第4单元 比（详细教案41页）
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第4单元 比
本单元的主要教学内容包括:比的意义,比的读、写方法,比与分数、除法的关系,比的基本性质,求比值,化简比,按比分配。
学生在学习之前已经掌握了除法的意义与商不变的性质、分数的意义与基本性质、分数与除法的关系等知识,会进行分数乘、除法计算,会解答有关分数乘、除法的实际问题。比与除法、分数有着密切联系,求比值、化简比和按比分配等知识的学习与分数乘、除法密不可分。
比是小学数学中一个重要的概念,教材借助学生生活经验,通过情景设计,引发学生思考和讨论,抽象出比的概念,理解比的意义。教材注重引导学生结合比的意义,主动联系以前所学过的分数和除法的知识,自主探索比的基本性质。教材还安排了按照一定的比进行分配的实际问题,这实际上是“平均分”方法的延伸和发展。教材注重引导学生利用比的意义,把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题,通过独立思考、合作交流,自主探索按比分配问题的解决办法,感受解决问题策略的多样化。
1.使学生理解比的意义,知道比与分数、除法的关系。
2.使学生理解并掌握比的基本性质,会求比值、化简比,能解答按比分配的实际问题。
使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本性质的过程中,体会类比法、推理思想,积累数学活动经验,体会数学知识之间的内在联系,把握数学知识的本质。
使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程,能灵活地运用知识解决按比分配的实际问题。
经历用比描述生活现象和解决实际问题的完整过程,使学生养成审题和反思的好习惯,感受数学知识在日常生活中的应用价值。
【重点】
1.使学生理解比的意义,知道比与分数、除法的关系。
2.使学生理解并掌握比的基本性质,会求比值、化简比,能解答按比分配的实际问题。
【难点】
理解比的意义,知道比与分数、除法的关系。
1.联系已学知识,引导学生自主学习
根据本单元教学内容的特点和学生的认知情况,充分利用原有的学习基础,引导学生联系相关知识,进行类比和推理,尽可能让学生自主学习,通过自己的思考,解决新问题,得到新结论。在探索过程中,要求学生不仅要知道“怎么做”,还要思考“为什么这样做”,即“知其然,而知其所以然。”
2.注重情景教学
在教学中运用多媒体创设学生熟悉的生活情景和问题情景,提高学生的学习兴趣,激发学生探求新知的欲望。教材中展示的情景比较多,教师要利用这些情景,使之更优化。
3.以学生为主体,创设多种探究情景,使新旧知识融会贯通
由于本单元内容学习之前,学生的已有知识已经很多,所以教师要以学生为主体,创设多种探究情景,多给学生一些提问质疑、探究发现的机会和条件,让学生积极地学习数学。教师要注重新知识和旧知识的联系和区别,让学生充分感悟相关知识异同,这样有利于生成新知识,并加深对旧知识的理解,使新旧知识融会贯通。
1 比的意义
教材P48~49及练习十一第1~3题。
本节课的内容较多,包括比的意义、比的读法与写法、比各部分的名称,以及比和除法、分数之间的关系等。教材选取了“神舟”五号这一现实素材为载体,既富有教育意义,又能较自然地引出比的两种情形:同类量的比,即长和宽的比;非同类量的比,即路程和时间的比。接着直接抽象出比的意义:两个数的比表示两个数相除。然后是比的写法、各部分的名称、比值的概念、比的分数形式写法以及比和除法、分数之间的关系。
1.使学生在具体的情景中理解比的意义,会读、写比,认识比的各部分名称;掌握求比值的方法,能准确地求出比值。
2.使学生掌握比、分数、除法之间的联系与区别,通过观察和思考,理解数学知识之间是相互联系的。
3.在数学活动中,培养学生分析、综合、抽象、概括等能力,体会数学知识之间的联系,感受学习数学的乐趣。
【重点】
理解比的意义。
【难点】
理解并掌握比和分数、除法之间的联系与区别。
【教师准备】 PPT课件
方法一
1.师:在学习新知识之前,我们一起来解决几个问题,看看它们能给我们什么提示?(课件出示复习题)
(1)学校有篮球20个,足球15个。篮球是足球的几倍?足球是篮球的几分之几?
(2)王老师骑自行车,2小时行了12千米,王老师骑自行车的速度是多少?
(3)妈妈买回6千克苹果,共花42元,每千克苹果多少钱?
2.指名学生口头列式,并说一说题中的数量关系。
预设 生1:20÷15=43,篮球是足球的43倍。用篮球的个数除以足球的个数就得到篮球是足球的几倍。
生2:15÷20=34,足球是篮球的34。用足球的个数除以篮球的个数就得到足球是篮球的几分之几。
生3:12÷2=6(千米/时),王老师骑自行车的速度是6千米/时。速度等于路程除以时间。
生4:42÷6=7(元),每千克苹果7元。单价等于总价除以数量。
师:根据我们的复习内容,猜一猜,我们今天的学习内容会与什么有关?
预设 生1:除法。
生2:分数。
生3:解决问题。
生4:会用到数量关系式:速度=路程÷时间,或者是单价=总价÷数量。
……
师:究竟会与什么知识有关呢?我们一起拭目以待吧。
(课件出示主题图)
师:从阅读材料和图片中你知道了什么?
预设 生1:这是“神舟”五号载人飞船。
生2:这里面的宇航员是杨利伟叔叔。
生3:他展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
生4:我觉得我们中国人既聪明又勇敢。
……
师:小精灵也飞来了,看一看它说了些什么。
[设计意图] 从复习旧知识入手,并提出“根据我们的复习内容,猜一猜,我们今天的学习内容会与什么有关?”这样一个问题,一方面是通过猜想、验证的方式,充分调动学生的主动性和学习的积极性,另一方面能起到知识迁移的作用。
方法二
师:我们一起来看一段视频。(课件播放“天宫一号”发射过程视频)
师:同学们,看完这段视频,你有什么感受?
预设 生1:宇宙很奇妙。
生2:我国的航天技术真不错。
……
师:我国第一位乘坐载人飞船登上太空的航天英雄是谁?
预设 生1:杨利伟叔叔。
生2:杨利伟叔叔两次登上太空呢!
师:对,这是杨利伟叔叔乘坐“神舟”五号登上太空的时候。
(课件出示教材情景图:杨利伟在飞船内展示国旗)
师:2003年10月15日,我国的第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。杨利伟叔叔在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
师:这两面旗帜的长和宽都分别是15 cm,10 cm。
师:比较这两面旗长和宽的关系,你能提出什么问题?
预设 生1:长比宽长多少厘米?
生2:宽比长短多少厘米?
生3:长是宽的多少倍?
生4:宽是长的几分之几?
……
(根据学生回答,筛选出两个板书)
①长是宽的几倍?
②宽是长的几分之几?
[设计意图] 联系新材料,吸引学生的注意力,并利用情景对学生进行爱国主义教育。提出开放性的问题,让学生感知两个同类量之间的不同关系,即相差关系和倍数关系。
方法三
师:(播放影片,“神舟”五号的相关资料)看完这段影片,你了解到一些什么信息?
预设 生1:“神舟”五号飞船是一艘载人飞船。
生2:我国第一个登上太空的宇航员是杨利伟叔叔。
……
师:老师截取了其中一个场景,请仔细观察。(课件出示主题图)
师:从老师截取的场景中,你又知道了一些什么?
生:杨利伟叔叔展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
……
师:这两面旗的长和宽都分别是15 cm,10 cm。
师:比较这两面旗长和宽的关系,你能提出什么问题?
预设 生1:长比宽长多少厘米?
生2:宽比长短多少厘米?
生3:长是宽的多少倍?
生4:宽是长的几分之几?
……
(根据学生的回答,筛选出两个板书)
①长是宽的几倍?
②宽是长的几分之几?
[设计意图] 直接从情景入手,以播放影片的方式,调动学生的听、看、说、思等各种感官功能,全方位地进入学习新知识中,并利用情景对学生进行爱国主义教育。提出开放性的问题,让学生感知两个同类量之间的不同关系,即相差关系和倍数关系。
一、比的意义
1.同类量的比。
(1)师:说一说怎样解决上面两个问题。
预设 生1:用除法解决,15÷10=1.5,长是宽的1.5倍。
生2:用除法解决,10÷15=23,宽是长的三分之二。
师:像上面两题中的长和宽的倍数关系,除了用除法表示外,还可以用一种新的方法表示——比。(板书课题:比的意义)
师:15÷10(板书)表示长是宽的几倍,我们可以说长和宽的比是15比10(板书)。10÷15(板书)表示宽是长的几分之几,可以说宽和长的比是10比15。(板书)
(2)巩固练习。(课件出示练习)
你能学着用比的说法来表示两个数量之间的关系吗?
(1)爸爸的身高是儿子的几倍:180÷130;
(2)妈妈的工资是爸爸的几分之几:3200÷5000。
【参考答案】 (1)爸爸与儿子的身高比是180比130。 (2)妈妈和爸爸的工资比是3200比5000。
师总结:身高与身高、工资与工资的比都是同类量的比,比是除法关系的另一种表示方式。
2.不同类量相除用比表示。
(1)(课件出示信息)“神舟”五号进入运行轨道后,在距地350 km的高空做圆周运动,平均90分钟绕地球一周,大约运行42252 km。
师:平均每分钟运行多少千米?怎样列式?说出你列式的理由。(板书:算式)
预设 生:42252÷90,路程÷时间=速度。
师:除了用除法表示路程与时间的关系外,我们也可以用另一种表示两者之间关系的说法。谁来试一试,可以怎样说?
预设 生1:路程与时间的比是42252比90。(板书)
生2:路程与时间的比表示的是速度。
师:说的棒极了!你们很会进行知识拓展,这也是学习新知识的一个好办法。
师:时间和速度是不同类的量,两个不同类的量的比可以表示一个新的量。
师:再来尝试几个,好吗?和同桌说一说。
(2)巩固练习。(课件出示练习)
买2个笔记本用了5元,5÷2表示什么?
【参考答案】 5÷2既表示总价÷数量=单价,还可以说总价与数量的比是5比2。
[设计意图] 每一种例子后都进行小练习,主要是加深学生对比的意义的理解,即比既可以表示两个同类量相除,也可以表示两个不同类量相除。
3.概括比的意义。
师:观察上面的例子,你能说一说什么叫比吗?
小组讨论,汇报交流。
教师引导小结:两个数的比表示两个数相除。(板书)
二、比的读、写,各部分名称及求比值
1.学生先自学教材第49页上半部分内容,然后小组内交流获得的知识。
师:请同学们自学教材第49页上半部分的内容。看一看,你知道了一些什么?有什么感到为难的地方?
2.集体交流,教师板书。
预设 生1:我知道“∶”是比号。
生2:我知道了比的记法。
生3:比的各部分的名称。(边说边板书)
师:说一说比值是怎样求出来的,比值可以怎样表示?
预设 生1:把比转化成比的前项除以后项,再计算。
生2:比值常用分数表示。
生3:比值也可以用小数或整数表示。
……
3.巩固练习。(课件出示练习)
指出下面比的各部分名称。
6∶9=23 8∶4=2 6∶5=1.2
指名让学生口答。
【参考答案】
[设计意图] 本节内容采用自学的方式,加强自主学习,提高学生的分析能力和归纳整理能力。
四、比与除法、分数的关系
1.师:比与除法、分数有什么关系?
2.小组讨论,教师巡视指导。
3.汇报交流。(课件展示)
比
前项
∶
后项
比值
除法
被除数
÷
除数
商
分数
分子
——
分母
分数值
比、除法、分数的关系:
a∶b=a÷b=ab(b≠0)
4.比与除法、分数的区别。
师:通过这样一个表格和关系式,我们就很容易、很清楚地知道比、除法和分数之间的关系了。那么它们三者之间有什么区别呢?
5.小组讨论,汇报交流。
预设 生:除法是一种运算,分数是一种数,比表示两个数之间的关系。
6.师:除法、分数中都有特殊的要求,是什么?
预设 生1:除法中的除数不能为0。
生2:分数中的分母也不能为0。
师:比又有什么特殊要求呢?
7.小组讨论,汇报交流。
预设 生:比的后项不能是0。因为比的后项相当于除法中的除数,也相当于分数中的分母,除数和分母都不能是0,所以比的后项也不能是0。
五、比值是分数时的读法
师:3∶2写成32后,怎么读?
预设 生:读作3比2。
师强调:32表示比时,不能读成二分之三,应读作“三比二”。(板书)
1.教材第49页“做一做”第1,2题。
(1)第1题。
学生独立完成,集体订正。
(2)第2题。
师:先观察题目,说一说怎样想。
预设 生:根据比和除法的关系,先把比转化成除法,然后根据除法各部分之间的关系进行计算。
独立完成,集体订正。
预设 生1:3∶( )=24,也就是3除以几是24,根据除数等于被除数除以商来计算得出,括号里填18。
生2:( )∶8=0.5,也就是几除以8等于0.5,求被除数,可以用除数乘商计算得出,括号里填4。
2.教材第52页练习十一第1,2,3题。
(1)第1题。
学生独立完成,集体订正。
(2)第2题。
让学生利用方格纸找出红旗的长和宽之比,再口答。
(3)第3题。
学生独立完成,再全班交流。
【参考答案】 1.(教材第49页“做一做”)1.6∶8 34或0.75 1.8∶2.4 34或0.75 2.18 4 2.(教材第52页练习十一)1.(1)14∶8 74或1.75
(2)16∶10 85或1.6 10∶26 513 (3)18∶12 32或1.5 2.② 3.59 154 79 1.6或85
师:这节课我们学习了什么?
预设 生1:我们认识了比。两个数的比表示两个数相除。
生2:比的各部分的名称。
生3:我可以把比转化成比的前项除以后项,求出它的比值。
生4:比值一般是分数,也可以是整数、小数。
生5:我会读比、写比。
生6:我会用表格写出比、除法、分数之间的区别。
生7:比、除法、分数之间的关系为:
a∶b=a÷b=ab(b≠0)
生8:比的后项不能为0.
……
师:你还有什么想学的相关知识?
预设 生:我还想知道比有什么作用?
