第8单元 数学广角——数与形（详细教案15页）

第8单元　数学广角——数与形
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《数与形》是本册教材第8单元《数学广角》的内容。它是教材新增的内容。数形结合是一种非常重要的思想,把数与形结合起来解决问题,可使复杂的问题变得更简单,使抽象的问题变得更直观。小学低年级学生就已经接触过数的规律,例如数的递增、递减等。图形的变化规律也早已接触过,生活中的例子比比皆是。形的问题中包含着数的规律,数的问题也可以用形来帮助解决,教学时,可让学生通过解决问题体会到数与形的这种完美结合。既可以从数的角度出发,让学生看看可以怎样用图形来表示数的规律,也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律。通过数与形的对应关系,互相印证结果,感受数学的魅力。现在教材作为例题编写,其意图是让学生通过数与形的对照,探究发现图形中隐藏的数的规律,进一步体会数与形之间的内在联系,感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性,并能把数形结合的思想迁移到解决其他一些实际问题中去,帮助学生积累经验。
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学生通过自主探究发现图形中隐藏着数的规律,并会应用所发现的规律。会利用图形解决一些有关数的问题。
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使学生在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理、极限等基本的数学思想。
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使学生会利用图形解决一些有关数的问题。
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在解决问题的过程中感受数学的魅力,培养学生探索数学的兴趣,积累数学活动经验。
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【重点】
理解分数乘法的意义,理解和掌握分数乘法的计算方法,会进行分数乘法的计算和简便计算。
【难点】
理解分数乘法的算理。
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1.数形结合的例子在小学数学教材中很多,在教学中让学生通过想一想、摆一摆、算一算、议一议,发现图形中隐藏的数的规律,并且能用发现的规律来解决一些有关数的问题。
2.让学生在解决数学问题的过程中,体会和掌握数形结合、归纳推理的数学思想,培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。
3.在教学中,借助直观的模型帮助学生理解,利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实。
4.在练习中,让学生利用数形对照,观察图的变化规律,并探究数的变化规律,体验数与形的对应关系,互相印证结果,感受数学的魅力。
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　数与形
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本课时的内容有求1,3,5,7……之和与正方形个数的关系及求
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,
1
64
……之和两个层次。数与形的例子,学生已经接触过很多,有的是图形中隐含着数的规律,可利用这些规律来解决问题,有的是利用图形来直观解释比较抽象的数学原理和事实。教材中的第一层次就是通过数与形的对照,利用图形直观形象的特点表示出数的规律。第二层次是借助图形解决一些比较抽象的、复杂的、不好理解的问题。教师要引导学生在利用数与形结合解决问题的过程中,积累基本的活动经验,培养推理、极限等基本的数学思想。
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1.通过观察和分析发现图形与数之间的对应关
系,以及图形中隐藏着的数的变化规律,感受数学学习的意义。
2.能够从图形有规律的变化中抽象出数学模型,学会用数形结合、归纳推理等方法解决一些有关数的问题。
3.在解决问题的过程中感受数学的魅力,培养学生探索数学的兴趣,积累数学活动经验。
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【重点】
用“数形结合”的方法探索规律、解决问题。
【难点】
明确数与形的对应关系,体会数形结合思想。
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【教师准备】　PPT课件和实物展台
【学生准备】　不同颜色的小正方形若干
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方法一
1.猜谜语:四四又方方,口袋经常放,擦手擦汗时,请它来帮忙。(打一常用物)
谜底:手帕。
2.你能很快算出下面这些图中小正方形的总个数吗?说说你的想法。(课件出示)
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借助图形不仅能够让我们发现很多的计算方法和规律,还能帮助我们解决很多的实际问题,这节课我们继续应用这种数形结合的方法来研究更为复杂的数学计算。(板书课题:数与形)
[设计意图]　由学生熟悉的物品导入,既能巩固学生对正方形的认识,也能用猜谜语的形式吸引学生的注意力,对下面的学习起到抛砖引玉的作用。
方法二
师:老师知道你们喜欢玩拼图游戏,今天我们就来玩一玩。但是,老师有要求,你们边玩边要发现里面所蕴藏的数学知识。也就是说,我们要会玩。(板书课题:数与形)
[设计意图]　从学生最感兴趣的事入手,学生更容易进入状态。
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一、教学例1
1.师:我们要用这些小正方形摆出不同大小的正方形,怎么摆?
2.动手操作:学生分组摆三个大小不同的正方形,对比观察三个图形。(板书三个大小不同的正方形)
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师:请同学们思考,使用小正方形的个数有怎样的变化?你能用算式表示出这种变化吗?
