A级 基础巩固
一、选择题
1．(2018?全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )
A.89 B.79 C．－79 D．－89
答案：B
2.3－sin 70°2－cos210°的值是( )
A.12 B.22 C．2 D.32
解析：原式＝3－sin 70°2－12（1＋cos 20°）＝2（3－cos 20°）3－cos 20°＝2.
答案：C
3．(2017?全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )
A．－79 B．－29 C.29 D.79
解析：因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝432＝169，所以sin 2α＝－79.
答案：A
4．已知cosα＋π4＝14，则sin 2α的值为( )
A.78 B．－78 C.34 D．－34
解析：因为cosα＋π4＝14，
所以sin 2α＝－cos2α＋π2＝－cos2α＋π4＝
1－2cos2α＋π4＝1－116×2＝78.
答案：A
5．已知tan 2α＝－22，且满足π4<α<π2，则2cos2α2－sin α－12sinπ4＋α的值是( )
A.2 B．－2 C．－3＋22 D．3－22
解析：tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－22，
整理可得2tan2α－tan α－2＝0，
解得tan α＝－22或tan α＝2.
因为π4<α<π2，所以tan α＝2.
则2cos2α2－sin α－12sinπ4＋α
＝cos α－sin α2sinπ4cos α＋cosπ4sin α
＝cos α－sin αcos α＋sin α＝cos α－sin αcos αcos α＋sin αcos α
＝1－tan α1＋tan α＝1－21＋2＝22－3.
答案：C
二、填空题
6．(2016?四川卷)cos2π8－sin2π8＝________．
解析：cos2π8－sin2π8＝cos π4＝22.
答案：22
7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________．
解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233，
所以sin θ2＋cos θ22＝43，
即1＋2sin θ2cosθ2＝43，所以sin θ＝13，
所以cos 2θ＝1－2sin2 θ＝1－2×132＝79.
答案：13 79
8．已知sin π4－x＝35，则sin 2x的值等于________．
解析：法一 因为sinπ4－x＝35，
所以cos π2－2x＝1－2sin2π4－x＝1－2×352＝725，
所以 sin 2x＝cosπ2－2x＝725.
法二 由sinπ4－x＝35，得22(sin x－cos x)＝－35，
所以sin x－cos x＝－325，两边平方得
1－sin 2x＝1825，
所以sin 2x＝725.
答案：725
三、解答题
9．化简：
(1) 12＋12 12＋12cos 2α，其中α∈3π2，2π；
(2)1＋sin θ－1－sin θ，其中θ∈(0，π)．
解：(1)因为α∈3π2，2π，所以cos α>0，α2∈34π，π，
所以cosα2<0.
故原式＝12＋12 cos2α＝12＋12cos α＝cos2α2＝cosα2＝－cosα2.
(2)原式＝ sin2θ2＋cos2θ2＋2sinθ2cosθ2 －
sin2θ2＋cos2θ2－2sinθ2cosθ2
＝ sinθ2＋cosθ22－sinθ2－cosθ22
＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2－cosθ2.
①当θ∈0，π2时，θ2∈0，π4，cosθ2≥sinθ2，
此时原式＝sinθ2＋cosθ2－cosθ2＋sinθ2＝2sinθ2.
②当θ∈π2，π时，θ2∈π4，π2，cosθ2此时原式＝sinθ2＋cosθ2－sinθ2＋cosθ2＝2cosθ2.
10．已知函数f(x)＝3cos2x－π3－2sin xcos x.
(1)f(x)的最小正周期；
(2)求证：当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.
(1)解：f(x)＝32cos 2x＋32sin 2x－sin 2x
＝12sin 2x＋32cos 2x
＝sin2x＋π3，
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
(2)证明：因为－π4≤x≤π4，
所以－π6≤2x＋π3≤5π6，
所以sin2x＋π3≥sin －π6＝－12.
所以当x∈－π4，π4时，f(x)≥－12.
B级 能力提升
1．若α∈π2，π，且3cos 2α＝sinπ4－α，则sin 2α的值为( )
A．－118 B.118
C．－1718 D.1718
解析：法一 cos 2α＝sinπ2－2α＝sin2π4－α＝2sinπ4－αcosπ4－α，
代入原式，得6sinπ4－αcosπ4－α＝sinπ4－α.
因为α∈π2，π，所以cosπ4－α＝16，
所以sin 2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1＝－1718.
法二 由3cos 2α＝sinπ4－α可得3(cos2α－sin2α)＝22(cos α－sin α)，由α∈π2，π可知cos α－sin α≠0，
于是3(cos α＋sin α)＝22，即sin α＋cos α＝26，
所以1＋2sin α?cos α＝118，故sin 2α＝－1718.
答案：C
2．若cos 2αsinα－π4＝－22，则sin 2α＝________．
解析：cos 2αsinα－π4
＝cos2α－sin2α22（sin α－cos α）
＝－2(sin α＋cos α)
＝－22?sin α＋cos α＝12，
平方得1＋sin 2α＝14?sin 2α＝－34.
答案：－34
3．已知α为锐角且tanπ4＋α＝2.
(1)求tan α的值；
(2)求2sin2α＋π4cos α－sin αcos 2α的值．
解：(1)因为tanπ4＋α＝2，
所以tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，
即1＋tan α1－tan α＝2，
解得tan α＝13.
(2)2sin2α＋π4cos α－sin αcos 2α
＝cos α（sin 2α＋cos 2α）－sin αcos 2α
＝2cos2α sin α＋cos 2αcos α－sin αcos 2α
＝cos 2α（cos α＋sin α）cos 2α＝cos α＋sin α.
因为α为锐角且tan α＝13，
所以cos α＝3sin α.
由sin2α＋cos2α＝1，
得sin2α＝110，
所以sin α＝1010，cos α＝31010，
可得cos α＋sin α＝2105.
课件25张PPT。第三章 三角恒等变换
