步学会用画线段图的方法来分析题意。
生2:解决这类问题,关键是找准单位“1”和数量关系。
生3:可以列方程解答,有的也可以用算术方法解答。
……
作业1
教材第40页练习八第8,9,10题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)看图列式解答。
(1)
(2)
2.(基础题)根据数量关系,写出等量关系式。
鸡的只数是鸭的25。
3.(易错题)讲桌上有36支红粉笔,是白粉笔的45,白粉笔有多少支?
【提升培优】
4.(难点题)一辆汽车从甲地到乙地行驶了全程的37,还剩240千米,全程共多少千米?
5.(重点题)爸爸的年龄是爷爷的715,是小明的72,爷爷今年75岁,小明今年几岁了?
6.(变式题)吉祥家电城现有液晶电视260台,比笔记本电脑的台数少417,现有笔记本电脑多少台?
【思维创新】
7.(探究题)甲、乙、丙分别用5元钱买了一种水果,甲买的水果重12千克,是乙所买水果的25,是丙所买水果的35,甲、乙、丙各买了什么水果?(苹果6元/千克、葡萄4元/千克、芒果10元/千克)
【参考答案】
作业1:8.解:设这桶水有x kg。1-110x=9,x=10或x-110x=9,x=10或9÷1-110=10(kg)
9.27÷4=114 1-27÷114=10(车) 10.(1)140×15=28(个) (2)28÷15=140(个)或解:设大齿轮有x个齿。 15x=28,x=140 (3)400×1-45=80(周) (4)80÷1-45=400(周)或解:设小齿轮每分钟转x周。1-45x=80,x=400
作业2:1.(1)60÷35=60×53=100(吨) (2)60÷1+14=60÷54=60×45=48(千克) 2.鸡的只数=鸭的只数×25 3.36÷45=45(支) 4.240÷1-37=420(千米) 5.75×715÷72=10(岁) 6.260÷1-417=340(台) 7.甲:5÷12=10(元/千克) 乙:12÷25=54(千克) 5÷54=4(元/千克) 丙:12÷35=56(千克) 5÷56=6(元/千克) 甲买的是芒果,乙买的是葡萄,丙买的是苹果
分数除法实际问题是整个小学阶段解决问题的重、难点之一,本节课从学生已有知识出发,抓住知识间的内在联系,使学生了解分数除法问题的特征,借助线段图分析数量关系,通过迁移、类推、分析、比较,找出分数乘、除法问题的区别和联系以及解题规律。并在教学过程中,让学生形成多样化思考的习惯和能力。
引导过程中,语言指向性不强。
再教这个内容时,要仔细斟酌,语言精练,指向性明确,给予学生实实在在的引导。
【练习八·39页】
1.5200÷5255=5500(km) 2.310÷38=310×83=45(g) 3.8÷4057=8×5740=575(千米/秒) 4.(1)320÷25=320×52=800(本) (2)320÷43=320×34=240(本) 5.116 314 15 392 23 32 2203 12 49 34 6.(3000+2500)×1-35=2200(元) 7.35÷1-27=35÷57=35×75=49(页) 8.9÷1-110=10(kg) 1-27÷114=10(车) 10.(1)140×15=28(个)(2)28÷15=140(个) (3)400×1-45=80(周)(4)80÷1-45=400(周)
有两个班的同学参加植树活动,共分一批树苗,一班分得的棵数比总数的310多100棵,二班分得的棵数比总数的35少50棵,这批树苗共有多少棵?
[名师点拨] 一班分得的棵数比总数的310多100棵,剩下的就是二班分得的棵数。从题中可以知道,二班分得的不到总数的35,比总数的35少50棵,这时可以用互补的方法考虑:从一班的100棵树苗中拿出50棵给二班,这样二班的棵数正好是总数的35,而一班只比总数的35多(100-50)棵,用(100-50)除以它所占的单位“1”的几分之几就是这批树苗的棵数,如下图。
[解答] (100-50)÷1-310-35
=50÷110
=500(棵)
答:这批树苗共有500棵。
【知识拓展】 采用互补的方法解题,通过数据间的互补,找到具体数量占单位“1”的几分之几,从而找到解决问题的突破口。
高 斯
高斯,1777年4月30日生于德国不伦瑞克一个普通的家庭。
高斯19岁时仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正十七边形。为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。高斯最伟大的著作是他24岁时发表的《算术研究》,《算术研究》翻开了数论历史的新一页。
第课时 和倍、差倍问题
1.使学生理解与掌握分数和倍、差倍问题的解题思路与方法。
2.提高学生分析数量关系及列方程解决问题的能力。
3.进一步培养学生自主探索、解决问题的能力和分析、推理、判断等思维能力。
【重点】
理解与掌握分数和倍、差倍问题的解题思路与方法。
【难点】
提高学生分析数量关系及列方程解决问题的能力。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.师:说出下面题中的数量关系。(课件出示)
(1)苹果树和梨树共有50棵。
(2)苹果树比梨树多10棵。
指名学生口答。
预设 生1:苹果树的棵数+梨树的棵数=50棵。
生2:苹果树的棵数-梨树的棵数=10棵。
2.师:用含有x的式子表示。(课件出示)
男生有x人,女生人数是男生人数的34。
(1)女生有 人。?
(2)男生和女生共有 人。?
(3)男生比女生多 人。?
指名学生口答,集体交流。
预设 生1:女生有34x人。
生2:男生和女生共有x+34x人。
生3:男生比女生多x-34x人。
生4:还可以这样表示第(2)题,男生和女生共有1+34x人。
生5:还可以这样表示第(3)题,男生比女生多1-34x人。
师:从上面的复习内容,猜猜今天我们学习的内容可能会与什么有关?
预设 生:求两个数的和或差。
师:这节课我们就研究“和倍、差倍问题”的解决方法。(板书课题)
[设计意图] 复习的内容可以为学生学习新知识提供迁移和类推的基础。
方法二
师:学校的足球队进行了一场友谊赛,下面是一个班的赛场得分情况。从图中你知道了什么信息?(课件出示部分主题图)
预设 生1:他们班全场得了42分。
生2:下半场得分只有上半场的一半。
生3:下半场得分只有上半场的12。
师:真不错,把自己的理解也融入了进来,这样大家也会更明白题意。
师:提出什么问题?
预设 生1:上半场得多少分?
生2:下半场得多少分?
生3:上半场比下半场多得多少分?
……
师:有些问题比较复杂,留到下节课研究,这节课,我们解决两个问题:上半场得多少分?下半场得多少分?
[设计意图] 直接从情景图导入,并让学生自由提问,提高学生思维的发散性,也调动学生学习的积极性。
方法三
师:喜欢足球吗?对这种运动,你的想法有哪些?
预设 生1:喜欢。它既能体现团结,又充满了激情。特别喜欢看世界杯。
生2:不喜欢,因为不太懂这种运动。
生3:不喜欢,因为中国足球的水平太差了。我喜欢乒乓球,这是我们的国球。
……
师:提高我国的足球水平,还要从娃娃锻炼起。下面是某班在足球友谊赛上的表现。(课件出示主题图)
[设计意图] 从足球运动引入新知识的学习中,丰富学生的课外知识,并适时进行爱国主义教育。
一、课件出示教学例6,和倍、差倍问题
上半场和下半场各得多少分?
1.阅读与理解。
(1)师:说说从图中你可以得?
本单元的主要教学内容包括:倒数的认识、分数除以整数、一个数除以分数、分数四则混合运算、解决实际问题。本单元的内容和前面学习的很多知识具有比较直接的联系。学生已经学习了整数乘、除法、解简易方程及分数乘法的知识,这些都为学生学习分数除法打下了基础,特别是分数除法的学习关键在于理解分数除法与分数乘法的关系,因此,教材借助各种直观图示和操作活动,引导学生探索并理解分数除法的计算方法。通过本单元的学习,学生一方面完成了分数加、减、乘、除的学习任务,比较系统地掌握了分数的四则运算,掌握了解决相关实际问题的方法;另一方面也进一步加深了对乘除法关系的理解,体会数学知识方法的内在联系,为解决有关分数的实际问题提供了更多帮助。同时也为后面学习比和比例、百分数打下坚实的基础。
1.通过探究活动,理解倒数的意义,掌握求一个数的倒数的方法,能熟练地写出一个数的倒数。
2.使学生理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
3.结合解决问题的过程,理解与掌握分数四则混合运算的计算顺序,能正确进行计算。
体会并掌握模型、方程、数形结合、转化等数学思想,提高学生综合运用知识的能力。
会分析除法问题中的数量关系,并用线段图帮助分析问题,学会用分数除法解决相关的实际问题。
培养迁移、类推的能力,体会数学知识之间的联系,使学生体会到数学与生活的密切联系。
【重点】
1.理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
2.学会用分数除法解决相关的实际问题。
【难点】
1.理解分数除法的意义,理解并掌握分数除法的计算方法,能正确进行分数除法的计算。
2.学会用分数除法解决相关的实际问题。
1.引导学生进行知识的迁移、类推
教材中设计了不少类比推理的材料,要善于利用这些材料,激活学生已有的知识和经验。
引导他们进行类比,促进学习的正向迁移。分数除法是分数乘法的进一步延伸,分数除法的学习关键在于理解分数除法与分数乘法的关系。如在进行分数除以分数的计算方法教学时,教师可以放手让学生进行自主探究,利用知识的迁移类推,掌握分数除以分数的方法。
2.加强直观教学,结合实际操作和图形语言,探索、理解计算方法
同分数乘法的教材设计一样,分数除法中,也有折纸与画图的教学活动。教师要用好这些直观手段,为学生充分提供动手的机会和时间,让学生在更多的操作、观察活动中,凭借直观感受,理解算理,发现算法。教师还要进行适当的引导,通过数形结合,学生边操作,边思考,并借助讨论、交流等形式,在理解的基础上总结和掌握算法。在解决实际问题的教学中,更多地运用线段图帮助理解题意,分析解题方法,建立思维模型。
3.注重拓展学生的思维能力,寻找多种方法解决问题
教材中有很多实际问题的解决方法都不止一种,教师在教学中要善于运用这些好的题目,给予学生思考的空间和时间,鼓励学生用多种方法解决问题,并通过交流,让学生有更多的思维方式,更多的解题策略。
1 倒数的认识
教材P28例1及练习六第1~5题。
本节课的内容包括倒数的意义和求一个数的倒数等。教材通过观察、比较、发现来引出倒数的意义,并用实例帮助理解倒数的意义。然后引导学生思考互为倒数的两个数有什么特点,通过比较、归纳,为求一个数的倒数打下基础。教材中的例1给予了一个开放的流程,即先找一找,再通过观察发现三种情况:一是求分数的倒数;二是求整数的倒数;三是1和0的倒数问题。最后归纳总结出求一个数的倒数的方法。
1.通过观察、比较、分类、讨论等探究活动,让学生理解和掌握倒数的意义。
2.在合作探究中掌握求倒数的方法,会求一个数的倒数。
3.让学生亲身参与探究活动,体验数学学习的乐趣,激发他们学习的积极性,养成合作探究问题的习惯。
【重点】
使学生掌握求倒数的方法,会求一个数的倒数。
【难点】
让学生理解和掌握倒数的意义,会求小数的倒数。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.师:同学们,你们有好朋友吗?
预设 生:有。
师:你的好朋友是谁?
预设 生:我的好朋友是……
师:大家能用一句话描述这两位同学的关系吗?