……
作业1
1.填空。
(1)3∶7=( )÷( )=( )( )。
(2)书法小组有男生6人,女生5人,男、女生人数的比是( );女生人数和男生人数的比是( );男生人数和全小组人数的比是( );女生人数和全小组人数的比是( )。
2.求出下面各比的比值。
6∶8 0.5∶0.15 3∶0.5
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)3∶( )=24,3∶( )=0.8
(2)11÷6=( )∶( )=( )( )
2.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)速度是相应的路程与时间的比值。 ( )
(2)比有两种读法,如3∶5=35,读作三比五或五分之三。 ( )
3.(重点题)求比值。
3∶5 512∶23 0.05∶1
【提升培优】
4.(难点题)你能算出下面三角形、长方形的周长比和面积比分别是多少吗?
5.(难点题)从甲地到乙地,快车7小时可以行完全程,慢车用10小时行完全程,写出快车和慢车所用的时间比的比值和速度比的比值。
【思维创新】
6.(竞赛题)如图所示,甲、乙两个三角形有一部分重叠在一起,重叠部分占三角形甲面积的14,占三角形乙面积的27,求三角形甲和三角形乙的面积比。
【参考答案】
作业1:1.(1)3 7 37 (2)6∶5 5∶6 6∶11 5∶11 2.34 103 6
作业2:1.(1)18 154 (2)11 6 116 2.(1)√ (2)? 3.35 58 0.05 4.周长比:(15+9+12)∶(25+25+16+16)=36∶82 面积比:12×12×9∶(25×16)=54∶400 5.7∶10=710 17∶110=107 6.8∶7
本节课,采取以教师为主导,以学生为主体的教学方式,充分发挥学生的主动性,让学生真正成为学习的小主人。在学习比的各部分名称及读法、写法时,采用了让学生自学课本的方式,因为自学课本也是学生探索问题、解决问题的重要途径。根据高年级学生的阅读、理解能力,结合教材的具体内容,充分相信学生,组织学生以小组为单位进行研究、探索、讨论、总结,有利于培养学生的创新意识和实践能力,也有利于学生的思维发展及培养学生间的合作精神。
导入课题的时间有点过长,应该更加精简。
再教这个内容时,课前的复习导入可以少用一点题目,缩短时间,给新知学习留足时间。
【做一做·49页】
1.6∶8 34 1.8∶2.4 34 2.3∶18=24
(4)∶8=0.5
有一杯盐水,盐占盐水的110,则盐和水的比是( )。
[名师点拨] 由题意可知把盐水看做单位“1”,盐占盐水的110。把盐水分成10份,盐占1份,水占(10-1)份。所以盐和水的比是1∶9。如下图。
[解答] 1∶9
斐波那契数列
斐波那契(1175~1250)是意大利的数学家。1202年他发表《算法之书》,书中提出了一个后来广为流传的“兔子繁殖问题”:如果一对兔子每月能生一对小兔,而每对小兔在它出生后的第3个月又能开
始生一对小兔,假定没有小兔死亡,由1对初生的小兔开始一年后能繁殖多少对小兔?
很显然,前6个月的小兔的对数是1,1,2,3,5,8,…,通过观察发现,从第3个数开始,每个数都是它前两个数的和。按照这一规律排列的一组数命名为“斐波那契数列”,更奇特的是从第3个数开始,前一项与后一项的比都接近0.618,又与“黄金分割”相吻合。
斐波那契数列不仅反映了某些动物的生长规律,也反映了某些植物的生长规律。
“神舟”五号
“神舟”五号飞船是在无人飞船的基础上研制的我国第1艘载人飞船,乘有1名航天员杨利伟。它于2003年10月15日09时00分,在甘肃酒泉卫星发射中心发射,在轨道运行了1天,2003年10月16日6时28分着陆在内蒙古中部阿木古朗草原地区。
整个飞行期间为航天员提供必要的生活和工作条件,同时将航天员的生理数据、电视图像发回地面,并确保航天员安全返回。此次飞行标志着中国成为第三个有能力独自将人送上太空的国家,打破了由美国和前苏联(俄罗斯)在载人航天领域的独霸局面,提高了我国的国际地位。
2 比的基本性质
教材P50~51例1及练习十一第4~8题。
本节课的内容是比的基本性质和化简比。教材联系比和除法、分数的关系,启发学生概括出比的基本性质。注重学生对基本性质的理解,更注重推导过程的全部展示。教材在例1教学运用比的基本性质化简比时,仍用前面的情景,这样既体现知识的连续性,又能引导学生进行知识的迁移和转化。
1.使学生联系商不变的性质和分数的基本性质,理解比的基本性质。
2.能应用比的基本性质化简比,初步掌握化简比的方法。
3.在自主探究的过程中,使学生掌握新旧知识的联系,培养观察、比较、推理、概括、合作、交流等数学能力。
【重点】
理解并掌握比的基本性质。
【难点】
应用比的基本性质把比化成最简单的整数比。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.(课件出示题目)
填一填。
45÷9=( )÷90=4.5÷( )
师:请同学们先说出括号里的数,再说一说你是根据什么填的?
预设 生:450和0.9,我是根据商不变的性质来填的。
师:什么是商不变的性质?
预设 生:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
2.(课件出示题目)
填一填。
812=( )6=16( )
师:请同学们先说出括号里的数,再说一说你是根据什么填的?
预设 生:4和24,我是根据分数的基本性质填的。
师:什么是分数的基本性质?
预设 生:分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数,分数值不变。
3.师:什么是比?
预设 生:两个数的比表示两个数相除。
师:两个数的比还可以写成什么形式?请举例说明。
预设 生:两个数的比还可以写成分数的形式和除法的形式,比如:6∶8=6÷8=68。
4.师:比和除法、分数有密切的联系,在除法中有商不变的性质,在分数中有分数的基本性质,大家猜想一下,比会有这样类似的性质吗?(板书课题:比的基本性质)
[设计意图] 从商不变的性质和分数的基本性质导入,可以借助比、除法、分数之间的关系进入新知识的学习,目的性很强,并且把对比、除法、分数之间的关系的理解进行了巩固。
方法二
师:语文中有词语接龙,今天我们把数学算式也来接龙一下,看谁接得又快又对。请大家准备好。
师:32÷80=?
预设 生1:320÷800
生2:3.2÷8
……
师:为什么你们说得这么快?
预设 生:我们可以根据商不变的性质来说。
师:什么是商不变的性质?
预设 生:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
师:在分数里面也有一个类似的性质,还记得吗?
预设 生1:分数的基本性质。
生2:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数值不变。
师:谁来说一个分数,我们利用分数的基本性质来接一接。
预设 生1:36
生2:612
生3:12
……
师:前面我们刚学过比,比与除法、分数关系密切,它也有一个基本性质,今天我们就一起来研究比的基本性质。(板书课题:比的基本性质)
[设计意图] 从语文的词语接龙方式导入,比较新奇,并且加强了学科之间的联系。采用接龙的形式,没有引导,而是学生根据理解,熟练运用商不变的性质和分数的基本性质,开放的空间给予学生更深层次的思考。
方法三
师:前面我们认识了比,谁来说一说,你知道了有关比的哪些知识?
预设 生1:我知道了比的意义。两个数的比表示两个数相除。
生2:我知道了比的各部分名称,比号前面的是比的前项,比号后面的是比的后项,比的前项除以后项所得的商是比值。
生3:我知道了比的后项不能是0。
生4:我知道了比值常用分数表示,也可以用整数或小数表示。
生5:比、除法、分数的关系为a∶b=a÷b=ab(b≠0)。
……
师:大家都说得很好,今天我们继续来研究比。
[设计意图] 直接从前一课的知识进入学习新知识的过程,迅速而快捷,并且学生能更好地进行知识的贯通和融合。
一、认识比的基本性质
1.师:以小组为单位,联系比与除法的关系,用“6∶8=6÷8”为例子讨论:比的前项和后项及比值会有什么样的规律?
2.小组尝试研究、讨论交流,教师巡视指导。
3.汇报交流,教师板书并引导学生进行观察。
师:6÷8=12÷16中,被除数与除数是怎样进行变化的?
预设 生:被除数和除数同时乘2,商不变。
师:6∶8和12∶16相等吗?
预设 生:6∶8的比值是0.75,12∶16的比值是0.75,所以6∶8=12∶16。
师:还有其他方法吗?
生:比的前项和后项同时乘2,比值应该不变。(板书)
6÷8
=
(6×2)
÷
(8×2)
=
12÷16
被除数、除数同时乘2,商不变
6∶8
=
(6×2)
∶
(8×2)
=
12∶16
前项、后项同时乘2,比值不变
师:根据比与除法的关系,通过类比推理,得出:比的前项和后项同时乘相同的数,比值不变。
师:看小组的研究流程,通过类比推理,你得出什么结论?(板书)
6÷8
=
(6÷2)
÷
(8÷2)
=
3÷4
被除数、除数同时除以2,商不变
6∶8
=
(6÷2)
∶
(8÷2)
=
3∶4
前项、后项同时除以2,比值不变
预设 生:比的前项和后项同时除以相同的数,比值不变。
4.师:把这两个归纳的要点进行整合。谁来说一说?
预设 生:比的前项和后项同时乘或除以相同的数,比值不变。(板书)
5.师:讨论一下,这段话中有需要特别说明的地方吗?(或者提问:想一想同时乘或除以的数可以是任意一个数吗?)为什么?
预设 生1:我认为乘或除以的这个数要把0除外。
生2:我也这样认为,因为(6×0)∶(8×0)时,比的后项是0,而比的后项不能是0,所以我认为这个数不能是0。
师:你们的补充说明很重要,老师把它进行添加。(板书:0除外)
6.利用比与分数的关系验证。
师:刚才我们用除法与比的关系,联系商不变的性质发现了这个规律,你能用比和分数的关系来进一步验证吗?
7.学生独立在草稿纸上研究,再用多媒体进行展示汇报,集体交流。
预设 生:我的验证结果是一样的:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
前项、后项同时乘3,比值不变
前项、后项同时除以2,比值不变
师:大家的分析都非常正确。数学是一门严谨的学科,所有的知识,我们都要精准。大家一起把刚才的那段话再说一遍。
预设 生:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
师:这就是比的基本性质。(板书:比的基本性质)
二、应用比的基本性质化简比
1.(课件出示题目)
621怎样化成最简分数?
指名学生回答,补充交流。
预设 生:应用分数的基本性质,分子与分母同时除以它们的最大公因数3,即621=6÷321÷3=27。
师:运用分数的基本性质可以将分数化简,猜一猜用比的基本性质可以做什么呢?
预设 生:我猜也可以化简吧。
师:根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
师:你怎样理解最简单的整数比的意思?
预设 生1:我认为就是最简单的两个整数的比的形式。
生2:就是比的前项和后项都是整数,并且只有公因数1,或比的前项和后项是互质数。
……
师:最简单的整数比就是比的前项和后项只有公因数1的整数的比,或比的前项和后项是互质数的整数的比。
师:请在括号里填上合适的数,并说说你是怎样想的?(课件出示)
8∶16=( )∶32=24∶( )=( )∶160=48∶( )=1∶( )
预设 生1:第一个括号里填16,因为后项乘了2,所以前项也乘2,得到16。
生2:第二个括号里填……
……
【参考答案】 16 48 80 96 2
2.将整数比化简的方法。
(课件出示例1第(1)小题。)
师:请同学们认真分析题意,找出两面联合国旗的长和宽的比。
预设 生1:第一面联合国旗的长和宽的比是15∶10。
生2:第二面联合国旗的长和宽的比是180∶120。
师:请以小组为单位讨论:怎样才能化为最简单的整数比?
(汇报交流)
预设 生:15∶10=(15÷5)∶(10÷5)=3∶2。
师:为什么可以同时除以5?根据是什么?5是15和10的什么数?
预设 生1:根据比的基本性质,把比的前项和后项同时除以5。
生2:5是15和10的最大公因数。
师:第二面联合国旗的长和宽的最简单的整数比呢?你是怎样想的?
预设 生1:180∶120=(180÷60)∶(120÷60)=3∶2。
生2:我是利用比的基本性质,把前项和后项都除以180和120的最大公因数60,就得到3∶2。
师:一起归纳一下。
师:运用比的基本性质,把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数,就可以得到最简单的整数比。这就是整数比的化简。
3.含有分数和小数的比化简的方法。
(课件出示例1第(2)小题。)
把下面各比化成最简单的整数比。
16∶29 0.75∶2
师:仔细观察这两个比,它们的数量有什么特点?
预设 生1:第一题中的前项和后项都是分数。
生2:第二题中的前项是小数。
(1)化简16∶29。
师:小组讨论,当比的前项和后项出现分数时,怎样进行化简?为什么?
学生小组讨论,教师巡视指导。
师:哪个小组把你们的建议或想法说给全班同学听一下?
预设 生:可以找出分母6和9的最小公倍数18,前项和后项同时乘18,把分数变成整数,再进一步化简。
师:用他们的方法试一试。
学生独立尝试化简比,再交流结果。
16∶29=16×18∶29×18=3∶4
(2)巩固练习。(课件出示)
师:用你们学会的方法化简这两个比。
58∶712 56∶35
【参考答案】 15∶14 25∶18
(3)化简0.75∶2。
师:在解决问题前,我们首先要仔细分析最可行的方法。下面这一题可以自己独立解决,也可以同桌讨论再解决。
学生解决问题,教师巡视指导。
师:当比的前项或后项出现小数时,又怎样进行化简?
预设 生1:先根据比的基本性质把小数转化成整数,再进一步化简。(学生展示过程)
0.75∶2=(0.75×100)∶(2×100)=75∶200=(75÷25)∶(200÷25)=3∶8
生2:把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数,转化成整数比,再进一步化简。
(4)巩固练习。(课件出示)
0.8∶1.2 1.2∶24
师:尝试化简这两个比。
【参考答案】 2∶3 1∶20
4.归纳化简比的方法。
师:你们真的很聪明,能够运用所学的知识,采用小组、同桌讨论的方式,寻找到最优的方法来解决问题。
师:刚才我们学习了化简三种不同类型数据的比的过程,即比的前项和后项是整数的比、比的前项或后项是分数的比、比的前项或后项是小数的比。你们能说一说化简比的方法吗?