3.小组学生交流并汇报,引导学生根据图形抽象出算式。
预设 生1:1=1,1+3=4,1+3+5=9。
生2:1=12,4=22,9=32。
生3:1=12,1+3=22,1+3+5=32。(板书)
4.师:观察这些算式,能从中发现什么规律?可以小组交流讨论。
预设 生:等式的左边是连续的几个奇数相加,右边是奇数个数的平方。
师:概括的能力不错!
5.归纳小结,概括规律。
从1开始几个连续奇数相加,和即是奇数个数的平方。(板书)
6.验证规律,巩固练习。
师:同学们,老师想考考你们,你们能用刚才发现的规律直接写一写吗?(课件出示)
1+3+5+7=(　　)2
1+3+5+7+9+11+13=(　　)2
(　　　　　　　　　　　　　 )=92
【参考答案】　4　7　1+3+5+7+9+11+13+15+17
二、教学例2
1.课件出示例2算式:
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…
师:观察这个算式,说说你发现了什么。
预设 生1:分子都是1,分母依次乘2。
生2:后面每个数都是前一个数的
1
2
。
师:算式中的省略号表示什么意思?
预设 生:表示按这个规律,后面还有无数个数相加。
师:看来要计算出结果很难,准备怎样计算这道题呢?
(学生尝试计算并交流)
2.学生汇报,教师引导。
1
2
+
1
4
=
3
4
,
3
4
+
1
8
=
7
8
,
7
8
+
1
16
=
15
16
……(板书算式)
师:观察上面的几个得数,说一说你有什么发现。
预设 生:我发现等号右边的分数的分子与分母相差1。
师:不计算,你能直接根据规律说出后面的得数吗?
31
32
,
63
64
,
127
128
……(板书得数)
师:如果一直这样加下去,最后的得数是多少?
预设 生1:一个一个加下去,等号右边的分数越来越接近1。
生2:如果最后一个加数用
1
n
表示,那么结果会是
n-1
n
。
生3:和为1减去最后一个加数。
3.画图分析。(教师演示画图,并板书)
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用一个圆表示“1”,先取它的一半表示它的
1
2
,再取剩下部分的一半就是这个圆的
1
4
,接着又取剩下部分的一半就是这个圆的
1
8
,这样取得的分数不断加下去,结果越来越接近整圆,即为“1”。
4.你能像老师这样,用其他的图形来表示吗?
①学生独立画图表示,小组内交流。
②投影展示部分学生的图形。(板书线段图)
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5.得出结论。
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…=1
通过这道题的讲解,我们知道有些问题通过画图,解决起来更直观。
预设 生:我还是有点不理解,最后怎么是等于1。
师:你是不是总觉得差那么一点点的,其实它是无限的。我们反过来思考:1=
1
2
+
1
2
=
1
2
+
1
4
+
1
4
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
8
=
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
16
+…
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教材第108页“做一做”第1,2题。
(1)第1题。
学生独立完成,集体订正。指定学生说一说计算的方法。
预设 生:要把每一个算式分成两部分来看,比如:1+3+5+7+5+3+1,就分成“1+3+5+7”和“5+3+1”这两部分,因为1+3+5+7=42,5+3+1=32,所以1+3+5+7+5+3+1=42+32。
(2)第2题。
①根据题目要求数一数完成填空。
②数形结合观察,你能从中发现什么变化规律?
预设 生1:后一个图都比前一个图增加1个红色小正方形,2个蓝色小正方形。
生2:红色小正方形个数×2+6=蓝色小正方形个数
【参考答案】　(教材第108页“做一做”)1.1+3+5+7+5+3+1=42+32=25　1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=72+62=85　2.第6个图形有6个红色小正方形和18个蓝色小正方形　第10个图形有10个红色小正方形和26个蓝色小正方形
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师:通过这节课的学习,你有什么收获?你还有什么疑问?
预设 生:我们可以用数形结合来思考问题,这样更直观、更清楚明白。
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作业1
教材第109页练习二十二第1,2,3题。
作业2
【基础巩固】
1.(基础题)鸡、兔同笼,一共有10个头,28只脚。鸡和兔各有多少只?
(1)用列表的方法解答。
鸡/只
1
2
兔/只
9
8
脚/只
(2)你还能用其他的方法解答吗?
