§1.1.2 四种命题间的相互关系
一、自主学习
预习课本6—8页完成下列问题
1、四种命题间的相互关系：
2、反证法证题的步骤：
3、常见的反设：
二、自主探究：
〖例1〗：原命题：“若,则”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
〖例2〗：判断下列命题的真假：
（1）命题“当时，抛物线与轴存在交点”的逆否命题。
（2）若且，则。
〖例3〗：若都为正实数，且。求证：和中至少有一个成立。
课堂小结
三、巩固练习：
1、命题“都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ）
A、都不是奇数，则是偶数 B、是偶数，都是奇数
C、不是偶数，都不是奇数 D、不是偶数，不都是奇数
2、用反证法证明命题：“，能被5整除，那么中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ）
A、都能被5整除 B、都不能被5整除
C、不都能被5整除 D、不能被5整除，或不能被5整除
3、若命题的逆命题是，命题是命题的否命题，则是的（ ）
A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、以上都不正确
4、设原命题：若，则中至少有一个不小于。则原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A、原命题真，逆命题假 B、原命题假，逆命题真
C、原命题与逆命题均为真命题 D、原命题与逆命题均为假命题
5“中,若,则都是锐角”为 ；
6、“若，则”的等价命题是 ；
7、分别写出命题“若，则全为”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假。
8、已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
【解析】 命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．
【答案】 A
2．(2018·济宁高二检测)命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【解析】 逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C.
【答案】 C
3．(2018·南宁高二检测)已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
【解析】 逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.
【答案】 B
4．(2018·潍坊高二期末)命题“若x＝3，则x2－2x－3＝0”的逆否命题是( )
A．若x≠3，则x2－2x－3≠0
B．若x＝3，则x2－2x－3≠0
C．若x2－2x－3≠0，则x≠3
D．若x2－2x－3≠0，则x＝3
【解析】 其逆否命题为“若x2－2x－3≠0，则x≠3”．故选C.
【答案】 C
5．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
【答案】 A
二、填空题
6．(2018·三门峡高二期中)命题“若x>2，则x2>4”的逆命题是____________.
【解析】 原命题的逆命题为“若x2>4，则x>2”．
【答案】 若x2>4，则x>2
7．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题是________．
【解析】 否定条件与结论，得否命题“若a≤b，则2a≤2b－1”．
【答案】 若a≤b，则2a≤2b－1
8．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．
【解析】 ①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．
【答案】 ②
三、解答题
9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
【解】 逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；
否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；
逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.
原命题是假命题．
逆否命题也是假命题．
逆命题是假命题．
否命题也是假命题．
10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
【解】 (1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．
证明如下：
∵ac＜0，
∴－ac＞0?Δ＝b2－4ac＞0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
[能力提升]
1．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是( )
A．若a·b≠0，则a不垂直于b
B．若a⊥b，则a·b＝0
C．若a不垂直于b，则a·b≠0
D．若a·b≠0，则a⊥b
【解析】 原命题与其逆否命题为等价命题．
【答案】 C
2．(2018·福州期末)命题“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”的逆否命题是( )
A．若x，y都不是偶数，则x＋y不是偶数
B．若x，y不都是偶数，则x＋y是偶数
C．若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数
D．若x，y都不是偶数，则x＋y是偶数
【解析】 “x，y都是偶数”的否定为“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定是“x＋y不是偶数”．故选C.
【答案】 C
3．下列命题中________为真命题(填上所有正确命题的序号)．
①若A∩B＝A，则AB；②“若x＝y＝0，则x2＋y2＝0”的逆命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．
【解析】 ①错误，若A∩B＝A，则A?B；②正确，它的逆命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”为真命题；③错误，它的逆命题为“相似三角形是全等三角形”为假命题；④正确，因为原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．
【答案】 ②④
4．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后判断真假.
(1)等高的两个三角形是全等三角形；
(2)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．
【解】 (1)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高，是真命题；
否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等，是真命题；
逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高，是假命题．
(2)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，是假命题；
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧，是假命题；
逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，是真命题.
1.1.3 四种命题间的相互关系
【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
(2)四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是( )
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
2．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是( )
A．能被2整除的整数，一定能被6整除
B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除
D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除
4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是( )
A．若a≠b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
B．若a＝b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
C．若a≠0，且b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
D．若a≠0，或b≠0 (a，b∈R)，则a2＋b2≠0
5．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠?”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )
A．都真 B．都假
C．否命题真 D．逆否命题真
6．设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l?α，m?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β.那么( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．“已知a∈U(U为全集)，若a??UA，则a∈A”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)
8．“若x≠1，则x2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)
9．下列命题：①“若k>0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；②“若>，则a三、解答题
10．已知命题：若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.
