A级 基础巩固
一、选择题
1．计算cos 5π12cos π6＋cosπ12sinπ6的值是( )
A．0 B.12 C.22 D.32
解析：cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6
＝cos5π12cosπ6＋sin5π12sinπ6
＝cos5π12－π6
＝cosπ4＝22.
答案：C
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a?b＝( )
A.22 B.12 C.32 D．－12
解析：a?b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.
答案：A
3．已知cos α＝1213，α∈32π，2π，则cosα－π4的值为( )
A.5213 B.7213 C.17226 D.7226
解析：因为α∈32π，2π，所以sin α＝－513，
所以cosα－π4＝cos αcosπ4＋sin αsinπ4＝1213×22＋－513×22＝7226.
答案：D
4．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a＝(cos A，sin A)，b＝(cos B，sin B)，且a?b＝1，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：因为a?b＝cos Acos B＋sin Asin B＝cos(A－B)＝1，且A，B，C是三角形的内角，所以A＝B，即△ABC一定是等腰三角形．
答案：B
5．若cos(α＋β)＝35，sinβ－π4＝513，α，β∈0，π2，那么cosα＋π4的值为( )
A.22 B.32 C.5665 D.3665
解析：因为α，β∈0，π2，
所以α＋β∈(0，π)，β－π4∈－π4，π4.
又因为cos(α＋β)＝35，sinβ－π4＝513，
所以sin (α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝45，
cosβ－π4＝ 1－sin 2β－π4＝1213，
所以cosα＋π4
＝cos（α＋β）－β－π4
＝cos (α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)?sinβ－π4
＝35×1213＋45×513＝5665.
答案：C
二、填空题
6．cos(x＋270°)cos(x－180°)＋sin(x＋270°)sin(x－180°)的值等于________．
解析：原式＝cos[(x＋270°)－(x－180°)]＝cos 450°＝cos(360°＋90°)＝cos 90°＝0.
答案：0
7．(2018?全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________．
答案：－12
8．已知sin A＋π4＝7210，A∈π4，π2，则cos A＝________．
解析：由A∈π4，π2，可知A＋π4∈π2，3π4，
则cosA＋π4＝－210，cosA＝cosA＋π4－π4＝cosA＋π4?cos π4＋sin A＋π4sinπ4＝－210×22＋7210×22＝35.
答案：35
三、解答题
9．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a⊥b，求α－β的值．
解：因为a⊥b，所以a?b＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0.
因为－π<α－β<π，所以α－β＝－π2或π2.
10．设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2.
解：因为α∈π2，π，β∈0，π2，
所以α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2.
因为cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，
所以sinα－β2＝ 1－cos2α－β2＝ 1－181＝459，
cosα2－β＝ 1－sin2α2－β＝ 1－49＝53.
所以cos α＋β2＝cosα－β2－α2－β
＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β
＝－19×53＋459×23＝7527.
B级 能力提升
1．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( )
A.2525 B.255
C.2525或255 D.55或525
解析：依题意得sin α＝1－cos2α＝255，
cos(α＋β)＝±1－sin2（α＋β）＝±45.
又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．
因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.
于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525.
答案：A
2．函数f(x)＝12sin 2x＋32cos 2x的最小正周期是________．
解析：由于f(x)＝cos 2xcos π6＋sin 2xsin π6＝cos2x－π6，所以T＝2π2＝π.
答案：π
3．已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0, 求证：cos (α－β )＝－12.
证明：由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0得
(sin α＋sin β )2＝(－sin γ)2，①
(cos α＋cos β )2＝(－cos γ)2，②
①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β )＝1.
即2＋2cos(α－β )＝1，所以cos(α－β )＝－12.
课件25张PPT。第三章 三角恒等变换
