A级 基础巩固
一、选择题
1．已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝35，则b＝( )
A．(－3，6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6，3)
解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ＜0)，
由于|b|＝35，所以|b|＝λ2＋（－2λ）2＝5λ2＝35，
所以λ＝－3，所以b＝(－3，6)．
答案：A
2．若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A.π6 B.5π6 C.π3 D.2π3
解析：因为|a＋b|＝|a－b|，所以a2＋2a?b＋b2＝a2－2a?b＋b2，所以a?b＝0.
又|a＋b|＝2|a|，
所以|a|2＋2a?b＋|b|2＝4|a|2，所以|b|2＝3|a|2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，则cos θ＝（a＋b）?（a－b）|a＋b||a－b|＝|a|2－|b|24|a|2＝－2|a|24|a|2＝－12.又θ∈[0，π]，所以θ＝2π3.
答案：D
3．设x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a?c＝0，b∥c，则|a＋b|＝( )
A.5 B.10 C．25 D．10
解析：由a?c＝0，b∥c，?2x－4＝0，2y＋4＝0，?x＝2，y＝－2.
所以a＝(2，1)，b＝(1，－2)，a＋b＝(3，－1)．
所以|a＋b|＝10.
答案：B
4．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足AO→＝12(AB→＋AC→)，|AO→|＝|AC→|，则向量BA→在BC→方向上的投影等于( )
A．－32 B.32 C.32 D．3
解析：由AO→＝12(AB→＋AC→)可知O是BC的中点，则BC为外接圆的直径，所以∠BAC＝90°，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|.又因为|AO→|＝|AC→|＝1，故△OAC为等边三角形，所以∠AOC＝60°，所以∠ABC＝30°，且|AB→|＝|BC→|sin 60°＝3，所以BA→在BC→方向上的投影为|BA→|?cos∠ABC＝3×cos 30°＝32.
答案：C
5．在△ABC中，若|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE→?AF→＝( )
A.89 B.109 C.259 D.269
解析：由|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|得AB→⊥AC→，所以△ABC是以A为直角顶点的直角三角形．由E，F为BC边的三等分点，所以AE→＝AB→＋13BC→＝23AB→＋13AC→，AF→＝AC→＋13CB→＝13AB→＋23AC→，因此AE→?AF→＝23AB→＋13AC→?13AB→＋23AC→＝29AB2→＋29AC2→＋59AB→?AC→＝29×4＋29×1＝109.
答案：B
二、填空题
6．(2016?北京卷)已知向量a＝(1，3)，b＝(3，1)，则a与b夹角的大小为________．
解析：由题意得|a|＝1＋3＝2，|b|＝3＋1＝2，
a?b＝1×3＋3×1＝23.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝232×2＝32.
因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.
答案：π6
7．若|a|＝2，b＝(2，2)，a?(b－a)＋2＝0，则向量a与b的夹角为________．
解析：因为b＝(2， 2)，所以|b|＝2.
因为|a|＝2，a?(b－a)＋2＝0，
所以a?b－a2＝a?b－22＝－2，
所以a?b＝2.
设a与b的夹角为θ，则cos θ＝a?b|a||b|＝22×2＝12，
又θ∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为π3.
答案：π3
8．已知a＝(λ，2)，b＝(－3，5)，且a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是__________________．
解析：由于a与b的夹角为锐角，
所以a?b>0，且a与b不共线同向．
由a?b>0?－3λ＋10>0，解得λ<103.
当向量a与b共线时，得5λ＝－6，得λ＝－65，
因此λ的取值范围是λ<103且λ≠－65.
答案：λλ<103且λ≠－65
三、解答题
9．已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．
(1)求a与b的夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解：(1)因为a?b＝4×(－1)＋3×2＝2，
|a|＝42＋32＝5，
|b|＝（－1）2＋22＝5，
所以cos θ＝a?b|a||b|＝255＝2525.
(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，
又(a－λb)⊥(2a＋b)，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.
10．设A(4，a)，B(b，8)，C(a，b)，若四边形OABC是平行四边形(其中O为原点)，求∠AOC.
解：因为四边形OABC是平行四边形，
所以OA→＝CB→，
即(4，a)＝(b－a，8－b)，
所以4＝b－a，a＝8－b，解得a＝2，b＝6.
所以A(4，2)，C(2，6)，OA→＝(4，2)，OC→＝(2，6)．
所以OA→?OC→＝4×2＋2×6＝20，
|OA→|＝42＋22＝25，
|OC→|＝22＋62＝40＝210.
所以cos∠AOC＝OA→?OC→|OA→|?|OC→|＝2025×210＝22.
因为0<∠AOC<π，所以∠AOC＝π4.
B级 能力提升
1．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1，2)、B(4，1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．以上均不正确
解析：AC→＝(－1，－3)，AB→＝(3，－1)．
因为AC→?AB→＝－3＋3＝0，
所以AC⊥AB.
又因为|AC→|＝10，|AB→|＝10，
所以AC＝AB.
所以△ABC为等腰直角三角形．
答案：C
2．设向量a＝(1，3)，b＝(m，3)，且a，b的夹角为π3，则实数m＝________．
解析：因为a＝(1，3)，b＝(m，3)．
所以|a|＝1＋3＝2，|b|＝m2＋3，a?b＝m＋3.
又a，b的夹角为π3，所以m＋3＝2m2＋3×12，
解得m＝－1.
答案：－1
3．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．
(1)求|a＋b|的值；
(2)若向量k a＋b与a＋2b平行，求k的值；
(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．
解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以a＋b＝(3，4)，
则|a＋b|＝5.
(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．
因为向量k a＋b与a＋2b平行，
所以8(2k＋1)＝16，则k＝12.
(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，
所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)．
因为向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，
所以4（2k＋1）＋32>0，k≠12，
解得k>－92且k≠12.
课件28张PPT。第二章 平面向量
