§1.2.1 充分条件与必要条件
自主学习
预习课本9-10页，完成下列问题
1．一般地，“若，则”为真命题，是指由 通过推理可以得出.我们就说,由推出,记作,并且说是的 条件，是的 条件。
注意：所谓的“充分”，即要使q成立，有p成立就足够了；所谓的必“要”，即q是p成立的必不可少的条件，缺其不可。
2．若，但，则称是的 条件，是的 条件。
注意：判断充分、必要条件的关键是分清谁是条件，谁是结论，若由条件p推出结论q成立，则条件p是结论q的充分条件；若由结论q推出条件p成立，则条件p是结论q的充分条件。
思考:如何从集合的角度去理解充分条件、必要条件概念?
自主探究：
〖例1〗下列“若，则”的形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
（1）若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；
（2）若，则
〖例2〗下列“若，则”形式的命题中哪些命题中的是必要条件？
（1）若，则；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（3）若，则
〖例3〗不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2
A. a-2 B.a2 C.a<-2 D.a>2
变式：设非空集合 ，则的一个充分不必要条件是（ ）
A．1a9 B. 6课堂小结:
巩固练习:
1. 在平面内,下列哪个是“四边形是矩形”的充分条件？（ ）.
A.平行四边形对角线相等 B.四边形两组对边相等
C.四边形的对角线互相平分 D.四边形的对角线垂直
2.，下列各式中哪个是“”的必要条件？（ ）.
A. B. C. D.
3.平面平面的一个充分条件是（ ）.
A.存在一条直线 B.存在一条直线
C.存在两条平行直线
D.存在两条异面直线
4.:,：，是的 条件.
5. ：两个三角形相似；：两个三角形全等， 是的 条件.
6. 判断下列命题的真假
（1）“”是“”的充分条件；
（2）“”是“”的必要条件.
7. 已知满足条件，满足条件.
(1)如果,那么是的什么条件?
(2)如果,那么是的什么条件?
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分而不必要条件．
【答案】 A
2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“＋＝2”，则命题甲是命题乙的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若＋＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出＋＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要而不充分条件．
【答案】 A
3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.
【答案】 A
4．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.
【答案】 B
5．(2018·甘肃临夏期中)已知函数f(x)＝x＋bcos x，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，
∴－x＋bcos x＝－x－bcos x，从而2bcos x＝0，b＝0.
【答案】 C
二、填空题
6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．
【解析】 “b2＝ac” “a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”?“b2＝ac”．
【答案】 必要不充分
7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．
【解析】 若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a－1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的充要条件．
【答案】 充要
8．在下列各项中选择一项填空：
①充分不必要条件；
②必要不充分条件；
③充要条件；
④既不充分也不必要条件．
(1)集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的________；
(2)“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的________．
【解析】 (1)当p＝3时，A＝{－1，2，3}，此时A∩B＝B；若A∩B＝B，则必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要条件．
(2)当a＝1时，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函数；但由f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数不能得到a＝1，如当a＝0时，函数f(x)＝|2x－a|＝|2x|在区间上是增函数．因此“a＝1”是“函数f(x)＝|2x－a|在区间上是增函数”的充分不必要条件．
【答案】 (1)③ (2)①
三、解答题
9．下列各题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y;
(2)在△ABC，p：sinA>，q：A>.
【解】 (1)因为|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|，
所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件．
(2)因为A∈(0，π)时，sin A∈(0，1]，且A∈时，y＝sin A单调递增，A∈时，y＝sin A单调递减，所以sin A>?A>，但A>sin A>.
所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
10．设a，b，c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，证明：“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
【证明】 充分性：由a2＝b(b＋c)＝b2＋c2－2bccos A可得1＋2cos A＝＝.
即sin B＋2sin Bcos A＝sin(A＋B)．
化简，得sin B＝sin(A－B)．
由于sin B＞0且在三角形中，
故B＝A－B，
即A＝2B.
必要性：若A＝2B，
则A－B＝B，sin(A－B)＝sin B，
sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，
sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B.
∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．
∵A，B，C为△ABC的内角，
∴sin(A＋B)＝sin C，
即sin C＝sin B(1＋2cos A)．
∴＝1＋2cos A＝1＋＝，
即＝.
化简得a2＝b(b＋c)．
∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．
[能力提升]
1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由条件，知D?C?B?A，即D?A，但AD，故选A.