预设 生1:甲和乙是好朋友。
生2:甲是乙的好朋友,乙是甲的好朋友。
师:能说甲是朋友,乙是朋友吗?为什么?还可以怎样描述得既清晰又简便?
预设 生:甲和乙互为朋友。
2.师:这些似乎与我们数学知识没有多大关系,其实,它能引导我们今天的学习呢!(出示课题:倒数的认识)
师:看到课题,你们有什么问题?
预设 生1:什么是倒数?
生2:它们有什么特点?
生3:怎样可以得到倒数?
……
师:看来同学们对未知的知识有很浓厚的兴趣,现在我们进入倒数的学习。
3.师:请先计算下面的几道题,再说说你的发现。(板书题目)
38×83 715×157
5×15 112×12
4.学生独立计算上面的题目。
5.全班交流。
预设 生1:我最后的计算结果是它们都等于1。
生2:我的也是。
生3:我发现第1题的前面一个因数是38,后面一个因数把它的分子和分母交换了,是83。第2题也是一样。
生4:第3题的前一个因数是整数5,后一个因数是15,这个整数刚好是它的分母,而它的分子是1。第4题和第3题的特点一样。
……
师:同学们观察得很仔细,表述得也非常清晰。像这样乘积是1的两个数就互为倒数。
[设计意图] 由日常生活中的情景导入,增加知识的生活气息,使学生能体会到数学与生活的紧密联系。看似不同的几件事,却有相同的地方,即两个量之间的相互关系,为倒数意义的理解做好铺垫。
方法二
1.师:在前面我们学习了分数乘法,大家掌握得怎么样了?
预设 生:很好。
师:很有自信!那就试试计算下面的这些题。(课件出示题目)
38×83 8×38 715×157
5×15 112×12 57×57
师:计算过程中,请观察这些算式。如果将它们分成两类,可以怎样分呢?
2.学生独立计算。
3.汇报交流。
师:说说你的想法。
预设 生:第1,3,4,5题分为一类,第2,6题分为一类。
师:为什么?
预设 生1:因为第1,3,4,5题的计算结果都是1,第2,6题的计算结果不是1。
生2:老师,我想把它们分成三类,行不行?
师:好,说说你的分法。
预设 生:第1,3题分为一类,第4,5题分为一类,第2,6题分为一类。
师:说说你的理由。
预设 生:我是从算式的特点来分的。
师:好的。我们一起来观察算式的特点,再看怎样分合理。
4.观察发现,交流算式特点。
师:说一说38×83和715×157的特点。
预设 生1:第一个因数和第二个因数的分子分母交换了位置。
生2:它们进行约分后,积是1。
师:说说5×15和112×12的特点。
预设 生1:其中一个因数是整数,另一个因数是几分之一,这个整数刚好是几分之一的分母。
生2:它们最后的积也是1。
师:说说8×38和57×57为什么分为一类。
预设 生:它们最后的积不是1。
师:如果把这些算式分为两类,可以把第1,3,4,5题分为一类,第2,6题分为一类,那么分的标准是什么?
预设 生:前一类题的积都是1,后一类题的积不是1。
师:刚才的那个同学分得更仔细,在后面的学习中,我们会进一步学习。
师:乘积是1的两个数互为倒数。今天我们一起来探讨倒数的知识。(板书课题:倒数的认识)
[设计意图] 让学生通过计算、观察、分类、讨论等活动,由分数乘法的学习顺势迁移到倒数的认识,即考虑两个数的积的问题。在分类过程中要允许学生有不同的分类方法,这样能培养学生思维的拓展性。
一、倒数的意义
师:乘积是1的两个数互为倒数。(板书倒数的定义)如何来理解呢?
师:观察38和83,它们的积是1,我们可以说38和83互为倒数,38的倒数是83,83的倒数是38。
师:你来说一说其他三个算式中哪两个数互为倒数,谁是谁的倒数。
预设 生1:715和157互为倒数,715是157的倒数,157是715的倒数。
生2:5和15互为倒数,5是15的倒数,15是5的倒数。
生3:112和12互为倒数,112是12的倒数,12是112的倒数。
师:说得很清晰,很准确。
师:对于5和15互为倒数,你是怎样理解的?5的分子是几?分母是几?
预设 生:5的分子是5,分母是1。
师:整数可以看成分母是1的分数。
师:为什么乘积是1的两个数不直接说是倒数,而要说“互为”倒数呢?怎么理解这两个字?
预设 生:我认为,就是你是我的,我是你的,不能说你是倒数,我是倒数,它们是相互并存的。
师:相互并存,说得好,谁也离不了谁。
师:倒数是表示两个数之间的关系,它们是相互依存的,所以必须说一个数是另一个数的倒数,而不能单独地说某一个数是倒数。
师:说一说,定义倒数的关键要素有哪些?(板书:定义倒数的关键要素)
预设 生1:乘积是1。
生2:两个数。
生3:互为。
师:很正确。数学语言要严谨,不然就会漏洞百出。那么如何求一个数的倒数呢?
二、求一个数的倒数
课件出示例1。
下面哪两个数互为倒数?
35 6 72 53 16 1 27 0
1.师:仔细观察数的特点,说一说哪两个数互为倒数。
预设 生:35和53,6和16,72和27。
师:小组同学交流,想一想,怎样求一个数的倒数?
2.汇报交流,讲解。
预设 生1:交换分子和分母的位置就可以了。(板书)
3553 35×53=1
7227 72×27=1
生2:如果是一个整数,那么它的倒数就是几分之一。
师:因为整数可以看成分母是1的分数,所以也可以说交换分子和分母的位置。(板书)
6=6116 6×16=1
3.巩固练习。(课件出示)
说出下面各数的倒数。
38 110 7 923 16 12000
【参考答案】 38的倒数是83;110的倒数是10;7的倒数是17;923的倒数是239;16的倒数是116;12000的倒数是2000。
4.思考特例。
师:对于例1中的数,还有1和0,你们没有说出它们的倒数。它们没有倒数吗?请各小组对这两个数的倒数展开讨论。
小组讨论,再交流:1的倒数是几?0有倒数吗?为什么?
预设 生:1的倒数是1,因为1×1=1,乘积是1的两个数互为倒数,所以我认为1的倒数是1。
师:理由很充分,并且能用倒数的定义来加以说明,活学活用,真不错。(板书:1的倒数是1)
预设 生:我没有找到0的倒数,因为0乘任何数都得0,得不到1,所以我认为0没有倒数。
师:你们找到0的倒数没有?
预设 生:没有。
师:是不是和刚才这位同学的想法一样?
师:确实,因为0乘任何数都得不到1,所以0没有倒数。(板书)
[设计意图] 在探究求一个数的倒数的方法时,利用到学生的分类,把求一个数的倒数的三种情况分别展示,并且给予学生思考的时间,让学生通过小组讨论、交流,熟练掌握求一个数的倒数的方法。
5.求小数、带分数的倒数。
师:同学们已经会求一个分数和一个整数的倒数了。想一想,我们还学过哪些数?
预设 生:小数、带分数。
师:那么怎么样求小数、带分数的倒数呢?请选择一种,自己举例,在小组内探究。
(1)小组内探究,教师巡视指导。
(2)汇报交流,总结方法。
预设 生:我们研究的是求小数的倒数。举的例子是0.5。我们先把0.5化成分数,即12,再交换分子、分母的位置,就是2。(板书)
师:求一个小数的倒数,可以把小数先化成分数,再交换分子与分母的位置。
预设 生:我们研究的是求带分数的倒数。举的例子是325。我们先把325化成假分数,即175,再交换分子、分母的位置,就是517。(板书)
师:求一个带分数的倒数,我们可以先把带分数化成假分数,再交换分子与分母的位置。
6.巩固练习。
(教材第28页“做一做”)
独立完成,注意书写的规范。汇报交流,说一说你是怎样找出它们的倒数的。
【参考答案】 114 916 135 87 154
教材第29页练习六第1,2,3题。
(1)第1题。
独立完成,集体订正。
(2)第2题。
独立完成,汇报交流。
指名同学说一说判断的理由是什么,其他同学补充说明。
预设 生1:第1题是对的。
生2:第2题是错的。因为倒数是指两个数之间的关系,这道题是三个数的积为1。
生3:第3题是错的。因为0乘任何数都得0,0是没有倒数的。
生4:第4题是错的。比如175的倒数是517,而517小于175。又比如1的倒数是1,它们相等。所以根本无法确定一个数的倒数比这个数小,还是比这个数大。
(3)第3题。
指名同学到黑板上完成,其他同学独立完成,集体订正。
【参考答案】
1.