2.(重点题)观察点阵图的规律并接着画一个。
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【提升培优】
3.(变式题)星期六爸爸骑自行车送雪红去电影院看电影,电影放映了1小时30分,看完电影后雪红步行回家。下面哪幅图表示了雪红从家出发到回家的情况?在图中的括号里打“√”。
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4.(难点题)甲、乙、丙、丁四支球队进行篮球比赛,每两支球队之间都比赛一场,最后结果是甲胜三场,乙胜两场、负一场,丙胜一场、负两场,丁负三场。请完成下图,表示四支球队的胜负关系。(“甲→乙”表示甲胜乙)
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【思维创新】
5.(创新题)下图表示的是欧洲杯足球赛小组赛中5支球队的比赛情况。
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如果“A→B”表示A队赢了B队,请你根据图中的情况,排出小组赛中各队的名次。
【参考答案】　
作业1:1.第5个最外圈有40个小正方形。　2.(图略)第10个数是55。计算方法:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55　3.三角形个数:1　4　9　16　周长:3　6　9　12　个数是层数的平方,周长是层数的3倍
作业2:1.(1)
鸡/只
1
2
3
4
5
6
兔/只
9
8
7
6
5
4
脚/只
38
36
34
32
30
28
(2)设鸡有x只,则兔有(10-x)只。2x+4(10-x)=28,x=6,10-6=4(只)。答:兔有4只,鸡有6只。
2. /　3.(2)√　4. /
5.A胜4　B负4　C胜1负3　D胜2负2　E胜3负1　1.A　2.E　3.D　4.C　5.B
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//
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教学中,把学生放在主体地位,让学生进行操作活动,通过摆,再联系到数,把数和形结合起来发现规律。这里的发现过程也是由学生自己和小组讨论交流所得,有利于学生对规律的理解和掌握,为运用规律解决问题做好铺垫。对
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
,
1
32
,
1
64
……之和的计算,由引导,再放手让学生进行画图活动,以巩固对极限思想的了解。在对极限思想的理解中,应从正反两个方面加以引导和解释。
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在对极限思想的理解上,没有引导好,致使学生还存在疑问。
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再教时,要把握住极限思想的核心,并且在教学中尽量让学生去讨论交流,发现和理解极限思想。
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【做一做·108页】
1.25　85　2.第6个图形有红色6个,蓝色18个　第10个图形有红色10个,蓝色26个
【练习二十二·109页】
1.40个小正方形(道理略)　2.(画图略)第10个数:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55　3.三角形个数:(1)(4)(9)(16)　周长:(3)(6)(9)(12)　个数是层数的平方,周长是层数的3倍　4.400 m　5.图一:小兰　图二:妈妈　图三:爸爸　6.小刚分别和小林、小强各下1盘,共2盘　7.左和右两数为1,其余数为上行相邻两个数的和。　1　6　15　20　15　6　1　8./　(a+b)2=a2+2ab+b2
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/　鸡兔同笼,从上面看, 共有10个头,从下面看,共有26只脚,鸡、兔各有几只?
[名师点拨]　我们可用○表示头,画10个○,用“|”表示脚。假设一声令下,笼子里的鸡都不动,所有的兔子都表演“双脚拱月”,即变成了鸡,如下图。
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从图中看出:10只鸡应该有2×10=20只脚,而题中已知共有26只脚,显然少了26-20=6只脚。由于每只兔子有两只脚不落地,就是一只鸡比一只兔少2只脚,那么几只兔少算了6只脚呢?6÷2=3(只),所以应在3只鸡的图上画上两只脚,使它们变成兔子。如下图。
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从图中可以看出,笼中有3只兔,7只鸡。
[解答]　假设全是鸡:10×2=20(只),26-20=6(只)。
兔:6÷(4-2)=3(只),鸡:10-3=7(只)。
答:鸡有7只,兔有3只。
【知识拓展】　有些应用题,要求两个或两个以上的未知量,思考时可以假设所求的未知量是同一种量,然后按“假设”进行推算,并对照已知条件把其中的矛盾加以分析,寻求突破点。像这类问题都可以用“鸡兔同笼”的方法求解。
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数形结合
我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合”百般好,割裂分家万事非。“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
作为一种数学思想方法,数形结合的应用大致可分为两种情形,或借助数的精确性来阐明形的某些属性,或借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系,即数形结合包括两个方面:第一种情形是“以数解形”,而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单,直接观察却看不出什么规律,这时就需要给图形赋值,如边长、角度等。
极限思想
所谓极限思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个与它有关的变量,确认该变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到结果。