【答案】 A
2．设有如下命题：
甲：相交两直线l，m在平面α内， 且都不在平面β内；
乙：l，m中至少有一条与β相交；
丙：α与β相交．
那么当甲成立时( )
A．乙是丙的充分不必要条件
B．乙是丙的必要不充分条件
C．乙是丙的充分必要条件
D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件
【解析】 当l，m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙?丙，反之，当α与β相交时，l，m中也至少有一条与β相交，否则若l，m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与已知α与β相交矛盾，即丙?乙，故选C.
【答案】 C
3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
【解析】 因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.
【答案】 (3，＋∞)
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
【证明】 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
§1.2 充分条件与必要条件
【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．
1．如果已知“若p，则q”为真，即p?q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．
2．如果既有p?q，又有q?p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果pq且qp，则p是q的________________条件．
一、选择题
1．“x>0”是“x≠0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．设集合M＝{x|0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．用符号“?”或“”填空.
(1)a>b________ac2>bc2；
(2)ab≠0________a≠0.
8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－29．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．
三、解答题
10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.
12．已知P＝{x|a－4【能力提升】
13．记实数x1，x2，…，xn中的最大数为max{x1，x2，…，xn}，最小数为min.已知△ABC的三边边长为a，b，c(a≤b≤c)，定义它的倾斜度为l＝max·min，
则“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的( )
A．必要而不充分条件
B．充分而不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
14．已知数列{an}的前n项和为Sn＝(n＋1)2＋c，探究{an}是等差数列的充要条件．
1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．
2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A?B证明了必要性；B?A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A?B证明了充分性；B?A证明了必要性．
§1.2 充分条件与必要条件
知识梳理
1．充分条件 必要条件
2．p?q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要
作业设计
1．A [对于“x>0”?“x≠0”，反之不一定成立．
因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]
2．A [∵q?p，∴綈p?綈q，反之不一定成立，因此綈p是綈q的充分不必要条件．]
3．B [因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]
4．A [把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]
5．A [l⊥α?l⊥m且l⊥n，而m，n是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l⊥m且l⊥n不能得到l⊥α.]
6．B [当a<0时，由韦达定理知x1x2＝<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根时，a可以为0，因为当a＝0时，该方程仅有一根为－，所以a不一定小于0.由上述推理可知，“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]
7．(1) (2)?
8．a>2
解析 不等式变形为(x＋1)(x＋a)<0，因当－2－a，即a>2.
9．b≥－2a
解析 由二次函数的图象可知当－≤1，即b≥－2a时，函数y＝ax2＋bx＋c在[1，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)∵|x|＝|y|x＝y，
但x＝y?|x|＝|y|，
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．
△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．
(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分．
∴p是q的必要条件，但不是充分条件．
11．证明 ①充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，
则|x＋y|＝|y|，|x|＋|y|＝|y|，∴等式成立．
当xy>0时，即x>0，y>0，或x<0，y<0，
又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，
∴等式成立．
当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y，∴等式成立．
总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．
②必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，
则|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，
即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x||y|，
∴|xy|＝xy，∴xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件．
12．解 由题意知，Q＝{x|1∴，解得－1≤a≤5.
∴实数a的取值范围是[－1,5]．
13．A [当△ABC是等边三角形时，a＝b＝c，
∴l＝max·min＝1×1＝1.
∴“l＝1”是“△ABC为等边三角形”的必要条件．
∵a≤b≤c，∴max＝.
又∵l＝1，∴min＝，
即＝或＝，
得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．
∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]
14．解 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.
∴c＝－1，反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
课件20张PPT。1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件音乐欣赏《我是一只鱼》提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就
无法生存，但只有水，够吗？探究： p：“有水”；q：“鱼能生存”．
判断“若p，则q”和“若q，则p”的真假．引入1 事例一: 有一位母亲要给女儿做一件衬衫，母亲带女儿去店里买布，母亲问老板：“老板，给孩子做一件衬衫，要多少布料？”老板回答：“五尺足矣！”引导分析：p:5尺布料q:做一件衬衫事例二：引入21.正确理解充分条件、必要条件及充要条件的概念.（重点）
2.理解充分条件和必要条件的概念.（难点）
3.理解必要条件的概念.(重点） 我们约定：若p，则q为真，记作： 或若p，则q为假，记作：如果两个三角形全等，那么两三角形面积相等.例如：两三角形全等 两三角形面积相等 两个三角形面积相等 两三角形全等如果两个三角形面积相等，那么两三角形不一定全等.探究点 充分条件与必要条件用符号 与 填空。 （1） x2=y2 x=y； （2）内错角相等 两直线平行； （3）整数a能被6整除 a的个位数字为偶数； （4）ac=bc a=b 练一练 充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”
为真命题 ，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们
就说，由p可推出q，记作 ，并且说，p 是q
的充分条件，q 是p 的必要条件．例如：解:
命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的p是q的充分条件.例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件?