小组讨论,汇报交流。
预设 生1:比的前项和后项是整数,化简时,把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
生2:比的前项或后项是分数,化简时,把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数,转化成整数比,再进行化简。
生3:比的前项或后项是小数,化简时,把它化成整数比,再把比的前、后项同时除以它们的最大公因数。
教师总结:把比化成最简单的整数比,先用比的基本性质,把不是整数比的化成整数比,再把比的前、后项同时除以它们的最大公因数,就得到最简单的整数比。
1.教材第51页“做一做”。
学生独立完成,指名同学上台板演,集体订正。
重点说明:56∶16=5∶1,不能写成5,因为5是比值,而5∶1是一个比。
2.教材第53页练习十一第4,6题。
(1)第4题。
学生读题,说一说怎样才能把比的后项变成100,根据什么?
独立完成,集体订正。
(2)第6题。
观察题目,理解题意。说一说错在什么地方。思考:前项和后项单位不统一,怎样进行化简?
独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第51页“做一做”)2∶1 6∶5 1∶2 5∶1 14∶9 1∶5 2.(教材第53页练习十一)4.(1)98∶100 (2)12∶100 (3)110∶100 6.小亮的说法不对。因为1 m=100 cm。155∶100=(155÷5)∶(100÷5)=31∶20。
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学习了比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
生2:我会运用比的基本性质化简比。
生3:把比化成最简单的整数比,先用比的基本性质,把不是整数比的比化成整数比,再把比的前、后项同时除以它们的最大公因数,就得到最简单的整数比。
生4:最简单的整数比就是比的前项和后项都是整数并且它们只有公因数1,或者说它们是互质数。
作业1
教材第53页练习十一第5,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)29=( )18
(2)2∶26=1∶( )
(3)( )5=0.8∶( )=34∶( )=1.2
(4)小明5分钟走了350米,小明走路的时间和路程的最简整数比是( ),比值是( )。
2.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)40分钟∶23小时的比值是60。 ( )
(2)1∶2的前、后项都乘12,比值不变。 ( )
(3)比值只能用分数表示。 ( )
(4)比的前项和后项都是整数的比,就是最简单的整数比。 ( )
(5)如果甲数是乙数的65(甲、乙两数均不为0),那么甲数和乙数的比是5∶6。 ( )
(6)2∶3的前项加上6,要使比值不变,比的后项应该加上9。 ( )
3.(重点题)化简下面各比。
8分米∶12厘米 5.2∶1.3
14∶23 0.3∶27
【提升培优】
4.(变式题)求未知项x。
155∶x=6 x∶43=65
x6=4 x∶8=12
5.(难点题)一个长方形,长是6 cm,周长是22 cm,这个长方形的长与宽的比是多少?
【思维创新】
6.(探究题)如果把4∶3的前项加上8,要使比值不变,后项应该加上几?
【参考答案】
作业1:5.菠菜的钙、磷含量比最高,茄子的钙、磷含量比最低 7.2∶3=8∶12 4∶5=12∶15 甲数和丙数的比是8∶15 8.2∶3=4∶6 这个两位数是46。或:2÷(3-2)=2 2×2=4 2×3=6 4×10+6=46
作业2:1.(1)4 (2)13 (3)6 23 58 (4)1∶70 170 2.(1)? (2)√ (3)? (4)? (5)? (6)√ 3.8分米∶12厘米=80厘米∶12厘米=20∶3 5.2∶1.3=52∶13=4∶1 14∶23=3∶8 0.3∶27=310∶27=21∶20 4.x=12 x=85 x=24 x=4 5.22÷2-6=5(cm) 长与宽的比是6∶5 6.8÷4=2 2×3=6 后项应该加上6。
比的基本性质
6÷8
=
(6×2)
÷
(8×2)
=
12÷16
被除数、除数同时乘2,商不变
6∶8
=
(6×2)
∶
(8×2)
=
12∶16
前项、后项同时乘2,比值不变
6÷8
=
(6÷2)
÷
(8÷2)
=
3÷4
被除数、除数同时除以2,商不变
6∶8
=
(6÷2)
∶
(8÷2)
=
3∶4
前项、后项同时除以2,比值不变
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
本节课,充分利用学生已有的知识和经验,从新旧知识的联系入手,通过学生联想、猜测、观察、比较、类推、验证等方法探究比的基本性质。在教学中,始终贯彻学生是学习的主人的宗旨,让学生自主探究、小组合作、共同交流,使学生经历发现问题、解决问题的过程,体验成功的喜悦,提高学生的兴趣,促进学生能力的培养。
引导过程中,语言不够精炼。
再教这个内容时,语言要精炼、准确。
【做一做·51页】
32∶16=2∶1 48∶40=6∶5 0.15∶0.3=1∶2 56∶16=5∶1 712∶38=14∶9 0.125∶58=1∶5
【练习十一·52页】
1.(1)7∶4 74 (2)8∶5 85 5∶13 513 (3)3∶2 32 2.② 3.5∶9=59 0.6∶0.16=154 23∶67=79 0.8∶12=85 4.(1)98∶100 (2)12∶100 (3)110∶100 5.菠菜的钙、磷含量比最高,茄子的最低。 6.小亮的说法不对。正确的比应是155 cm∶1 m=155∶100=31∶20。 7.甲数∶乙数=2∶3,乙数∶丙数=4∶5。乙数是中间数,这两个比可用乙数交换连接。找出3和4的最小公倍数,甲数∶乙数=8∶12,乙数∶丙数=12∶15,所以甲数∶丙数=8∶15。 8.提示:十位上的数与个位上的数的比是2∶3,说明它们相差1份,由条件可知这两个数相差2,所以1份是2,2份是4,3份是6,这个两位数是46。
【?·53页】
提示:重叠部分占大长方形面积的16,说明大长方形的面积含有6个重叠部分,同理,小长方形的面积含有4个重叠部分,所以大、小长方形面积的比是6∶4=3∶2。如下图所示。
化简比并求比值:1∶0.125。
[名师点拨] 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。比值可以是整数、小数或分数。
[解答] 化简比:1∶0.125=(1×1000)∶(0.125×1000)=1000∶125=8∶1。
求比值:1∶0.125=1÷0.125=1÷18=1×8=8。
【知识拓展】 化简比可以把比写成除法的形式去化简。例如:1∶0.125=1÷0.125=1÷18=1×8=8∶1,结果要写成比的形式。
反 比
把一个比的后项作前项,前项作后项,所组成的比和原来的比互为反比。即a∶b(a≠0)与b∶a互为反比。
a∶b(a≠0)前、后项的倒数组成的比为1a∶1b,也叫做a∶b的反比,因为1a∶1b=b∶a,互为反比的两个比,它们的比值互为倒数。
神舟十号和天宫一号
“神舟”十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱组成。“神舟”十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒发射,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射。在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平。6月13日与天宫一号进行对接。6月26日回归地球。
它在太空的主要任务有:
1.为天宫一号在轨运营提供人员和物资天地往返运输服务,进一步考核交会对接、载人天地往返运输系统的功能和性能。
2.进一步考核组合体对航天员生活、工作和健康的保障能力,以及航天员执行飞行任务的能力。
3.进行航天员空间环境适应性、空间操作工效研究,开展空间科学实验、航天器在轨维修实验和空间站有关关键技术验证实验,首次开展面向青少年的太空科学讲座科普教育活动等。
4.进一步考核工程各系统执行飞行任务的功能、性能和系统间协调性。
天宫一号是中国研发的一个目标飞行器,目的是作为其他飞行器的接合点,是中国空间实验室的雏形。于北京时间2011年9月29日21时16分03.507秒发射升空。中国计划在2011至2013年内,相继发射“神舟”八号、“神舟”九号、“神舟”十号飞船,分别与天宫一号完成空间交会对接。天宫一号是一个重达8.5吨的空间实验室组件,寿命2年,将作为中国首个空间实验室。2013年6月13日,“神舟”十号与天宫一号对接。
天宫一号的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段(即掌握空间交会对接技术及建立空间实验室);同时也是中国空间站的起点,标志着中国已经拥有建立初步空间站,即短期无人照料的空间站的能力。中国成为世界上第三个自主掌握空间交会对接技术的国家。据相关专家透露,天宫一号在寿命末期,将主动离轨,陨落南太平洋。
3 比的应用
教材P54例2及练习十二第1~4题。
本节课的内容是比的应用,也就是解决按比分配的实际问题。这一类问题和“和倍问题”的实质相同。所谓的按比分配就是把一个量按照一定的比进行分配,这实际上是“平均分”方法的延伸和发展。解决按比分配的问题,主要有两种方法:一是把比的前项、后项看做分得的份数,先求出每一份;二是求出前、后项分别占总数的几分之几,用分数乘法来解答。教材中一般以第二种方法为主,因为学生对这种方法比较容易理解和接受,也利于加强知识间的前后联系。
1.让学生在自主探索中理解按比分配的意义。
2.掌握按比分配实际问题的结构特征以及解题方法,能正确解答按比分配的实际问题。
3.让学生感悟数学与日常生活的联系,激发学生学习数学的兴趣,体验数学知识的应用价值。
【重点】
理解按比分配的意义,能正确解答按比分配的实际问题。
【难点】
正确分析数量关系,灵活解决按比分配的实际问题。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 长方形纸条、彩色水笔
方法一
1.复习旧知识:抢答。(课件出示题目)
(1)将10克盐放入90克水中,盐和水的比是几比几?盐占盐水的几分之几?水占盐水的几分之几?
(2)学校有足球20个,篮球的个数占足球的34,篮球有多少个?
(3)育英小学种了三种树,樟树有10棵,杨树有30棵,柳树有50棵,樟树、杨树、柳树的棵数比是( )∶( )∶( ),樟树的棵数占三种树总棵数的( )( ),杨树的棵数占三种树总棵数的( )( ),柳树的棵数占三种树总棵数的( )( )。
师:看看这些题目,你们能很快说出答案吗?
预设 生:盐和水的比是10比90,即1∶9。盐占盐水的十分之一。
师:盐占盐水的九分之一吧?
预设 生1:盐是10克,水是90克,盐水就有100克。10÷100=110,盐占盐水的十分之一,不是九分之一。
生2:盐占水的九分之一。盐占盐水的十分之一。
师:分析得有道理。
预设 生:第二题要求篮球有多少个就是求20的34是多少,用乘法计算:20×34=15(个)。
师:条理清晰,分析正确。
预设 生1:樟树、杨树、柳树的棵数比是10∶30∶50,即1∶3∶5。
生2:三种树的总棵数是10+30+50=90(棵),樟树的棵数占三种树总棵数的19。
生3:杨树的棵数占三种树总棵数的13。
生4:柳树的棵数占三种树总棵数的59。
师:如果不知道樟树、杨树、柳树的棵数,只知道樟树、杨树、柳树的棵数比,你能求出这三种树各占总棵数的几分之几吗?
2.引入课题。
师:在生产生活中,比的应用十分广泛,这节课我们就来学习比在生活中的应用。(板书课题:比的应用)
[设计意图] 由复习旧知识“部分量与总量之间的关系”的呈现,唤起学生的记忆,并且为学习新知识做好铺垫。
方法二
师:在生活中我们会遇到很多和比的知识有关的问题。今天我们一起来学习比在生活中的应用。(板书课题:比的应用)
[设计意图] 直接进入课题,开门见山,能更快地吸引学生的注意力,并且让学生感觉到数学与生活的紧密联系。
比的应用
师:小明的妈妈在超市购买了一个某种清洁剂浓缩液的稀释瓶。(课件出示例2图及相关文字)
师:请根据提示的解题步骤,进行活动。(课件出示:阅读与理解→分析与解答→回顾与反思)
1.阅读与理解。
师:读题,你知道了什么?
预设 生1:这是一种清洁剂浓缩液的稀释瓶。
生2:它有三种配比的方式:1∶3、1∶4、1∶5。
师:有什么疑问或者不理解的地方吗?
预设 生:什么是稀释液?什么是浓缩液?
师:浓缩液是高浓度的溶液,稀释液是在浓缩液中加入水等物质,使得它的浓度降低的溶液。
师:如果按照1∶1的比配制稀释液,浓缩液和水各占几份?
预设 生:浓缩液占1份,水占1份。
(课件演示按1∶1的比配制稀释液)
2.分析与解答。
(1)(课件出示完整情景图)
(2)师:小明的妈妈按1∶4的比配制了一瓶500 mL的稀释液,其中浓缩液和水的体积分别是多少?说出你收集到的信息。
预设 生1:小明的妈妈按1∶4配制了500 mL的稀释液。
生2:要解决的问题是“浓缩液和水的体积分别是多少?”。
(3)师:“按1∶4的比配制稀释液”是什么意思?拿出你的长纸条,用彩笔在下图中表示出浓缩液和水。
(4)学生操作,可以小组讨论、交流。
(5)汇报交流,实物展台展示学生的分析图。
师:请几个同学来说说你的想法和做法。
预设 生1:我把长方形平均分成了5份,因为浓缩液的体积占1份,水的体积占4份,整个就是5份。然后把其中一份涂成了红色,表示浓缩液的体积是1份,其余的4份涂成了蓝色,表示水的体积是4份。
生2:浓缩液的体积占1份,水的体积占4份,一共是5份,浓缩液的体积占稀释液的15,水的体积占稀释液的45。(板书分析图)
……
师:你们越来越聪明了,很会运用图来帮助我们理解题意。真棒!
(6)师:你能求出浓缩液和水的体积分别是多少吗?请各小组同学一起讨论解法。
小组讨论交流,教师巡视指导。
(7)交流汇报。(结合学生回答,板书解法)
方法一:先求共有几份,再求每份是多少,最后求相应的几份是多少。(比转化成份数)
总份数:4+1=5(份)
每份是:500÷5=100(mL)
浓缩液有:100×1=100(mL)
水有:100×4=400(mL)
方法二:找出水和浓缩液各占稀释液的几分之几。(比转化成分数)
浓缩液:500×11+4=100(mL)
水:500×41+4=400(mL)
3.回顾与反思。
(1)师:我们的解答是否正确?要怎样验证?小组讨论,共同验证。
(2)汇报交流,展示方法。
预设 生1:我的方法是把求得的浓缩液和水的体积相加,看是不是等于稀释液的总体积。
生2:我的方法是把求得的浓缩液和水的体积写成比的形式,看化简后是不是等于1∶4。
4.巩固练习。(课件出示)
在2014年南京青奥会上,中国队和美国队获得金牌总数之比是19∶5,两个国家在本次青奥会上各获得多少枚金牌?
