A级 基础巩固
一、选择题
1．设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2
C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2
解析：B中，因为6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，
所以(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，
所以3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．
答案：B
2．在菱形ABCD中，∠A＝，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
解析：由题意知AC平分∠BAD，所以与的夹角为.
答案：A
3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为( )
A.(a＋b) B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
解析：因为＝2，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.
答案：C
4．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，＝x＋y，且＝3，则( )
A．x＝，y＝ B．x＝，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
解析：由已知＝3，得－＝3(－)，整理，得＝＋，故x＝，y＝.
答案：D
5．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
答案：A
二、填空题
6．若＝a，＝b，＝λ(λ≠－1)，则＝________．
解析：因为＝＋＝OP1＋λ＝＋λ(－)＝＋λ－λ，
所以(1＋λ)＝＋λ.
所以＝＋＝a＋b.
答案：a＋b
7．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为________．
解析：如图，作向量＝a，＝b，则＝a－b.由已知，得OA＝1，OB＝，OA⊥AB，
所以△OAB为等腰直角三角形，
所以∠AOB＝45°，所以a与b的夹角为45°.
答案：45°
8．如果3e1＋4e2＝a，2e1＋3e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝________，e2＝________．
解析：由解得
答案：3a－4b 3b－2a
三、解答题
9．如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)．求λ＋μ的值．
解：如图所示，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在直角△OCD中，因为||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以||＝4，||＝2，
故＝4，＝2，
即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.
10．如图所示，?ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF的交点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.
解：＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b.
＝－＝＋－＝b＋a－a＝b－a.
如图所示，连接DB，延长CG，交BD于点O，点G是△CBD的重心，
故＝＋＝＋＝＋＝－b－＝－a－b.
B级 能力提升
1．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
答案：B
2．如图，向量＝，若＝x＋y，则x－y＝________．
解析：因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋，所以x＝，y＝.所以x－y＝－.
答案：－
3．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，
则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线得，?
所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)解：设c＝ma＋nb(m，n∈R)，得3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.
所以?所以c＝2a＋b.
(3)解：由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.
所以?
故所求λ，μ的值分别为3和1.
课件27张PPT。第二章 平面向量