(1)若x=1,则x2-4x+3=0;
(2)若f(x)=x,则f(x)在（-∞，+∞）上为增函数;
(3)若x为无理数,则x2为无理数 .下列条件中哪些是a+b>0的充分条件？a>0，b>0②a<0,b<0④a>0，b<0且|a|>|b|③a=3,b=-2特点：先给多个p，进行选择，通过选择，
感知p的不唯一性。
答案：① ③ ④【变式练习】解:
命题(1)(2)是真命题,命题(3)是假命题.
所以,命题(1)(2)中的q是p的必要条件.例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件?
(1)若x=y,则x2=y2;
(2)若x<3,则x<5;
(3)若a>b,则ac>bc.X>0X>1X>2X>3X>4试举一充分条件的例子请思考x<3X<5X<8X<10X<6思考领悟p q，相当于p q，p足以导致q,也就是说条件p充分了；
q是p成立所 必须具备的前提。从集合的角度来理解充分条件、必要条件p qp 【提升总结】判断下列命题是真命题还是假命题： （4）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （2）相似三角形对应角相等； （1）若 ，则 ； 真 假 真 假 判一判1.设集合M={x|0“a∈M ”是“a∈N ”的________条件.必要充分条件2.（2013·上海高考改编）钱大姐常说“好货不便
宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”
的__________（填充分条件、必要条件）.（1）p:菱形 q:正方形
（2）p: x>4 q: x>1
解：(1)由图１可知p是q的必要条件
(2)由图２可知p是q的充分条件qp014图２3.用集合的方法来判断下列哪个p是q的充分条件，
哪个p是q的必要条件?（用 或 填写）由小推大q:p:必要A第二定义：D技巧：
第二定义
第一定义2、方法收获
（1）判别步骤：
给出p，q 判断“p=>q”真假 下结论
（2）判别技巧
①否定命题时举反例 ②第二定义还原第一定义 ..本节主要知识一种约定：两个定义：二种方法：“若p，则q为真”约定为
“p能推出q”充分条件与必要条件定义集合旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上.课题：充分条件与必要条件
课时：003
课型：新授课
教学目标
1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念；会判断命题的充分条件、必要条件．
2.过程与方法：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力．
３．情感、态度与价值观：通过学生的举例，培养他们的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义思想教育．
教学重点与难点
重点：充分条件、必要条件的概念．
难点：判断命题的充分条件、必要条件。
关键：分清命题的条件和结论，看是条件能推出结论还是结论能推出条件。
教学过程
1．练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a2 + b2，则x ＞ 2ab, （2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
学生容易得出结论；命题(1)为真命题，命题(２)为假命题．
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？
答：看p能不能推出q，如果p能推出q，则原命题是真命题，否则就是假命题．
２．定义: 充分条件, 必要条件
命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立，这时我们称条件p是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可推出q，记作：p?q．
定义：如果命题“若p，则q”为真命题，即p ? q,那么我们就说p是q的充分条件；q是p必要条件．
上面的命题(1)为真命题，即
x ＞ a2 + b2 ? x ＞ 2ab，
所以“x＞ a2 + b2 ”是“x ＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a2 + b2” ＂的必要条件．
3．例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x2 － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；
（3）若x为无理数，则x2为无理数．
分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
解略．
例2：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
若x ＝ y，则x2 ＝ y2；
若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等； （3）若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．
解略．
4、巩固练习：P12 习题1.2-- 1(1)(2),2(1)(2)题
5．作业 P12:习题1.2A组--第3、4题
6.课后反思：
一般地，判断条件是结论的什么条件时，注意以下问题
（1）条件是相互的；
（2）p是q的什么条件，有四种回答方式：
A． p是q的充分而不必要条件；
B. p是q的必要而不充分条件；
C.p是q的充要条件；
D. p是q的既不充分也不必要条件．
课件40张PPT。1.2 充分条件与必要条件自主学习 新知突破1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．
2．会求(判定)某些简单命题的条件关系．请同学们判断命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？
若a＝0，则ab＝0.