师:今天我们一起研究的是解决按比分配的问题。尝试着做一做这道题。
【参考答案】 解法1:中国:48×1919+5=38(枚) 美国:48×519+5=10(枚) 解法2:48÷(19+5)=2(枚) 中国:19×2=38(枚) 美国:5×2=10(枚)
5.归纳方法。
师:回顾一下我们的解题过程,一起来做个总结吧。(课件出示)
解法1:①根据比求出总份数。②求出各部分数占总数的几分之几。③运用分数乘法列式计算,求出各部分的量。④答题并检验。
解法2:①根据比先求出总份数。②求出每份是多少。③求出各部分的量。④答题并检验。
教材第55页练习十二第1,2,3,4题。
(1)第1题。
学生读题,理解题意。独立完成,集体订正。
(2)第2题。
①学生读题,理解题意。
师:说一说与第1题相比有什么不同。
预设 生:第1题中直接出现了比,第2题中的数据不是以比的形式出现的。
师:是按照什么样的比配制蜂蜜水的?
预设 生:是按1∶9的比配制的。
②独立完成,集体订正。
(3)第3题。
①学生读题,理解题意。说一说与第1,2题相比又有什么不同。
②先转化成按比分配的问题,再独立完成,集体订正。
(4)第4题。
①学生读题,理解题意。
师:说一说和前面几题相比,有什么不同?
预设 生:把一个量按比分成三份进行分配。
②独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.男婴:303×5151+50=153(人)或303÷(51+50)=3(人) 3×51=153(人) 女婴:303×5051+50=150(人)或303÷(51+50)=3(人) 3×50=150(人) 2.蜂蜜:200×11+9=20(mL)或200÷(1+9)=20(mL) 20×1=20(mL) 水:200×91+9=180(mL)或200÷(1+9)=20(mL) 20×9=180(mL) 3.游客:56×77+1=49(名)或56÷(7+1)=7(名) 7×7=49(名) 救生员:56×17+1=7(名)或56÷(7+1)=7(名) 7×1=7(名) 4.一班:70×4646+44+50=23(棵) 二班:70×4446+44+50=22(棵) 三班:70×5046+44+50=25(棵)
师:通过这节课的学习,你知道如何解决按比分配的问题吗?
预设 生1:可以根据比先求出总份数,再求出每份是多少,最后求出各部分的量。
生2:也可以根据比先求出总份数,然后求出各部分数占总数的几分之几,最后运用分数乘法列式计算,求出各部分的量。
生3:要注意检验结果是否正确。
作业1
教材第55页练习十二第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我是聪明的小法官。
(1)3克盐溶解到100克水中,水与盐水的比为3∶100。 ( )
(2)甲、乙速度比为14∶9,即甲每分钟走14米,乙每分钟走9米。 ( )
2.(基础题)填一填。
(1)有130名学生,男生与女生人数的比是6∶7,那么男生有( )人,女生有( )人。
(2)在一个三角形中,三个内角的度数比为2∶3∶4,这个三角形一定是( )角三角形,最大的角的度数是( )。
3.(重点题)小明、小红和小丽的体重比是5∶4∶3,已知小红重32 kg,小明和小丽的体重各是多少千克?
【提升培优】
4.(重点题)学校新建一个长方形游泳池,绕四周走一圈正好是150米,已知长和宽的比是3∶2。求这个游泳池的占地面积。
5.(变式题)小明和爷爷的年龄比是1∶6,已知小明比爷爷小50岁。小明和爷爷的年龄和是多少岁?
6.(易错题)要按照原汁∶水=1∶6的比把高浓缩橙汁原汁配制成普通橙汁。
(1)30 mL的原汁要加入多少毫升水?
(2)要配制3500 mL普通橙汁,需要多少毫升的高浓缩原汁?
【思维创新】
7.(探究题)甲、乙、丙、丁四个家庭共存款22000元,其中甲、乙、丙三个家庭存款数的比是5∶4∶7。甲家庭比丁家庭的存款数少1000元,这四个家庭各有多少元的存款?
【参考答案】
作业1:5.
比
前项
∶
后项
比值
除法
被除数
÷
除数
商
分数
分子
——
分母
分数值
区别:除法是一种运算,分数是一个数,比是两个数之间的倍数关系。 比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。 2∶3 3∶4 5∶6 6.(1)4 50 0.8 (2)1.25 4∶5 49 (3)110 7.西红柿:800×25=320(m2)
黄瓜:(800-320)×22+1=320(m2) 茄子:(800-320)×12+1=160(m2) 8.我和爸爸的年龄比是12∶38,即6∶19;妈妈和爸爸每个月的工资比是2000∶(36000÷12),即2∶3;爸爸和妈妈年工资比是36000∶(2000×12),即3∶2。 爸爸和妈妈月工资比是(36000÷12)∶2000=3∶2。(答案不唯一)
作业2:1.(1)? (2)? 2.(1)60 70 (2)锐 80° 3.32÷4=8(kg) 小明:8×5=40(kg) 小丽:8×3=24(kg) 4.150÷2=75(米) 3+2=5 75÷5=15(米) 长:15×3=45(米) 宽:15×2=30(米) 45×30=1350(平方米) 5.1+6=7 50÷67-17=50÷57=70(岁) 6.(1)30×6=180(mL)
(2)1+6=7 3500÷7=500(mL) 7.丁家庭存款数减去1000元,甲家庭和丁家庭存款数就相同,也占5份。22000-1000=21000(元) 甲:21000×521=5000(元) 乙:21000×421=4000(元) 丙:21000×721=7000(元) 丁:21000×521+1000=6000(元)
新课程改革的一个核心任务就是要改变学生原有的单纯接受式的学习方式,向自主探究的学习方式转变,充分调动、发挥学生的主体性。从这节课的教学过程来看,学生在教师引导下讨论、交流,真正实现了学习方式的转变。每一个问题的提出,教师都给予学生充分的时间和空间,让学生亲自交流合作,然后再观察比较,最后得出结论。整个过程,对培养学生自主学习的能力是至关重要的。
导入时间过长,引导时过细,放手的度不够。
再教这个内容时,导入可以更直接一些,复习内容不用过多。在教学过程中,要多给学生讨论的时间和空间,不要引导太细。
【练习十二·55页】
1.男婴:303×5150+51=153(人) 女婴:303×5050+51=150(人) 2.蜂蜜:200×11+9=20(mL) 水:200×91+9=180(mL) 3.救生员:56×11+7=7(名) 游客:56×71+7=49(名) 4.70×4646+44+50=23(棵) 70×4446+44+50=22(棵) 70×5046+44+50=25(棵) 5.如下表所示。
比
前项
比号
后项
比值
分数
分子
分数线
分母
分数值
除法
被除数
除号
除数
商
24∶36=2∶3 0.75∶1=3∶4 34∶910=5∶6 6.(1)4 50 0.8 (2)54 4∶5 49 (3)110 7.西红柿:800×25=320(m2) 800-320=480(m2)
黄瓜:480×22+1=320(m2) 茄子:480×12+1=160(m2) 8.我与爸爸的年龄比是12∶38=6∶19。
爸爸和妈妈年工资的比是36000∶(2000×12)=3∶2。
爸爸和妈妈月工资的比是(36000÷12)∶2000=3∶2。答案不唯一。 9.150∶60∶15=10∶4∶1 10.水泥:20×22+3+5=4(t) 沙子:20×32+3+5=6(t)
石子:20×52+3+5=10(t) 11.120÷4=30(cm) 长:30×33+2+1=15(cm) 宽:30×23+2+1=10(cm) 高:30×13+2+1=5(cm)
一块长方形地的周长是4800米,长和宽的比是3∶2,求这块地的面积。
[名师点拨] 已知长方形地的周长是4800米,那么长与宽的和是4800÷2=2400(米),把2400按比3∶2分配,长应该是2400×35米,宽应该是2400×25米,求面积用长×宽即可。
[解法1] 长、宽之和为4800÷2=2400(米)。
长、宽的总份数为2+3=5(份)。
长:2400×35=1440(米)。
宽:2400×25=960(米)。
面积:960×1440=1382400(平方米)。
答:这块地的面积是1382400平方米。
[解法2] 长、宽之和为4800÷2=2400(米)。
长、宽的总份数为2+3=5(份)。
平均每份的长度为2400÷5=480(米)。
长:480×3=1440(米)。
宽:480×2=960(米)。
面积:1440×960=1382400(平方米)。
答:这块地的面积是1382400平方米。
黄金分割
在线段AB上,点C把线段AB分成两段AC和BC,如果ACAB=BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,即ACAB≈0.618。
黄金分割蕴含着丰富的美学价值。如五角星是非常美丽的,我国国旗上就有5颗五角星,这是因为在五角星中线段之间的长度符合黄金比。又如报幕员站在舞台长度的黄金分割点处最美观,声音传播最好。
黄金比的作用不仅体现在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽略的作用。
人体中有趣的比
把拳头滚一周,它的长度与脚底长度的比大约是1∶1
身高与双臂平伸的比大约是1∶1
腿长与头长的比大约是4∶1
脚长和身高的比大约是1∶7
血液和体重的比大约是1∶13
成年男子肩宽和头长的比大约是2∶1
婴儿的头部与头部以下的长度的比大约是1∶3
成人头部与头部以下的长度的比大约是1∶7
第4单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、想一想,填一填(16分)
1.10∶36=( )(填最简整数比),读作( )。
2.34×( )=25÷( )=34∶( )=1。
3.甲数的34等于乙数的25(甲、乙两数均不为0),甲数∶乙数=( )∶( )。
4.甲、乙两个正方形的边长之比是8∶7,它们的周长之比是( ),面积之比是( )。
5.甲数的38是24,乙数是40的25,甲数∶乙数=( )。
6.一个长方形,它的周长是36厘米,长和宽的比是7∶2,这个长方形的面积是( )平方厘米。
7.A,B,C三个数的平均数是60,这三个数的比是1∶2∶3,这三个数分别为( ),( ),( )。
8.一种盐水,盐与水的比为1∶10,现有这种盐水550克,其中盐有( )克,水有( )克。
二、我是聪明的小法官(14分)
1.比的前项和后项同时乘或除以同一个数(非零),比值不变。 ( )
2.34∶14化简后是3。 ( )
3.a∶b=2∶5,那么b是a的25。 ( )
4.小明和小光一起从家去图书馆,小明用了15分钟,小光用了16分钟,小明与小光的速度之比是15∶16。 ( )
5.甲数与乙数的比是4∶5,乙数是甲数的54。 ( )
6.21∶7化简比和求比值的结果都是3。 ( )
7.小红的身高是1 m,妈妈的身高是168 cm,小红和妈妈身高的比是1∶168。 ( )
三、看一看,选一选(12分)
1.比的前项扩大为原来的4倍,要使比值扩大为原来的8倍,比的后项应( )。
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的12
C.缩小为原来的13
2.38∶916的比值是( )。
A.2∶3 B.32 C.23
3.六(1)班六月份有一天请假2人,出勤48人,缺勤人数与全班人数的比是( )。
A.1∶25 B.1∶24 C.24∶25
4.一项工程,甲队单独做要8天完成,乙队单独做要10天完成,甲、乙两队工作效率之比是( )。
A.4∶5 B.5∶4 C.4∶9
5.一个比的后项是8,比值是34,这个比的前项是( )。
A.3 B.4 C.6
6.把5克盐放入50克水中,盐和水的比是( )。
A.1∶9 B.1∶8
C.1∶10 D.1∶11
四、计算(30分)
1.求比值。(12分)
6.4∶8 16∶23
0.375∶0.625 14小时∶30分
2.化简比。(12分)
35∶925 120千克∶2.4吨
1.25∶0.4 425∶25
3.解方程。(6分)
35∶x=3 x∶0.25=4
五、解决问题(28分)
1.一块长方形菜地的周长是180米,长和宽的比是5∶4,求这块菜地的面积。(5分)
2.一种药水按照药和水1∶20的比配制而成,现在要配制这种药水735克,需要药和水各多少克?(5分)
3.一个长方体,从同一顶点引出的三条棱共长24 cm,这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3。这个长方体的长、宽、高各是多少?(6分)
4.小明有邮票46张,小军有邮票38张,小军给小明多少张邮票后,小明与小军的邮票数之比为9∶5?(6分)
5.甲、乙两车同时从两地出发,相向而行,两地相距450千米,甲、乙两车的速度比为2∶3,经过3小时后两车相遇,甲、乙两车的速度分别是多少千米/时?(6分)
★附加题
A,B两种商品的价格比是7∶3,如果它们的价格分别上涨70元,那么它们的价格比是7∶4,这两种商品原来的价格各是多少元?
【参考答案】
一、1.5∶18 5比18 2.43 25 34 3.8 15
4.8∶7 64∶49 5.4∶1 6.56 7.30 60 90 8.50 500
二、1.√ 2.? 3.? 4.? 5.√ 6.? 7.?
