A级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论：
①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；
②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；
③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O；
④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由平面向量基本定理知①正确；若a＝(1，0)≠(1，3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故③错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．
答案：A
2．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d的坐标为( )
A．(2，6) B．(－2，6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．
答案：D
3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析：＝(3，－4)，则与同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.
答案：A
4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于( )
A．(1，－1) B．(－1，1)
C．(－4，6) D．(4，－6)
解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，
所以4a＋3b－2a＋c＝0，
故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．
答案：D
5．设向量a＝(m，n)，b＝(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“?”为a?b＝(ms，nt)．若向量p＝(1，2)，p?q＝(－3，－4)，则向量q＝( )
A．(－3，2) B．(3，－2)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
解析：设向量q＝(x，y)，根据题意可得x＝－3，2y＝－4，
解得x＝－3，y＝－2，即向量q＝(－3，－2)．
答案：D
二、填空题
6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．
解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，
所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．
答案：(－1，1)
7．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．
解析：因为F1＋F2＋F3＝0，
所以F3＝－F1－F2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．
答案：(－3，－4)
8．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若＝3a，则点B的坐标为________．
解析：＝(－1，－5)，＝3a＝(6，9)，
故＝＋＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．
答案：(5，4)
三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算出它们的坐标．
解：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)，
则a1＝|a|cos 45°＝2×＝.
a2＝|a|sin 45°＝2×＝，
b1＝|b|cos 120°＝3×＝－，
b2＝|b|sin 120°＝3×＝，
c1＝|c|cos(－30°)＝4×＝2，
c2＝|c|sin(－30°)＝4×＝－2.
所以a＝(，)，b＝，c＝(2，－2)．
10．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x1，y1)，
因为＝(4，3)，A(－1，－2)，
所以(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)，
所以所以所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
所以M.
(2)由＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
又＝λ(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
所以所以
B级 能力提升
1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m?n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a?b，那么向量b等于( )
A. B.
C. D.
解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a?b，
可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y.
解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
答案：A
2．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4，3)，＝(1，5)，则＝________．
解析：－＝＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，
因为点Q是AC的中点，所以AQ＝，
所以＝＋＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．
因为＝2，所以＝＋＝3＝3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
3．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．
设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝a＝(5，－5)，
所以解得
(3)设O为坐标原点，
因为＝－＝3c，
所以＝3c＋＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，
所以M(0，20)．
又因为＝－＝－2b，
所以＝－2b＋＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，
所以N(9，2)，所以＝(9，－18)．
课件30张PPT。第二章 平面向量
