§1.2.2 充要条件
自主学习：
预习课本11-12页，完成下列问题
1．一般地，如果既有，又有，就记作：, 这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，则p是q的 条件，简称 条件。其中叫做等价符号。
2．传递性：若则 。
思考：判断充要条件关系的主要方法有哪些？
自主探究：
【题型一】 充要条件的判断
例1 下列各题中,哪些是的充要条件?
(1) : ,:函数是偶函数；
(2) : :
(3) : ， :
变式：下列各题中,哪些是的充要条件?
（1）在△ABC中，:∠A>∠B,:BC>AC；
(2) : a+b<0,且ab>0, :a<0,b<0；
【题型二】 充要条件的证明
已知A，B是直线L上任意两点，O是L外一点。
求证：点在直线上的充要条件是，且x+y=1。
课堂小结：
巩固练习：
1. 下列命题为真命题的是（ ）.
A.是的充分条件 B.是的充要条件
C.是的充分条件 D.是 的充要条件
2.“”是“”的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设：，：关于的方程有实根，则是的（ ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.的一个必要不充分条件是（ ）.
A. B. C. D.
5. 用充分条件、必要条件、充要条件填空.
(1).是的
(2).是的
( 3).两个三角形全等是两个三角形相似的
6 .求证：是等边三角形的充要条件是，这里是的三边.
第1章 1.2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： |x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|.
故|x|＝|y|是x＝y的必要不充分条件．
答案： B
2．“x＝2kπ＋(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： 当x＝2kπ＋时，tan x＝1，而tan x＝1得x＝kπ＋，
所以“x＝2kπ＋”是“tan x＝1”成立的充分不必要条件．故选A.
答案： A
3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： ∵x≥2且y≥2，
∴x2＋y2≥4，
∴x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分条件；
而x2＋y2≥4不一定得出x≥2且y≥2，例如当x≤－2且y≤－2时，x2＋y2≥4亦成立，故x≥2且y≥2不是x2＋y2≥4的必要条件．
答案： A
4．设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析： 由题意得：
故D是A的必要不充分条件
答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．下列命题中是假命题的是________．(填序号)
(1)x>2且y>3是x＋y>5的充要条件
(2)A∩B≠?是A?B的充分条件
(3)b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0的解集为R的充要条件
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形
解析： (1)因x>2且y>3?x＋y>5，
x＋y>5?/ x>2且y>3，
故x>2且y>3是x＋y>5的充分不必要条件．
(2)因A∩B≠??/ A?B, A?B?A∩B≠?.
故A∩B≠?是A?B的必要不充分条件．
(3)因b2－4ac<0?/ ax2＋bx＋c<0的解集为R，
ax2＋bx＋c<0的解集为R?a<0且b2－4ac<0，
故b2－4ac<0是ax2＋bx＋c<0的解集为R的既不必要也不充分条件．
(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．
答案： (1)(2)(3)
6．设集合A＝，B＝{x|0
解析： A＝＝{x|0m∈A?m∈B，m∈B?/ m∈A.
∴“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．
答案： 充分不必要
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1，若p的必要不充分条件是q，求实数a的取值范围．
解析： q是p的必要不充分条件，
则p?q但qp.
∵p：≤x≤1，q：a≤x≤a＋1.
∴a＋1≥1且a≤，即0≤a≤.
∴满足条件的a的取值范围为.
8．求证：0≤a<是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
证明： 充分性：∵0∴Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，
则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
而当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0可变成1>0.
显然当a＝0时，不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立．
必要性：∵ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，
∴a＝0或
解得0≤a<.
故0≤a＜是不等式ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立的充要条件．
尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)已知条件p：A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，条件q：B＝{x|x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0}．若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
解析： 先化简B，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}，
①当a≥时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}；
②当a＜时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}．
因为p是q的充分条件，
所以A?B，从而有，
解得1≤a≤3.
或，解得a＝－1.