三、1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C
四、1.0.8 14 35 12 2.5∶3 1∶20 25∶8 2∶5 3.x=15 x=1
五、1.180÷2=90(米),长:90×55+4=50(米),宽:90×45+4=40(米),面积:50×40=2000(平方米)。 2.药:735×11+20=35(克) 水:735×201+20=700(克) 3.长:24×55+4+3=10(cm),宽:24×45+4+3=8(cm),高:24×35+4+3=6(cm) 4.46+38=84(张) 84×99+5=54(张) 54-46=8(张) 5.450÷3=150(千米/时) 甲车速度:150×22+3=60(千米/时) 乙车速度:150×32+3=90(千米/时)
附加题 解:设A商品原来的价格是7x元,则B商品原来的价格是3x元。(7x+70)∶(3x+70)=7∶4,x=30,A商品原来的价格为7x=7×30=210(元),B商品原来的价格为3x=3×30=90(元)。
本单元的主要教学内容包括:比的意义,比的读、写方法,比与分数、除法的关系,比的基本性质,求比值,化简比,按比分配。
学生在学习之前已经掌握了除法的意义与商不变的性质、分数的意义与基本性质、分数与除法的关系等知识,会进行分数乘、除法计算,会解答有关分数乘、除法的实际问题。比与除法、分数有着密切联系,求比值、化简比和按比分配等知识的学习与分数乘、除法密不可分。
比是小学数学中一个重要的概念,教材借助学生生活经验,通过情景设计,引发学生思考和讨论,抽象出比的概念,理解比的意义。教材注重引导学生结合比的意义,主动联系以前所学过的分数和除法的知识,自主探索比的基本性质。教材还安排了按照一定的比进行分配的实际问题,这实际上是“平均分”方法的延伸和发展。教材注重引导学生利用比的意义,把新问题转化为已经学过的平均分问题和分数乘法问题,通过独立思考、合作交流,自主探索按比分配问题的解决办法,感受解决问题策略的多样化。
1.使学生理解比的意义,知道比与分数、除法的关系。
2.使学生理解并掌握比的基本性质,会求比值、化简比,能解答按比分配的实际问题。
使学生在理解比的意义、探索比与分数和除法之间的关系以及比的基本性质的过程中,体会类比法、推理思想,积累数学活动经验,体会数学知识之间的内在联系,把握数学知识的本质。
使学生经历用比描述生活现象和解决实际问题的过程,能灵活地运用知识解决按比分配的实际问题。
经历用比描述生活现象和解决实际问题的完整过程,使学生养成审题和反思的好习惯,感受数学知识在日常生活中的应用价值。
【重点】
1.使学生理解比的意义,知道比与分数、除法的关系。
2.使学生理解并掌握比的基本性质,会求比值、化简比,能解答按比分配的实际问题。
【难点】
理解比的意义,知道比与分数、除法的关系。
1.联系已学知识,引导学生自主学习
根据本单元教学内容的特点和学生的认知情况,充分利用原有的学习基础,引导学生联系相关知识,进行类比和推理,尽可能让学生自主学习,通过自己的思考,解决新问题,得到新结论。在探索过程中,要求学生不仅要知道“怎么做”,还要思考“为什么这样做”,即“知其然,而知其所以然。”
2.注重情景教学
在教学中运用多媒体创设学生熟悉的生活情景和问题情景,提高学生的学习兴趣,激发学生探求新知的欲望。教材中展示的情景比较多,教师要利用这些情景,使之更优化。
3.以学生为主体,创设多种探究情景,使新旧知识融会贯通
由于本单元内容学习之前,学生的已有知识已经很多,所以教师要以学生为主体,创设多种探究情景,多给学生一些提问质疑、探究发现的机会和条件,让学生积极地学习数学。教师要注重新知识和旧知识的联系和区别,让学生充分感悟相关知识异同,这样有利于生成新知识,并加深对旧知识的理解,使新旧知识融会贯通。
1 比的意义
教材P48~49及练习十一第1~3题。
本节课的内容较多,包括比的意义、比的读法与写法、比各部分的名称,以及比和除法、分数之间的关系等。教材选取了“神舟”五号这一现实素材为载体,既富有教育意义,又能较自然地引出比的两种情形:同类量的比,即长和宽的比;非同类量的比,即路程和时间的比。接着直接抽象出比的意义:两个数的比表示两个数相除。然后是比的写法、各部分的名称、比值的概念、比的分数形式写法以及比和除法、分数之间的关系。
1.使学生在具体的情景中理解比的意义,会读、写比,认识比的各部分名称;掌握求比值的方法,能准确地求出比值。
2.使学生掌握比、分数、除法之间的联系与区别,通过观察和思考,理解数学知识之间是相互联系的。
3.在数学活动中,培养学生分析、综合、抽象、概括等能力,体会数学知识之间的联系,感受学习数学的乐趣。
【重点】
理解比的意义。
【难点】
理解并掌握比和分数、除法之间的联系与区别。
【教师准备】 PPT课件
方法一
1.师:在学习新知识之前,我们一起来解决几个问题,看看它们能给我们什么提示?(课件出示复习题)
(1)学校有篮球20个,足球15个。篮球是足球的几倍?足球是篮球的几分之几?
(2)王老师骑自行车,2小时行了12千米,王老师骑自行车的速度是多少?
(3)妈妈买回6千克苹果,共花42元,每千克苹果多少钱?
2.指名学生口头列式,并说一说题中的数量关系。
预设 生1:20÷15=43,篮球是足球的43倍。用篮球的个数除以足球的个数就得到篮球是足球的几倍。
生2:15÷20=34,足球是篮球的34。用足球的个数除以篮球的个数就得到足球是篮球的几分之几。
生3:12÷2=6(千米/时),王老师骑自行车的速度是6千米/时。速度等于路程除以时间。
生4:42÷6=7(元),每千克苹果7元。单价等于总价除以数量。
师:根据我们的复习内容,猜一猜,我们今天的学习内容会与什么有关?
预设 生1:除法。
生2:分数。
生3:解决问题。
生4:会用到数量关系式:速度=路程÷时间,或者是单价=总价÷数量。
……
师:究竟会与什么知识有关呢?我们一起拭目以待吧。
(课件出示主题图)
师:从阅读材料和图片中你知道了什么?
预设 生1:这是“神舟”五号载人飞船。
生2:这里面的宇航员是杨利伟叔叔。
生3:他展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
生4:我觉得我们中国人既聪明又勇敢。
……
师:小精灵也飞来了,看一看它说了些什么。
[设计意图] 从复习旧知识入手,并提出“根据我们的复习内容,猜一猜,我们今天的学习内容会与什么有关?”这样一个问题,一方面是通过猜想、验证的方式,充分调动学生的主动性和学习的积极性,另一方面能起到知识迁移的作用。
方法二
师:我们一起来看一段视频。(课件播放“天宫一号”发射过程视频)
师:同学们,看完这段视频,你有什么感受?
预设 生1:宇宙很奇妙。
生2:我国的航天技术真不错。
……
师:我国第一位乘坐载人飞船登上太空的航天英雄是谁?
预设 生1:杨利伟叔叔。
生2:杨利伟叔叔两次登上太空呢!
师:对,这是杨利伟叔叔乘坐“神舟”五号登上太空的时候。
(课件出示教材情景图:杨利伟在飞船内展示国旗)
师:2003年10月15日,我国的第一艘载人飞船“神舟”五号顺利升空。杨利伟叔叔在飞船里向人们展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
师:这两面旗帜的长和宽都分别是15 cm,10 cm。
师:比较这两面旗长和宽的关系,你能提出什么问题?
预设 生1:长比宽长多少厘米?
生2:宽比长短多少厘米?
生3:长是宽的多少倍?
生4:宽是长的几分之几?
……
(根据学生回答,筛选出两个板书)
①长是宽的几倍?
②宽是长的几分之几?
[设计意图] 联系新材料,吸引学生的注意力,并利用情景对学生进行爱国主义教育。提出开放性的问题,让学生感知两个同类量之间的不同关系,即相差关系和倍数关系。
方法三
师:(播放影片,“神舟”五号的相关资料)看完这段影片,你了解到一些什么信息?
预设 生1:“神舟”五号飞船是一艘载人飞船。
生2:我国第一个登上太空的宇航员是杨利伟叔叔。
……
师:老师截取了其中一个场景,请仔细观察。(课件出示主题图)
师:从老师截取的场景中,你又知道了一些什么?
生:杨利伟叔叔展示了联合国旗和中华人民共和国国旗。
……
师:这两面旗的长和宽都分别是15 cm,10 cm。
师:比较这两面旗长和宽的关系,你能提出什么问题?
预设 生1:长比宽长多少厘米?
生2:宽比长短多少厘米?
生3:长是宽的多少倍?
生4:宽是长的几分之几?
……
(根据学生的回答,筛选出两个板书)
①长是宽的几倍?
②宽是长的几分之几?
[设计意图] 直接从情景入手,以播放影片的方式,调动学生的听、看、说、思等各种感官功能,全方位地进入学习新知识中,并利用情景对学生进行爱国主义教育。提出开放性的问题,让学生感知两个同类量之间的不同关系,即相差关系和倍数关系。
一、比的意义
1.同类量的比。
(1)师:说一说怎样解决上面两个问题。
预设 生1:用除法解决,15÷10=1.5,长是宽的1.5倍。
生2:用除法解决,10÷15=23,宽是长的三分之二。
师:像上面两题中的长和宽的倍数关系,除了用除法表示外,还可以用一种新的方法表示——比。(板书课题:比的意义)
师:15÷10(板书)表示长是宽的几倍,我们可以说长和宽的比是15比10(板书)。10÷15(板书)表示宽是长的几分之几,可以说宽和长的比是10比15。(板书)
(2)巩固练习。(课件出示练习)
你能学着用比的说法来表示两个数量之间的关系吗?
(1)爸爸的身高是儿子的几倍:180÷130;
(2)妈妈的工资是爸爸的几分之几:3200÷5000。
【参考答案】 (1)爸爸与儿子的身高比是180比130。 (2)妈妈和爸爸的工资比是3200比5000。
师总结:身高与身高、工资与工资的比都是同类量的比,比是除法关系的另一种表示方式。
2.不同类量相除用比表示。
(1)(课件出示信息)“神舟”五号进入运行轨道后,在距地350 km的高空做圆周运动,平均90分钟绕地球一周,大约运行42252 km。
师:平均每分钟运行多少千米?怎样列式?说出你列式的理由。(板书:算式)
预设 生:42252÷90,路程÷时间=速度。
师:除了用除法表示路程与时间的关系外,我们也可以用另一种表示两者之间关系的说法。谁来试一试,可以怎样说?
预设 生1:路程与时间的比是42252比90。(板书)
生2:路程与时间的比表示的是速度。
师:说的棒极了!你们很会进行知识拓展,这也是学习新知识的一个好办法。
师:时间和速度是不同类的量,两个不同类的量的比可以表示一个新的量。
师:再来尝试几个,好吗?和同桌说一说。
(2)巩固练习。(课件出示练习)
买2个笔记本用了5元,5÷2表示什么?
【参考答案】 5÷2既表示总价÷数量=单价,还可以说总价与数量的比是5比2。
[设计意图] 每一种例子后都进行小练习,主要是加深学生对比的意义的理解,即比既可以表示两个同类量相除,也可以表示两个不同类量相除。
3.概括比的意义。
师:观察上面的例子,你能说一说什么叫比吗?
小组讨论,汇报交流。
教师引导小结:两个数的比表示两个数相除。(板书)
二、比的读、写,各部分名称及求比值
1.学生先自学教材第49页上半部分内容,然后小组内交流获得的知识。
师:请同学们自学教材第49页上半部分的内容。看一看,你知道了一些什么?有什么感到为难的地方?
2.集体交流,教师板书。
预设 生1:我知道“∶”是比号。
生2:我知道了比的记法。
生3:比的各部分的名称。(边说边板书)
师:说一说比值是怎样求出来的,比值可以怎样表示?
预设 生1:把比转化成比的前项除以后项,再计算。
生2:比值常用分数表示。
生3:比值也可以用小数或整数表示。
……
3.巩固练习。(课件出示练习)
指出下面比的各部分名称。
6∶9=23 8∶4=2 6∶5=1.2
指名让学生口答。
【参考答案】
[设计意图] 本节内容采用自学的方式,加强自主学习,提高学生的分析能力和归纳整理能力。
四、比与除法、分数的关系
1.师:比与除法、分数有什么关系?
2.小组讨论,教师巡视指导。
3.汇报交流。(课件展示)
比
前项
∶
后项
比值
除法
被除数
÷
除数
商
分数
分子
——
分母
分数值
比、除法、分数的关系:
a∶b=a÷b=ab(b≠0)
4.比与除法、分数的区别。
师:通过这样一个表格和关系式,我们就很容易、很清楚地知道比、除法和分数之间的关系了。那么它们三者之间有什么区别呢?
5.小组讨论,汇报交流。
预设 生:除法是一种运算,分数是一种数,比表示两个数之间的关系。
6.师:除法、分数中都有特殊的要求,是什么?
预设 生1:除法中的除数不能为0。
生2:分数中的分母也不能为0。
师:比又有什么特殊要求呢?
7.小组讨论,汇报交流。
预设 生:比的后项不能是0。因为比的后项相当于除法中的除数,也相当于分数中的分母,除数和分母都不能是0,所以比的后项也不能是0。
五、比值是分数时的读法
师:3∶2写成32后,怎么读?
预设 生:读作3比2。
师强调:32表示比时,不能读成二分之三,应读作“三比二”。(板书)
1.教材第49页“做一做”第1,2题。
(1)第1题。
学生独立完成,集体订正。
(2)第2题。
师:先观察题目,说一说怎样想。
预设 生:根据比和除法的关系,先把比转化成除法,然后根据除法各部分之间的关系进行计算。
独立完成,集体订正。
预设 生1:3∶( )=24,也就是3除以几是24,根据除数等于被除数除以商来计算得出,括号里填18。
生2:( )∶8=0.5,也就是几除以8等于0.5,求被除数,可以用除数乘商计算得出,括号里填4。
2.教材第52页练习十一第1,2,3题。
(1)第1题。
学生独立完成,集体订正。
(2)第2题。
让学生利用方格纸找出红旗的长和宽之比,再口答。
(3)第3题。
学生独立完成,再全班交流。
【参考答案】 1.(教材第49页“做一做”)1.6∶8 34或0.75 1.8∶2.4 34或0.75 2.18 4 2.(教材第52页练习十一)1.(1)14∶8 74或1.75
(2)16∶10 85或1.6 10∶26 513 (3)18∶12 32或1.5 2.② 3.59 154 79 1.6或85
师:这节课我们学习了什么?
预设 生1:我们认识了比。两个数的比表示两个数相除。
生2:比的各部分的名称。
生3:我可以把比转化成比的前项除以后项,求出它的比值。
生4:比值一般是分数,也可以是整数、小数。
生5:我会读比、写比。
生6:我会用表格写出比、除法、分数之间的区别。
生7:比、除法、分数之间的关系为:
a∶b=a÷b=ab(b≠0)
生8:比的后项不能为0.
……
师:你还有什么想学的相关知识?
预设 生:我还想知道比有什么作用?
……
作业1
1.填空。
(1)3∶7=( )÷( )=( )( )。
(2)书法小组有男生6人,女生5人,男、女生人数的比是( );女生人数和男生人数的比是( );男生人数和全小组人数的比是( );女生人数和全小组人数的比是( )。
2.求出下面各比的比值。
6∶8 0.5∶0.15 3∶0.5
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填空。
(1)3∶( )=24,3∶( )=0.8
(2)11÷6=( )∶( )=( )( )
2.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)速度是相应的路程与时间的比值。 ( )
(2)比有两种读法,如3∶5=35,读作三比五或五分之三。 ( )
3.(重点题)求比值。
3∶5 512∶23 0.05∶1
【提升培优】
4.(难点题)你能算出下面三角形、长方形的周长比和面积比分别是多少吗?