2.(1)√ (2)? (2)? (4)? 3.9 6251 38 15 2312 1102 716
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我认识了倒数,知道乘积是1的两个数互为倒数。
生2:我知道了1的倒数是1,0没有倒数。
生3:求一个数的倒数前,都要先把这个数化成分数,如整数要看做分母是1的分数,小数要先化成分数,带分数要先化成假分数等等。
生4:求一个数的倒数的方法是交换分子、分母的位置。
……
作业1
教材第29页练习六第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
59×( )=1 74×( )=1
12×( )=1 34×( )=1
5×( )=1 ( )×89=1
2.(基础题)找朋友。(把互为倒数的两个数用线连起来)
【提升培优】
3.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)真分数的倒数都比1大。 ( )
(2)假分数的倒数都比1小。 ( )
(3)0的倒数是0。 ( )
(4)1的倒数是它本身。 ( )
(5)38是倒数,83也是倒数。 ( )
4.(重点题)求下列各数的倒数。
(1)0.25 (2)56 (3)421 (4)12 (5)7
【思维创新】
5.(难点题)看一看,选一选。
(1)任何真分数的倒数都是( )。
A.真分数 B.假分数 C.不确定
(2)a×1112=1,a等于( )。
A.1112 B.1211 C.1
(3)最小的质数的倒数是( )。
A.2 B.12 C.23 D.0
(4)假分数的倒数都( )1。
A.大于 B.小于
C.小于或等于 D.大于或等于
【参考答案】
作业1:4.(横着填)18 3 94 18 3 94 = = = 5.小红说得对。只要两个数的乘积是1,这两个数就互为倒数,这两个数可以是整数、分数或小数。
作业2:
1.95 47 2 43 15 98 2. 3.(1)√
(2)? (3)? (4)√ (5)? 4.(1)4 (2)65 (3)214 (4)2 (5)17 5.(1)B (2)B (3)B(4)C
倒数的认识
38×83=1 715×157=1 5×15=1 112×12=1
乘积是1的两个数互为倒数。
定义倒数的关键要素:乘积是1;两个数;互为。
1的倒数是1,0没有倒数。
分数:3553 35×53=1
7227 72×27=1
整数:6=6116 6×16=1
小数:0.5=122 12×2=1
带分数:325=175517 175×517=1
1.导入方式贴近学生的生活。
本节课一开始创设“让学生找朋友”的情景,这是离学生最近的生活情景,一方面可以让学生感受到数学与生活的紧密联系,另一方面通过此活动帮助学生理解“互为”的含义,从而为构建新知识扫清语言理解障碍。
2.多次让学生进行小组讨论、交流,自主探究求一个数的倒数的方法。
只有学生经历过才有理解和熟练的基础,所以教学中让学生通过小组的讨论、交流,得出各种情况下求倒数的方法,既能拓展学生的思维空间,又能培养学生合作的能力和听取别人意见,完善自己的能力。
3.数学语言的严谨性和准确性。
在教学中多次强调表达的准确性,引导学生在与他人的交流中,运用数学语言清晰地、有条理地表述自己的思考过程,进行讨论与质疑。
引导过程中,步子有点小,没有完全放开。
再教这个内容时,把所有可能的情况全部展示出来,让学生进行小组分工,各自探究出求一个数的倒数的方法,最后进行交流,补充认识,形成完整的知识结构。
【做一做·28页】
114 916 135 87 154
【练习六·29页】
1.如下图所示。
2.(1)对,因为乘积是1的两个数互为倒数。(2)不对,因为乘积是1的两个数互为倒数,题中是三个数,所以不对。 (3)不对,因为0没有倒数,所以此题不对。 (4)不对。因为真分数的倒数比它本身大,1的倒数等于它本身,所以不对。 3.9 6251 38 15 2312 1102 716 4.(竖着填)18 18
= 3 3 = 94 94 = 5.小红说得对。
m是一个整数,它的倒数是( )。
[名师点拨] 由m是一个整数可以说明m有可能等于0,因为0没有倒数,所以当m是不为0的整数时,m的倒数是1m。
[解答] 1m(m≠0)
【知识拓展】 由倒数的意义可知乘积是1的两个数互为倒数,但是0没有倒数,因为0作为分母时,这个分数没有意义,所以0没有倒数。
数字趣联
宋代大诗人苏东坡年轻时与几个学友进京考试,他们到达试院时为时已晚,考官说:“我出一联,你们若对得上,我就让你们进考场。”考官的上联是:一叶孤舟,
坐了二三个学子,启用四桨五帆,经过六滩七湾,历尽八颠九簸,可叹十分来迟。
苏东坡对出的下联是:十年寒窗,进了九八家书院,抛却七情六欲,苦读五经四书,考了三番两次,今日一定要中。
考官与苏东坡都将一至十这十个数字嵌入对联中,将读书人的艰辛与刻苦情况描写得淋漓尽致。
找规律填数
有6个不同的自然数,它们的倒数之和为1,求这6个自然数。
1( )+1( )+1( )+1( )+1( )+1( )=1
【参考答案】 (答案不唯一)12+13+19+127+181+1162=1。
2 分数除法
本节的内容有:分数除法、分数混合运算以及解决有关分数除法的问题。通过第一小节倒数的认识的学习,为分数除法的计算方法的学习做好了铺垫。分数除法的学习主要是通过折一折、画一画、涂一涂等活动来理解算理,掌握方法。教师在教学中要给学生操作的空间和时间。分数的混合运算实际上是分数的加减乘除四则混合运算,在分数乘法单元中学过分数混合运算,但没有分数除法参与。这里再一次学习,实际上既是分数混合运算的巩固,更是拓展与加深。解决有关分数除法的问题可分为:已知一个数的几分之几是多少,求这个数;已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数;和倍及差倍问题;工程问题等,这几类问题是学生掌握的难点,教师要让学生经历解决问题的全过程,掌握分析方法,寻求最合适的解决方法。
1. 引导学生在具体的情景中和动手操作活动中理解分数除法的意义和计算方法,并能正确进行计算。
2. 理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算,并学会解决相关的实际问题。
3.学会用线段图或其他方法分析各类除法问题中的数量关系,掌握各类除法实际问题的解决方法,能熟练地列方程解答这类问题。
4.培养学生的动手能力、分析并解决问题的能力等。体会算法的多样化,提升发散思维。
【重点】
1.掌握分数除法的计算方法和分数混合运算的计算顺序,会正确进行分数除法计算和分数混合运算。
2.掌握解决各类分数除法问题的方法,能解决这类实际问题。
【难点】
1.理解分数除法的算理,正确进行计算。
2.用线段图帮助分析实际问题中的数量关系,熟练运用方程解决问题。
第课时 分数除以整数
1.引导学生在具体的情景中借助已有的经验理解分数除法的意义。
2.经历动手操作,利用数形结合的思想理解分数除以整数的计算方法,并能正确进行计算。
3.在教学中渗透转化思想,让学生充分感受转化的好处与魅力。
【重点】
分数除法意义的理解,分数除以整数算法的探究。
【难点】
分数除以整数算法的探究和算理的理解。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 长方形纸、彩笔
方法一
1.师:前面我们认识了倒数,现在回忆一下,说说有关倒数的知识。
预设 生1:乘积是1的两个数互为倒数。
生2:求一个数的倒数的方法是交换分子和分母的位置。
生3:1的倒数是1,0没有倒数。
生4:倒数是相互依存的,不能单独说一个数是倒数。
……
师:请说出下面各数的倒数。
6 13 5 4 35
预设 生:6的倒数是16,13的倒数是3,5的倒数是15,4的倒数是14,35的倒数是53。
2.填一填。(课件出示)
①把10个练习本平均分成2份,每份是这些练习本的( )( ),求10个练习本的12,列式为 。?
②把一根长8 m的绳子平均分成4份,每份是这根绳子的( )( ),求8 m的14是多少,列式为 。?
师:同学们,请你来填一填,并说一说你的思路。
预设 生1:把10个练习本平均分成2份,每份是这些练习本的12,求10个练习本的12,列式为10×12=5(个)。
生2:把一根长8 m的绳子平均分成4份,每份是这根绳子的14,求8 m的14是多少,列式为8×14=2(m)。
生3:求一个数的几分之一是多少,就用这个数乘几分之一。其实我们可以换个角度来想,就是用这个数除以几份。
师:真聪明,能把乘法和除法联系起来。
师:今天,老师就要带着大家用这些我们已经掌握的知识去学习新知识,解决新问题。
[设计意图] 由倒数的认识及平均分的应用引入分数除以整数的教学,可以让学生进行知识的回顾,为新知识的学习做好铺垫,并且能让学生进行知识的迁移和类推,降低自主学习的难度。
方法二
口算,看谁算得又对又快。(课件出示口算题)
35×13 47×16 58×110
师:前面我们学习了分数乘法的计算,看看谁算得又对又快,开始抢答。
预设 生1:35×13=15。
生2:47×16=221。
生3:58×110=116。
师:同学们解答得又快又对。老师有个小疑问,35×13表示35的13是多少,还可以怎样理解?
师:哦,摸不着头脑了。那好,说说13的意义是什么。
预设 生:把一个整体平均分成3份,表示其中的1份。
师:那我们是否可以这样理解35×13,即把35平均分成3份,取其中的1份呢?
预设 生:是的。
师:还能用其他的算式表示吗?
预设 生:35÷3。
师:任何事物有时可以换个角度来思考。我们已经学过分数乘法,今天,我们来探索有关分数除法的知识。
[设计意图] 由分数乘法的巩固进入分数除以整数的学习,把乘法与除法的互逆关系紧密联系起来。并且提醒学生思考问题可以转换角度,为分数除法的探究学习起到暗示作用。
方法三
师:前面我们学习了分数乘法的计算,今天我们要一起探索分数除法的有关知识。你想知道什么?(板书课题)
预设 生:我想知道分数除法的计算方法。
……
师:好的。我们今天就一起来探究分数除法的计算方法。
[设计意图] 由学生抛出问题,能激发学生的求知欲和探究精神。
一、课件出示例1,分数除以整数的计算方法
把一张纸的45平均分成2份,每份是这张纸的几分之几?自己试着折一折,算一算。如果把这张纸的45平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?
1.读题,理解题意。
师:你知道了什么?
预设 生:把一张纸的45平均分成2份。
师:解决的问题是什么?
预设 生:求每份是这张纸的几分之几。
师:怎样列式?为什么?
预设 生:45÷2,要用除法计算,因为是“平均分”。
师:分数除法的计算方法,我们还没有学过。请你们大胆猜猜45÷2最后的结果是多少。
预设 生:等于25。
……
2.动手操作,探究算法。
师:究竟最后的正确结果是多少呢?我们可以用长方形的纸,试着折一折,涂一涂,再算一算,同桌之间利用我们学过的知识或方法来进行试验,验证哪一个得数是正确的。
学生进行操作,教师巡视指导。
3.汇报交流。(请同学上台展示并交流)
师:请上台来展示你的做法和计算结果。
预设 生1:(方法一)我们把这张纸平均分成5份,找出其中的4份,再把4个15平均分成2份,每份是2个15,也就是25。
生2:(方法二)我们是把这张纸平均分成5份,找出其中的4份,再把45平均分成两份,每份就是45的12,也就是45×12=25。
4.更加深入地分析这两种方法。
师:你们的方法都展现了你们的聪明才智。现在我们更加深入地分析一下这两种方法。
第一种方法是将4个15平均分成2份,每份是2个15,即用45的分子4除以整数2,得25。计算过程为:45÷2=4÷25=25。(板书)
第二种方法是把45平均分成2份,每份就是45的12,得25。计算过程为:45÷2=45×12=25。(板书)
[设计意图] 通过学生的操作活动,直观地展示分数乘法的算理,突破重难点,帮助学生掌握和理解正确的算理。
二、应用、比较计算方法
师:这是我们探索出的分数除法的计算方法,尝试选择一种方法来解决下面这个问题,并加以验证。
1.师:如果把这张纸的45平均分成3份,每份是这张纸的几分之几?
学生独立计算,再在小组内说一说。
2.汇报交流。
师:展示你的计算过程和验证方法。
预设 生1:把45平均分成3份,每份就是45的13,用45×13=415,也可以用45÷3=415。(板书)
可以用折纸的方法进行验证。
生2:我也是这样想的。
师:有用第一种方法计算的吗?
预设 生:没有。
师:为什么你们都没有选择用分数的分子直接除以整数呢?
预设 生:因为分子4除以3得不到整数。
师:不是每一种方法都适用任何题目的解决,有些方法有它的局限性,比如第一种方法就只能在分子能被整数整除时用。所以我们要仔细思考,选择合适的方法计算。
[设计意图] 通过动手操作、尝试、观察等活动,使学生更深刻地理解第一种方法的局限性,从而理解和掌握第二种方法。
3.巩固练习。
师:如果是把这张纸的45平均分成5份、6份,求其中的一份呢?
独立计算,集体订正。
预设 生1:45÷5=45×15=425。
师:观察思考,计算过程中的5和15、6和16是什么关系?
预设 生:它们分别互为倒数。
师:我们可以怎样整理第二种算法?
预设 生:乘除数的倒数。
师:嗯,还比较简洁。
4.观察与整理。
师:同学们,观察我们这节课学的算式有什么特点。
预设 生:都是分数除以整数。
师:归纳、整理一下分数除以整数的计算方法吧!
5.共同小结。
分数除以整数有两种计算方法,第一种可以用分子除以整数,但分数的分子一定要能被整数整除;第二种用分数乘这个整数的倒数,无论分数的分子能否被整数整除都可以进行计算。
师:哪种方法更适合一般情况?
预设 生:第二种。
师:对这个整数有特别要说明的吗?