12．若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．
【能力提升】
13．给出下列三个命题：
①若a≥b>－1，则≥；
②若正整数m和n满足m≤n，则≤；
③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．
其中假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
14．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
1.1.3 四种命题间的相互关系
知识梳理
1．若q，则p 若綈p，则綈q 若綈q，则綈p
2．(2)①相同 ②没有关系
作业设计
1．D [原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]
2．D 3.D
4．D [a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]
5．D [原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a??UA 真
解析 “已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a??UA”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a??UA”．它为真命题．
8．假 9.①②
10．解 逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．
11．证明 假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
12．证明 若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．
所以a，b，c不可能都是奇数．
13．B [①用“分部分式”判断，具体：
≥?1－≥1－?≤，又a≥b>－1?a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝，y＝，知本命题为真．
③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]
14．解 能确定．理由如下：
显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.
②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.
从而可知，b>a>c.
所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．
课件26张PPT。1.1.3 四种命题间的相互关系 路边苦李小故事
古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”下面让我们进入今天的学习1.明确四种命题的相互关系.（重点）
2.能够判断四种命题的真假.（难点）
3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立.四种命题形式:
原命题:
逆命题:
否命题:
逆否命题:若 p , 则 q
若 q , 则 p
若┐p , 则┐q
若┐q , 则┐p符号“￢”叫做否定符号．“￢p”读作“非p”，表示p的否定，即不是p探究点1 四种命题之间的关系四种命题形式: 原命题,逆命题,否命题,逆否命题观察与思考？你能说出其中任意两个命题之间的关系吗?
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；
若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；
若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；
若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数.四种命题之间的关系原命题
若p,则q逆命题
若q,则p否命题
若﹁p,则﹁q逆否命题
若﹁q,则﹁p互逆互否互否互逆互为 逆否互为 逆否(真)探究点2 四种命题的真假
看下面的例子：（判断真假）
（1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0.
逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3.
否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0.
逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3.(真)(真)(真)（2）原命题：若a > b, 则 ac2>bc2.
逆命题：若ac2>bc2,则a>b.
否命题：若a≤b,则ac2≤bc2.
逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b.（假）（真）（真）（假） 一般地,四种命题的真假性,有而且仅有下面四种情况:比一比【提升总结】
（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真.
但其逆命题、否命题不一定为真.
（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真.
但原命题、其逆否命题不一定为真.
由以上三例及总结我们能发现什么？
解：原命题与其逆否命题同真假.
原命题的逆命题与否命题同真假.
(两个命题为互逆命题或互否命题,
它们的真假性没有关系).判一判1.判断下列说法是否正确.（1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定
为真；（对）（2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.（对）（3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.（错）（4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假.（错） 例1 设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的真假.
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该
保留.
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”.
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
否命题：当c>0时，若a≤b, 则ac≤bc.
逆否命题：当c>0时，若ac≤bc, 则a≤b.（真）（真）（真）例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0.写出其逆命题、
否命题、逆否命题，并分别指出其真假.
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的否定为“或” “且”.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0.
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
（真）（真）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假.因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价.【提升总结】因为原命题和它的逆否命题有相同的 真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难 时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来 间接证明原命题为真命题.例3 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0， 也就是说x2+y2 ≠0. 因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题. 在数学的证明中，我们会常常用到一种
方法——反证法. 反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾
来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种
数学证明方法.此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立;
（2）从这个假设出发 , 经过推理论证, 得出矛盾;
（3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定
命题的结论正确.
反设1.设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一
个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况
是（ ）
A．原命题真，逆命题假
B．原命题假，逆命题真
C．原命题与逆命题均为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题A2.命题“若a＞b,则ac＞bc”(这里a,b,c
都是实数)与它的逆命题，否命题、逆否命题
中，真命题的个数为（ ）
A．4 B．3
C．2 D．0D3.命题“ 若△ABC不是等腰三角形，则它的任
何两个内角都不相等”的逆否命题是
________________________________________.
它是 命题（“真”或“假”）.真若△ABC的两个内角相等，则它是等腰三角形4. 命题“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的
逆否命题是__ _______________ _ .