综上，所求a的取值范围是{a|1≤a≤3或a＝－1}．
§1.2 充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
2．如果既有p?q，又有q?p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用符号“?”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
12．已知P＝{x|a－4【能力提升】
13．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A?B证明了必要性；B?A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A?B证明了充分性；B?A证明了必要性．
§1.2 充分条件与必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．A [∵q?p，∴綈p?綈q，反之不一定成立，因此綈p是綈q的充分不必要条件．]
3．B [因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
4．A [把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l⊥α?l⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B [当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)?
8．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]
14．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
课件24张PPT。1.2.2 充要条件引入1 已知 p：整数a是6的倍数，
q：整数a是2和3的倍数，
那么，p是q的什么条件？在上述问题中，
p ? q，所以p是q的充分条件，q是p的
必要条件.
另一方面，
q ? p，所以p也是q的必要条件，q也是p的
充分条件. 引入2 “在△ABC 中，p: AB＝AC，
q: ? B＝? C”，那么，p是q的什么条件？
解:p ? q，所以p是q的充分条件，q是p的
必要条件.另一方面，q ? p，所以p也是q的
必要条件，q也是 p的充分条件.你发现了什么?1.掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的
两个命题的充要关系.(重点)
2．能正确判断是充分条件、必要条件还是充要
条件.(难点)
3．培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力.
4．在充要条件的教学中，培养等价转化思想． 1.充分条件与必要条件的含义分别是什么？
如果“ p ? q ”，则称p是q的充分条件，
且q是p的必要条件.探究点1 充要条件的含义 2.对于两个语句，p可能是q的充分条件，p也可能是q的必要条件，除此以外p与q之间的逻辑关系还有哪些可能？一般地，如果既有p ? q，又有q ? p，
就记作
p q.
此时，我们说，p是q的充分必要条件，
简称充要条件（sufficient and necessary condition）.显然，如果p是q的充要条件，
那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果p ? q，
那么p与q互为充要条件.判一判
判断p是q的什么条件，并填空：
（1） p： x 是整数是 q：x是有理数的 ；
（2） p： ac＝bc是 q：a＝b的 ；
（3） p： x＝3 或x＝-3是 q：x2＝9 的 ；
（4） p：同位角相等是 q：两直线平行的 ；
（5） p：(x-2)(x-3)＝0 是 q：x-2＝0 的 ．充分不必要条件 充要条件 充要条件 必要不充分条件 必要不充分条件 你能举出一些p和q互为充要条件的例子吗？比一比探究点2 判断充分条件、必要条件的方法若 ，且 ，则p是q的充分不必要条件； 若 ，且 ，则p是q的必要不充分条件； 若 ，且 ，则p是q的充要条件；若 ，且 ，则p是q的既不充分也不必要条件.【1】直接用定义判断原命题为真逆命题为假； p是q的充分不必要条件， p是q的必要不充分条件， 原命题为假逆命题为真； 【2】利用命题的四种形式进行判定p是q的既不充分也不必要条件， p是q的充要条件， 原命题、逆命题都为真； 原命题、逆命题都为假. 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件．
（1）p：b＝0，
q：f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
（2）p：x＞0,y＞0，q：xy＞0；
（3）p：a＞b，q：a＋c＞b＋c；
（4）p：两直线平行；
q：两直线的斜率相等.充要条件充分不必要条件充要条件既不充分也不必要条件例4 已知⊙O 的半径为r，圆心O到
直线l的距离为d.
求证 d = r是直线 l 与⊙O 相切的充要条件.lO如图所示d分析：
设：p：d=r，q：直线l与 相切.
要证p是q的充要条件，只需分别
证明充分性（p q）和
必要性（q p）即可.证明：如图所示.
（1）充分性（p q）：
作OP⊥l于点P则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，
在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.
在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.
所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，
即直线l与⊙O仅有
一个公共点P.
