§1.1.1 命题及四种命题
一．自主学习
预习课本2—6页完成下列问题
1、命题： ；
2、真命题： 假命题： 。
3、命题的数学形式： 。
4、四种命题： 。
（1）互逆命题： 。（2）互否命题： 。
（3）互为逆否命题： 。
注意：数学上有些命题表面上虽然不是“若，则”的形式，但可以将它的表述作适当的改变，写成“若，则”的形式，从而得到该命题的条件和结论。
二、自主探究：
〖例1〗判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集； （2）若整数是素数，则是奇数；
（3）2小于或等于2； （4）对数函数是增函数吗？
（5）； （6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨； （8）
〖例2〗将下列命题改写成“若，则”的形式。
（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等；（4）负数的立方是负数。
〖例3〗把下列命题改写成“若则”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：
（1）两直线平行，同位角相等；（2）负数的平方是正数；（3）四边相等的四边形是正方形。
课堂小结
三、巩固练习：
1、下列语句中是命题的是（ ）
A、周期函数的和是周期函数吗？ B、
C． D、梯形是不是平面图形呢？
2、 在命题“若抛物线的开口向下，则”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ）
A、都真 B、都假 C、否命题真 D、逆否命题真
3、设是两个集合，则下列命题是真命题的是（ ）
A、如果，那么 B、如果，那么
C、如果，那么 D、如果，那么
4、下列命题中为真命题的是
A、命题“若，则”的逆命题 B、命题“若，则”的逆命题
C、命题“若，则”的否命题
D、命题“若，则”的逆否命题
5、命题：“若不为零，则都不为零”的逆否命题是 。
6、命题“不成立”是真命题，则实数的取值范围是 。
7、原命题：已知函数为上的增函数，均为实数，若 ，则。
（1）判断原命题的真假，并证明；（2）写出它的逆命题，判断其真假，并证明。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．
【答案】 A
2．(2018·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2018·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4．(2018·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
【解析】 其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.
【答案】 C
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A
二、填空题
6．(2018·三门峡高二期中)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.
【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”．
【答案】 若x2>4，则x>2
7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．
【解析】 否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
8．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
三、解答题
9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题．
逆否命题也是假命题．
逆命题是假命题．
否命题也是假命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
[能力提升]
1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
2．(2018·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.
【答案】 C
3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号)．
①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A?B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．
【答案】 ②④
4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假.
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.
1.1.2 四种命题
【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．
1．四种命题的概念：
(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
2．四种命题的命题结构：
用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：
原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．
逆命题：________________________.即“若q，则p”．
否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．
逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．
一、选择题
1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．命题“若A∩B＝A，则A?B”的逆否命题是( )
A．若A∪B≠A，则A?B
B．若A∩B≠A，则AB
C．若AB，则A∩B≠A
D．若A?B，则A∩B≠A
3．对于命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”，下列说法正确的是( )
A．它的逆命题是真命题
B．它的否命题是真命题
C．它的逆否命题是假命题
D．它的否命题是假命题
4．有下列四个命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“相似三角形的周长相等”的否命题；
③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④若“A∪B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④
5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．0
6．命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
D．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．
8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．
9．有下列四个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆命题．
其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．
三、解答题
10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．
11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)对顶角相等．
12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【能力提升】
13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．
1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．
2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．
1.1.2 四种命题
知识梳理
1．(1)结论和条件 (2)条件的否定和结论的否定 (3)结论的否定和条件的否定
2．若q成立，则p成立 若綈p成立，则綈q成立 若綈q成立，则綈p成立
作业设计
1．B [由a>－3?a>－6，但由a>－6a>－3，
故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]
2．C [先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]
3．D 4.C
5．C [原命题和它的逆否命题为真命题．]
6．A [由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]
7．若x≤y，则x3≤y3－1
8．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数
能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数
各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除
9．②③
10．解 逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题
否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题
逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．
11．解 (1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．
逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．
否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．
逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．
(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．
逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．
否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．
逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．
否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．
逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．
12．解 (1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．
13．B [命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]
14．解 逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．
否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.
逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．
原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．
课件22张PPT。1.1.2 四种命题 引入 请将命题“正弦函数是周期函数”
改写成“ ”的形式.命题：思考：上面四个命题中，命题（1）与命题（2）（3）（4）的条件和结论之间分别有什么关系？1.了解四种命题的概念．
2.认识四种命题的结构，会写某命题的逆命题、
否命题和逆否命题．
3.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的
关系．（重点）
4.会利用命题的等价性解决问题.（难点）探究 下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.（1）若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
（2）若f(x)是周期函数， 则f(x)是正弦函数；互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题.
原 命 题：其中一个命题叫做原命题.
逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题.即 原命题:若p,则q逆命题:若q,则p例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同位角相等”.探究点1 观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
(3)若f(x)不是正弦函数， 则f(x)不是周期函数. 原命题:若p,则q 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q”否命题:若┐p,则┐q互否命题 原命题 (原命题的)否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同位角不相等，两直线不平行”.探究点2 观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别有什么关系？(1)若f(x)是正弦函数， 则f(x)是周期函数；
(4)若f(x)不是周期函数， 则f(x)不是正弦函数. 原命题: 若p, 则q逆否命题: 若┐q, 则┐p 互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等”.探究点3 观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别有什么关系？三个概念
1.互逆命题：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
2.互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.3.互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的
条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的
否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.
如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做
原命题的逆否命题. 判断下面两个命题的真假:
(1)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“对顶角不相等”.
(2)若原命题是“对顶角相等”,
它的否命题是“不成对顶关系的
两个角不相等”.判一判：假命题真命题比一比：否命题与命题的否定否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题.
命题的否定是,只否定结论不否定条件.
对于原命题: 若 p , 则 q
否命题: 若┐p , 则┐q .
命题的否定: 若 p ，则┐q .例 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否
命题.
(1)若k>0,则方程x2+2x-k=0有实根;
逆命题:若方程x2+2x-k=0有实根,则k>0.
否命题:若k≤ 0,则方程x2+2x-k=0没有实根.
逆否命题:若方程x2+2x-k=0没有实根,则k≤0.(2)四条边都相等的四边形是正方形.
原命题改写为:若四边形的四条边都相等,则它是正方形.
逆命题:若四边形是正方形,则它的四条边都相等.
否命题:若四边形的四条边不都相等,则它不是正方形.
逆否命题:若四边形不是正方形,则它的四条边不全相等.原命题:
若p,则q【提升总结】
如何写出原命题的逆命题、否命题及逆否命题？
1.找出原命题的条件p和结论q;
2.将原命题改写成“若p,则q”的形式；练一练：写出下列四组命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断四种命题的真假.真真真真真真假假真真假假假假假假准确地作出反设(即否定)是非常重要的，下面是一些常见的结论的否定形式. ?不是不都是不大于大于或等于一个也没有至少有两个至多有（n-1)个至少有（n+1)个存在某x，
不成立存在某x，
成立1.判断下列说法是否正确：
(1)一个命题的逆命题为真，它的逆否命题
不一定为真.
(2)一个命题的否命题为真，它的逆命题
一定为真.正确正确2.如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命
题（ ）
A. 一定是假命题 B. 不一定是假命题
C. 一定是真命题 D. 有可能是真命题
3.判断命题“若x- 不是有理数，则x不是无理数”
的真假.
逆否命题：若x是无理数，则x- 是有理数.
“假命题”A通过这节课的学习，你学到了哪些知识呢？
四种命题的概念及其形式：
原命题： 若p,则q.
逆命题：若q,则p.
否命题：若?p,则?q.