5.(难点题)从甲地到乙地,快车7小时可以行完全程,慢车用10小时行完全程,写出快车和慢车所用的时间比的比值和速度比的比值。
【思维创新】
6.(竞赛题)如图所示,甲、乙两个三角形有一部分重叠在一起,重叠部分占三角形甲面积的14,占三角形乙面积的27,求三角形甲和三角形乙的面积比。
【参考答案】
作业1:1.(1)3 7 37 (2)6∶5 5∶6 6∶11 5∶11 2.34 103 6
作业2:1.(1)18 154 (2)11 6 116 2.(1)√ (2)? 3.35 58 0.05 4.周长比:(15+9+12)∶(25+25+16+16)=36∶82 面积比:12×12×9∶(25×16)=54∶400 5.7∶10=710 17∶110=107 6.8∶7
本节课,采取以教师为主导,以学生为主体的教学方式,充分发挥学生的主动性,让学生真正成为学习的小主人。在学习比的各部分名称及读法、写法时,采用了让学生自学课本的方式,因为自学课本也是学生探索问题、解决问题的重要途径。根据高年级学生的阅读、理解能力,结合教材的具体内容,充分相信学生,组织学生以小组为单位进行研究、探索、讨论、总结,有利于培养学生的创新意识和实践能力,也有利于学生的思维发展及培养学生间的合作精神。
导入课题的时间有点过长,应该更加精简。
再教这个内容时,课前的复习导入可以少用一点题目,缩短时间,给新知学习留足时间。
【做一做·49页】
1.6∶8 34 1.8∶2.4 34 2.3∶18=24
(4)∶8=0.5
有一杯盐水,盐占盐水的110,则盐和水的比是( )。
[名师点拨] 由题意可知把盐水看做单位“1”,盐占盐水的110。把盐水分成10份,盐占1份,水占(10-1)份。所以盐和水的比是1∶9。如下图。
[解答] 1∶9
斐波那契数列
斐波那契(1175~1250)是意大利的数学家。1202年他发表《算法之书》,书中提出了一个后来广为流传的“兔子繁殖问题”:如果一对兔子每月能生一对小兔,而每对小兔在它出生后的第3个月又能开
始生一对小兔,假定没有小兔死亡,由1对初生的小兔开始一年后能繁殖多少对小兔?
很显然,前6个月的小兔的对数是1,1,2,3,5,8,…,通过观察发现,从第3个数开始,每个数都是它前两个数的和。按照这一规律排列的一组数命名为“斐波那契数列”,更奇特的是从第3个数开始,前一项与后一项的比都接近0.618,又与“黄金分割”相吻合。
斐波那契数列不仅反映了某些动物的生长规律,也反映了某些植物的生长规律。
“神舟”五号
“神舟”五号飞船是在无人飞船的基础上研制的我国第1艘载人飞船,乘有1名航天员杨利伟。它于2003年10月15日09时00分,在甘肃酒泉卫星发射中心发射,在轨道运行了1天,2003年10月16日6时28分着陆在内蒙古中部阿木古朗草原地区。
整个飞行期间为航天员提供必要的生活和工作条件,同时将航天员的生理数据、电视图像发回地面,并确保航天员安全返回。此次飞行标志着中国成为第三个有能力独自将人送上太空的国家,打破了由美国和前苏联(俄罗斯)在载人航天领域的独霸局面,提高了我国的国际地位。
2 比的基本性质
教材P50~51例1及练习十一第4~8题。
本节课的内容是比的基本性质和化简比。教材联系比和除法、分数的关系,启发学生概括出比的基本性质。注重学生对基本性质的理解,更注重推导过程的全部展示。教材在例1教学运用比的基本性质化简比时,仍用前面的情景,这样既体现知识的连续性,又能引导学生进行知识的迁移和转化。
1.使学生联系商不变的性质和分数的基本性质,理解比的基本性质。
2.能应用比的基本性质化简比,初步掌握化简比的方法。
3.在自主探究的过程中,使学生掌握新旧知识的联系,培养观察、比较、推理、概括、合作、交流等数学能力。
【重点】
理解并掌握比的基本性质。
【难点】
应用比的基本性质把比化成最简单的整数比。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
方法一
1.(课件出示题目)
填一填。
45÷9=( )÷90=4.5÷( )
师:请同学们先说出括号里的数,再说一说你是根据什么填的?
预设 生:450和0.9,我是根据商不变的性质来填的。
师:什么是商不变的性质?
预设 生:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
2.(课件出示题目)
填一填。
812=( )6=16( )
师:请同学们先说出括号里的数,再说一说你是根据什么填的?
预设 生:4和24,我是根据分数的基本性质填的。
师:什么是分数的基本性质?
预设 生:分数的分子和分母同时乘或除以一个不为0的数,分数值不变。
3.师:什么是比?
预设 生:两个数的比表示两个数相除。
师:两个数的比还可以写成什么形式?请举例说明。
预设 生:两个数的比还可以写成分数的形式和除法的形式,比如:6∶8=6÷8=68。
4.师:比和除法、分数有密切的联系,在除法中有商不变的性质,在分数中有分数的基本性质,大家猜想一下,比会有这样类似的性质吗?(板书课题:比的基本性质)
[设计意图] 从商不变的性质和分数的基本性质导入,可以借助比、除法、分数之间的关系进入新知识的学习,目的性很强,并且把对比、除法、分数之间的关系的理解进行了巩固。
方法二
师:语文中有词语接龙,今天我们把数学算式也来接龙一下,看谁接得又快又对。请大家准备好。
师:32÷80=?
预设 生1:320÷800
生2:3.2÷8
……
师:为什么你们说得这么快?
预设 生:我们可以根据商不变的性质来说。
师:什么是商不变的性质?
预设 生:被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外),商不变。
师:在分数里面也有一个类似的性质,还记得吗?
预设 生1:分数的基本性质。
生2:分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外),分数值不变。
师:谁来说一个分数,我们利用分数的基本性质来接一接。
预设 生1:36
生2:612
生3:12
……
师:前面我们刚学过比,比与除法、分数关系密切,它也有一个基本性质,今天我们就一起来研究比的基本性质。(板书课题:比的基本性质)
[设计意图] 从语文的词语接龙方式导入,比较新奇,并且加强了学科之间的联系。采用接龙的形式,没有引导,而是学生根据理解,熟练运用商不变的性质和分数的基本性质,开放的空间给予学生更深层次的思考。
方法三
师:前面我们认识了比,谁来说一说,你知道了有关比的哪些知识?
预设 生1:我知道了比的意义。两个数的比表示两个数相除。
生2:我知道了比的各部分名称,比号前面的是比的前项,比号后面的是比的后项,比的前项除以后项所得的商是比值。
生3:我知道了比的后项不能是0。
生4:我知道了比值常用分数表示,也可以用整数或小数表示。
生5:比、除法、分数的关系为a∶b=a÷b=ab(b≠0)。
……
师:大家都说得很好,今天我们继续来研究比。
[设计意图] 直接从前一课的知识进入学习新知识的过程,迅速而快捷,并且学生能更好地进行知识的贯通和融合。
一、认识比的基本性质
1.师:以小组为单位,联系比与除法的关系,用“6∶8=6÷8”为例子讨论:比的前项和后项及比值会有什么样的规律?
2.小组尝试研究、讨论交流,教师巡视指导。
3.汇报交流,教师板书并引导学生进行观察。
师:6÷8=12÷16中,被除数与除数是怎样进行变化的?
预设 生:被除数和除数同时乘2,商不变。
师:6∶8和12∶16相等吗?
预设 生:6∶8的比值是0.75,12∶16的比值是0.75,所以6∶8=12∶16。
师:还有其他方法吗?
生:比的前项和后项同时乘2,比值应该不变。(板书)
6÷8
=
(6×2)
÷
(8×2)
=
12÷16
被除数、除数同时乘2,商不变
6∶8
=
(6×2)
∶
(8×2)
=
12∶16
前项、后项同时乘2,比值不变
师:根据比与除法的关系,通过类比推理,得出:比的前项和后项同时乘相同的数,比值不变。
师:看小组的研究流程,通过类比推理,你得出什么结论?(板书)
6÷8
=
(6÷2)
÷
(8÷2)
=
3÷4
被除数、除数同时除以2,商不变
6∶8
=
(6÷2)
∶
(8÷2)
=
3∶4
前项、后项同时除以2,比值不变
预设 生:比的前项和后项同时除以相同的数,比值不变。
4.师:把这两个归纳的要点进行整合。谁来说一说?
预设 生:比的前项和后项同时乘或除以相同的数,比值不变。(板书)
5.师:讨论一下,这段话中有需要特别说明的地方吗?(或者提问:想一想同时乘或除以的数可以是任意一个数吗?)为什么?
预设 生1:我认为乘或除以的这个数要把0除外。
生2:我也这样认为,因为(6×0)∶(8×0)时,比的后项是0,而比的后项不能是0,所以我认为这个数不能是0。
师:你们的补充说明很重要,老师把它进行添加。(板书:0除外)
6.利用比与分数的关系验证。
师:刚才我们用除法与比的关系,联系商不变的性质发现了这个规律,你能用比和分数的关系来进一步验证吗?
7.学生独立在草稿纸上研究,再用多媒体进行展示汇报,集体交流。
预设 生:我的验证结果是一样的:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
前项、后项同时乘3,比值不变
前项、后项同时除以2,比值不变
师:大家的分析都非常正确。数学是一门严谨的学科,所有的知识,我们都要精准。大家一起把刚才的那段话再说一遍。
预设 生:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
师:这就是比的基本性质。(板书:比的基本性质)
二、应用比的基本性质化简比
1.(课件出示题目)
621怎样化成最简分数?
指名学生回答,补充交流。
预设 生:应用分数的基本性质,分子与分母同时除以它们的最大公因数3,即621=6÷321÷3=27。
师:运用分数的基本性质可以将分数化简,猜一猜用比的基本性质可以做什么呢?
预设 生:我猜也可以化简吧。
师:根据比的基本性质,可以把比化成最简单的整数比。
师:你怎样理解最简单的整数比的意思?
预设 生1:我认为就是最简单的两个整数的比的形式。
生2:就是比的前项和后项都是整数,并且只有公因数1,或比的前项和后项是互质数。
……
师:最简单的整数比就是比的前项和后项只有公因数1的整数的比,或比的前项和后项是互质数的整数的比。
师:请在括号里填上合适的数,并说说你是怎样想的?(课件出示)
8∶16=( )∶32=24∶( )=( )∶160=48∶( )=1∶( )
预设 生1:第一个括号里填16,因为后项乘了2,所以前项也乘2,得到16。
生2:第二个括号里填……
……
【参考答案】 16 48 80 96 2
2.将整数比化简的方法。
(课件出示例1第(1)小题。)
师:请同学们认真分析题意,找出两面联合国旗的长和宽的比。
预设 生1:第一面联合国旗的长和宽的比是15∶10。
生2:第二面联合国旗的长和宽的比是180∶120。
师:请以小组为单位讨论:怎样才能化为最简单的整数比?
(汇报交流)
预设 生:15∶10=(15÷5)∶(10÷5)=3∶2。
师:为什么可以同时除以5?根据是什么?5是15和10的什么数?
预设 生1:根据比的基本性质,把比的前项和后项同时除以5。
生2:5是15和10的最大公因数。
师:第二面联合国旗的长和宽的最简单的整数比呢?你是怎样想的?
预设 生1:180∶120=(180÷60)∶(120÷60)=3∶2。
生2:我是利用比的基本性质,把前项和后项都除以180和120的最大公因数60,就得到3∶2。
师:一起归纳一下。
师:运用比的基本性质,把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数,就可以得到最简单的整数比。这就是整数比的化简。
3.含有分数和小数的比化简的方法。
(课件出示例1第(2)小题。)
把下面各比化成最简单的整数比。
16∶29 0.75∶2
师:仔细观察这两个比,它们的数量有什么特点?
预设 生1:第一题中的前项和后项都是分数。
生2:第二题中的前项是小数。
(1)化简16∶29。
师:小组讨论,当比的前项和后项出现分数时,怎样进行化简?为什么?
学生小组讨论,教师巡视指导。
师:哪个小组把你们的建议或想法说给全班同学听一下?
预设 生:可以找出分母6和9的最小公倍数18,前项和后项同时乘18,把分数变成整数,再进一步化简。
师:用他们的方法试一试。
学生独立尝试化简比,再交流结果。
16∶29=16×18∶29×18=3∶4
(2)巩固练习。(课件出示)
师:用你们学会的方法化简这两个比。
58∶712 56∶35
【参考答案】 15∶14 25∶18
(3)化简0.75∶2。
师:在解决问题前,我们首先要仔细分析最可行的方法。下面这一题可以自己独立解决,也可以同桌讨论再解决。
学生解决问题,教师巡视指导。
师:当比的前项或后项出现小数时,又怎样进行化简?
预设 生1:先根据比的基本性质把小数转化成整数,再进一步化简。(学生展示过程)
0.75∶2=(0.75×100)∶(2×100)=75∶200=(75÷25)∶(200÷25)=3∶8
生2:把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同的位数,转化成整数比,再进一步化简。
(4)巩固练习。(课件出示)
0.8∶1.2 1.2∶24
师:尝试化简这两个比。
【参考答案】 2∶3 1∶20
4.归纳化简比的方法。
师:你们真的很聪明,能够运用所学的知识,采用小组、同桌讨论的方式,寻找到最优的方法来解决问题。
师:刚才我们学习了化简三种不同类型数据的比的过程,即比的前项和后项是整数的比、比的前项或后项是分数的比、比的前项或后项是小数的比。你们能说一说化简比的方法吗?