所以直线l与⊙O 相切.PQlO（2）必要性（q p）:
若直线 l 与⊙O 相切，不妨设切点P，则OP ⊥ l. 因此，d = OP = r .如图所示A2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
有一个正根和一个负根的充要条件是 ( )A．ab＞0
B．ab＜0
C．ac＞0
D．ac＜0．D3.已知p,q都是r的必要不充分条件，
s是r的充分不必要条件，
q是s的充分不必要条件，
则（1）s是q的什么条件？
（2）r是q的什么条件？
（3）p是q的什么条件？充要条件充要条件必要不充分条件4.若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要
条件，D是C的充分而不必要条件，那么D是A
的 .充分不必要条件充要条件的概念 ：既有p q，又有q p，
就记作
p q.
则 p 是 q 的充分必要条件，
简称充要条件.
形如“若p，则q ”的命题中存在以下四种关系 ：（1）p是q的充分不必要条件
（2）p是q的必要不充分条件
（3）p是q的充分必要条件
（4）p是q的既不充分又不必要条件 在学习上不肯钻研的人是不会提出问题的；在事业上缺乏突破力的人是不会有所创新的.课题：充要条件
课时：004
课型：新授课
教学目标
知识与技能目标：
正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件, 既不充分也不必要条件的定义．
通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
过程与方法目标：在观察和思考中，在解题和证明题中，培养学生思维能力的严密性品质．
情感、态度与价值观：
激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学重点与难点
重点：1、正确区分充要条件；2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
教学过程
1.学生思考、分析
已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数.
请判断： p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p．
易知：p?q，故p是q的充分条件；
又q ? p，故p是q的必要条件．
此时,我们说, p是q的充分必要条件
２.充要条件
一般地,如果既有p?q ，又有q?p 就记作 p ? q.
此时,我们说,那么p是q的充分必要条件,简称充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.
概括地说,如果p ? q,那么p 与 q互为充要条件.
3.例题解析
例1：下列各题中，哪些p是q的充要条件？
p:b＝0,q:函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
p:x ＞ 0,y ＞ 0,q: xy＞ 0；
p: a ＞ b ,q: a + c ＞ b + c；
p:x ＞ 5, ,q: x ＞ 10
p: a ＞ b ,q: a2 ＞ b2
分析：要判断p是q的充要条件，就要看p能否推出q，并且看q能否推出p．
解：命题（１）和（３）中，p?q ，且q?p，即p ? q，故p 是q的充要条件；
命题（２）中，p?q ,但q ?? p，故p 不是q的充要条件；
命题（４）中，p??q ，但q?p，故p 不是q的充要条件；
命题（５）中，p??q ，且q??p，故p 不是q的充要条件；
例2：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切．要证p是q的充要条件，只需要分别证明充分性（p?q）和必要性（q?p）即可．
证明过程略．
例3、设p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，r成立，则s成立．s是q的充分条件，问（1）s是r的什么条件？（2）p是q的什么条件？
4．四种条件：
一般地，
若p?q ,但q ?? p，则称p是q的充分但不必要条件；
若p??q，但q ? p，则称p是q的必要但不充分条件；
若p ? q,则p 与 q互为充要条件.
若p??q，且q ?? p，则称p是q的既不充分也不必要条件．
在讨论p是q的什么条件时，就是指以下四种之一：
①若p?q ,但q ?? p，则p是q的充分但不必要条件；
②若q?p，但p ?? q，则p是q的必要但不充分条件；
③若p?q，且q?p，则p是q的充要条件；
④若p ?? q，且q ?? p，则p是q的既不充分也不必要条件．
5．巩固练习：
(1).（15年安徽文科改编）设p：x<3，q：-1【解析】
试题分析：∵，∴，但，∴是成立的必要不充分条件
(2). （15年陕西文科改编）“”是“”的（ A ）
A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要
(3). 【2015高考天津，理4】设 ，则“ ”是“ ”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【考点定位】不等式解法与充分条件、必要条件.
6．布置作业：P12：习题1.2A组第1(3)(2),2(3),3题；p13 B组：第2题。
７．教学反思：