预设 生:这个整数不能是0,因为除数不能是0。
6.归纳总结。
一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。(板书)
师:下面我们一起做做练习,以巩固我们探究出来的计算方法。
1.教材第30页“做一做”。(板书)
指名板演,其他同学独立完成,集体订正。
2.教材第34页练习七第1,2,3题。
(1)第1题。
说一说乘法算式中各数的关系。
独立完成,集体订正。
(2)第2题。
根据乘法算式中各部分的关系完成。
开火车形式口答。
(3)第3题。
独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第30页“做一做”)910÷3=910×13=310 38÷2=38×12=316 2.(教材第34页练习七)1.154÷5=34 154÷34=5 635÷37=25 635÷25=37 2.57 17 58 516 715 7
89 4 3.45÷8=45×18=110(m)
师:通过这节课的探究活动,我们知道了分数除以整数的计算方法,回顾一下。
预设 生:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
师:这个方法是否适用于分数除法中的任意情况呢?比如分数除以分数。下节课我们会继续探讨这个问题。
作业1
教材第34页练习七第4题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我会填。
(1)34÷9表示把( )平均分成( )份,每份是( ),也就是求( )的( )是多少。
(2)把34米长的丝带平均剪成4段,每段长( )米,每段是这根丝带的( )。
(3)35÷6=35×( )( )=( )。
2.(易错题)在○里填“>”“<”或“=”。
23÷4○23×2
910÷3○110×2
78÷1○78×1
【提升培优】
3.(重点题)我会计算。
49÷40 1013÷5 67÷4
4.(难点题)工程队修一段路,12天修了全长的27,平均每天修这段路的几分之几?
5.(重点题)如果a是一个大于0的自然数,那么16÷a与1a÷6哪个大?为什么?
【思维创新】
6.(竞赛题)小马虎计算A÷5时,把除号写成乘号,结果是13,正确的结果应该是多少?
【参考答案】
作业1:4.15 27 38 415 521 827
作业2:1.(1)34 9 112 34 19 (2)316 14
(3)16 110 2.< > = 3.190 213 3144.27÷12=142 5.16÷a=16×1a=16a,1a÷6=1a×16=16a,所以16÷a与1a÷6一样大。 6.A=13÷5=115,正确结果是115÷5=175。
分数除以整数
方法一:45÷2=4÷25=25
方法二:45÷2=45×12=25
45÷3=45×13=415
归纳总结:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
910÷3=( )( )×( )( )=( )( ) 38÷2=( )( )○( )( )=( )( )
1.让学生充分进行操作活动,直观理解算理。
在整个计算方法的探究过程中,都是让学生进行折纸、画图的活动,然后进行小组交流,全班交流,交流自己的折纸方法、计算过程及其算理。在这各种的活动中,学生是学习的主体,教师只是起到指导作用。由折一折、画一画等活动更能帮助学生直观理解算理。
2.大胆猜测,小心求证,引导学生主动学习。
在进入计算方法的探究前,让学生大胆猜测“45÷2最后的结果是多少”。学生或许会根据分数乘法来有理有据地猜测,也许会想当然。接着教师引导“究竟最后的正确结果是多少呢”。可以用长方形的纸,试着折一折,涂一涂,再算一算,同桌之间利用学过的知识或方法来进行试验,验证哪一个得数是正确的。激发学生的求知欲和好奇心。
提问过于细化,致使教学中时间不够,条理不够清晰。
再教这个内容时,要注意给予学生更多表述的机会。六年级的学生已具备一定的自学能力,教师要肯定学生,创造更多的活动,给予更多交流的时间。
【做一做·30页】
910÷3=910×13=310 38÷2=38×12=316
红星面粉厂将123吨面粉平均分给5个学校食堂,每个食堂分得多少吨?
[名师点拨] 123吨面粉平均分给5个食堂,就是把123吨面粉平均分成5份,每个食堂应得123÷5吨。
[解答] 123÷5=53×15=13(吨)。
【知识拓展】 一个带分数除以整数(0除外),要先把带分数化成假分数,再按照分数除以整数的计算方法进行计算。
算数书
1984年初,在湖北江陵张家山的一座汉墓中出土了一批数学竹简,约有2000余支完好,其中一支背面有“算数书”三字。学术界因此将其定名为《算数书》。它的成书年代在公元前2世纪或更早一点,绝大多数内容和题目产生于秦或先秦,可归纳为算术和几何两大类。其中对于分数除法,《算数书》有明确的颠倒相乘法。公元9世纪,印度数学家摩珂毗罗才提出了分数除法法则,这比《算数书》晚了1000多年。
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646年7月1日~1716年11月14日),德意志哲学家、数学家。莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上,他和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为,莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分,而是发明了微积分中使用的数学符号,因为牛顿使用的符号被普遍认为比莱布尼茨的差。莱布尼茨还对二进制的发展做出了贡献。1716年11月14日莱布尼茨于汉诺威逝世。2006年7月1日莱布尼茨360周年诞辰之际,汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。
莱布尼茨发现了下面的单位分数三角形(单位分数是分子为1,分母为正整数的分数):
第一行:11
第二行:12 12
第三行:13 16 13
第四行:14 112 112 14
第五行:15 120 130 120 15
……
根据前五行的规律,可以知道第六行的数依次是: 。?
【参考答案】 16 130 160 160 130 16
第课时 一个数除以分数
1.通过具体的问题情景,探索并理解一个数除以分数的计算方法。
2.掌握一个数除以分数的推理过程,运用转化思想理解计算方法的由来,能正确地进行分数除法的计算。
3.让学生通过探索知识,体验成功的乐趣,树立学习的自信心。
【重点】
理解一个数除以分数的算理,并抽象概括出分数除法的计算法则。
【难点】
一个数除以分数算法的探究和算理的理解。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 尺子、铅笔
方法一
口算。(课件出示)
18×56 45×57 29×0
89÷4 37÷4 611÷2
口答。
【参考答案】 15 47 0 29 328 311
师:说一说怎样计算分数除以整数。
预设 生:一个分数除以一个不为“0”的整数,等于这个分数乘这个整数的倒数。
师:如果把除数变成一个分数,我们该如何计算呢?今天我们就继续研究分数除法的其他内容。(板书课题:一个数除以分数)
[设计意图] 由复习分数除以整数导入新知,是想运用顺势迁移和类比推理,理解和掌握一个数除以分数的计算方法。
方法二
(课件出示题目)
一架飞机3小时飞行1800 km,这架飞机每小时飞行多少千米?
口头列式计算。
师:说一说题中存在什么数量关系?
预设 生:路程÷时间=速度。
师:生活中许多时候都是会用到这个数量关系来解决问题的。看看下面的情景图,你会怎样来解决这个问题?
[设计意图] 由数量关系导入新知,减少列式上的难度。
方法三
师:生活中我们随处都会遇到实际的数学问题,看看图中,你会发现什么信息?(课件出示主题图)
[设计意图] 直接导入情景图,不给学生提供任何暗示,那么学生在学习新知识时,就会出现多种解题策略,有助于学生思维空间的拓展。
课件出示教学例2,一个数除以分数的计算方法
小明23小时走了2 km,小红512小时走了56 km。谁走得快些?
1.读题,理解题意。
2.列出算式,学生口答。
师:怎么理解“谁走得快些?”
预设 生:就是比较他们俩的速度,即谁每小时走的路程多。
师:如何解决?
预设 生1:小明平均每小时走:2÷23。
生2:小红平均每小时走:56÷512。
3.师:说出你列式的根据。
预设 生:我是根据数量关系式:速度=路程÷时间。
师:谁会计算出这两个算式的结果?
预设 生1:我们似乎没有学过。
生2:第一个算式是整数除以分数,第二个算式是分数除以分数。
4.师:观察很仔细。我们先尝试着算一算2÷23,看看能不能找到整数除以分数的计算方法。老师建议你们画个线段图帮助自己。
(1)学生计算,同桌互议。教师巡视指导。
(2)汇报交流。
师:谁能说一说你是怎样算的?
预设 生:老师,我是根据分数除以整数的计算方法模仿的,2÷23=2×32=3(km),但是我不太理解,为什么要这样做?
师:你很聪明,会利用旧知识来解决新知识的问题。但是这个结果是否正确?实际的计算方法是否真是这样?我们一起来解决这些难题。
(3)教师引导探究。
师:根据题意先画线段图,可以帮助我们更清晰地展现题目意思。
师:先画一条线段表示1小时走的路程,再思考如何表示23小时走了2千米。(板书)
预设 生:“23小时走了2 km”就是把1小时所走的路程平均分成3份,其中的2份的路程是2 km。(板书图)
师:仔细看图,思考一下,老师理解的对吗?
预设 生:是对的。
师:看图想一想,小组讨论,要求1小时走了多少千米,我们可以怎样做?小组讨论。汇报交流。
预设 生:已知23小时走了2 km,要求1小时走了多少千米,我们可以先算出其中的一份是多少,即13小时走了多少千米。再乘3,就是1小时走的路程。
根据学生回答,把线段图补充完整。(板书图)
师:要求13小时走了多少千米,也就是求什么?
预设 生:就是求2 km的12是多少。
师:求13小时走了多少千米,也就是求2 km的12。再求3个13小时,即1小时走了多少千米。(板书思路)
2÷23=2×12×3
(板书:小明平均每小时走:2÷23=2×12×3=2×32=3(km))
师:再来巩固一下思考的过程。说出2×12×3中每一步的意义。
预设 生1:2×12是表示2 km的12是多少,也就是13小时走了多少千米。
生2:“×3”,1小时里面有3个13小时,就是求1小时走了多少千米。师完善计算过程。(板书)
2÷23=2×12×3=2×32=3(km)
师:为什么老师要回转过来写成“2×”,而不是直接约分计算出结果?
预设 生1:为了引导我们发现23和32是什么关系?
生2:我发现23和32互为倒数。
师:从2÷23=2×32可以得出什么结论?
预设 生:整数除以分数可以用整数乘这个分数的倒数来计算。
(4)师:你们的结论很正确。我们再试着算一算。(出示计算题)
5÷23 12÷67
学生上台板演,再全班交流。
【参考答案】 152 14
5.拓展延伸。
(1)尝试计算56÷512。
师:请尝试计算,再找出分数除以分数的计算方法。
(2)学生独立计算,教师巡视。
(3)汇报交流,师生研讨。
预设 生1:56÷512=56×125=2(km)。
生2:我画了线段图。(板书线段图)
要求1小时走了多少千米,先要求出112小时走了多少千米,即56 km的15是多少。再求12个112小时是多少千米。(板书思路)
56÷512=56×15×12=56×125=2(km)
(板书:小红平均每小时走:56÷512=56×125=2(km))
师:第二位同学的分析和思维过程十分清晰,值得学习。
师:归纳一下分数除以分数怎么计算?
预设 生:分数除以分数可以用分数乘这个分数的倒数计算。
(4)巩固练习。
师:试着计算下面两道题。
89÷47 512÷38
学生独立计算,再交流。
【参考答案】 149 109
[设计意图] 对于分数除以分数的计算方法的探究,要全方位地放手让学生自主探索。因为前面学过整数除以分数,这里的新知识可以进行迁移和类推,有利于学生思维能力的提高。
6.师:把我们所探讨的两种情况的计算方法一起用一句话概括一下。
预设 生:分数除以分数和整数除以分数的计算方法一样,计算时都是乘这个分数的倒数。
师:还可以简洁一些吗?整数、分数都可以说成“一个数”。
预设 生:一个数除以分数等于这个数乘分数的倒数。
师:可以把前面学的分数除以整数和今天的一个数除以分数总结成一个计算方法吗?
预设 生:一个数除以另一个数,等于乘它的倒数。
师:嗯,概括性很强。老师把它记录下来。(板书)
除以一个数,等于乘这个数的倒数。
师:这句话中有需要特别说明的地方吗?
预设 生1:一个数可以是整数,也可以是分数。
生2:除数不能是0。
生3:被除数不变。
生4:除号变为乘号。
生5:除数变成它的倒数。
师:怎样说?
