A级 基础巩固
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3的作用而处于平衡状态．已知F1与F2的夹角为60°，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为( )
A．6 N B．2 N C．2 N D．2 N
解析：由向量的平行四边形法则及力的平衡，得|F3|2＝|－F1－F2|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos 60°＝22＋42＋2×2×4×＝28，
所以|F3|＝2 (N)．
答案：D
2．平面内四边形ABCD和点O，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形ABCD为( )
A．菱形 B．梯形
C．矩形 D．平行四边形
解析：由题意知a－b＝d－c，
所以＝，所以四边形ABCD为平行四边形．
答案：D
3．如图所示，一力作用在小车上，其中力F的大小为10牛，方向与水平面成60°角，当小车向前运动10米，则力F做的功为( )
A．100焦耳 B．50焦耳
C．50焦耳 D．200焦耳
解析：设小车位移为s，则|s|＝10米．
WF＝F·s＝|F||s|·cos 60°＝10×10×＝50(焦耳)．
答案：B
4．在△ABC中，AB＝3，AC边上的中线BD＝，·＝5，则AC的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：因为＝－＝－.
所以2＝＝2－·＋2＝()2，即2＝1.所以||＝2，即AC＝2.
答案：B
5．在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
解析：由＋＋＝，
得＋＋＋＝0，
即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．
故＝＝.
答案：C
二、填空题
6．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流的方向成30°角，则水流速度为________km/h.
解析：如图所示，船速|υ1|＝5(km/h)，
水速为υ2，实际速度|υ|＝10(km/h)，
所以|υ2|＝＝＝5(km/h)．
答案：5
7．在△ABC中，已知||＝||＝4，且·＝8，则这个三角形的形状是________．
解析：因为·＝4×4·cos A＝8，
所以cos A＝，所以∠A＝，
所以△ABC是正三角形．
答案：正三角形
8．已知力F1，F2，F3满足|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，且F1＋F2＋F3＝0，则|F1－F2|＝________．
解析：由F1＋F2＋F3＝0，可得F1＋F2＝－F3，
所以(－F3)2＝(F1＋F2)2，化简可得：F＝F＋F＋2F1·F2，由于|F1|＝|F2|＝|F3|＝1，所以2F1·F2＝－1，
所以|F1－F2|＝＝＝＝.
答案：
三、解答题
9．在直角坐标平面xOy内，已知向量＝(1，5)，＝(7，1)，＝(1，2)，点P为满足＝t(t∈R)的动点，当·取得最小值时，求：
(1)向量的坐标；
(2)cos∠APB的值．
解：(1)因为＝t＝(t，2t)，
＝－＝(1－t，5－2t)，
＝－＝(7－t，1－2t)，
所以·＝(1－t)(7－t)＋(5－2t)(1－2t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.
当·取得最小值时，t＝2，
所以＝(2，4)．
(2)因为＝(－1，1)，＝(5，－3)，
||＝，||＝，
所以cos∠APB＝＝－.
10．一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2 km/h，求船实际航行速度的大小与方向(用与水流速间的夹角表示)．
解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD、AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度．
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
所以||＝＝＝4，
所以tan∠CAB＝＝，所以∠CAB＝60°.
故船实际航行速度的大小为4 km/h，方向与水流速间的夹角为60°.
B级 能力提升
1．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
解析：＋－2＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0.
即2＝2，所以||＝||.
答案：B
2．如图所示，在倾斜角为37°(sin 37°＝0.6)，高为2 m的斜面上，质量为5 kg的物体m沿斜面下滑，物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍，则斜面对物体m的支持力所做的功为________J，重力对物体m所做的功为________J(g取9.8 m/s2)．
解析：物体m的位移大小为|s|＝＝(m)，则支持力对物体m所做的功为W1＝F·s＝|F||s|cos 90°＝0(J)；重力对物体m所做的功为W2＝G·s＝|G||s|cos 53°＝5×9.8××0.6＝98(J)．
答案：0 98
3．如图所示，ABCD是正方形，M是BC的中点，将正方形折起使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形面积为64，求△AEM的面积．
解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF是AM的中垂线，设AM与EF交于点N，则N是AM的中点，又正方形边长为8，
所以M(8，4)，N(4，2)．
设点E(e，0)，则＝(8，4)，＝(4，2)，＝(e，0)，＝(4－e，2)，
由⊥得·＝0，
即(8，4)·(4－e，2)＝0，解得e＝5，
即||＝5.
所以S△AEM＝||||＝×5×4＝10.
课件28张PPT。第二章 平面向量
