A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．若|a|＝|b|，则a＝b
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|＝|b|，则a与b可能共线
D．若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
解析：向量既有大小又有方向，只有方向相同、大小(长度)相等的两个向量才相等，因此A错误．两个向量不相等，但它们的模可以相等，故B错误．无论两个向量的模是否相等，这两个向量都可能共线，C正确，D错误．
答案：C
2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量的长度是( )
A．－1 B．2 C．1 D．3
解析：||＝2－(－1)＝3.
答案：D
3．如图所示，在⊙O中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
答案：C
4.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：由平面几何知识知，与方向不同，故≠；与方向不同，故≠；与的模相等而方向相反，故≠；与的模相等且方向相同，所以＝.
答案：D
5．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
解析：由＝知四边形为平行四边形；由||＝||知四边形ABCD为菱形．
答案：C
二、填空题
6．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在?ABCD中，一定有＝；
④若向量a与任一向量平行，则a＝0；
⑤若四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形ABCD是正方形．
其中，正确的说法是________(填序号)．
解析：对于①，两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；对于②，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；对于③，在?ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④显然正确；对于⑤，在四边形ABCD中，若＝，则由相等向量的定义可知ABDC，故四边形ABCD是平行四边形，又||＝||，所以四边形ABCD是菱形，故⑤错误．故填③④.
答案：③④
7.如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________．
解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝.
答案：
8．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动)，则向量长度的最小值为________．
解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.
答案：
三、解答题
9.如图所示，四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中：
(1)写出与，相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解：(1)与相等的向量有，，与相等的向量为.
(2)与模相等的向量有，，.
10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．
(1)与的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
(3)与共线的向量有哪些？
解：(1)与的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．
(2)存在．由正六边形的性质可知BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量是，，，，共4个．
(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个向量．
B级 能力提升
1．已知点O固定，且||＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点 B．一条直线
C．一个圆 D．不能确定
解析：因为||＝2，
所以终点A到起点O的距离为2.
又因为O点固定，
所以A点的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
答案：C
2．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案：①③④
3.如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了 km到了C村，问B、C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？
解：由题可知||＝1，||＝，
∠CAB＝90°，则||＝2.
又tan∠ACB＝＝＝，
所以∠ACB＝30°，故B，C两村间的距离为2 km，B村在C村的南偏东60°的方向上．
课件29张PPT。第二章 平面向量