预设 生:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
完善计算法则:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。(板书)
7.解决问题。
师:回到例题情景,现在你能回答出“谁走得快些”了吗?
预设 生:小明走得快些。
教材第32页“做一做”第1,2,3题。
(1)第1题。
学生独立完成,注意按照计算法则做,能够口算的,要用口算。集体订正。
(2)第2题。
学生独立完成,指名学生板演,要求写出具体的计算过程。集体订正,回顾算理。
(3)第3题。
①读题,理解题意。
②不计算,独立判断。想一想判断的依据是什么。
③计算验证。
④归纳小结:一个数(大于0)除以比1小的数(0除外),商比原数大;一个数(大于0)除以比1大的数,商比原数小。
【参考答案】 1.24÷89=24×98=27 716÷45=716×54=3564 2.29 326 392 928 3.商大于被除数:9÷34 12÷23 149÷730 45÷45 商小于被除数:67÷3 158÷2 6÷54 57÷52
师:通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?
预设 生1:我学会用线段图来分析和理解题目。
生2:我知道了一个数除以一个不为0的数,等于乘它的倒数。
……
作业1
教材第34页练习七第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)想一想,填一填。
(1)23÷815=23×( )=( )。
(2)18×( )=15,( )千克的310是30千克。
(3)有一根长5米的绳子,每段截成15米,则可以截成( )段;如果把它平均截成10段,每段长( )米。
2.(基础题)算一算。
2516÷548= 1322÷3944=
727×2714= 0÷12=
3.(易错题)在○里填“>”“<”或“=”。
56÷5○56
34÷23○34
12÷45○12×45
512÷1○512×1
4.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)两个真分数相除,商大于被除数。 ( )
(2)一个数除以假分数,商一定小于被除数。 ( )
【提升培优】
5.(情景题)把45 L果汁分装在容量是15 L的小瓶里,可以装几瓶?
6.(情景题)两个修路队合修一段公路。甲队3天修了910 km,乙队2天修了12 km。甲队每天比乙队多修多少千米?
【思维创新】
7.(竞赛题)一个分数连续除以12,23,34的商是自然数,这个分数最小是多少?
【参考答案】
作业1:5.512 32 49 34 57 58 43 37 6.34÷14=34×4=3(瓶) 7.1分钟=60秒 60
÷125=60×25=1500(个) 8.0.5÷124=0.5×24=12(张)或12÷124=12×24=12(张) 1分钟=60秒 60÷124=60×24=1440(张)
作业2:1.(1)158 54 (2)120 100 (3)25 12 2.15 23 12 0 3.< > > = 4.(1)√ (2)? 5.45÷15=4(瓶) 6.910÷3-12÷2=120(km) 7.大于0的自然数最小是1,所以当这分数最小时,商是1,这个分数就是1×12×23×34=14。
一个数除以分数
思路:先求13小时走了多少千米,也就是求2 km的12。再求3个13小时,即1小时走了多少千米。
小明平均每小时走:2÷23=2×12×3=2×32=3(km)
思路:先求112小时走了多少千米,也就是求56km的15。再求12个112小时,即1小时走了多少千米。
小红平均每小时走:56÷512=56×125=2(km)
归纳小结:除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。
数学问题教学来源于生活,而又应用于生活。因此在本节课的设计上我从现实生活的情景中引入,让学生经历“复习问题——解决问题——归纳方法——运用方法”的过程。为了突破教学的重点与难点,教学过程中主要借助线段图,引导学生探索并理解分数除法的计算方法,真正使学生理解算理,学会方法与技巧。
在尝试计算2÷23时,出现了冷场现象,学生有些不知从何开始分析理解。
再教这个内容时,我会省掉此环节,直接引导学生用线段图来分析,当然,引导时,要放手让学生根据步骤独立画图,而不是由教师画图。
【做一做·32页】
1.24÷89=24×98=27 716÷45=716×54=3564 2.29 326 392 928 3.67÷3<67,158÷2<158,6÷54<6,57÷52<57。一个数除以大于1的数,商
小于被除数。9÷34>9,12÷23>12,149÷730>149,45÷45>45。一个数除以小于1的数(0除外),商大于被除数。总结规律:一个数(大于0)除以小于1的数(0除外),商大于被除数;除以1,商等于被除数;除以大于1的数,商小于被除数。
一堆苹果重45吨,装入一些纸箱中,每个纸箱能装140吨,需要多少个这样的纸箱?
[名师点拨] 已知每个纸箱能装140吨,苹果一共重45吨,得知纸箱的数量×每个纸箱装的质量=这堆苹果的质量。列出等量关系式:纸箱的数量×140吨=45吨,已知两个因数的积45和其中一个因数140,求另一个因数的运算用除法列算式。
[解答] 45÷140=45×40=32(个)。
【知识拓展】 分数除以整数(0除外)、整数除以分数或分数除以分数,都可以把它看成是甲数除以乙数(0除外)的形式,把除法转化成乘法,把乙数转化成其倒数的形式。
河边洗碗
我们现在只要打开自来水龙头,就可以接到水洗碗了,非常方便。
古时候没有自来水,吃过饭要洗碗,只能提一只大篮子,装着碗、筷、瓢、盆到河边去洗。大家都到河边去,见面要说话,有问有答,题目就多了。下面是中国古代数学书《孙子算经》里的一道关于洗碗的算术题。
妇女在河边洗碗。有人问她,为什么要洗这么多碗?妇女答,家里来了客人。那个人又问,有多少客人?妇女反问道,二人合一大碗饭,三人合一大碗汤,四人合一大碗肉,共用碗六十五个,你说有多少人?
“二人合一大碗饭,三人合一大碗汤,四人合一大碗肉”,平均分配,每个人能分到几大碗饭?几大碗汤?几大碗肉?每个人共计分用几个大碗?
利用分数,容易算出每个人用的大碗个数是12+13+14=1312(个)。
用大碗总数除以每人所用大碗数,即65÷1312=60,得到客人总数是60人。
线段图
线段图是由几条线段组合在一起,用来表示应用题中的数量关系,帮助人们分析题意、解答问题的一种平面图形。特点:从抽象的文字到直观的再创造、再演示的过程。线段图以其形象、直观的特点,在数学教学中广泛应用。在数学教学中,注重让学生运用线段图来解决实际问题,有效地提高了学生的自我学习能力和创新能力。
第课时 分数混合运算
1.理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算。
2.根据生活情景,使学生经历解决实际问题的过程,理解分数混合运算的运算顺序,培养学生的理解能力和解决问题的能力。
3.使学生经历小组合作、问题探究的过程,体验合作学习和探究学习的方法。
【重点】
理解和掌握分数混合运算的运算顺序,能正确地进行分数混合运算,并能用分数乘除混合运算解决实际问题。
【难点】
理解分数连除和分数乘除混合运算相互转化的算理。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.口算。(课件出示)
13÷5 6÷13
56÷59 78×47×25
师:口答,说一说怎样计算。
预设 生1:分数除法的计算方法是:除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数。
生2:分数乘法计算时,能约分的要先约分,再分子和分母分别相乘。
【参考答案】 115 18 32 15
2.不计算,说一说计算顺序。
18+12×20 125÷5×18
180÷9÷2 289-18×(2.5+6.8)
师:说一说整数、小数四则混合运算的运算顺序是怎样的?(答案略)
预设 生1:没有括号的,是同一级运算,就按照从左到右的顺序计算;含有两级运算,就先乘除,后加减。
生2:有小括号的,就先算小括号里面的。
师:我们已经学习过分数乘法、除法,如何进行分数的四则混合运算呢?今天我们一起来研究。(板书课题:分数混合运算)
[设计意图] 先复习有关的旧知识,唤起学生的记忆,为新知识的学习做好铺垫。
方法二
师:你生病了,会怎么做?
预设 生1:会去看医生。
生2:普通的病,会要爸爸妈妈给药吃。
生3:有些病,我是自己找药吃。
……
师:我建议你们生病后最好先找医生看看再服药。
师:吃药时,要注意什么?
预设 生1:要注意吃的药是否正确。
生2:要看看使用说明书或听医生的交代,弄清楚如何服药。
生3:有些药在吃的时候还需要注意饮食,哪些东西能吃,哪些东西不能吃。
……
师:你们的生活经验很丰富。看看下面的图,你知道了什么?(出示课件)
[设计意图] 从贴近学生的生活情景出发,一是感受到数学与生活的紧密联系,二是体会到知识之间的关系,三是丰富学生的生活经验。
方法三
师:小丽生病了,妈妈带她去看医生,医生给她一盒药,并交代了一些事。看图,你知道了什么?(课件出示不完整的主题图)
预设 生:知道了这盒药有12片,每次吃半片,每天吃3次。
师:你能提出什么问题?
预设 生:这盒药可以吃多少天?
师:试着解决这个问题。
[设计意图] 从情景图直接进入新知识的学习,让学生更主动、注意力更加集中。
课件出示教学例3,分数的混合运算
1.师:观察图,说一说从图中你可以得到哪些信息?
预设 生1:这盒药共12片,每次吃半片,每天吃3次。
生2:要解决的问题是“可以吃几天?”。
2.讨论解决问题的方法。
师:怎样解决这一问题呢?尝试列式解答。学生独立解题,再全班交流。
3.汇报交流。
师:说一说你的解题思路是什么。
预设 生1:我是先算每天吃多少片,12×3=32(片),再算可以吃多少天,12÷32=8(天)。(板书)
生2:我是先算一盒药可以吃几次,12÷12=24(次),再算可以吃多少天,24÷3=8(天)。(板书)
4.写出综合算式,理清混合运算的计算顺序。
师:请写出这两种解法的综合算式,并尝试计算。
(1)学生独立列式计算。
(2)汇报交流。
预设 生1:我的解法的综合算式是:12÷12×3,先算12×3 =32,再算12÷32=8(天)。(板书)
生2:我的解法的综合算式是:12÷12÷3,先算12÷12=24,再算24÷3=8(天)。(板书)
师:想一想,第2个算式是分数连除,还可以怎么算?
预设 生:可不可以一次性地把除法转化成乘法,变成连乘再计算?
师:你们可以试一试他的这种提议。
学生再次计算。
师:感觉怎么样?
预设 生:计算比较简单,可以直接约分。
师:看来解决问题时,要多进行尝试,寻求多种解题途径,不能固守一种方法。
5.小结计算顺序。
师:通过刚才的计算,你们对分数的混合运算有哪些要概括的知识点?
预设 生1:有小括号的要先计算小括号里面的,再计算小括号外面的。
生2:没有小括号的分数乘除混合运算,要按从左到右的顺序计算。
生3:计算分数连除或乘除混合运算时,先把其中的除法转化为乘法,再按照分数连乘的方法进行计算。
师:大家总结得很好。其实分数四则混合运算的顺序与整数混合运算的顺序相同。
6.尝试计算。(课件出示并板书)
320×56+14÷38 12-38÷34
(1)师:同桌互相说一说这两题的计算顺序,再独立计算。
(2)独立计算,指名两位学生板演。
(3)集体交流,说一说在计算中应注意什么。
预设 生1:注意按正确的计算顺序进行计算。
生2:计算过程中要注意分数加、减、乘、除的计算方法要正确,别弄混了。
生3:计算过程中,计算要认真。
生4:有括号的,先算括号里面的。
……
7.归纳算法。
分数四则混合运算,先算乘除,再算加减,有括号的先算括号里面的。
1.出示课件:一艘客船23小时航行了18 km,照这样的速度,它89小时航行了多少千米?