极限的思想可以追溯到古代,刘徽的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。到了16世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改进了古希腊人的穷竭法,他借助几何直观,大胆地运用极限思想思考问题,放弃了归谬法的证明。如此,他就在无意中“指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。
到了18世纪,罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念,并且都对极限作出过各自的定义。其中达朗贝尔的定义是:“一个量是另一个量的极限,假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量”,它接近于极限的正确定义。
到了19世纪,法国数学家柯西在前人工作的基础上,比较完整地阐述了极限概念及其理论。后来,维尔斯特拉斯提出了极限的静态的定义。
第8单元阶段测评
(时间:60分钟　满分:100分)
一、填空(15分)
1.按下图用小棒摆正六边形。摆4个正六边形需要(　　)根小棒;摆10个正六边形需要(　　)根小棒;摆n(n为大于1的自然数)个正六边形需要(　　)根小棒。
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2.学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如图所示),请你结合这个规律,填写下表。
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拼成一行
的桌子数
1
2
3
4
…
n+1
人数
4
6
8
…
二、选择(12分)
1.观察下图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律,则第5个大三角形中白色的三角形有(　　)。
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A.82个 B.154个 C.83个 D.121个
2.搭建如图(1)所示的单顶篷需要17根钢管,若这样的帐篷按图(2)、图(3)的方式串起来搭建,则可节省结合处的钢管,那么串搭20顶这样的帐篷需要(　　)根钢管。
/
　(1)　　　　(2)　　　　　　　 (3)
A.340 B.225 C.226 D.227
3.一只兔子和一条小狗从同一地点出发,同时开始向东运动,兔子的运动距离与时间关系图象如图中实线部分ABCD所示,小狗的运动距离与时间关系图象如图中虚线部分AD所示。则关于该图象下列说法正确的是(　　)。
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A.小狗的速度始终比兔子快
B.整个过程中小狗和兔子的平均速度相同
C.图中BC段表明兔子在做匀速直线运动
D.在前4秒内,小狗比兔子跑得快
三、解答(73分)
1.把4个完全相同的乒乓球标上数字2,3,4,5,然后放到一个不透明的口袋中,第一次任意摸出一个球(不放回),第二次再任意摸出一个球。(17分)
(1)请补充完整下面的连线图。(11分)
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(2)根据上图计算,两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少?(6分)
2.找规律填空。(5分)
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3.双休日期间,明明和爸爸开车去动物园,在去的路上,明明画出了汽车的速度随时间的变化情况,如图所示。(28分)
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(1)汽车行驶了多长时间?它的最大速度是多少?
(2)汽车在哪个范围内保持匀速行驶?速度是多少?
(3)出发后8分钟到10分钟这段时间可能出现什么情况?
(4)用自己的语言描述这辆车的行驶情况。
4.分别由红、白、黑、黄、绿、蓝、紫七种颜色排成一排,颜色下面是自然数,按下列方式依次排列:
　红　白　黑　黄　绿　蓝　紫
　0　 1　 2　 3　 4　 5　 6
　12　11　10　9　 8　 7
　13　14　15　16　17　18　19
　25　24　23　22　21　20
　26　27　……
那么自然数2010对应在哪种颜色下面?在第几行?(5分)
5.用花、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形,要求中间用白瓷砖,四周一圈用花瓷砖(如图所示)。(18分)
/
(1)填写下列表格。(4分)
大正方形每边的
瓷砖块数
3
4
5
6
7
…
花瓷砖块数
8
…
(2)如果所拼的图形中,用了20块花瓷砖,那么白瓷砖用了多少块?(7分)
(3)如果所拼的图形中,用了n2块白瓷砖,那么花瓷砖用了多少块?(7分)
★附加题
如果A,B,C代表操场上玩耍的三个男孩,他们的关系可以用下图表示。
/
A→B表示A是B的弟弟,A和C的关系是什么?
【参考答案】
一、1.21　51　5n+1　2.10　2n+4
二、1.D　2.C　3.B
三、1.(1)如下图所示:
/
(2)共有12种情况,和为7的有4种情况,可能性为
1
3
　2.如下图所示。　
/
3.(1)汽车行驶了16分钟,最大速度为30千米/时。　(2)汽车在2到6分钟、12到16分钟这两个时间段内保持匀速行驶,速度都为30千米/时。　(3)可能发生的情况:汽车加油。(答案不唯一)　(4)(答案不唯一,合理即可)先加速行驶,速度达到30千米/时,开始匀速行驶,然后减速行驶,直到停下加油。加油后又开始加速,到30千米/时的速度后匀速行驶,快到目的地时开始减速,最后到达目的地。　4.2010是图形中出现的第2011个数,而2011÷(7+6)=154……9,说明2010在第154×2+2=310行,具体位置为从右向左第2个,对应颜色是绿色。所以2010在绿色下面,在第310行。　5.(1)如下表格所示。
大正方形每边
的瓷砖块数　
3
4
5
6
7
…
花瓷砖块数
8
12
16
20
24
…
(2)(20÷4-1)×(20÷4-1)=16(块)　答:白瓷砖用了16块。　(3)n2=n×n,(n+1)×4=4n+4(块)。　答:花瓷砖用了(4n+4)块。
附加题　A是C的弟弟