A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，设＝a，＝b，且|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－1，则||＝( )
A．1 B. C. D.
解析：因为||＝|＋|，
所以||＝ ＝ ＝.
答案：C
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．5
解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，
所以a·b＝1.
答案：A
3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )
A. B. C. D.
解析：|a－b|＝ ＝ ＝，
设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，所以θ＝.
答案：A
4.(2018·天津卷)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为( )
A. B. C. D．3
答案：A
5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( )
A．2 B．4 C．6 D．12
解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b－6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，
所以|a|2－2|a|－24＝0，所以|a|＝6.
答案：C
二、填空题
6．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ACB＝，D是BC的中点，则在方向上的正射影数量是________．
解析：如图所示，作向量＝，则与的夹角为∠ABE＝π－＝，所以在方向上的正射影的数量为||·cos＝2×＝－.
答案：－
7．如图，在四边形ABCD中，||＝4，·＝12，E为AC的中点，若＝2，则·＝________．
解析：因为||＝4，E是AC的中点，所以AE＝CE＝2.
·＝(＋)·(＋)＝2－2＝2－22＝12?2＝16?2＝4，所以·＝(＋)·(＋)＝2－2＝4－4＝0.
答案：0
8．(2018·上海卷)在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(2，0)，E，F是y轴上的两个动点，且||＝2，则·的最小值为________．
答案：－3
三、解答题
9．(1)若|a|＝4，a·b＝6，求b在a方向上的投影；
(2)已知|a|＝6，e为单位向量，当它们之间的夹角θ分别等于60°，90°，120°时，求出a在e方向上的投影．
解：(1)设a与b的夹角为θ.
因为a·b＝|a||b|cos θ＝6，且|a|＝4，
所以4|b|cos θ＝6，
所以b在a方向上的投影为|b|cos θ＝.
(2)a在e方向上的投影为|a|cos θ.
当θ＝60°时，a在e方向上的投影为|a|cos 60°＝3；
当θ＝90°时，a在e方向上的投影为|a|cos 90°＝0；
当θ＝120°时，a在e方向上的投影为|a|cos 120°＝－3.
10．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|3a－b|＝.
(1)求|a＋3b|的值；
(2)求3a－b与a＋3b夹角的正弦值．
解：(1)由|3a－b|＝，得(3a－b)2＝5，
所以9a2－6a·b＋b2＝5.
因为a2＝|a|2＝1，b2＝|b|2＝1，
所以9－6a·b＋1＝5.
所以a·b＝.
所以(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×＋9×1＝15.
所以|a＋3b|＝.
(2)设3a－b与a＋3b的夹角为θ.
因为(3a－b)·(a＋3b)＝3a2＋8a·b－3b2＝3×1＋8×－3×1＝.
所以cos θ＝＝＝.
因为0°≤θ ≤180°，
所以sin θ＝ ＝ ＝.
所以3a－b与a＋3b夹角的正弦值为.
B级 能力提升
1．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．重心 B．垂心
C．内心 D．外心
解析：因为·＝·，
所以·(－)＝0，
即·＝0, 则⊥.
同理⊥，⊥.
所以O是△ABC的垂心．
答案：B
2．已知a，b是单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是( )
A．[－1，＋1] B．[－1，＋2]
C．[1，＋1] D．[1，＋2]
解析：因为a，b是单位向量，所以|a|＝|b|＝1.
又|c－a－b|2＝c2－2c·(a＋b)＋2a·b＋a2＋b2＝1，
所以2c·(a＋b)＝c2＋1.
因为|a|＝|b|＝1，且a·b＝0，所以|a＋b|＝.
因为|c－a－b|＝|c－(a＋b)|＝1，
所以c2＋1＝2|c|cos θ(θ是c与a＋b的夹角)．
又－1≤cos θ≤1，所以0所以c2－2|c|＋1≤0.
根据二次函数y＝x2－2x＋1的图象，
可得－1≤|c|≤＋1.
答案：A
3．△ABC的三边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图，PQ为直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值．
解：因为＝－，＋＝，
即＝－－＝－－，
所以·＝(－)·(－－)
＝－·＋·－＋·
＝·－r2＋·(－)
＝·－r2＋·
＝||·||cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·最大，为||·||＝ra，
即当与共线且同方向时，
·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2.
课件30张PPT。第二章 平面向量