小组讨论,汇报交流。
预设 生1:比的前项和后项是整数,化简时,把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。
生2:比的前项或后项是分数,化简时,把比的前项和后项同时乘它们分母的最小公倍数,转化成整数比,再进行化简。
生3:比的前项或后项是小数,化简时,把它化成整数比,再把比的前、后项同时除以它们的最大公因数。
教师总结:把比化成最简单的整数比,先用比的基本性质,把不是整数比的化成整数比,再把比的前、后项同时除以它们的最大公因数,就得到最简单的整数比。
1.教材第51页“做一做”。
学生独立完成,指名同学上台板演,集体订正。
重点说明:56∶16=5∶1,不能写成5,因为5是比值,而5∶1是一个比。
2.教材第53页练习十一第4,6题。
(1)第4题。
学生读题,说一说怎样才能把比的后项变成100,根据什么?
独立完成,集体订正。
(2)第6题。
观察题目,理解题意。说一说错在什么地方。思考:前项和后项单位不统一,怎样进行化简?
独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.(教材第51页“做一做”)2∶1 6∶5 1∶2 5∶1 14∶9 1∶5 2.(教材第53页练习十一)4.(1)98∶100 (2)12∶100 (3)110∶100 6.小亮的说法不对。因为1 m=100 cm。155∶100=(155÷5)∶(100÷5)=31∶20。
师:通过这节课的学习,你有什么收获?
预设 生1:我学习了比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
生2:我会运用比的基本性质化简比。
生3:把比化成最简单的整数比,先用比的基本性质,把不是整数比的比化成整数比,再把比的前、后项同时除以它们的最大公因数,就得到最简单的整数比。
生4:最简单的整数比就是比的前项和后项都是整数并且它们只有公因数1,或者说它们是互质数。
作业1
教材第53页练习十一第5,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)填一填。
(1)29=( )18
(2)2∶26=1∶( )
(3)( )5=0.8∶( )=34∶( )=1.2
(4)小明5分钟走了350米,小明走路的时间和路程的最简整数比是( ),比值是( )。
2.(易错题)我是聪明的小法官。
(1)40分钟∶23小时的比值是60。 ( )
(2)1∶2的前、后项都乘12,比值不变。 ( )
(3)比值只能用分数表示。 ( )
(4)比的前项和后项都是整数的比,就是最简单的整数比。 ( )
(5)如果甲数是乙数的65(甲、乙两数均不为0),那么甲数和乙数的比是5∶6。 ( )
(6)2∶3的前项加上6,要使比值不变,比的后项应该加上9。 ( )
3.(重点题)化简下面各比。
8分米∶12厘米 5.2∶1.3
14∶23 0.3∶27
【提升培优】
4.(变式题)求未知项x。
155∶x=6 x∶43=65
x6=4 x∶8=12
5.(难点题)一个长方形,长是6 cm,周长是22 cm,这个长方形的长与宽的比是多少?
【思维创新】
6.(探究题)如果把4∶3的前项加上8,要使比值不变,后项应该加上几?
【参考答案】
作业1:5.菠菜的钙、磷含量比最高,茄子的钙、磷含量比最低 7.2∶3=8∶12 4∶5=12∶15 甲数和丙数的比是8∶15 8.2∶3=4∶6 这个两位数是46。或:2÷(3-2)=2 2×2=4 2×3=6 4×10+6=46
作业2:1.(1)4 (2)13 (3)6 23 58 (4)1∶70 170 2.(1)? (2)√ (3)? (4)? (5)? (6)√ 3.8分米∶12厘米=80厘米∶12厘米=20∶3 5.2∶1.3=52∶13=4∶1 14∶23=3∶8 0.3∶27=310∶27=21∶20 4.x=12 x=85 x=24 x=4 5.22÷2-6=5(cm) 长与宽的比是6∶5 6.8÷4=2 2×3=6 后项应该加上6。
比的基本性质
6÷8
=
(6×2)
÷
(8×2)
=
12÷16
被除数、除数同时乘2,商不变
6∶8
=
(6×2)
∶
(8×2)
=
12∶16
前项、后项同时乘2,比值不变
6÷8
=
(6÷2)
÷
(8÷2)
=
3÷4
被除数、除数同时除以2,商不变
6∶8
=
(6÷2)
∶
(8÷2)
=
3∶4
前项、后项同时除以2,比值不变
比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
本节课,充分利用学生已有的知识和经验,从新旧知识的联系入手,通过学生联想、猜测、观察、比较、类推、验证等方法探究比的基本性质。在教学中,始终贯彻学生是学习的主人的宗旨,让学生自主探究、小组合作、共同交流,使学生经历发现问题、解决问题的过程,体验成功的喜悦,提高学生的兴趣,促进学生能力的培养。
引导过程中,语言不够精炼。
再教这个内容时,语言要精炼、准确。
【做一做·51页】
32∶16=2∶1 48∶40=6∶5 0.15∶0.3=1∶2 56∶16=5∶1 712∶38=14∶9 0.125∶58=1∶5
【练习十一·52页】
1.(1)7∶4 74 (2)8∶5 85 5∶13 513 (3)3∶2 32 2.② 3.5∶9=59 0.6∶0.16=154 23∶67=79 0.8∶12=85 4.(1)98∶100 (2)12∶100 (3)110∶100 5.菠菜的钙、磷含量比最高,茄子的最低。 6.小亮的说法不对。正确的比应是155 cm∶1 m=155∶100=31∶20。 7.甲数∶乙数=2∶3,乙数∶丙数=4∶5。乙数是中间数,这两个比可用乙数交换连接。找出3和4的最小公倍数,甲数∶乙数=8∶12,乙数∶丙数=12∶15,所以甲数∶丙数=8∶15。 8.提示:十位上的数与个位上的数的比是2∶3,说明它们相差1份,由条件可知这两个数相差2,所以1份是2,2份是4,3份是6,这个两位数是46。
【?·53页】
提示:重叠部分占大长方形面积的16,说明大长方形的面积含有6个重叠部分,同理,小长方形的面积含有4个重叠部分,所以大、小长方形面积的比是6∶4=3∶2。如下图所示。
化简比并求比值:1∶0.125。
[名师点拨] 比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。比值可以是整数、小数或分数。
[解答] 化简比:1∶0.125=(1×1000)∶(0.125×1000)=1000∶125=8∶1。
求比值:1∶0.125=1÷0.125=1÷18=1×8=8。
【知识拓展】 化简比可以把比写成除法的形式去化简。例如:1∶0.125=1÷0.125=1÷18=1×8=8∶1,结果要写成比的形式。
反 比
把一个比的后项作前项,前项作后项,所组成的比和原来的比互为反比。即a∶b(a≠0)与b∶a互为反比。
a∶b(a≠0)前、后项的倒数组成的比为1a∶1b,也叫做a∶b的反比,因为1a∶1b=b∶a,互为反比的两个比,它们的比值互为倒数。
神舟十号和天宫一号
“神舟”十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱组成。“神舟”十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒发射,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射。在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平。6月13日与天宫一号进行对接。6月26日回归地球。
它在太空的主要任务有:
1.为天宫一号在轨运营提供人员和物资天地往返运输服务,进一步考核交会对接、载人天地往返运输系统的功能和性能。
2.进一步考核组合体对航天员生活、工作和健康的保障能力,以及航天员执行飞行任务的能力。
3.进行航天员空间环境适应性、空间操作工效研究,开展空间科学实验、航天器在轨维修实验和空间站有关关键技术验证实验,首次开展面向青少年的太空科学讲座科普教育活动等。
4.进一步考核工程各系统执行飞行任务的功能、性能和系统间协调性。
天宫一号是中国研发的一个目标飞行器,目的是作为其他飞行器的接合点,是中国空间实验室的雏形。于北京时间2011年9月29日21时16分03.507秒发射升空。中国计划在2011至2013年内,相继发射“神舟”八号、“神舟”九号、“神舟”十号飞船,分别与天宫一号完成空间交会对接。天宫一号是一个重达8.5吨的空间实验室组件,寿命2年,将作为中国首个空间实验室。2013年6月13日,“神舟”十号与天宫一号对接。
天宫一号的发射标志着中国迈入中国航天“三步走”战略的第二步第二阶段(即掌握空间交会对接技术及建立空间实验室);同时也是中国空间站的起点,标志着中国已经拥有建立初步空间站,即短期无人照料的空间站的能力。中国成为世界上第三个自主掌握空间交会对接技术的国家。据相关专家透露,天宫一号在寿命末期,将主动离轨,陨落南太平洋。
3 比的应用
教材P54例2及练习十二第1~4题。
本节课的内容是比的应用,也就是解决按比分配的实际问题。这一类问题和“和倍问题”的实质相同。所谓的按比分配就是把一个量按照一定的比进行分配,这实际上是“平均分”方法的延伸和发展。解决按比分配的问题,主要有两种方法:一是把比的前项、后项看做分得的份数,先求出每一份;二是求出前、后项分别占总数的几分之几,用分数乘法来解答。教材中一般以第二种方法为主,因为学生对这种方法比较容易理解和接受,也利于加强知识间的前后联系。
1.让学生在自主探索中理解按比分配的意义。
2.掌握按比分配实际问题的结构特征以及解题方法,能正确解答按比分配的实际问题。
3.让学生感悟数学与日常生活的联系,激发学生学习数学的兴趣,体验数学知识的应用价值。
【重点】
理解按比分配的意义,能正确解答按比分配的实际问题。
【难点】
正确分析数量关系,灵活解决按比分配的实际问题。
【教师准备】 PPT课件、实物展台
【学生准备】 长方形纸条、彩色水笔
方法一
1.复习旧知识:抢答。(课件出示题目)
(1)将10克盐放入90克水中,盐和水的比是几比几?盐占盐水的几分之几?水占盐水的几分之几?
(2)学校有足球20个,篮球的个数占足球的34,篮球有多少个?
(3)育英小学种了三种树,樟树有10棵,杨树有30棵,柳树有50棵,樟树、杨树、柳树的棵数比是( )∶( )∶( ),樟树的棵数占三种树总棵数的( )( ),杨树的棵数占三种树总棵数的( )( ),柳树的棵数占三种树总棵数的( )( )。
师:看看这些题目,你们能很快说出答案吗?
预设 生:盐和水的比是10比90,即1∶9。盐占盐水的十分之一。
师:盐占盐水的九分之一吧?
预设 生1:盐是10克,水是90克,盐水就有100克。10÷100=110,盐占盐水的十分之一,不是九分之一。
生2:盐占水的九分之一。盐占盐水的十分之一。
师:分析得有道理。
预设 生:第二题要求篮球有多少个就是求20的34是多少,用乘法计算:20×34=15(个)。
师:条理清晰,分析正确。
预设 生1:樟树、杨树、柳树的棵数比是10∶30∶50,即1∶3∶5。
生2:三种树的总棵数是10+30+50=90(棵),樟树的棵数占三种树总棵数的19。
生3:杨树的棵数占三种树总棵数的13。
生4:柳树的棵数占三种树总棵数的59。
师:如果不知道樟树、杨树、柳树的棵数,只知道樟树、杨树、柳树的棵数比,你能求出这三种树各占总棵数的几分之几吗?
2.引入课题。
师:在生产生活中,比的应用十分广泛,这节课我们就来学习比在生活中的应用。(板书课题:比的应用)
[设计意图] 由复习旧知识“部分量与总量之间的关系”的呈现,唤起学生的记忆,并且为学习新知识做好铺垫。
方法二
师:在生活中我们会遇到很多和比的知识有关的问题。今天我们一起来学习比在生活中的应用。(板书课题:比的应用)
[设计意图] 直接进入课题,开门见山,能更快地吸引学生的注意力,并且让学生感觉到数学与生活的紧密联系。
比的应用
师:小明的妈妈在超市购买了一个某种清洁剂浓缩液的稀释瓶。(课件出示例2图及相关文字)
师:请根据提示的解题步骤,进行活动。(课件出示:阅读与理解→分析与解答→回顾与反思)
1.阅读与理解。
师:读题,你知道了什么?
预设 生1:这是一种清洁剂浓缩液的稀释瓶。
生2:它有三种配比的方式:1∶3、1∶4、1∶5。
师:有什么疑问或者不理解的地方吗?
预设 生:什么是稀释液?什么是浓缩液?
师:浓缩液是高浓度的溶液,稀释液是在浓缩液中加入水等物质,使得它的浓度降低的溶液。
师:如果按照1∶1的比配制稀释液,浓缩液和水各占几份?
预设 生:浓缩液占1份,水占1份。
(课件演示按1∶1的比配制稀释液)
2.分析与解答。
(1)(课件出示完整情景图)
(2)师:小明的妈妈按1∶4的比配制了一瓶500 mL的稀释液,其中浓缩液和水的体积分别是多少?说出你收集到的信息。
预设 生1:小明的妈妈按1∶4配制了500 mL的稀释液。
生2:要解决的问题是“浓缩液和水的体积分别是多少?”。
(3)师:“按1∶4的比配制稀释液”是什么意思?拿出你的长纸条,用彩笔在下图中表示出浓缩液和水。
(4)学生操作,可以小组讨论、交流。
(5)汇报交流,实物展台展示学生的分析图。
师:请几个同学来说说你的想法和做法。
预设 生1:我把长方形平均分成了5份,因为浓缩液的体积占1份,水的体积占4份,整个就是5份。然后把其中一份涂成了红色,表示浓缩液的体积是1份,其余的4份涂成了蓝色,表示水的体积是4份。
生2:浓缩液的体积占1份,水的体积占4份,一共是5份,浓缩液的体积占稀释液的15,水的体积占稀释液的45。(板书分析图)
……
师:你们越来越聪明了,很会运用图来帮助我们理解题意。真棒!
(6)师:你能求出浓缩液和水的体积分别是多少吗?请各小组同学一起讨论解法。
小组讨论交流,教师巡视指导。
(7)交流汇报。(结合学生回答,板书解法)
方法一:先求共有几份,再求每份是多少,最后求相应的几份是多少。(比转化成份数)
总份数:4+1=5(份)
每份是:500÷5=100(mL)
浓缩液有:100×1=100(mL)
水有:100×4=400(mL)
方法二:找出水和浓缩液各占稀释液的几分之几。(比转化成分数)
浓缩液:500×11+4=100(mL)
水:500×41+4=400(mL)
3.回顾与反思。
(1)师:我们的解答是否正确?要怎样验证?小组讨论,共同验证。
(2)汇报交流,展示方法。
预设 生1:我的方法是把求得的浓缩液和水的体积相加,看是不是等于稀释液的总体积。
生2:我的方法是把求得的浓缩液和水的体积写成比的形式,看化简后是不是等于1∶4。
4.巩固练习。(课件出示)
在2014年南京青奥会上,中国队和美国队获得金牌总数之比是19∶5,两个国家在本次青奥会上各获得多少枚金牌?