(1)学生读题,理解题意。
(2)说一说题中存在哪几种量?它们之间是什么关系?
速度×时间=路程
路程÷时间=速度
路程÷速度=时间
(3)根据关系式独立完成,再集体订正。
2.教材第33页“做一做”。
(1)学生读题,理解题意。
(2)师:求玻璃的面积也就是求什么的面积?
预设 生:求梯形的面积。
师:还记得梯形的面积公式吗?
(3)独立完成,汇报交流。
3.教材第35页练习七第9,10题。
(1)第9题。
先说一说运算顺序,再独立完成,指名学生板演,最后集体订正。
(2)第10题。
学生读题,理解题意,独立完成,交流解题思路。
【参考答案】 1.18÷23×89=24(km)2.35+45×34÷2=2140(m2) 3.(教材第35页练习七)9.114 143 65 0 516 10.2÷12×6=24(分钟)或6÷12×2=24(分钟)
通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?
作业1
教材第35页练习七第11,12题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)算一算。
12×34÷35
1-18÷79
12×49+12×39+12×29
2.(易错题)判断正误,若错误,请改正过来。
23×916-14+13×516
=23×516+13×516
=23+13+516+516
=1+1016
=138 ( )
【提升培优】
3.(重点题)计算,能简算的要简算。
112÷56-12×3
8÷9×89
127-314÷34÷2549
4.(情景题)一块地有910公顷,用2台拖拉机耕种,34小时可以耕完。平均每台拖拉机每小时耕地多少公顷?
5.(难点题)小强去外婆家玩,去时平均每小时行12千米,23小时到了外婆家。返回时只用了12小时,返回时平均每小时比去时多行多少千米?
【参考答案】
作业1:11.50÷15×(7-1)=20(m)或(7-1)÷15×50=20(m) 12.240÷14×34=720(袋)或240×34÷14=720(袋)
作业2:1.12×34÷35=12×34×53=15 1-18÷79=78÷79=78×97=98 12×49+12×39+12×29=12×49+39+29=12×1=12 2.? 改正:23×916-14+13×516=23×516+13×516=23+13×516=516 3.112÷56-12×3=112÷56-36×3=112×1=112 8÷9×89=89×89=6481 127-314÷34÷2549=127-314×43×4925=127-27×4925=107×4925=145 (公顷) 5.12×23÷12=16(千米) 16-12=4(千米)
返回时平均每小时比去时多行4千米 6.109
1.运用教材情景图,感受数学与实际生活的联系。
本节课设计了两种复习题,让学生感受旧知识与新知识的联系,借助具体情景,让学生感受到分数四则混合运算在生活中的实际应用,并通过具体情景,让学生自主参与到新知识的学习过程中来。让学生通过多种形式的练习,在数学学习过程中发现运算顺序,掌握运算顺序,并合理地进行计算。
2.引导学生自主探索,并适当指导。
本节课的内容因为有整数四则混合运算为基础,学生学习起来并不是很难,所以放手给学生自主探索的空间和时间。这节课中,学生自己独立尝试的次数较多,交流的次数也多,学生能主动进行学习。在教学过程中,教师并没有脱离开学生,总是适时地给予引导和提示,这样避免学生学习中走弯路。
练习的量略有不足,主要是没有分出层次,出现了优等生吃不饱的现象。
再教这个内容时,要设计有层次的练习,并且适当有所提高和拓展,给优等生发展的空间。
【做一做·33页】
35+45×34×12=2140(m2)
【练习七·34页】
1.154÷5=34 154÷34=5 635÷25=37 635÷37=25 2.57 17 58 516 715 7 89 43.45÷8=45×18=110(m) 4.15 27 38 415
521 827 5.512 32 49 34 57 58 43 37
6.34÷14=34×4=3(瓶) 7.1分=60秒 60÷125=1500(个) 8.12÷124=12(张) 1分=60秒
60÷124=1440(张) 9.114 143 65 0 516 10.6÷12×2=24(分) 11.50÷15×(7-1)=20(m) 12.240÷14×34=720(袋) 13.344 70 185 34
772 910 34 14.x=319 x=710 x=37 x=92
15.65÷3250=100(小时) 16.3分=180秒 180÷9100=2000(个) 17.7157101415715,我发现得数等于原来的数。因为23,34的倒数与12的积正好是1。也就是除以23,34,再乘12,实际上相当于除以或乘1。
计算15÷3+45×13。
[名师点拨] 先把15÷3写成15×13的形式,变成了15×13+45×13。根据乘法分配律,把算式变成13×15+45再计算。
[解答] 15÷3+45×13=15×13+45×13=13×15+45=13×1=13
【知识拓展】 分数的乘除混合运算中,乘法的三条运算定律同样适用。
计算8.4×910+1.6÷109。
[名师点拨] 在算式中,如果有小数,可以把小数化成分数再计算。题中先把除号转化成乘号,乘109的倒数910,然后把各自式子中公有的910提出来,再计算。
[解答] 8.4×910+1.6÷109
=8.4×910+1.6×910
=(8.4+1.6)×910
=10×910
=9
古代的分数除法
世界上系统叙述分数最早的著作是我国的《九章算术》,它给出了相当完整的分数运算法则,基本上和现在的算法一致。该书介绍分数除法(称之为“经分”)表示为ab÷cd=adbd÷bcbd=adbc。分数除法的
颠倒相乘法过去人们认为是公元3世纪刘徽创造的。
分数的起源——破碎数
在拉丁文里,分数一词源于frangere,是打破、断裂的意思,因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。
在数的历史上,分数几乎与自然数同样古老,在各个民族最古老的文献里,都能找到有关数的记载,然而,分数在数学中传播并获得自己的地位,却用了几千年的时间。
在欧洲,这些“破碎数”曾经令人谈虎色变,视为畏途。7世纪时,有个数学家算出了一道8个分数相加的习题,竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里,欧洲数学家在编写算术课本时,不得不把分数的运算法则单独叙述,因为许多学生遇到分数后,就会心灰意懒,不愿意继续学习数学了。直到17世纪,欧洲的许多学校不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在,德国人形容某个人陷入困境时,还常常引用一句古老的谚语,说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数,把分数叫做“整数的比”。古埃及人更奇特,他们表示分数时,一般是在自然数上面加一个小圆点。在5上面加一个小圆点,表示这个数是15;在7上面加一个小圆点,表示这个数是17。那么,要表示分数27怎么办呢?古埃及人把14和128摆在一起,说这就是27。
14和128怎么能够表示27呢?原来,古埃及人只使用单分子分数。也就是说,他们只使用分子为1的那些分数,遇到其他的分数,都得拆成单分子分数的和。14和128都是单分子分数,它们的和正好是27,于是就用其来表示。那时还没有加号,相加的意思要由上下文显示出来,看上去就像把14和128摆在一起表示了分数27。
第课时 已知一个数的几分之几是多少,求这个数
1.使学生掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题,能熟练地列方程解答这类问题。
2.学会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
3.感悟分数乘、除法应用题之间的内在联系,培养推理能力,提高分析问题、解决问题的能力。
【重点】
掌握“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题的解题方法。
【难点】
会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段
图帮助分析数量关系。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 尺子、铅笔
方法一
1.说出下面各题中是把哪个量看做单位“1”,再说出数量关系。(课件出示)
(1)男生人数是女生人数的12。
(2)灰兔只数的23是白兔只数。
(3)小华的体重是妈妈体重的35。
师:口答这些题目。
预设 生1:男生人数是女生人数的12中,把女生人数看做单位“1”。数量关系是:女生人数×12=男生人数。
生2:灰兔只数的23是白兔只数中,把灰兔的只数看做单位“1”。数量关系是:灰兔只数×23=白兔只数。
生3:小华的体重是妈妈体重的35中,把妈妈的体重看做单位“1”。数量关系是:妈妈的体重×35=小华的体重。
2.小明的体重为35千克,他体内水分的质量占体重的45,小明体内有多少千克水分?
(1)学生读题,说一说题中的条件与问题。
(2)找出题中的单位“1”,说出数量关系。
预设 生1:题中的条件是小明的体重为35千克,他体内水分的质量占体重的45,所求的问题是小明体内有多少千克水分?
生2:单位“1”是小明的体重。
生3:数量关系是:小明的体重×45=小明体内水分的质量。
生4:列式是:35×45,计算结果是28(千克)。
师:刚才我们解决的是分数乘法的实际问题。说一说解答分数乘法实际问题的关键是什么。
预设 生:找单位“1”和数量关系。
师:今天这节课我们来学习“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法。(板书课题)
[设计意图] 由相关的旧知识的复习导入,一方面可以巩固学生对旧知识的掌握,另一方面对新知识的学习做好知识铺垫,让学生能通过知识迁移和类比推理理解和掌握新知识。
方法二
师:前面我们已经学习了分数除法的计算方法,今天我们来学习用分数除法解决实际问题。(板书课题:已知一个数的几分之几是多少,求这个数)
[设计意图] 由相关的分数除法过渡到新知识的学习,一是可以让学生感受到知识之间的内在联系,二是给学生提示学习的内容还是与分数除法有关的,学生可以用相关的知识解决问题。
方法三
师:人体是一个非常奇妙的物体,隐藏着许多的秘密。(课件出示情景图的一部分)
预设 生:成人体内的水分约占体重的23,儿童体内的水分约占体重的45。(出示完整的情景图)
师:你能求出小明重多少千克吗?
[设计意图] 由学生感兴趣的知识入手,既能吸引学生注意力,激发求知欲,又能让学生感受到各学科之间的联系。
课件出示教学例4,已知一个数的几分之几是多少,求这个数
小明重多少千克?
1.阅读与理解。
师:你能收集到什么信息?
预设 生1:成人体内的水分约占体重的23,儿童体内的水分约占体重的45。
生2:小明体内有28 kg水分。
师:解决“小明重多少千克”这一问题,需要哪些条件?(课件出示阅读与理解的内容)
请根据提示独立完成对题目的理解。学生独立解决,全班交流。
预设 生:小明体内有28 kg水分。儿童体内的水分约占体重的45。
师:在解决问题时,有些条件是多余的,要认真审题,筛选与问题相关的条件。
2.分析与解答。
(1)师:找出题中的单位“1”,分析数量关系。
师:你能用线段图表示出它们的关系吗?
学生独立画出线段图,小组交流。
(2)汇报交流,讲解线段图的画法。
预设 生:先画一条线段表示小明的体重(单位“1”),把这条线段平均分成5份,其中的4份表示体内的水分,正好是28 kg,再标出要求的问题。(板书图)
(3)发现数量关系。
[设计意图] 画线段图本是难点,但此处却让学生自己来操作。一是教师的引导不要过细,适当增加难度,可以增强学生的进取精神和钻研精神。二是锻炼学生的分析能力和小组合作意识。
师:你们的线段图现在越画越精准了,真不错。观察上面的线段图,你从中可以得出什么数量关系?