逆命题是_____________________ __ ，
它是 命题（“ 真 ”或“ 假 ” ）.若x2+2x+q =0 无实根，则q>1若x2+2x+q=0有实根，则q≤1真5.命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0．”写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假． 解：逆命题“已知a，b为实数，若a2－4b≥0，
则x2＋ax＋b≤0有非空解集”.
否命题“已知a，b为实数，若x2＋ax＋b≤0
没有非空解集，则a2－4b＜0”.
逆否命题“已知a，b为实数，若a2－4b＜0，
则x2＋ax＋b≤0没有非空解集”.
原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为
真命题．6.求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等. 证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等.
这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.
（1）四种命题的关系；
（2）四种命题的真假及其关系；
（3）一种方法——反证法.青年最主要的任务是学习.
朱德课件37张PPT。1.1.3 四种命题间的相互关系一、四种命题的相互关系?p?q?q?p思考:在四种命题中,具有互逆、互否、互为逆否关系的命题各有两对?
提示:正确,从四种命题的相互关系图中可以看出这几种关系各有两对.二、四种命题的真假关系
1.一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:真真假真假真假假2.四种命题的真假性之间的关系:
(1)两个命题互为_________,它们有相同的真假性.
(2)两个命题为_________或_________,其真假性没有关系.
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个互逆命题的真假性相同.( )
(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同.( )
(3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( )逆否命题互逆命题互否命题提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命题也没有.
(2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真假性相同,为等价命题.
(3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若01,此命题的四种命题均为假命题.
答案:(1)× (2)√ (3)√【知识点拨】
1.对四种命题相互关系的两点认识
(1)四种命题中,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称特征.
(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,记原命题为a、逆命题为b、否命题为c、逆否命题为d,四种命题中共有6对命题:a与b,a与c,a与d,b与c,b与d,c与d.它们之间的关系为:2.对四种命题真假关系的两点说明
(1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶数,即真命题可能有4个、2个或0个.
(2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也是反证法的一种变通形式.类型一 四种命题的相互关系
【典型例题】
1.下列四个命题:
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
②“若a>b,则a2>b2”的逆否命题;
③“若x≤-3,则x2-x-6>0”的否命题;
④“对顶角相等”的逆命题.其中真命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.32.判断命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题的真假.
【解题探究】1.写四种命题的关键是什么?
2.一个命题与它的逆否命题的真假性之间有什么关系?
探究提示:
1.写一个命题的逆命题、否命题和逆否命题关键是分清命题的条件和结论.
2.一个命题与它的逆否命题同真同假.【解析】1.选B.①否命题:若x+y≠0,则x,y不互为相反数,真命题.②逆否命题:若a2≤b2,则a≤b,假命题.③否命题:若x>-3,则x2-x-6≤0,假命题.④逆命题:相等的两个角是对顶角,假命题.故选B.2.方法一:∵m>0,∴4m>0,∴4m+1>0,
∴方程x2+x-m=0的判别式Δ=4m+1>0.
∴方程x2+x-m=0有实数根.
∴原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”为真.
又因原命题与它的逆否命题等价,所以“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题也为真.方法二:原命题“如果m>0,则x2+x-m=0有实数根”的逆否命题为“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”.
∵x2+x-m=0无实数根,∴Δ=4m+1<0,
∴m<- ≤0,
∴命题“如果x2+x-m=0无实数根,则m≤0”为真.【拓展提升】判断四种命题之间四种关系的两种方法
方法一:利用四种命题的定义判断;
方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.【变式训练】下列命题中为真命题的是( )
A.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题
B.命题“若x>1,则x2>1”的逆命题
C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题
D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题
【解题指南】先写出相应命题再判断或根据其等价关系判断.【解析】选A.因为选项A:逆命题为“x>|y|,所以x>0”.当y≥0时,x>y;当y<0时,x>-y>y,所以x>y.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题是真命题;选项B:逆命题为“若x2>1,则x>1”,是假命题.因为x2>1,所以x<-1或x>1;选项C:它的否命题是“若x≠1,则x2+x-2≠0”.因为x≠1时,x2+x-2可以为0,所以是假命题;选项D:因为原命题是假命题,所以它的逆否命题也是假命题.类型 二 原命题与逆否命题的等价性应用
【典型例题】
1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”是 命题(填真、假).
2.判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)若x2≠9,则x≠3.
(2)若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2.【解题探究】1.题1中命题的条件与结论有什么特点?
2.当直接判断一个命题的真假比较困难时,我们一般如何处理?
探究提示:
1.命题的条件和结论都是否定的形式.