逆否命题：若?q,则?p. 看书和学习是思想的经常营养，是思想的无穷发展.课题：四种命题及四种命题的相互关系
课时：002
课型：新授课
教学目标
知识与技能：了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假．
过程与方法：多让学生举命题的例子，并写出四种命题，培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．
情感、态度与价值观：通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．
教学重点与难点
重点：（1）会写四种命题并会判断命题的真假；（2）四种命题之间的相互关系．
难点：（1）命题的否定与否命题的区别； （2）写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；
（3）分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假．
教学过程
学生探究过程：
１．复习引入
初中已学过命题与逆命题的知识，请同学回顾：什么叫做命题的逆命题？
2．思考、分析
问题1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数． （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．
（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．
3．四种命题定义：
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．
让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．
让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．
让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：
交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：
同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；
交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．
强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
4．四种命题的形式
让学生结合所举例子，思考：
若原命题为“若P，则q”的形式，则它的逆命题、否命题、逆否命题应分别写成什么形式？
学生通过思考、分析、比较，总结如下：
原命题：若P，则q．则：
逆命题：若q，则P．
否命题：若￢P，则￢q．（说明符号“￢”的含义：符号“￢”叫做否定符号．“￢p”表示p的否定；即不是p；非p）
逆否命题：若￢q，则￢P．
5.例题讲解：
例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；
若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；
若x2=1,则x=1；
若整数a是素数，则是a奇数。
结合以上练习完成下列表格：
原 命 题
逆 命 题
否 命 题
逆 否 命 题
真
真
假
真
假
真
假
假
由表格学生可以发现：原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．
由此会引起我们的思考：
一个命题的逆命题、否命题与逆否命题之间是否还存在着一定的关系呢？
让学生结合所做练习分析原命题与它的逆命题、否命题与逆否命题四种命题间的关系．
学生通过分析，将发现四种命题间的关系如下图所示：
四种命题关系
若P，则q．
若q，则P．
原命题
互 逆
逆命题
互
否
互
为
否
逆
互
否
为
互
逆
否
否命题
逆否命题
互 逆
若￢P，则￢q．
若￢q，则￢P．
由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：
（1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
（2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．
例2：
证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
分析：如果直接证明这个命题比较困难，可考虑转化为对它的逆否命题的证明。
将“若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2”视为原命题，要证明原命题为真命题，可以考虑证明它的逆否命题“若p + q ＞2，则p2 + q2 ≠2”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．
证明：若p ＋ q ＞2，则
p2 ＋ q2 ＝［（p －q）2＋（p ＋q）2］≥（p ＋q）2＞×２２＝２
所以p2 ＋ q2≠2．
这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题。
练习巩固：证明：若a2－b2＋２a－４b－３≠０，则a－b≠１．
6.布置作业： P8：习题1．1 A组 ~第2,3,4题
辅导练习1.1~2
7.教学反思
（１）逆命题、否命题与逆否命题的概念；
（２）两个命题互为逆否命题，他们有相同的真假性；
（３）两个命题为互逆命题或互否命题，他们的真假性没有关系；
（４）原命题与它的逆否命题等价；否命题与逆命题等价．
课件42张PPT。1.1 命题及其关系
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系自主学习 新知突破1．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．
2．会写出一个命题的另外三种命题形式．
3．认识四种命题间的相互关系及真假关系．
4．会利用命题真假的等价性解决简单问题．为了研究问题的需要，有时需要由已知命题构造出新命题：如命题“①若两个三角形全等，则它们的面积相等．”可构造出下面几个新命题：
②若两个三角形的面积相等，则它们全等．
③若两个三角形不全等，则它们的面积不相等．
④若两个三角形的面积不相等，则它们不全等．
上面命题①与命题②、③、④的条件和结论有什么关系？
[提示] ①与②交换命题的条件和结论，①与③同时否定命题的条件和结论，①与④一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定．四种命题结论 条件 互逆命题 逆命题 若q，则p 条件的否定结论的否定否命题若?p，则?q结论的否定条件的否定逆否命题若?q，则?p四种命题之间的相互关系1．四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.四种命题的真假性真真假真真假假假
2.四种命题的真假性之间的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性__________．相同没有关系1．“互逆命题”、“互否命题”“互为逆否命题”与“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”的区别
两者具有不同的含义，具体区分如下：
前者说的是两个命题的关系，同时涉及两个命题；后者是指与确定的原命题为“互逆”“互否”“互为逆否”关系的那一个命题．2．“命题”提醒
(1)我们研究四种命题，一般只研究“若p，则q”形式的命题；有些命题虽然不是这种形式，但可以化为“若p，则q”的形式．
(2)对“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一般性的了解，定位在具体、简单的数学命题，重点是四种命题的构成形式及其真假判断．
(3)四种命题是相对的，一个命题是什么命题不是固定不变的，但只要我们事先规定好哪个命题是原命题，那么它的其他形式的命题就确定了．1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