[提示] 要使结论ab＝0成立，只要有条件a＝0就足够了，“足够”就是“充分”的意思，因此称a＝0是ab＝0的充分条件．另一方面如果ab≠0，也不可能有a＝0，也就是要使a＝0，必须具备ab＝0的条件，因此我们称ab＝0是a＝0的必要条件．充分条件、必要条件的概念对充分条件和必要条件的关系的理解
p是q的充分条件，就是p足以保证q成立，这种情况下，也可以理解为：q是p成立的必不可少的条件，即q是必要的，所以q是p的必要条件，由此可见判断充分条件或者必要条件实质上就是要判断命题“若p，则q”(或者其逆命题)的真假，即判断p能否推出q(或者q能否推出p)．充要条件的概念对充要条件的理解
(1)根据充要条件的意义，如果原命题“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”都是真命题，那么p，q互为充要条件．
(2)我们知道，命题“若p，则q”的条件为p，结论为q，而在四种命题的关系以及充分条件、必要条件、充要条件的意义中，命题的条件与结论是相对而言的，这一点要灵活理解．(3)综上所述，原命题“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，则p与q的关系有以下四种情形：答案： A2．已知a，b，c∈R，“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析： 2b＝a＋c?a，b，c成等差数列．
∴“2b＝a＋c”是“a，b，c成等差数列”的充要条件．
答案： C3．若p：x(x－3)<0是q：2x－3(1)p：a>b，q：a2>b2；
(2)p：两直线平行，q：内错角相等；
(3)p：直线l与平面α所成角大小为90°，q：l⊥α；
(4)函数f(x)＝logax(a>1)，p：f(x1)>f(x2)，q：x1>x2>0.
解析： 在(1)中，p?/q，q?/p，所以(1)中的p不是q的充要条件．
在(2)(3)(4)中，p?q，所以(2)(3)(4)中的p是q的充要条件．合作探究 课堂互动 已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？充分条件、必要条件、充要条件的判断解析： 由图可知：(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件．
(3)因为q?r，r?p，∴q?p.从而可知p是q的必要不充分条件． (1)如果命题“若p，则q”为真命题，即p?q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．如果命题“若p，则q”为假命题，即p?q，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
(2)一般地，若p?q且q?p，则p是q的充分不必要条件；
若p?q且q?p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q且q?p，则p是q的充分条件也是必要条件；
若p?q且q?p，则p是q的既不充分也不必要条件． 1．指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一个作答)．
(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；
(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
(3)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(4)p：a>b，q：ac>bc.解析： (1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?x－3＝0，故p是q的充分不必要条件；
(2)两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件；
(3)在△ABC中，∠A>∠B?BC>AC
BC>AC?∠A>∠B.
∴p是q的充要条件．
(4)a>b?ac>bc，且ac>bc?a>b，故p是q的既不充分又不必要条件． 已知条件p：A＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}，条件q：B＝{x|x2－3x＋2≤0}，当a为何值时：
(1)p是q的充分不必要条件；
(2)p是q的必要不充分条件；
(3)p是q的充要条件．
思路点拨： 化简集合A，B，注意p?q与A?B的等价性．利用条件的充分、必要性确定参数的范围 由p：A＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，由q：B＝[1,2]．
(1)∵p是q的充分不必要条件，
∴A?B且A≠B，故A＝[1，a]?1≤a<2.
(2)∵p是q的必要不充分条件，
∴B?A且A≠B，故A＝[1，a]且a>2?a>2.
(3)∵p是q的充要条件，∴A＝B?a＝2. 从集合与集合之间关系看充分条件、必要条件
p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. 特别提醒：在根据集合之间的关系判断充分条件和必要条件时，要注意A?B与A?B对结果的影响是不一样的．2．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围． 一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a>1求条件(充分条件、必要条件或充要条件)答案： C 直接找充分不必要条件较困难，可以先求出方程有一个正根和一个负根的充要条件，再用集合法确定正确答案． 3．已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，如何求实数m的取值范围？ 已知数列{an}的前n项和Sn＝aqn＋b(a，b，q都是常数，且a≠0，q≠0，q≠1)．求证：数列{an}是等比数列的充要条件是a＋b＝0.充分条件和必要条件的证明 证明：(1)充分性：由已知Sn＝aqn＋b，
∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn－a.
当n＝1时，a1＝S1＝aq1－a＝a(q－1). 2分
当n>1时，an＝Sn－Sn－1＝aqn－a－(aqn－1－a)
＝aqn－aqn－1＝a(q－1)qn－1.
显然a1＝a(q－1)满足上式，故n∈N＋时，
an＝a(q－1)qn－1. 5分
所以{an}是以a1＝a(q－1)为首项，以q为公比的等比数列.
6分 证明时要分清命题中的条件和结论，防止将充分性和必要性颠倒，至于先证充分性还是必要性无关紧要．“条件?结论”是证充分性，“结论?条件”是证必要性． 4．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
证明： 先证必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，
∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，∴必要性成立．再证充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴充分性成立．
因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.
【错因】 导致判断错误的原因是忽略题目中的隐含条件．谢谢观看！