师:今天我们一起研究的是解决按比分配的问题。尝试着做一做这道题。
【参考答案】 解法1:中国:48×1919+5=38(枚) 美国:48×519+5=10(枚) 解法2:48÷(19+5)=2(枚) 中国:19×2=38(枚) 美国:5×2=10(枚)
5.归纳方法。
师:回顾一下我们的解题过程,一起来做个总结吧。(课件出示)
解法1:①根据比求出总份数。②求出各部分数占总数的几分之几。③运用分数乘法列式计算,求出各部分的量。④答题并检验。
解法2:①根据比先求出总份数。②求出每份是多少。③求出各部分的量。④答题并检验。
教材第55页练习十二第1,2,3,4题。
(1)第1题。
学生读题,理解题意。独立完成,集体订正。
(2)第2题。
①学生读题,理解题意。
师:说一说与第1题相比有什么不同。
预设 生:第1题中直接出现了比,第2题中的数据不是以比的形式出现的。
师:是按照什么样的比配制蜂蜜水的?
预设 生:是按1∶9的比配制的。
②独立完成,集体订正。
(3)第3题。
①学生读题,理解题意。说一说与第1,2题相比又有什么不同。
②先转化成按比分配的问题,再独立完成,集体订正。
(4)第4题。
①学生读题,理解题意。
师:说一说和前面几题相比,有什么不同?
预设 生:把一个量按比分成三份进行分配。
②独立完成,集体订正。
【参考答案】 1.男婴:303×5151+50=153(人)或303÷(51+50)=3(人) 3×51=153(人) 女婴:303×5051+50=150(人)或303÷(51+50)=3(人) 3×50=150(人) 2.蜂蜜:200×11+9=20(mL)或200÷(1+9)=20(mL) 20×1=20(mL) 水:200×91+9=180(mL)或200÷(1+9)=20(mL) 20×9=180(mL) 3.游客:56×77+1=49(名)或56÷(7+1)=7(名) 7×7=49(名) 救生员:56×17+1=7(名)或56÷(7+1)=7(名) 7×1=7(名) 4.一班:70×4646+44+50=23(棵) 二班:70×4446+44+50=22(棵) 三班:70×5046+44+50=25(棵)
师:通过这节课的学习,你知道如何解决按比分配的问题吗?
预设 生1:可以根据比先求出总份数,再求出每份是多少,最后求出各部分的量。
生2:也可以根据比先求出总份数,然后求出各部分数占总数的几分之几,最后运用分数乘法列式计算,求出各部分的量。
生3:要注意检验结果是否正确。
作业1
教材第55页练习十二第5,6,7,8题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)我是聪明的小法官。
(1)3克盐溶解到100克水中,水与盐水的比为3∶100。 ( )
(2)甲、乙速度比为14∶9,即甲每分钟走14米,乙每分钟走9米。 ( )
2.(基础题)填一填。
(1)有130名学生,男生与女生人数的比是6∶7,那么男生有( )人,女生有( )人。
(2)在一个三角形中,三个内角的度数比为2∶3∶4,这个三角形一定是( )角三角形,最大的角的度数是( )。
3.(重点题)小明、小红和小丽的体重比是5∶4∶3,已知小红重32 kg,小明和小丽的体重各是多少千克?
【提升培优】
4.(重点题)学校新建一个长方形游泳池,绕四周走一圈正好是150米,已知长和宽的比是3∶2。求这个游泳池的占地面积。
5.(变式题)小明和爷爷的年龄比是1∶6,已知小明比爷爷小50岁。小明和爷爷的年龄和是多少岁?
6.(易错题)要按照原汁∶水=1∶6的比把高浓缩橙汁原汁配制成普通橙汁。
(1)30 mL的原汁要加入多少毫升水?
(2)要配制3500 mL普通橙汁,需要多少毫升的高浓缩原汁?
【思维创新】
7.(探究题)甲、乙、丙、丁四个家庭共存款22000元,其中甲、乙、丙三个家庭存款数的比是5∶4∶7。甲家庭比丁家庭的存款数少1000元,这四个家庭各有多少元的存款?
【参考答案】
作业1:5.
比
前项
∶
后项
比值
除法
被除数
÷
除数
商
分数
分子
——
分母
分数值
区别:除法是一种运算,分数是一个数,比是两个数之间的倍数关系。 比的基本性质:比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0除外),比值不变。 2∶3 3∶4 5∶6 6.(1)4 50 0.8 (2)1.25 4∶5 49 (3)110 7.西红柿:800×25=320(m2)
黄瓜:(800-320)×22+1=320(m2) 茄子:(800-320)×12+1=160(m2) 8.我和爸爸的年龄比是12∶38,即6∶19;妈妈和爸爸每个月的工资比是2000∶(36000÷12),即2∶3;爸爸和妈妈年工资比是36000∶(2000×12),即3∶2。 爸爸和妈妈月工资比是(36000÷12)∶2000=3∶2。(答案不唯一)
作业2:1.(1)? (2)? 2.(1)60 70 (2)锐 80° 3.32÷4=8(kg) 小明:8×5=40(kg) 小丽:8×3=24(kg) 4.150÷2=75(米) 3+2=5 75÷5=15(米) 长:15×3=45(米) 宽:15×2=30(米) 45×30=1350(平方米) 5.1+6=7 50÷67-17=50÷57=70(岁) 6.(1)30×6=180(mL)
(2)1+6=7 3500÷7=500(mL) 7.丁家庭存款数减去1000元,甲家庭和丁家庭存款数就相同,也占5份。22000-1000=21000(元) 甲:21000×521=5000(元) 乙:21000×421=4000(元) 丙:21000×721=7000(元) 丁:21000×521+1000=6000(元)
新课程改革的一个核心任务就是要改变学生原有的单纯接受式的学习方式,向自主探究的学习方式转变,充分调动、发挥学生的主体性。从这节课的教学过程来看,学生在教师引导下讨论、交流,真正实现了学习方式的转变。每一个问题的提出,教师都给予学生充分的时间和空间,让学生亲自交流合作,然后再观察比较,最后得出结论。整个过程,对培养学生自主学习的能力是至关重要的。
导入时间过长,引导时过细,放手的度不够。
再教这个内容时,导入可以更直接一些,复习内容不用过多。在教学过程中,要多给学生讨论的时间和空间,不要引导太细。
【练习十二·55页】
1.男婴:303×5150+51=153(人) 女婴:303×5050+51=150(人) 2.蜂蜜:200×11+9=20(mL) 水:200×91+9=180(mL) 3.救生员:56×11+7=7(名) 游客:56×71+7=49(名) 4.70×4646+44+50=23(棵) 70×4446+44+50=22(棵) 70×5046+44+50=25(棵) 5.如下表所示。
比
前项
比号
后项
比值
分数
分子
分数线
分母
分数值
除法
被除数
除号
除数
商
24∶36=2∶3 0.75∶1=3∶4 34∶910=5∶6 6.(1)4 50 0.8 (2)54 4∶5 49 (3)110 7.西红柿:800×25=320(m2) 800-320=480(m2)
黄瓜:480×22+1=320(m2) 茄子:480×12+1=160(m2) 8.我与爸爸的年龄比是12∶38=6∶19。
爸爸和妈妈年工资的比是36000∶(2000×12)=3∶2。
爸爸和妈妈月工资的比是(36000÷12)∶2000=3∶2。答案不唯一。 9.150∶60∶15=10∶4∶1 10.水泥:20×22+3+5=4(t) 沙子:20×32+3+5=6(t)
石子:20×52+3+5=10(t) 11.120÷4=30(cm) 长:30×33+2+1=15(cm) 宽:30×23+2+1=10(cm) 高:30×13+2+1=5(cm)
一块长方形地的周长是4800米,长和宽的比是3∶2,求这块地的面积。
[名师点拨] 已知长方形地的周长是4800米,那么长与宽的和是4800÷2=2400(米),把2400按比3∶2分配,长应该是2400×35米,宽应该是2400×25米,求面积用长×宽即可。
[解法1] 长、宽之和为4800÷2=2400(米)。
长、宽的总份数为2+3=5(份)。
长:2400×35=1440(米)。
宽:2400×25=960(米)。
面积:960×1440=1382400(平方米)。
答:这块地的面积是1382400平方米。
[解法2] 长、宽之和为4800÷2=2400(米)。
长、宽的总份数为2+3=5(份)。
平均每份的长度为2400÷5=480(米)。
长:480×3=1440(米)。
宽:480×2=960(米)。
面积:1440×960=1382400(平方米)。
答:这块地的面积是1382400平方米。
黄金分割
在线段AB上,点C把线段AB分成两段AC和BC,如果ACAB=BCAC,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比,即ACAB≈0.618。
黄金分割蕴含着丰富的美学价值。如五角星是非常美丽的,我国国旗上就有5颗五角星,这是因为在五角星中线段之间的长度符合黄金比。又如报幕员站在舞台长度的黄金分割点处最美观,声音传播最好。
黄金比的作用不仅体现在绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽略的作用。
人体中有趣的比
把拳头滚一周,它的长度与脚底长度的比大约是1∶1
身高与双臂平伸的比大约是1∶1
腿长与头长的比大约是4∶1
脚长和身高的比大约是1∶7
血液和体重的比大约是1∶13
成年男子肩宽和头长的比大约是2∶1
婴儿的头部与头部以下的长度的比大约是1∶3
成人头部与头部以下的长度的比大约是1∶7
第4单元阶段测评
(时间:60分钟 满分:100分)
一、想一想,填一填(16分)
1.10∶36=( )(填最简整数比),读作( )。
2.34×( )=25÷( )=34∶( )=1。
3.甲数的34等于乙数的25(甲、乙两数均不为0),甲数∶乙数=( )∶( )。
4.甲、乙两个正方形的边长之比是8∶7,它们的周长之比是( ),面积之比是( )。
5.甲数的38是24,乙数是40的25,甲数∶乙数=( )。
6.一个长方形,它的周长是36厘米,长和宽的比是7∶2,这个长方形的面积是( )平方厘米。
7.A,B,C三个数的平均数是60,这三个数的比是1∶2∶3,这三个数分别为( ),( ),( )。
8.一种盐水,盐与水的比为1∶10,现有这种盐水550克,其中盐有( )克,水有( )克。
二、我是聪明的小法官(14分)
1.比的前项和后项同时乘或除以同一个数(非零),比值不变。 ( )
2.34∶14化简后是3。 ( )
3.a∶b=2∶5,那么b是a的25。 ( )
4.小明和小光一起从家去图书馆,小明用了15分钟,小光用了16分钟,小明与小光的速度之比是15∶16。 ( )
5.甲数与乙数的比是4∶5,乙数是甲数的54。 ( )
6.21∶7化简比和求比值的结果都是3。 ( )
7.小红的身高是1 m,妈妈的身高是168 cm,小红和妈妈身高的比是1∶168。 ( )
三、看一看,选一选(12分)
1.比的前项扩大为原来的4倍,要使比值扩大为原来的8倍,比的后项应( )。
A.扩大为原来的2倍
B.缩小为原来的12
C.缩小为原来的13
2.38∶916的比值是( )。
A.2∶3 B.32 C.23
3.六(1)班六月份有一天请假2人,出勤48人,缺勤人数与全班人数的比是( )。
A.1∶25 B.1∶24 C.24∶25
4.一项工程,甲队单独做要8天完成,乙队单独做要10天完成,甲、乙两队工作效率之比是( )。
A.4∶5 B.5∶4 C.4∶9
5.一个比的后项是8,比值是34,这个比的前项是( )。
A.3 B.4 C.6
6.把5克盐放入50克水中,盐和水的比是( )。
A.1∶9 B.1∶8
C.1∶10 D.1∶11
四、计算(30分)
1.求比值。(12分)
6.4∶8 16∶23
0.375∶0.625 14小时∶30分
2.化简比。(12分)
35∶925 120千克∶2.4吨
1.25∶0.4 425∶25
3.解方程。(6分)
35∶x=3 x∶0.25=4
五、解决问题(28分)
1.一块长方形菜地的周长是180米,长和宽的比是5∶4,求这块菜地的面积。(5分)
2.一种药水按照药和水1∶20的比配制而成,现在要配制这种药水735克,需要药和水各多少克?(5分)
3.一个长方体,从同一顶点引出的三条棱共长24 cm,这个长方体的长、宽、高的比是5∶4∶3。这个长方体的长、宽、高各是多少?(6分)
4.小明有邮票46张,小军有邮票38张,小军给小明多少张邮票后,小明与小军的邮票数之比为9∶5?(6分)
5.甲、乙两车同时从两地出发,相向而行,两地相距450千米,甲、乙两车的速度比为2∶3,经过3小时后两车相遇,甲、乙两车的速度分别是多少千米/时?(6分)
★附加题
A,B两种商品的价格比是7∶3,如果它们的价格分别上涨70元,那么它们的价格比是7∶4,这两种商品原来的价格各是多少元?
【参考答案】
一、1.5∶18 5比18 2.43 25 34 3.8 15
4.8∶7 64∶49 5.4∶1 6.56 7.30 60 90 8.50 500
二、1.√ 2.? 3.? 4.? 5.√ 6.? 7.?
三、1.B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C
四、1.0.8 14 35 12 2.5∶3 1∶20 25∶8 2∶5 3.x=15 x=1
五、1.180÷2=90(米),长:90×55+4=50(米),宽:90×45+4=40(米),面积:50×40=2000(平方米)。 2.药:735×11+20=35(克) 水:735×201+20=700(克) 3.长:24×55+4+3=10(cm),宽:24×45+4+3=8(cm),高:24×35+4+3=6(cm) 4.46+38=84(张) 84×99+5=54(张) 54-46=8(张) 5.450÷3=150(千米/时) 甲车速度:150×22+3=60(千米/时) 乙车速度:150×32+3=90(千米/时)
附加题 解:设A商品原来的价格是7x元,则B商品原来的价格是3x元。(7x+70)∶(3x+70)=7∶4,x=30,A商品原来的价格为7x=7×30=210(元),B商品原来的价格为3x=3×30=90(元)。