预设 生:小明的体重×45=小明体内水分的质量。(板书)
(4)列式解答。
师:请同学们以小组为单位尝试列式解答。
学生小组合作解决问题,再交流。教师巡视指导。
师:小组选派代表上台展示,并阐述解题思路。
预设 生1:我们小组是根据等量关系列方程来解答的。小明的体重是一个未知量,我们就把它设成未知数x。(板书)
解:设小明重x kg。
45x=28
x=28÷45
x=35
生2:我们小组是用除法算式计算的。根据除法是乘法的逆运算,一个因数等于积除以另一个因数,上面的数量关系可以写成:小明体内水分的质量÷45=小明的体重,即28÷45=35(kg)。(板书)
[设计意图] 列方程解决问题是已学知识,但要唤起学生的记忆、灵活运用知识的能力。学了知识,要会根据情况进行调动与应用,而不是纯粹的记忆和反复练习。所以,此处放开学生,给他们自主活动的空间,更能激发学生的潜能,也能寻求到多种解题的策略。
师:你们的分析能力越来越强,思维也越来越清晰,并能够把所学过的知识融会贯通,真是聪明。
师:回顾整理一下,让我们的思路更清晰。第一种解法是根据数量关系,把未知]的量设成x,再列方程解决问题。第二种解法是根据除法是乘法的逆运算和分数除法的意义,把数量关系进行转换,直接用除法计算,即“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”。(板书)
(5)分析、比较两种解法。
师:比较两种不同的解答方法。说一说它们各有什么优点?
预设 生1:我认为用方程解决问题是顺着数量关系进行列式的,不用像算术方法那样要把数量关系进行转换,很直截了当。
生2:我认为算术方法计算很简单,根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”可以列式。只是思维时是倒着想的,有点难度。
师:看来任何解法都会有优劣,同学们要根据具体的问题和自己熟悉的解法来进行选择。
3.回顾反思。
师:用方程解决问题后,如何验证结果是否正确?用你的想法先验证一下,再交流。全班学生独自验证。
预设 生:我是把求出来的“小明重35千克”代入原题,看结果是不是题目中小明体内水分的质量。如果是,说明解答正确,最后写上答语。
4.比较例4与练习八第2题,说一说这两题有什么联系与区别?
预设 生1:数量关系不同,单位“1”不同,已知条件不同,问题不同。
生2:解决问题所用的方法相同。
5.巩固练习。(出示教材练习八第1题)
师:独立分析,选用合适的解法解决问题。
师:说说自己的想法。
预设 生1:我是用方程来解答的。单位“1”是南北的距离。
数量关系是:南北的距离×5255=东西的距离。
解:设南北相距x千米。
x×5255=5200
x×5255÷5255=5200÷5255
x=5200×5552
x=5500
答:南北相距5500 km。
生2:我是用除法来解答的。单位“1”是南北的距离。根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”,列式为5200÷5255=5200×5552=5500(km)。
6.总结方法。
师:解简单的“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解题方法:
(1)方程解法:①找出单位“1”,设未知量为x;②找出题中的数量关系;③列出方程解答。
(2)算术方法:①找出单位“1”;②找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几;③列出除法算式,即:数量÷对应的分率=单位“1”的量。
教材第39页练习八第2,3题。
(1)第2题。
①学生读题,理解题意。说一说解这一题需要哪些条件。
②引导学生找出单位“1”,再根据数量关系进行计算。
(2)第3题。
独立完成,集体订正。
【参考答案】 2.解法1:设一个成年人一天大约需要x g钙质。x×38=310,x=45 解法2:310÷38=310×83=45(g) 3.解法1:设宇宙飞船的速度大约是x千米/秒。x×4057=8,x×4057÷4057=8÷4057,x=8×5740,x=1125 解法2:8÷4057=8×5740=1125(千米/秒)
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我知道可以用两种不同的方法来解决“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”这一类问题。
生2:列方程解决问题和算术方法解决问题都要先找到单位“1”。
生3:列方程解决问题是顺着数量关系列式的。
生4:用除法来解决这一类问题时,我们是根据“数量÷对应的分率=单位‘1’的量”列式的。
生5:最后都要进行检验。可以把结果代入原题进行计算,再比较,看计算的结果是不是原题中已知的数量。
作业1
教材第39页练习八第4,5题。
作业2
【基础巩固】
1.(重点题)妈妈给小林一些钱,小林买毛衣花了90元,买裤子花了60元。买这两样衣物花的钱数是妈妈给小林钱数的34,妈妈给小林多少钱?
【提升培优】
2.(难点题)画线段图表示下面各题中的数量关系,并写出数量关系式。
(1)鸡的只数是鸭的只数的23。
(2)女生人数占全班人数的35。
【思维创新】
3.(易错题)赵老师的讲桌上有红粉笔16支,白粉笔的支数是红粉笔的54,又是蓝粉笔的1011。蓝粉笔有多少支?
【参考答案】
作业1:4.(1)解法1:设图书馆共有x本书。25x=320 x=800 解法2:320÷25=800(本) (2)解法1:设图书馆有x本故事书。 43x=320,x=240解法2:320÷43=240(本) 5.116
314 15 392 23 32 2203 12 49 34
作业2:1.解:设妈妈给小林x元。34x=90+60,x=200 2.(1) 数量关系:鸭的只数×23=鸡的只数
(2) 数量关系:全班人数×35=女生人数 3.解:设蓝粉笔有x支。x×1011=16×54,x=22
1.通过复习,沟通分数乘、除法之间的联系,为列方程解决问题做好铺垫。
在复习中设计了找单位“1”和解决“求一个数的几分之几是多少”的乘法问题,接着转换问题和条件的位置,成为例题,这样,一方面巩固对旧知识的掌握,另一个方面为新知识的学习做好铺垫。特别是让学生对分数乘、除法之间的关系有了解,对列方程解决问题起到引导作用。
2.开放教学,重视学生能力的培养和思维品质的提高。
不管是画线段图,还是根据线段图的理解列式计算,都是全开放的教学环境,这样能激发学生的学习潜能和不服输的精神,让学生能更积极主动地进入学习,并且有更多的解题策略出现。
开放空间太大,教师的引导指向性不强,给学困生造成学习难度,没有掌握好分析方法。
再教这个内容时,开放空间可以加大,但是要注意学困生的指导,更多地关注此类学生的学习,把知识落到实处。
水果商店新进一批水果,橘子的重量是苹果重量的25,梨的重量是橘子重量的13,梨有200千克,苹果有多少千克?
[名师点拨] 画线段图分析数量关系。
数量关系式:
苹果的重量×25=橘子的重量橘子的重量×13=梨的重量苹果的重量×25×13=梨的重量(200千克)
[解法1] 算术法解答。
橘子的重量:200÷13=600(千克)。
苹果的重量:600÷25=1500(千克)。
列综合算式:200÷13÷25=1500(千克)。
答:苹果有1500千克。
[解法2] 列方程解答。
设苹果有x千克。
x×25×13=200
x=200÷25÷13
x=1500
答:苹果有1500千克。
【知识拓展】 有时连续的单位“1”有的是已知的,有的是未知的,所以解决分数乘除混合运算应用题时,要注意找准哪个单位“1”是已知的,哪个单位“1”是未知的。
人体内水的含量
(1)脑部:70%~85%。
(2)血浆:91%~92%。
(3)骨质:44%~55%。
(4)肌肉:72%~80%。
苏步青的故事
苏步青,1902年9月出生在浙江省平阳县的一个山村里。虽然家境清贫,可他父母省吃俭用,拼死拼活也要供他上学。他在读初中时,对数学并不感兴趣,觉得数学太简单,一学就懂。可是,后来的一堂数学课影响了他一生的道路。
那是苏步青上初三时,他就读于浙江省六十中,来了一位刚从东京留学归来的教数学课的杨老师。第一堂课杨老师没有讲数学,而是讲故事。他说:“当今世界,弱肉强食,世界列强依仗船坚炮利,都想蚕食瓜分中国。中华亡国灭种的危险迫在眉睫,振兴科学,发展实业,救亡图存,在此一举。‘天下兴亡,匹夫有责’,在座的每一位同学都有责任。”他旁征博引,讲述了数学在现代科学技术发展中的巨大作用。这堂课的最后一句话是:“为了救亡图存,必须振兴科学。数学是科学的开路先锋,为了发展科学,必须学好数学。”苏步青一生不知听过多少堂课,但这一堂课使他终生难忘。
杨老师的课深深地打动了他,给他的思想注入了新的兴奋剂。读书,不仅为了摆脱个人困境,而是要拯救中国广大的苦难民众;读书,不仅是为了个人找出路,而是为中华民族求新生。当天晚上,苏步青辗转反侧,彻夜难眠。在杨老师的影响下,苏步青的兴趣从文学转向了数学,并从此立下了“读书不忘救国,救国不忘读书”的座右铭。一迷上数学,不管是酷暑隆冬,霜晨雪夜,苏步青只知道读书、思考、解题、演算,4年中演算了上万道数学习题。现在温州一中(即当时省六十中)还珍藏着苏步青一本几何练习簿,用毛笔书写,工工整整。中学毕业时,苏步青门门功课都在90分以上。
第课时 已知比一个数多(少)几分之几的数
是多少,求这个数
1.明确列方程解答稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题的解题思路,掌握解题方法。
2.学会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
3.进一步培养学生自主探索、解决问题的能力和分析、推理、判断等思维能力。
【重点】
掌握稍复杂的“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”这类问题的解题思路和解决方法。
【难点】
会分析除法应用题中的数量关系,并会用线段图帮助分析数量关系。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.读一读下面的句子,填一填,说一说你的理解。(课件出示)
(1)苹果有a千克,梨的质量比苹果多15。
梨比苹果多( )千克,梨有( )千克。
(2)学校图书室有科技书x本,故事书比科技书少14。
故事书占科技书的( ),故事书有( )本。
师:上面各题分别是把谁看做单位“1”?两个量之间存在什么样的等量关系。
预设 生1:第一题把苹果的质量看做单位“1”。数量关系是:苹果的质量+梨比苹果多的质量=梨的质量。
生2:第一题的数量关系也可以是:苹果的质量×(1+梨比苹果多的几分之几)=梨的质量。
生3:第二题把科技书的本数看做单位“1”。数量关系是:科技书的本数-故事书比科技书少的本数=故事书的本数。
生4:第二题的数量关系也可以是:科技书的本数×(1-故事书比科技书少的几分之几)=故事书的本数。
2.谈话引入课题。
师:这是我们之前学过的有关分数乘法的实际问题:求比一个数多(少)几分之几的数是多少。今天,我们要学习稍复杂的用分数除法解决的实际问题。(板书课题)
[设计意图] 先复习用分数乘法解决的“求比一个数多(少)几分之几的数是多少”的实际问题,导入“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题的解决,是想通过分数乘、除法的对比与沟通,降低分数除法解决问题的难度。
方法二
师:前面我们学习了如何解决“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的实际问题,还记得方法吗?
预设 生1:可以根据数量关系用方程解决,这种方法的优点就是顺向思维,理解起来较简单。
生2:可以用除法解决问题。求单位“1”的量可以用“已知数量÷对应的分率”。
师:我们一般用方程解决这类问题较多。
师:今天,我们要学习稍复杂的用分数除法解决的实际问题。(板书课题)
[设计意图] “已知一个数的几分之几是多少,求这个数”和“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的解决方法基本相同,只是第二类问题稍微复杂一些。这里先让学生回忆“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的解决方法,为学习新知识的迁移和类推做好铺垫。
一、课件出示教学例5,“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”
1.阅读与理解。
师:课件出示教材“阅读与理解”部分内容,学生口答。
阅读与理解。
小明的体重是 。?
小明的体重比爸爸轻 。?
要求的是 的体重。?
