A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．
答案：C
2．如图，在△ABC中，点D是边AB的中点，则向量＝( )
A.＋ B.－
C．－－ D．－＋
解析：因为D是AB的中点，所以＝，
所以＝－＝－.
答案：D
3．已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：因为＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，
所以＝＋＝－4a＋8b，＋＝2a＋4b＝＝2，
所以A，B，D三点共线．
答案：A
4．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( )
A.＋＝0 B.＋＝0
C.＋＝0 D.＋＋＝0
解析：如图，因为＋＝2，
所以P是线段AC的中点，
所以＝－，即＋＝0.
答案：B
5．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A.a＋b B.a＋b
C．a＋b D．a＋b
解析：由已知条件可知BE＝3DE，
所以DF＝AB，
所以＝＋＝＋＝a＋b.
答案：A
二、填空题
6．若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝______b.
解析：因为|a|＝5，|b|＝7，所以＝，
又方向相反，所以a＝－b.
答案：－
7．设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________．
解析：因为λ a＋b与a＋2b平行，
所以λ a＋b＝t(a＋2b)，即λ a＋b＝t a＋2t b，
所以解得
答案：
8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．
解析：因为＋＋＝0，所以点M是△ABC的重心，所以＋＝3，所以m＝3.
答案：3
三、解答题
9．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；
(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.
解：(1)原方程可化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0，
即2x＋a－4b＝0，所以x＝2b－a.
(2)
由②得y＝x－b，
代入①，得3x＋4＝a，
所以3x＋x－b＝a，即17x＝4b＋3a，
所以x＝b＋a，
所以y＝－b＝b＋a－b＝a－b.
10．已知e，f为两个不共线的向量，且四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)将用e，f表示；
(2)求证：四边形ABCD为梯形．
(1)解：根据向量的线性运算法则，有＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，
所以与同向，且的长度为长度的2倍，
所以在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD是梯形．
B级 能力提升
1．如图，△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB上的中线，它们交于点G，则下列各等式中不正确的是( )
A.＝ B.＝2
C.＝ D.＋＝
解析：因为G是△ABC的重心，
所以BG＝BE，CG＝2GF，DG＝AG，
所以＝，＝2，＝－，
所以＋＝＋＝＝.所以C不正确．
答案：C
2．若＝t(t∈R)，O为平面上任意一点，则＝________(用，表示)．
解析：＝t，－＝t(－)，＝＋t－t＝(1－t)＋t.
答案：(1－t)＋t
3．设a，b是不共线的两个非零向量．
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；
(2)若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值；
(3)若＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m，n，α，β均为实数，m≠0，n≠0，若M，P，N三点共线，求证：＋＝1.
(1)证明：因为＝－＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝－＝(a－3b)－(3a＋b)＝－(2a＋4b)＝－2，
所以与共线，且有公共点B，所以A，B，C三点共线．
(2)解：因为8a＋kb与ka＋2b共线，
所以存在实数λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，
即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.因为a与b不共线，
所以
解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.
(3)证明：因为M，P，N三点共线，O为直线外一点，
所以存在实数x，y，使得＝x＋y，且x＋y＝1.
又因为＝α a＋β b，且a，b不共线，
所以＝xma＋ynb＝α a＋β b，所以xm＝α，yn＝β，
所以＋＝x＋y＝1.
课件27张PPT。第二章 平面向量