解析： 原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数．
答案： B2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析： 原命题的条件是f(x)是奇函数，结论是f(－x)是奇函数，同时否定条件和结论即得否命题；若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数．
答案： B
3．命题“若ab＝0，则a＝0”与命题“若a＝0，则ab＝0”是________命题．
解析： 两个命题的条件和结论交换了，满足互逆命题的概念．
答案： 互逆4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假．
(1)菱形的对角线互相垂直；
(2)等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
解析： (1)逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直，则它是菱形，是假命题．
否命题：若一个四边形不是菱形，则它的对角线不互相垂直，是假命题．
逆否命题：若一个四边形的对角线不互相垂直，则这个四边形不是菱形，是真命题．
(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题．
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题．
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.合作探究 课堂互动 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若q＜1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2)若ab＝0，则a＝0;
(3)等底等高的两个三角形是全等三角形．
思路点拨： 四种命题的概念 (1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1.
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1.
(2)逆命题：若a＝0，则ab＝0.
否命题：若ab≠0，则a≠0.
逆否命题：若a≠0，则ab≠0.
(3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (1)逆命题的写法
给出一个命题，将它作为原命题并交换其条件和结论，即得原命题的逆命题．
(2)写原命题的否命题的步骤
①找出原命题的条件和结论；
②对原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论；
③所得命题即为原命题的否命题．
(3)逆否命题的两种写法
①先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题．
②先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题．1．写出下列原命题的其他三种命题：
(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；
(2)正偶数不是素数．
解析： (1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b；
否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B；
逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b.
(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数；
否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数；
逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数． 下列命题中正确的是( )
①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；
②“正三角形都相似”的逆命题；
③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；
④“若b＝3，则b2＝9”的逆否命题．
A．①②③④ B．①③④
C．②③④ D．①④四种命题真假的判断解析： ①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”．真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．假命题
④“若b＝3，则b2＝9”是真命题，
∴其逆否命题是真命题．
答案： B 判断四种命题的真假，首先要正确写出四种命题，如果直接判断有难度可以利用原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性先判断等价命题的真假即可． (2)有下列四个命题：
①“已知函数y＝f(x)，x∈D，若D关于原点对称，则函数y＝f(x)，x∈D为奇函数”的逆命题；
②“对应边平行的两角相等”的否命题；
③“若a≠0，则方程ax＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“若A∪B＝B，则B≠A”的逆否命题．
其中的真命题是( )
A．①② B．②③
C．①③ D．③④答案： (1)D (2)C 证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.逆否命题的应用 证明：证法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，
若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a， 6分
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题. 11分
∴原命题为真命题. 12分 证法二：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a， 2分
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾. 11分
因此假设不成立，故a＋b≥0. 12分 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 3．判断命题“如果m>0，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解析： 方法一：∵m>0，
∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“如果m>0，则x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以原命题“如果m>0，则x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．◎用“若p，则q”的形式写出(1)的原命题，(2)的否命题．
(1)负数的平方是正数．
(2)正方形的四条边相等．
【错解】 (1)原命题：若一个数是负数的平方，则这个数是正数．
(2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边都不相等．【错因】 (1)分不清命题的条件和结论．在原命题中，把“负数的平方”这个结论当成条件．一个数是负数，这是所给实数的属性，应该是条件，平方运算后所得数的属性应该是结论．
(2)对于(2)的否命题，把“四条边相等”的否定误写成了“四条边都不相等”．实际上“四条边相等”是“四条边都相等”的意思．它的否定应该是“四条边不都相等”．
【正解】 (1)原命题：若一个数是负数，则它的平方是正数．
(2)否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不都相等．谢谢观看！