预设 生:小明的体重是35 kg,小明的体重比爸爸轻815。要求的是小明爸爸的体重。
2.分析与解答。
(1)独立思考,理清关系。
师:请同学们独立思考,尝试用线段图表示出“小明体重比爸爸的体重轻815”,并在线段图上标出小明的体重35 kg以及要求的问题。
(2)汇报交流。
师:说一说怎样画线段图,应先画哪个数量?为什么?
预设 生1:首先找出单位“1”,关键句“小明体重比爸爸的体重轻815”中,爸爸的体重是单位“1”,画出单位“1”。
生2:把爸爸的体重平均分成15份,其中8份是小明的体重比爸爸轻的那部分。
生3:小明的体重相当于其中的(15-8)份,也就是小明的体重相当于爸爸体重的715。(板书完整的线段图)
(3)列出数量关系式。
师:说一说,从图中你能得到什么数量关系?小组讨论讨论。
小组讨论,汇报交流。
预设 生1:爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重。(板书)
生2:爸爸的体重×1-815=小明的体重。(板书)
(4)根据数量关系,分组尝试解答。
师:请同学们分成两组,分别用不同的方法来解答。
学生分组尝试解答。
(5)汇报交流。
预设 生1:我们是根据“爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重”,用列方程解答的。
解:设爸爸的体重为x kg。x-815x=35,715x=35,x=75。答:爸爸的体重是75 kg。(板书)
生2:我们是根据“爸爸的体重×1-815=小明的体重”,用列方程解答的。
解:设爸爸的体重为x kg。1-815x=35,x=35÷715,x=75。答:爸爸的体重是75 kg。(板书)
生3:根据乘、除法的关系,由数量关系“爸爸的体重×1-815=小明的体重”可得“小明的体重÷1-815=爸爸的体重”。(板书)
35÷1-815=75(kg)(板书)
师:用“爸爸的体重-小明比爸爸轻的部分=小明的体重”可以转换成算术方法来解答吗?
预设 生:不可以。因为爸爸的体重是单位“1”,而它又是未知的,是要求的量。
(6)对比分析,优化方法。
师:上面的几种方法,大家对比分析一下,你更喜欢哪一种方法?说说你的理由。
预设 生1:我喜欢用方程解答,因为直接根据数量关系列式,思考起来简单。
生2:其实我喜欢用算术方法解答,因为计算简便,但是思维过程太复杂,并且有时还不好列出算式。
生3:还是列方程解答比较好。
师:用哪种方法解决更好,要根据具体的问题。但列方程解答更适用于一般情况。
3.回顾反思。
师:我们的结果是否合理呢?你能验证一下吗?
(1)小组交流验证方法,然后独立验证。
(2)汇报交流。
预设 生:把计算的结果放到原题计算,看看小明的体重是否比爸爸的体重轻815。
(75-35)÷75=815
4.巩固练习。(课件出示)
看图列式计算。
【参考答案】 (1)1-47x=150 x=350或x-47x=150 x=350 (2)1-15x=60 x=75或x-15x=60 x=75
5.归纳小结。
师:小组交流,这是一种什么类型的实际问题?怎样解决这种实际问题?
预设 生1:这是“已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数”的实际问题。
生2:首先要弄清单位“1”,可利用解方程的方法,设这个数为未知数,根据数量关系列出方程,然后解方程。也可以先计算出已知量占单位“1”的几分之几,再根据分数除法的意义列除法算式解答。
生3:可以画线段图帮助理解题意,分析方法。
二、巩固练习
教材第40页练习八第6,7题。
(1)第6题。
①学生读题,理解题意。
②根据题意画出线段图,找出数量关系。
③根据数量关系解答。
④汇报交流。
(2)第7题。
①学生读题,理解题意。
②根据题意画出线段图,找出数量关系,独立解答。
③你能用不同的方法完成这一题吗?
④汇报交流。
【参考答案】 6.(3000+2500)×1-35=2200(元) 7.解法1:35÷1-27=49(页) 解法2:设这本课外读物一共有x页。1-27x=35,x=49或x-27x=35,x=49。
师:这节课我们学习了什么内容?
预设 生:学习的是已知比一个数多(少)几分之几的数是多少,求这个数。
师:你有什么收获?
预设 生1:我进一步学会用画线段图的方法来分析题意。
生2:解决这类问题,关键是找准单位“1”和数量关系。
生3:可以列方程解答,有的也可以用算术方法解答。
……
作业1
教材第40页练习八第8,9,10题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)看图列式解答。
(1)
(2)
2.(基础题)根据数量关系,写出等量关系式。
鸡的只数是鸭的25。
3.(易错题)讲桌上有36支红粉笔,是白粉笔的45,白粉笔有多少支?
【提升培优】
4.(难点题)一辆汽车从甲地到乙地行驶了全程的37,还剩240千米,全程共多少千米?
5.(重点题)爸爸的年龄是爷爷的715,是小明的72,爷爷今年75岁,小明今年几岁了?
6.(变式题)吉祥家电城现有液晶电视260台,比笔记本电脑的台数少417,现有笔记本电脑多少台?
【思维创新】
7.(探究题)甲、乙、丙分别用5元钱买了一种水果,甲买的水果重12千克,是乙所买水果的25,是丙所买水果的35,甲、乙、丙各买了什么水果?(苹果6元/千克、葡萄4元/千克、芒果10元/千克)
【参考答案】
作业1:8.解:设这桶水有x kg。1-110x=9,x=10或x-110x=9,x=10或9÷1-110=10(kg)
9.27÷4=114 1-27÷114=10(车) 10.(1)140×15=28(个) (2)28÷15=140(个)或解:设大齿轮有x个齿。 15x=28,x=140 (3)400×1-45=80(周) (4)80÷1-45=400(周)或解:设小齿轮每分钟转x周。1-45x=80,x=400
作业2:1.(1)60÷35=60×53=100(吨) (2)60÷1+14=60÷54=60×45=48(千克) 2.鸡的只数=鸭的只数×25 3.36÷45=45(支) 4.240÷1-37=420(千米) 5.75×715÷72=10(岁) 6.260÷1-417=340(台) 7.甲:5÷12=10(元/千克) 乙:12÷25=54(千克) 5÷54=4(元/千克) 丙:12÷35=56(千克) 5÷56=6(元/千克) 甲买的是芒果,乙买的是葡萄,丙买的是苹果
分数除法实际问题是整个小学阶段解决问题的重、难点之一,本节课从学生已有知识出发,抓住知识间的内在联系,使学生了解分数除法问题的特征,借助线段图分析数量关系,通过迁移、类推、分析、比较,找出分数乘、除法问题的区别和联系以及解题规律。并在教学过程中,让学生形成多样化思考的习惯和能力。
引导过程中,语言指向性不强。
再教这个内容时,要仔细斟酌,语言精练,指向性明确,给予学生实实在在的引导。
【练习八·39页】
1.5200÷5255=5500(km) 2.310÷38=310×83=45(g) 3.8÷4057=8×5740=575(千米/秒) 4.(1)320÷25=320×52=800(本) (2)320÷43=320×34=240(本) 5.116 314 15 392 23 32 2203 12 49 34 6.(3000+2500)×1-35=2200(元) 7.35÷1-27=35÷57=35×75=49(页) 8.9÷1-110=10(kg) 1-27÷114=10(车) 10.(1)140×15=28(个)(2)28÷15=140(个) (3)400×1-45=80(周)(4)80÷1-45=400(周)
有两个班的同学参加植树活动,共分一批树苗,一班分得的棵数比总数的310多100棵,二班分得的棵数比总数的35少50棵,这批树苗共有多少棵?
[名师点拨] 一班分得的棵数比总数的310多100棵,剩下的就是二班分得的棵数。从题中可以知道,二班分得的不到总数的35,比总数的35少50棵,这时可以用互补的方法考虑:从一班的100棵树苗中拿出50棵给二班,这样二班的棵数正好是总数的35,而一班只比总数的35多(100-50)棵,用(100-50)除以它所占的单位“1”的几分之几就是这批树苗的棵数,如下图。
[解答] (100-50)÷1-310-35
=50÷110
=500(棵)
答:这批树苗共有500棵。
【知识拓展】 采用互补的方法解题,通过数据间的互补,找到具体数量占单位“1”的几分之几,从而找到解决问题的突破口。
高 斯
高斯,1777年4月30日生于德国不伦瑞克一个普通的家庭。
高斯19岁时仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正十七边形。为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。高斯最伟大的著作是他24岁时发表的《算术研究》,《算术研究》翻开了数论历史的新一页。
第课时 和倍、差倍问题
1.使学生理解与掌握分数和倍、差倍问题的解题思路与方法。
2.提高学生分析数量关系及列方程解决问题的能力。
3.进一步培养学生自主探索、解决问题的能力和分析、推理、判断等思维能力。
【重点】
理解与掌握分数和倍、差倍问题的解题思路与方法。
【难点】
提高学生分析数量关系及列方程解决问题的能力。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.师:说出下面题中的数量关系。(课件出示)
(1)苹果树和梨树共有50棵。
(2)苹果树比梨树多10棵。
指名学生口答。
预设 生1:苹果树的棵数+梨树的棵数=50棵。
生2:苹果树的棵数-梨树的棵数=10棵。
2.师:用含有x的式子表示。(课件出示)
男生有x人,女生人数是男生人数的34。
(1)女生有 人。?
(2)男生和女生共有 人。?
(3)男生比女生多 人。?
指名学生口答,集体交流。
预设 生1:女生有34x人。
生2:男生和女生共有x+34x人。
生3:男生比女生多x-34x人。
生4:还可以这样表示第(2)题,男生和女生共有1+34x人。
生5:还可以这样表示第(3)题,男生比女生多1-34x人。
师:从上面的复习内容,猜猜今天我们学习的内容可能会与什么有关?
预设 生:求两个数的和或差。
师:这节课我们就研究“和倍、差倍问题”的解决方法。(板书课题)
[设计意图] 复习的内容可以为学生学习新知识提供迁移和类推的基础。
方法二
师:学校的足球队进行了一场友谊赛,下面是一个班的赛场得分情况。从图中你知道了什么信息?(课件出示部分主题图)
预设 生1:他们班全场得了42分。
生2:下半场得分只有上半场的一半。
生3:下半场得分只有上半场的12。
师:真不错,把自己的理解也融入了进来,这样大家也会更明白题意。
师:提出什么问题?
预设 生1:上半场得多少分?
生2:下半场得多少分?
生3:上半场比下半场多得多少分?
……
师:有些问题比较复杂,留到下节课研究,这节课,我们解决两个问题:上半场得多少分?下半场得多少分?
[设计意图] 直接从情景图导入,并让学生自由提问,提高学生思维的发散性,也调动学生学习的积极性。
方法三
师:喜欢足球吗?对这种运动,你的想法有哪些?
预设 生1:喜欢。它既能体现团结,又充满了激情。特别喜欢看世界杯。
生2:不喜欢,因为不太懂这种运动。
生3:不喜欢,因为中国足球的水平太差了。我喜欢乒乓球,这是我们的国球。
……
师:提高我国的足球水平,还要从娃娃锻炼起。下面是某班在足球友谊赛上的表现。(课件出示主题图)
[设计意图] 从足球运动引入新知识的学习中,丰富学生的课外知识,并适时进行爱国主义教育。
一、课件出示教学例6,和倍、差倍问题
上半场和下半场各得多少分?
1.阅读与理解。
(1)师:说说从图中你可以得?