2.当直接判断命题的真假困难时,可以判断其逆否命题的真假.【解析】1.“正弦值不相等的两个角的终边不相同”的逆否命题为“终边相同的两个角的正弦值相等”是真命题,所以原命题是真命题.
答案:真2.(1)原命题:若x2≠9,则x≠3;
逆否命题:若x=3,则x2=9,是真命题,所以原命题是真命题.
(2)原命题:若方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,则a≤2;
逆否命题:若a>2,则方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根.
若a>2,则-a<-2,Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)<0,
所以方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,逆否命题是假命题,
所以原命题为假命题.【互动探究】若题2(2)的命题变为:
若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的真假?
【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根”的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命题是真命题.【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用
(1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假.
(2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.【变式训练】判断下列命题的真假,并说明理由:
(1)不内接于圆的四边形的对角不互补.
(2)若a+b<0,则a,b至少有一个小于0.
【解析】(1)“不内接于圆的四边形的对角不互补”的逆否命题为“对角互补的四边形内接于圆”,真命题,所以原命题是真命题.
(2)“若a+b<0,则a,b至少有一个小于0”的逆否命题为“若a≥0,b≥0,则a+b≥0”,真命题,所以原命题是真命题.【规范解答】等价命题在证明中的应用
【典例】 【条件分析】【规范解答】证明原命题的逆否命题成立,
原命题为“若p3+q3=2,则p+q≤2”,
其逆否命题为“若p+q>2,则p3+q3≠2”.
证明如下:……………………………………………………2分
若p+q>2①,则p>2-q,………………………………………………………3分
∴p3 >(2-q)3②,………………………………………………4分
∴p3+q3>(2-q)3+q3.…………………………………………6分
又(2-q)3+q3
=(8-12q+6q2-q3)+q3…………………………………………8分
=6q2-12q+8
=6(q-1)2+2≥2.③……………………………………………10分∴p3+q3>2,
即p3+q3≠2,…………………………………………………11分
这表明原命题的逆否命题为真命题,从而原命题也为真命题.
………………………………………………………………12分【失分警示】【防范措施】
1.正难则反思想的应用
若判断或证明一个命题有困难时,可以利用等价命题即它的逆否命题来处理,如本例直接证明有困难,可以证明它的逆否命题的真假来说明原命题的真假.
2.不等式性质的应用
不等式的性质在证明不等式的应用中具有重要的作用,解决问题时要灵活应用,如本例中由a>b可推出a3>b3(但由a>b不一定推出a2>b2).【类题试解】若a2+b2=c2,求证:a,b,c不可能都是奇数.
【证明】依题意,就是证明命题“若a2+b2=c2,则a,b,c不可能都是奇数”为真命题.为此,只需证明其逆否命题“若a,b,c都是奇数,则a2+b2≠c2”为真命题.
∵a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数.于是a2+b2为偶数,而c2为奇数,即a2+b2≠c2.
∴原命题的逆否命题为真命题,∴原命题成立.1.与命题“若m∈M,则n?M”等价的命题是( )
A.若m?M,则n?M B.若n?M,则m∈M
C.若m?M,则n∈M D.若n∈M,则m?M
【解析】选D.与命题等价的命题是其逆否命题,故选D.2.给出命题:若函数y=f(x)是幂函数,则它的图象不过第四象限,在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( )
A.3 B.2 C.1 D.0【解析】选C.逆命题:若函数y=f(x)图象不过第四象限,则这个函数是幂函数,假命题.
否命题:若函数y=f(x)不是幂函数,则它的图象过第四象限,假命题.
逆否命题:若函数y=f(x)的图象过第四象限,则它不是幂函数,真命题.3.“若tanθ= ,则θ=60°”的否命题是 ,
否命题是 命题(填真、假).
【解析】“若tanθ= ,则θ=60°”的否命题是
“若tanθ≠ ,则θ≠60°”,是真命题.
答案:若tanθ≠ ,则θ≠60° 真4.命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为 ,是 命题(填真、假).
【解析】命题“常用对数不是1的数不是10”的逆否命题为“10的常用对数是1”,是真命题.
答案:10的常用对数是1 真5.写出命题“设x为实数,若x>0,则x2>0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
【解析】逆命题:设x为实数,若x2>0,则x>0,逆命题为假命题;
否命题:设x为实数,若x≤0,则x2≤0,否命题为假命题;
逆否命题:设x为实数,若x2≤0,则x≤0,逆否命题为真命题.
